प्रश्नावली 11 (B)
प्रश्न 1.
एक त्रिभुंज ABC बनाइए जिसमें BC=7 सेमी, $\angle \mathrm{B}=45^{\circ}, \angle \mathrm{A}=105^{\circ}$ हो। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं की $\frac{4}{3}$ गुनी हों।
हल :
रचना के पद-
(i) एक $\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना इस प्रकार करो कि $\mathrm{BC}=7$ सेमी, $\angle \mathrm{B}=45^{\circ}$ और $\angle \mathrm{A}=105^{\circ}$ हो।
(ii) एक किरण $\mathrm{BX}$ इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(iii) $B X$ पर चार बिन्दु $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ और $X_{4}$ इस प्रकार अंकित करो कि : $B X_{1}=X_{1} X_{2}=X_{2} X_{3}=X_{3} X_{4}$.
(iv) $\mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$ को मिलाया।
(v) $\mathrm{X}_{4}$ से, $\mathrm{X}_{4} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$ खींचिए जोकि $\mathrm{BC}$ को आगे बढ़ाने पर $\mathrm{C}^{\prime}$ पर मिलती है।
(vi) $\mathrm{C}^{\prime}$ से, $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{AC}$ खींचिए जोकि $\mathrm{BA}$ को आगे बढ़ाने पर $\mathrm{A}^{\prime}$ पर मिलती है। इस प्रकार $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
सत्यापन' : रचना से, हमें प्राप्त होता है कि :
$C^{\prime} A^{\prime} \| C A$ [AA समरूपता' से]
$\Delta \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$
$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}$.........(1)
पुनः रचना से,
$\begin{gathered}\mathrm{X}_{4} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{3} \mathrm{C} \\\Delta \mathrm{BX}_{4} \mathrm{C}^{\prime} \sim \Delta \mathrm{BX}_{3} \mathrm{C}\end{gathered}$
$\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BX}_{4}}{\mathrm{BX}_{3}}$
$\frac{\mathrm{BX}_{4}}{\mathrm{BX}_{3}}=\frac{4}{3} \Rightarrow \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}$...........(2)
समीकरण (1) और (2) से, हमें प्राप्त है कि :
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{4}{3}$
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ बनाइए जिसमें $\mathrm{BC}=6$ सेमी, $\mathrm{AB}=5$ सेमी और $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ हो। फिर एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{4}$ गुनी हों।
हल : रचना के पद-
(i) एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की रचना इस प्रकार करो कि :
$\mathrm{BC}=6$ सेमी, $\mathrm{AB}=5$ सेमी और $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$.
(ii) एक किरण $\overrightarrow{\mathrm{BX}}$ इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(iii) $\mathrm{BX}$ पर चार बिन्दु $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \mathrm{X}_{3}$ और $\mathrm{X}_{4}$ इस प्रकार अंकित करो कि $\mathrm{BX}_{1}=\mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{2}=\mathrm{X}_{2} \mathrm{X}_{3}=\mathrm{X}_{3} \mathrm{X}_{4}$.
(iv) $\mathrm{X}_{4} \mathrm{C}$ को मिलाओ।
(v) $\mathrm{X}_{3} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{4} \mathrm{C}$ खींचो जो कि $\mathrm{BC}$ को $\mathrm{C}$ पर काटे।
(vi) एक अन्य रेखा $\mathrm{C}^{\prime}$ से $\mathrm{CA}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BC}$ को $\mathrm{A}^{\prime}$ पर काटे।
इस प्रकार $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
सत्या'पन' : रचना से हमें प्राप्त है कि :
$\mathrm{X}_{4} \mathrm{C} \| \mathrm{X}_{3} \mathrm{C}^{\prime}$ [BPT प्रमेय से]
$\mathrm{C} \cdot \frac{\mathrm{B} \mathrm{X}_{3}}{\mathrm{BX}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}$ परन्तु $\frac{\mathrm{BX}_{3}}{\mathrm{~B} \mathrm{X}_{4}}=\frac{3}{4}$ (रचना से)
$\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}$........(1)
अब, हमें प्राप्त है कि :
$\mathrm{CA} \| \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$ [ रचना से]
$\Delta \mathrm{BC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \sim \Delta \mathrm{BCA}$[AA सम'रूपता से]
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{4}$ [(1) से]
प्रश्न 3.
4 सेमी., 5 सेमी और 6 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर इसके समरूप एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{2}{3}$ गुनी हों।
हल :
रचना के पद-
(i) एक $\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना इस प्रकार करो कि $\mathrm{BC}=6$ सेमी, $\mathrm{AC}=5$ सेमी और $\mathrm{AB}=4$ सेमी है।
(ii) एक किरण $\mathrm{BX}$ इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(iii) $\mathrm{BX}$ पर तीन बिन्दु $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}$ और $\mathrm{X}_{3}$ इस प्रकार अंकित करो कि
$B X_{1}=X_{1} X_{2}=X_{2} X_{3}$
(iv) $\mathrm{X}_{3}$ और $\mathrm{C}$ को मिलाओ।
(v) $\mathrm{X}_{2}$ से एक रेखा $\mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BC}$ को $\mathrm{C}^{\prime}$ पर काटे।
(vi) $\mathrm{C}^{\prime}$ से एक रेखा $\mathrm{CA}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BA}$ को $\mathrm{A}^{\prime}$ पर काटे।
इस प्रकार अभीष्ट त्रिभुज $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ है।
सत्यापन' : रचना से हमें प्राप्त होता है कि :
$\begin{aligned} X_{3} C \| X_{2} C & \Rightarrow \frac{B X_{2}}{X_{2} X_{3}}=\frac{B C^{\prime}}{C^{\prime} C} \\ \frac{B X_{2}}{X_{2} X_{3}} &=\frac{1}{2} \Rightarrow \begin{array}{ll}B C^{\prime} & =\frac{B}{2} \\ C^{\prime} C & 1\end{array} \\ \frac{C^{\prime} C}{B C^{\prime}} &=\frac{1}{2} \end{aligned}$
दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर,
$\begin{aligned} \frac{C^{\prime} C}{B C^{\prime}}+1 &=\frac{1}{2}+1 \\ \frac{C^{\prime} C+B C^{\prime}}{B C^{\prime}} &=\frac{1+2}{2} \Rightarrow \frac{B C}{B C^{\prime}}=\frac{3}{2} \end{aligned}$
अब $\Delta \mathrm{BC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$ और $\Delta \mathrm{BCA}$ में,
$\mathrm{CA} \| \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}$
AA समरूपता से,
$\triangle \mathrm{BC}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \sim \triangle \mathrm{BCA}$
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}} \quad\left[\right.$ प्रत्येक $=\frac{2}{3}$ ]
प्रश्न 4.
आधार 8 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी के एक समद्विबहु त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ इस समद्विबहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की $1 \frac{1}{2}$ गुनी हों।
हल :
रचना के पद-
(i) $\mathrm{BC}=8$ सेमी खींचो।
(ii) $\mathrm{BC}$ का लम्ब समद्विभाजक खींचो जो $\mathrm{BC}$ को $\mathrm{D}$ पर काटे।
(iii) दिए गए लम्ब पर एक बिन्दु $A$ इस प्रकार अंकित करो कि $D A=4$ सेमी।
(iv) $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ को मिलाओ ।
इस प्रकार $\triangle \mathrm{ABC}$ वांधित समद्विबाहु $\triangle$ है।
(v) अब, एक किरण $\mathrm{BX}$ इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(vi) $\mathrm{BX}$ पर तीन बिन्दु $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{X}_{2}, \mathrm{X}_{3}$ इस प्रकार अंकित करो कि :
$\mathrm{BX}_{1}=\mathrm{X}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{X}_{2} \mathrm{X}_{3}$
(vii) $\mathrm{X}_{2}$ और $\mathrm{C}$ को मिलाओ।
(viii) $\mathrm{X}_{3}$ से एक रेखा $\mathrm{X}_{2} \mathrm{C}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BC}$ (बढ़ाने पर) को $\mathrm{C}^{\prime}$ पर काटे।
(ix) $\mathrm{C}^{\prime}$ से एक रेखा $\mathrm{CA}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BA}$ (बढ़ाने पर) को $\mathrm{A}^{\prime}$ पर काटे। इस प्रकार $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
सत्यापन : हमें प्राप्त है कि :
C'A'||CA (रचना से)
$\therefore \quad \mathrm{AA}$ सम रूपता से, $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}$
$\mathrm{X}_{3} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{2} \mathrm{C}$[रचना से]
$\begin{aligned} \Delta \mathrm{BX}_{3} \mathrm{C}^{\prime} & \sim \Delta \mathrm{B} \mathrm{X}_{2} \mathrm{C} \\ \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}} &=\frac{\mathrm{BX}_{3}}{\mathrm{BX}_{2}} \\ \frac{\mathrm{BX}_{3}}{\mathrm{BX}_{2}} &=\frac{3}{2} \\ \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}} &=\frac{3}{2} \end{aligned}$
इस प्रकार,
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{2}$
प्रश्न 5.
5 सेमी., 6 सेमी. और 7 सेमी. भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{7}{5}$ गुनी हों।
हल :
रचना के पद-
(1) एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ की रचना इस प्रकार कीजिए जिसमें $\mathrm{AB}=5$ सेमी, $\mathrm{BC}=7$ सेमी और $\mathrm{AC}=6$ सेमी. है।
(ii) एक किरण $\mathrm{BX}$ इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(iii) $\mathrm{BX}$ पर 7 बिन्दु $\mathrm{X}_{1}, \mathrm{x}_{2}, \mathrm{X}_{3}, \mathrm{X}_{4}, \ldots \ldots \ldots \mathrm{X}_{7}$ इस प्रकार अंकित करो कि $\mathrm{BX}_{1}=\mathrm{X}_{1} \mathrm{X}_{2}=\mathrm{x}_{2} \mathrm{X}_{3}=\mathrm{X}_{3} \mathrm{X}_{4}$ $=x_{4} x_{5}=x_{5} x_{6}=x_{6} x_{7}$
(iv) $\mathrm{X}_{5}$ और $\mathrm{C}$ को मिलाओ।
(v) बिन्दु $\mathrm{X}_{7}$ से $\mathrm{X}_{5} \mathrm{C} \| \mathrm{X}_{7} \mathrm{C}^{\prime}$ खींचो जो $\mathrm{BC}$ (बढ़ाने पर) को $\mathrm{C}^{\prime}$ पर काटे।
(vi) $\mathrm{C}^{\prime}$ से $\mathrm{CA}$ के समान्तर एक रेखा खींचो जो $\mathrm{BA}$ (बढ़ाने पर) को $\mathrm{A}^{\prime}$ पर काटे।
इस प्रकार $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
सत्यापन' : रचना से, हमें प्राप्त होता है कि :
$\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \| \mathrm{CA}$
$\mathrm{AA}^{\prime}$ 'समरूता' से हमें प्राप्त होता है :
$\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}} \text { तथा }\mathrm{X}_{7} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{5} \mathrm{C}$
[रचना द्वारा]
$\begin{aligned} \frac{\mathrm{BX}_{5}}{\mathrm{BX}_{7}} &=\frac{5}{7} \\ \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{BC}^{\prime}} &=\frac{5}{7} \text { या } \frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{7}{5} \\ \frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}} &=\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{7}{5} . \end{aligned}$
प्रश्न 6.
एक समकोण' त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ (कर्ण के अतिरिक्त) 4 सेमी. तथा 3 सेमी. लम्बाई की हों। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए हुए त्रिभुज की संगत भुजाओं की $\frac{5}{3}$ गुनी हों।
हल :
रचना के पद
(i) एक $\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना इस प्रकार करो कि $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{BC}=4$ सेमी और $\mathrm{BA}=3$ सेमी हो।
(ii) एक किरण BX इस प्रकार खींचो कि $\angle \mathrm{CBX}$ एक न्यून कोण हो।
(iii) $B X$ पर पाँच बिन्दु $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ और $X_{5}$. इस प्रकार खींचो कि :
$\text { BX }_{1} \quad \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{X}_{2}\mathrm{X}_{3}=\mathrm{X}_{3} \mathrm{x}_{4}=\mathrm{X}_{4} \mathrm{X}_{5}$
(iv) $\mathrm{X}_{3}$ और $\mathrm{C}$ को मिलाओ।
(v) $\mathrm{X}_{5}$ से $\mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$ के समान्तर एक रेखा खींचो जो $\mathrm{BC}$ को बढ़ाने पर $\mathrm{C}^{\prime}$ पर काटे।
(vi) एक अन्य रेखा $\mathrm{C}^{\prime}$ से $\mathrm{CA}$ के समान्तर खींचो जो $\mathrm{BA}$ को बढ़ाने पर $\mathrm{A}^{\prime}$ पर मिले। इस प्रकार $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
सत्यापन : रचना से, हमें प्राप्त है कि ;
$\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \| \mathrm{CA}$
$\triangle \mathrm{ABC} \sim \Delta \mathrm{A} \mathrm{BC}^{\prime}$
$\frac{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{A}^{\prime}\mathrm{C}^{\prime}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}$[AA समरूपता से]...(1)
$\mathrm{X}_{5} \mathrm{C}^{\prime} \| \mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$[रचना से]
$\Delta \mathrm{BX}_{5} \mathrm{C}^{\prime} \sim \Delta \mathrm{B} \mathrm{X}_{3} \mathrm{C}$
$\frac{\mathrm{BC}^{\prime}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BX}_{5}}{\mathrm{BX}_{3}}$
$\frac{\mathrm{BX}_{5}}{\mathrm{BX}_{3}}=\frac{5}{3}$
समीकरण (1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है :
$\frac{A'B}{AB}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{BC'}{BC}=\frac{5}{3}$
प्रश्न 7.
एक $\triangle \mathrm{ABC}$ खींचिए जिसमें $\mathrm{AB}=5$ सेमी, $\mathrm{BC}=6$ सेमी और $\angle \mathrm{ABC}=60^{\circ}$ है। $\triangle \mathrm{ABC}$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{5}{7}$ हो।
हल :
रचना के पद :
(i) $\mathrm{AB}=5$ सेमी का रेखाखण्ड खींचा।
(ii) बिन्दु $B$ से, $\angle A B Y=60^{\circ}$ खींचा, जिस पर $B C=6$ सेमी लिया।
(iii) $\mathrm{AC}$ को मिलाया। अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
(iv) बिन्दु $A$ से, नीचे की ओर न्यूनकोण बनाते हुए किरण $A X$ खींची।
(v) $\mathrm{AX}$ पर सात बिन्दुओं $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}, \mathrm{~B}_{3}, \mathrm{~B}_{4}, \mathrm{~B}_{5}, \mathrm{~B}_{6}$ और $\mathrm{B}_{7}$ को इस प्रकार दर्शाएँ कि $\mathrm{AB}_{1}=\mathrm{B}_{1} \mathrm{~B}_{2}=\mathrm{B}_{2} \mathrm{~B}_{3}=\mathrm{B}_{3} \mathrm{~B}_{4}=\mathrm{B}_{4} \mathrm{~B}_{5}=\mathrm{B}_{5} \mathrm{~B}_{6}=\mathrm{B}_{6} \mathrm{~B}_{7}$
(vi) $\mathrm{B}_{7} \mathrm{~B}$ को मिलाया और $\mathrm{B}_{5}$ से, $\mathrm{B}_{5} \mathrm{M} \| \mathrm{B}_{7} \mathrm{~B}$, खींची। जोकि $\mathrm{AB}$ को बिन्दु $\mathrm{M}$ पर प्रतिच्छेद करती है।
(vii) बिंदु $\mathrm{M}$ से, $\mathrm{MN} \| \mathrm{BC}$ खींची जोकि $\mathrm{AC}$ को बिंदु $\mathrm{N}$ पर प्रतिच्छेद' करती है। तब $\triangle \mathrm{AMN}$ अभीष्ट त्रिभुज है, जो $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं का $\frac{5}{7}$ वाँ भाग है।
प्रश्न 8.
एक $\triangle \mathrm{ABC}$ की रचना कीजिए, जिसमें $\mathrm{AB}=4$ सेमी, $\mathrm{BC}=6$ सेमी और $\mathrm{AC}=9$ सेमी है। $\triangle \mathrm{ABC}$ के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए जिसका स्केल गुणक $\frac{3}{2}$ है।
हल :
रचना के पद :
1. $\mathrm{BC}=6$ सेमी का रेखाखण्ड खींचा।
2. $\mathrm{B}$ और $\mathrm{C}$ को केंद्र मानकर 4 सेमी और 9 सेमी त्रिज्या के चाप खींचे जो एक-दूसरे को बिन्दु $\mathrm{A}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. $\mathrm{BA}$ और $\mathrm{CA}$ को मिलाया"। अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ अभीष्ट त्रिभुज है।
4. बिंदु $\mathrm{B}$ से न्यून कोण बनाती हुई एक किरण $\mathrm{BX}$ खींची।
5. $\mathrm{BX}$ पर तीन बिंदु $\mathrm{B}_{1}, \mathrm{~B}_{2}$ और $\mathrm{B}_{3}$ इस प्रकार खींचे कि
$B B_{1}=B_{1} B_{2}=B_{2} B_{3}$
6. $\mathrm{B}_{2} \mathrm{C}$ को मिलाया और $\mathrm{B}_{3}$ से, $\mathrm{B}_{3} \mathrm{M} \| \cdot \mathrm{B}_{2} \mathrm{C}$ खींची जो रेखाखण्ड $\mathrm{BC}$ को बढ़ाने पर $\mathrm{M}$ पर प्रतिच्छेद" करती है।
7. बिंदु $M$ से, $M N \| C A$ खींची जो रेंबाखण्ड' $B A$ को आगे बढ़ाने पर बिंदु $N$ पर प्रतिच्छेद करती है। तब $\triangle \mathrm{NBM}$ अभीष्ट त्रिभुज है, जिसकी भुजाएँ दिए गए $\triangle \mathrm{ABC}$ की संगत भुजाओं की $\frac{3}{2}$ गुनी है।
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