प्रश्नावली 11 (C)
प्रश्न 1.
3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खीचिए। इसके केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म खीचिए।
हल :
दिया है : OP=7 सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या =3 सेमी।
रचना करनी है : बिन्दु P से दिये वृत्त पर स्पर्श रेखायुग्म खींचना है।
रचना के चरण :
(i) $\mathrm{PO}=7$ सेमी खींची।
(ii) बिन्दु $\mathrm{O}$ से 3 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचा।
(iii) $\mathrm{PO}$ का लम्ब अर्द्धक ज्ञात किया जो $\mathrm{PO}$ को $\mathrm{M}$ पर काटता है।
(iv) $\mathrm{M}$ को केन्द्र मानकर $\mathrm{PM}=\mathrm{MO}$ त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जो दिये वृत्त को $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ पर काटता है।
(v) बिन्दु $P$ को $A$ तथा $B$ से मिलाया।
डस प्रकार PA तथा PB अभीष्ट स्पर्श रेखा यर्म हैं।
प्रश्न 2.
4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके केन्द्र से 8 सेमी दूर स्थित एक बिन्दु से इस पर स्पर्श रेखाएँ खीचिए। इनकी लम्बाई नापिए।
हल :
दिया है : एक 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त दिया है तथा केन्द्र से 8 सेमी दूर एक बिन्दु $P$ दिया है।
रचना करनी है : बिन्दु $P$ से इस वृत्त की स्पर्श रेबाएँ खींचनी हैं।
रचना के पद :
(i) 4 सेमी त्रिज्या का केन्द्र $O$ का एक वृत्त खींचा।
(ii) $\mathrm{O}$ से 8 सेमी दूर एक बिन्दु $\mathrm{P}$ लिया। $\mathrm{P}$ को $\mathrm{O}$ से मिलाया।
(iii) PO रेखा का लम्ब अर्द्धक जो PO को Q पर काटता है, ज्ञात किया।
(iv) बिन्दु $\mathrm{Q}$ को केन्द्र तथा $\mathrm{QP}=\mathrm{QO}$ त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो दिये हुए वृत्त को $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ पर काटता है।
(v) बिन्दुओं $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ को $\mathrm{P}$ बिन्दु से मिलाया।
(vi) इस प्रकार PA तथा PB दिये वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
(vii) नापने पर $P A=P B=6.9$ सेमी।
प्रश्न 3.
एक 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर उसमें 4 सेमी दूरी पर कोई एक बिन्दु $P$ लीजिए तथा उससे वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म खींचिए।
हल :
दिया है : $O$ केन्द्र का वृत्त जिसकी त्रिज्या 2 सेमी है तथा $O P=4$ सेमी दूरी पर बाहरी बिन्दु $P$ दिया है।
रचना करनी है : बिन्दु $\mathrm{P}$ से $\mathrm{PQ}$ तथा $\mathrm{PR}$ स्पर्श रेखायुग्म खींचना है। रचना के पद :
(i) $O P=4$ सेमी खींची।
(ii) केन्द्र $\mathrm{O}$ से 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचा।
(iii) $P O$ रेखा का लम्ब अर्द्धक जो PO को S पर काटता है, खींचा।
(iv) बिन्दु $\mathrm{S}$ को केन्द्र तथा $\mathrm{SP}=\mathrm{SO}$ त्रिज्या लेकर वृत्त खींचा जो दिये वृत्त को $\mathrm{Q}$ तथा $\mathrm{R}$ काटता है।
(v) $P Q$ तथा $P R$ को मिलाया।
(vi) $P Q$ तथा $P R$ अभीष्ट स्पर्श रेखायुग्म है। यही रचना करनी है।
प्रश्न 4.
5 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर $60^{\circ}$ के कोण पर क्रुकी हों।
हल :
रचना के पद
(i) केन्द्र 0 और त्रिज्या $=5$ सेमी से दिये गये वृत्त की रचना करो।
(ii) $\angle \mathrm{AOB}=120^{\circ}$ बनाओ।
(iii) बिन्दु $\mathrm{A}$ से $\mathrm{OA}$ पर एक लम्ब खींचो।
(iv) $\mathrm{B}$ से एक लम्ब $\mathrm{OB}$ पर खींचो।
(v) दोनों लम्ब एक दूसरे को बिन्दु $\mathrm{C}$ पर प्रतिच्छेद' करते हैं।
इस प्रकार $\mathrm{CA}$ तथा $\mathrm{CB}$ वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेबाएँ हैं, जो परस्पर $60^{\circ}$ पर झुकी हुई हैं।
सत्यापन' : चतुर्भुज $\mathrm{OACB}$ में, कोण-योग-गुण से
$120^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle \text { ACB }=360^{\circ}$
$\begin{aligned} 300^{\circ}+\angle \mathrm{ACB} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{ACB} &=360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 5.
4 सेमी त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी त्रिज्या के एक सकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हल :
रचना के पद
(i) 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त एक ही केन्द्र $\mathrm{O}$ से खींचो।
(ii) बड़े वृत्त पर एक बिन्दु $\mathrm{P}$ अंकित करो।
(iii) $\mathrm{O}$ और $\mathrm{P}$ को मिलाओ।
(iv) OP का लम्ब समद्विभाजक $M$ ज्ञात करो।
(v) $\mathrm{M}$ को केन्द्र और $\mathrm{OM}$ या $\mathrm{PM}$ के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो छोटे वृंत्त को $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ पर काटे।
(vi) A और P को मिलाइए।
इस प्रकार PA अभीष्ट स्पर्श रेखा है। मापने पर, PA $=4.5$ सेमी
गणना : समकोण' $\triangle$ OAP में,
दिया है : $O A=4$ सेमी तथा $O P=6$ सेमी
$\begin{aligned}\mathrm{AP}^{2} &=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OA}^{2} \\&=(6)^{2}-(4)^{2}=36-16 \\\mathrm{AP}^{2} &=20\end{aligned}$
$\mathrm{AP}=\sqrt{20}=4.47$ सेमी या $4.5$ सेमी।
सत्यापन : $O$ और $A$ को मिलाओ।
$\angle \mathrm{PAO}=90^{\circ}$ [अर्द्धवृत्त में बना कोण]
$\mathrm{PA} \perp \mathrm{OA}$ $\because \mathrm{OA}$, छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
$\therefore$ छोटे वृत्त पर $P A$ एक स्पर्श रेखा है।
प्रश्न 6.
3 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी की दूरी पर स्थित दो बिन्दु $P$ और $Q$ लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हल :
रचना के पद
(i) केन्द्र 0 और त्रिज्या 3 सेमी का एक वृत्त खींचो।
(ii) दिए गए वृत्त के व्यास को बढ़ाकर, इस पर दो बिन्दु $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ इस प्रकार अंकित कीजिए कि : $\mathrm{OP}=\mathrm{OQ}=7$ सेमी $.$
(iii) OP और OQ को सम्मद्विभाजित किया जिसके मध्य बिन्दु क्रमशः $\mathrm{M}_{1}$ और $\mathrm{M}_{2}$ प्राप्त किये।
(iv) $M_{1}$ को केन्द्र व $M_{1} P$ को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचो जो वृत्त को $A$ और $B$ पर काटे।
(v) PA और PB को मिलाओ। PA और PB अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ है।
(vi) अब $\mathrm{OQ}$ के मध्य बिन्दु $\mathrm{M}_{2}$ और $\mathrm{M}_{2} \mathrm{O}$ के समान त्रिज्या लेकर वृत्त खींचो जो दिए गए वृत्त को $\mathrm{C}$ और D पर काटे।
(vii) $O C$ और $O D$ को मिलाओ। इस प्रकार $C Q$ और $Q D$ अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापन : $O A$ को मिलाओ।
$\begin{aligned}\angle O A P &=90^{\circ} \\P A & \perp O A\end{aligned}$
PA एक स्पर्श रेखा है। इस प्रकार, PB $\perp \mathrm{OB} \Rightarrow \mathrm{PB}$ एक स्पर्श रेखा है। अब, OC को मिलाने पर,
$\angle O C Q=90^{\circ}$
$Q C \perp O C \Rightarrow Q C$ एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, $\mathrm{QD} \perp \mathrm{OC} \Rightarrow \mathrm{QD}$ एक स्पर्श रेखा है।
प्रश्न 7.
8सेमी लम्बा एक रेखाखंड $A B$ खींचिए। $A$ को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त तथा $B$ को केन्द्र लेकर 3 सेमी त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
रचना के चरण :
(i) एक रेखाखण्ड $\mathrm{AB}=8$ सेमी खींचिए।
(ii) $\mathrm{A}$ को केन्द्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए।
(iii) $\mathrm{B}$ को केन्द्र मानकर 3 सेमी त्रिज्या का दूसरा वृत्त खींचिए।
(iv) $\mathrm{AB}$ का लम्ब समाद्वभाजक खींचेए जो $\mathrm{AB}$ का मध्य बिन्दु $\mathrm{M}$ है।
(v) केन्द्र $\mathrm{M}$ और त्रिज्या $\mathrm{MA}$ या $\mathrm{MB}$ लेकर एक वृत्त खींचो जो केन्द्र $\mathrm{A}$ वाले वृत्त को $\mathrm{P}$ और $\mathrm{Q}$ पर काटे तथा केन्द्र $\mathrm{B}$ वाले वृत्त को $\mathrm{R}$ और $\mathrm{S}$ पर काटे।
(vi) $\mathrm{BP}$ और $\mathrm{BQ}^{\circ}$ को मिलाओ।
इस प्रकार, $\mathrm{BP}$ तथा $\mathrm{BQ}$ केन्द्र $\mathrm{A}$ वाले वृत्त पर $\mathrm{B}$ से अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
(vii) अब, RA और SA को मिलाओ।
इस प्रकार, केन्द्र $\mathrm{B}$ वाले वृत्त पर $\mathrm{A}$ से स्पर्श रेखाएँ $\mathrm{RA}$ तथा $\mathrm{SA}$ हैं।
सत्यापन : $\mathrm{A}$ और $\mathrm{P}$ को मिलाने पर,
$\angle A P B=90^{\circ}$
$\mathrm{BP} \perp \mathrm{AP}$
परन्तु $\mathrm{AP}$, केन्द्र $\mathrm{A}$ वाले वृत्त की त्रिज्या है।
$\Rightarrow$ केन्द्र A वाले वृत्त पर AP एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, $\mathrm{BQ}$ भी केन्द्र $\mathrm{A}$ वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है। केन्द्र $\mathrm{B}$ वाले वृत्त पर भी उक्त प्रकार से $\mathrm{AR}$ और AS स्पर्श रेखाएँ हैं।
प्रश्न 8.
माना $\mathrm{ABC}$ एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें $\mathrm{AB}=6$ सेमी, $\mathrm{BC}=8$ सेमी तथा $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$ है। $\mathrm{B}$ से $\mathrm{AC}$ पर $\mathrm{BD}$ लम्ब है। बिन्दुओं $\mathrm{B}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। $\mathrm{A}$ से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद-
(i) $\mathrm{AB}=6$ सेमी, $\mathrm{BC}=8$ सेमी तथा $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$ की मापों से $\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना करो।
(ii) $\mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$ खींचो।
(iii) $\mathrm{BC}$ को समद्विभाजित करके बिन्दु $\mathrm{O}$ प्राप्त करें तथा $\mathrm{O}$ को केन्द्र मानकर $\mathrm{OB}$ के बराबर त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा, जो $\mathrm{B}, \mathrm{C}$ तथा $\mathrm{D}$ से होकर जाता है।
(iv) $\mathrm{AO}$ को मिलाओ।
(v) $\mathrm{AO}$ को $\mathrm{M}$ पर समद्धिभाजित करो।
(vi) केन्द्र $\mathrm{M}$ और त्रिज्या $\mathrm{MA}$ लेकर एक वृत्त खींचो जो दिये गये वृत्त को $\mathrm{B}$ और $\mathrm{E}$ पर काटता है।
(vii) $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AE}$ को मिलाओ।
इस प्रकार बिन्दु $\mathrm{A}$ से दिए गये वृत्त पर $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AE}$ स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापन : $\mathrm{OE}$ को मिलाने पर,
$\angle \mathrm{AEO}=90^{\circ}$[ अर्द्धवृत्त में बना कोण]
$\mathrm{AE} \perp \mathrm{OE}$
परन्तु $O E$, दिए गये वृत्त की एक त्रिज्या है।
$\Rightarrow \mathrm{AE}$ वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, $\mathrm{AB}$ भी दिए गए वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
प्रश्न 9.
त्रिज्या $3.0$ सेमी लेकर एक वृत्त खींचिए। इस वृत्त के केन्द्र से $6.0$ सेमी दूरी पर स्थित किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर एक स्पर्शी की रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद :
(i) $O P=6$ सेमी. खींचिए।
(ii) बिन्दु $\mathrm{O}$ को केन्द्र तथा $3.0$ सेमी. त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा।
(ii) $O P$ का लम्ब अर्द्धक ज्ञात किया जो $O P$ को $R$ पर काटता है।
(iv) बिन्दु $\mathrm{R}$ को केन्द्र $\mathrm{RO}=\mathrm{RP}$ त्रिज्या लेकर एक अर्द्धवृत्त खींचा जो दिये वृत्त को बिन्दु $\mathrm{Q}$ पर काटता है।
(v) बिन्दु $Q P$ को मिलाया।
(vi) $\mathrm{QP}$ अभीष्ट वृत्त पर एक स्पर्शी है।
प्रश्न 10.
3 सेमी और 5 सेमी त्रिज्या वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए । बाह्य वृत्त पर एक बिन्दु लेकर दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए तथा वास्तविक गणना द्वारा इसे सत्यापित कीजिए।
हल :
दिया है : $O$ केन्द्र वाले तथा त्रिज्याओं 3 सेमी और 5 सेमी वाले दो वृत्त हैं। बाह्य वृत्त पर एक बिंदु लेकर दूसरे वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
रचना के पद :
(i) O केन्द्र वाले दो संकेंद्रीय वृत्त खींचिए जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 3 सेमी तथा 5 सेमी हैं।
(ii) बाह्य वृत्त पर बिंदु $\mathrm{P}$ लिया। $\mathrm{OP}$ को मिलाया।
(iii) OP का लम्ब समद्विभाजक किया। माना M', OP का मध्य-बिंदु है। M' को केन्द्र तथा OM' को त्रिज्या लेकर बिंदुदार वृत्त खींचा, जोकि अंतः वृत्त को $M$ और $P^{\prime}$ पर प्रतिच्छेद करता है।
(iv) PM और PP' को मिलाया। इस प्रकार, PM तथा PP' अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
(v) $P M$ और $P P^{\prime}$ को मापने पर, हम पाते हैं कि $P M=P P^{\prime}=4$ सेमी है।
वास्तविक गणना : समकोण $\triangle \mathrm{OMP}$ में,
$\begin{aligned}\angle \mathrm{PMO} &=90^{\circ} \\\mathrm{PM}^{2} &=\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OM}^{2} \\&=(5)^{2}-(3)^{2} \\&=25-9=16 \end{aligned}$
PM=4सेमी
अतः दोनों स्पर्शियों की लम्बाई 4 सेमी हैं।
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