प्रश्नावली 9 (C)
प्रश्न 1.
यदि किसी समचतुर्भुज के विकर्ण क्रमश: 12 सेमी और 16 सेमी हों, तो उसका क्षेत्रफल तथा भुजा ज्ञात कीजिए।
हल :
ABCD समचतुर्भुज है जिसमें विकर्ण
BD=12 सेमी
AC=16 सेमी
समचतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times A C \times B D$
$=\frac{1}{2} \times 16 \times 12$
$=8 \times 12$
=96 वर्ग सेमी ।
∵AC⟂BD
AO=OC$=\frac{A C}{2}$
$=\frac{16}{2}$=8 सेमी
DO=OB$=\frac{B D}{2}$
$=\frac{12}{2}$=6 सेमी
∠DOC=90°
तब ΔDOC में,
$\begin{aligned}D C^{2} &=D O^{2}+O C^{2} \\&=(6)^{2}+(8)^{2} \\&=36+64=100 \end{aligned}$
DC=10 सेमी
अत: अभीष्ट क्षेत्रफल $=96$ वर्ग सेमी तथा भुजा =10 सेमी ।
प्रश्न 2.
किसी समलय्ब का क्षेत्रफल 78 वर्ग सेमी तथा समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी 6 सेमी है । समान्तर भुजाओं का 'योगफल' ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : समलम्ब का क्षेत्रफल $=78$ वर्ग सेमी
भुजाओं के बीच की दूरी $=6$ सेमी
ज्ञात करना है : समान्तर भुजाओं का योगफल ।
समलम्ब का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ समान्तर भुजाओं का योगफल $\times$ भुजाओं के बीच की दूरी
$78=\frac{1}{2} \times$ समान्तर भुजाओं का योगफल $\times 6$
$78=3 \times$ समान्तर भुजाओं का योगफल
समान्तर भुजाओं का योगफल $=\frac{78}{3}=26$ सेमी ।
प्रश्न 3.
एक समान्तर चतुर्भुज की कोई भुजा 8 सेमी है । यदि उस समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 40 वर्ग सेमी हो, तो ज्ञात भुजा के समान्तर भुजा की दूरी की गणना कीजिए ।
हल :
माना समान्तर चतुर्भुज की एक भुजा $=a=8$ सेमी
क्षेत्रफल $=40$ वर्ग सेमी ।
माना भुजा के समान्तर भुजा की दूरी $=d$ सेमी
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=(a)$ एक भुजा × बीच की दूरी $(h)$
$\begin{aligned}40 &=8 \times h \\h &=\frac{40}{8}\end{aligned}$
=5 सेमी
अतः भुजा के समान्तर भुजा के बीच की दूरी $=5$ सेमी ।
प्रश्न 4.
यदि दो त्रिभुजों के आधार समान हों तथा उनके शीर्ष समान्तर रेखाओं के एक ही युग्म पर स्थित हों तो ठन त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ और $\triangle D B C$ समान आधार BC और समान समान्तर रेखाओं BC और AD के बीच बने हैं ।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल $(\triangle A B C)=$ क्षेत्रफल $(\triangle D B C)$
रचना : बिन्दु $B$ तथा $C$ से क्रमशः $A C$ और $B D$ के समान्तर रेखा $B P$ तथा $C Q$ खींचीं ।. उपपत्ति : BCAP समान्तर चतुर्भुज है ।
BCQD समान्तर चतुर्भुज है ।
$\because$ समान्तर चतुर्भुज $B C A P$ तथा समान्तर चतुर्भुज $B C Q D$ एक ही आधार $B C$ तथा समान समान्तर रेखाओं के युग्म के बीच बने हैं ।
क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज $B C A P)=$ क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज $B C Q D$ ).............(1)
$\because A B$ समान्तर चतुर्भुज $B C A P$ का विकर्ण है ।
क्षेत्रफल $(\triangle A B C)=\frac{1}{2}$ क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज $\left.B C A P\right)$............(2)
इसी प्रकार ,क्षेत्रफल $(\triangle D B C)=\frac{1}{2}$ क्षेत्रफल (समान्तर चतुर्भुज $\left.B C Q D\right)$...(3)
समीकरण' (1), (2) और (3) से,
क्षेत्रफल $(\triangle A B C)=$ क्षेत्रफल $(\triangle D B C)$. यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 5.
दिये चित्र में $4 B C$ की भुजा $A B$ और $A C$ पर क्रमश: $D$ और $E$ बिन्दु इस प्रकार हैं कि क्षेत्रफल $(\triangle B C E)=$ क्षेत्रफल $(\triangle B C D)$ तथा जिसमें $B O D$ तथा $C O E$ के क्षेत्रफल समान हैं। सिद्ध कीजिए कि DE||BC
हल :
दिया है ; $\triangle A B C$ में $D$ तथा $E$ भुजा $A B$ तथा $A C$ में इस प्रकार के बिन्दु हैं कि
क्षेत्रफल $(\triangle B C E+\triangle B O D)=$ क्षेत्रफल $(\triangle B C D+\triangle C O E)$,
सिद्ध करना है : $\quad D E \| B C .$ उपपत्ति : क्षेत्रफल $\triangle B C E=$ केत्रफल $\triangle B C D$.
दोनों ओर $\triangle D O E$ जोड़ने पर
ΔDOE+ΔBCE=ΔDOE+ΔBCD
समलम्ब BCED =समतल BCED
DE||BC
प्रश्न 6.
$\triangle A B C$ की माध्यिकाएँ $G$ बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं । सिद्ध कीजिए कि क्षेत्रफल $(\triangle A G B)=\frac{1}{3}$ क्षेत्रफल $(\triangle A B C)$.
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ की माध्यिकाएँ $A P, B Q$ और $C R$ बिन्दु $G$ पर प्रतिच्छेद कर रही हैं । सिद्ध करना है : $\quad$ क्षेत्रफल $(\triangle A G B)=\frac{1}{3}$ क्षेत्रफल $(\triangle A B C)$.
उपपत्ति : [हम जानते हैं कि त्रिभुज की माध्यिका त्रिभुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभक्त करती है ।] $\because A P, \triangle A B C$ की माध्यिका है ।
$(\triangle A B P)$ का क्षेत्रफल $=(\Delta A P C)$ का क्षेत्रफल...........(1)
और $G P, \triangle B G C$ की माध्यिका है ।
$\therefore$ $(\Delta B G P)$ का क्षेत्रफल $=(\Delta C G P)$ का क्षेत्रफल.............(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
$(\triangle A B P)$ का क्षेत्रफल- $(\triangle B G P)$ का क्षेत्रफल $=(\triangle A P C)$ का क्षेत्रफलं $-(\Delta C G P)$ का क्षेत्रफल $(\triangle A G B)$ का क्षेत्रफल $=(\triangle A G C)$ का क्षेत्रफ़ल...........(3)
इसी प्रकार,
$(\triangle A G C)$ का क्षेत्रफल $=(\triangle B G C)$ का क्षेत्रफल.............(4)
(ΔABC)का क्षेत्रफल
ΔABC का क्षेत्रफल =(ΔAGB का क्षेत्रफल +(ΔBGC का क्षेत्रफल+(ΔAGC का क्षेत्रफल
ΔABC का क्षेत्रफल =3(ΔAGB का क्षेत्रफल )
ΔAGB का क्षेत्रफल $=\frac{1}{3}(\Delta A B C)$ का क्षेत्रफल ।
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 7.
यदि एक चतुर्भुज का प्रत्येंक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल व़ाले दो त्रिभुजों में बाँटता है; तो दिखाओ कि चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है ।
हल :
प्रश्नावली 9 (B) का प्रश्न संख्या 9 का हल देखिए ।
प्रश्न 8.
एक समषट्रभुज $A B C D E F$ में $A D, B E$ और $C F$ का प्रतिच्छेद बिन्दु O है । सिद्ध कीजिए कि :
क्षेत्रफल (ΔAOB)$=\frac{1}{6}$ क्षेप्पल (ष्रभुज) ABCDEF.
हल :
ABCDEF एक समषट्भुज दिया है जिसमें
AB=BC=CD=DE=EF=FA
$A D, B E$ तथा $F C$ का प्रतिच्छेद बिन्दु $O$ है ।
$O A=O B=O C=O D=O E=O F=A B$
$\begin{aligned} \triangle O A B &=\Delta O B C=\triangle O C D=\Delta O D E=\triangle O E F \\ &=\Delta O F A \end{aligned}$.............(1)
समषट्भुज ABCDEF का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल ΔOAB+क्षेत्रफल ΔOBC+ क्षेत्रफल ΔOCD+क्षेत्रफल ΔODE+क्षेत्रफल ΔOEF+क्षेत्रफल ΔOFA
समषट्भुज ABCDEF का क्षेत्रफल = क्षेत्रफल ΔOAB+क्षेत्रफल ΔOAB+क्षेत्रफल ΔOAB+क्षेत्रफल ΔOAB+ क्षेत्रफल ΔOAB+ क्षेत्रफल ΔOAB
=6 क्षेत्रफल ΔOAB
क्षेत्रफल (ΔAOB)$=\frac{1}{6}$ क्षेत्रफल (षट्भुज ABCDEF).
प्रश्न 9.
एक $\square A B C D$ का $B D$ एक विकर्ण है । भुजा $B D$ पर $A M$ तथा $C N$ डाले गये लम्ब हैं । सिद्ध कीजिए कि :
क्षेत्रफल $(\square A B C D)=\frac{1}{2} B D(A M+C N)$.
हल :
दिया है : चतुर्भुज $A B C D$ का $B D$ विकर्ण है । भुजा $B D$ पर $A M$ तथा $C N$ लम्ब डाले गये हैं । सिद्ध करना है : $\quad$ क्षेत्रफल $(\square A B C D)=\frac{1}{2} B D(A M+C N)$.
उपपत्ति :
ΔABD का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आधार ×ऊँचाई
$=\frac{1}{2} \times B D \times A M$............(1)
$\triangle B C D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} B D \times C N$.............(2)
चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=\triangle A B D$ का क्षेत्रफल $+\triangle B C D$ क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} B D \times A M+\frac{1}{2} B D \times C N$ समीकरण (1) तथा (2) से]
$=\frac{1}{2} B D(A M+C N)$
$C D=\frac{1}{2} B D(A M+C N) $ इति सिद्धम्
क्षेत्रफल $\square A B C D=\frac{1}{2} B D(A M+C N) $ इति सिद्धम् ।
प्रश्न 10.
एक त्रिभुज $A B C$ में, $B C$ का मध्य बिन्दु $D$ है और $A D$ का मध्य बिन्दु $E$ है । सिद्ध कीजिए : क्षेत्रफल $(\triangle B E D)=\frac{1}{4}$ क्षेत्रफल $(\triangle A B C)$.
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में भुजा $B C$ का मध्य बिन्दु $D$ और $A D$ का मध्य बिन्दु $E$ है ।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल $(\triangle B E D)=\frac{1}{4}$ क्षेत्रफल $(\triangle A B C)$.
उपपत्ति : $\triangle \dot{A} B C$ की $A D$ माध्यिका है । माध्यिका $\Delta$ को दो बराबर क्षेत्रफल के त्रिभुजों में विभक्त करती है ।
$[\because B C$ का मध्य बिन्दु $D$ है $]$
$\therefore \quad \triangle A B D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \Delta A B C$ का क्षेत्रफल
$\cdots(1)$
$\triangle A B D$ की $B E$ माध्यिका है ।
$[\because A D$ का मध्य बिन्दु $E$ है $]$
$\therefore \triangle B E D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \triangle A B D$ का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2} \times\left(\frac{1}{2} \triangle A B C\right)$ का क्षेत्रफल,
[समीकरण (1) से]
$\triangle B E D$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{4} \triangle A B C$ का क्षेत्रफल । यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 11.
आकृति में, $A B C$ और $A B D$ एक ही आधार $A B$ पर बने दो त्रिभुज हैं। यदि रेखाखंड $C D$ रेखाखंड $A B$ से बिन्दु $O$ पर समद्विभाजित होता है, तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(A B C)=\operatorname{ar}(A B D)$ है।
हल :
चित्र में दिए बिन्दु $C$ से $C M \perp A B$ तथा $D$ बिन्दु से $D N \perp A B$ खींचिए 1 अब $\triangle C M O$ और $\triangle C N O$ में,
$\angle C M O=\angle D N O\left(\right.$ प्रत्येक $\left.90^{\circ}\right)$
$\angle C O M=\angle D O N$ (शीर्षाभिमुख कोण)
OC=OD (क्योंकि O, CD का मध्य बिन्दु है)
तथा ΔCMO⩭ΔCNO (सर्वागसमता के नियम AAS के अनुसार)
CM=DN..........(i) (क्योंकि ये सवींसम' त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
$\operatorname{ar}(\triangle A B C)=\frac{1}{2} \times A B \times C M$ .......(ii)
$\operatorname{ar}(\triangle A D B)=\frac{1}{2} \times A B \times D N$.........(iii)
'समीकरण (i) का मान (iii) में रखने पर
$\operatorname{ar}(\triangle A D B)=\frac{1}{2} \times A B \times C M$.........(iv)
अब समीकरण (ii) व (iv) से $\operatorname{ar}(\Delta A B C)=\operatorname{ar}(\triangle A D B)$
प्रश्न 12.
$D, E$ और $F$ क्रमशः त्रिभुज $A B C$ की भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि
(i) $B D E F$ एक समांतर चतुर्भुज है
(ii) $\operatorname{ar}(D E F)=\frac{1}{4}$ ar $(A B C)$
(iii) $\operatorname{ar}(B D E F)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C)$
हल :
दिया है : $D, E$ तथा $F$ क्रमशः $\triangle A B C$ की भुजाओं $B C, C A$ तथा $A B$ के ·मध्य बिन्दु हैं। सिद्ध करना है : (i) $B D E F$ एक समान्तर चतुर्भुज है
(ii) $\operatorname{ar}(D E F)=\frac{1}{4}$ ar $(A B C)$
(iii) $\operatorname{ar}(B D E F)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C)$.
उपपत्ति : (i) $\triangle A B C$ में,
$E F \| B C$
(मध्य बिन्दु प्रमेय द्वारा, चूँकि $E$ तथा $F$ क्रमशः $A C$ तथा $A B$ के मध्य बिन्दु हैं)
$E F \| B D$ $E D \| A B$......(i)
(मध्य बिन्दु प्रमेय द्वारा, चूँकि $E$ तथा $D$ क्रमश: $A C$ व $B C$ के मध्य बिन्दु हैं।)
$E D \| A F$.......(ii)
$B D E F$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) इसी प्रकार $F D C E$ तथा $A F D E$ भी समान्तर चतुर्भुज हैं।
$\therefore$$\operatorname{ar}(F B D)=\operatorname{ar}(D E F)$
$(\because F D$ समान्तर चतुर्भुज $B D E F$ का विकर्ण है)
$\operatorname{ar}(D E C)=\operatorname{ar}(D E F)$ $\quad(\because E D$ समान्तर चतु
$(\because E D$ समान्तर चतुर्भुज $F D C E$ का विकर्ण है)
$\operatorname{ar}(A F E)=\operatorname{ar}(D E F)$
$(\because F E$ समान्तर चतुर्भुज $A F D E$ का विकर्ण है। )
ar $(F B D)=\operatorname{ar}(D E C)=\operatorname{ar}(A F E)=\operatorname{ar}(D E F)$
$\operatorname{ar}(D E F)=\frac{1}{4} \operatorname{ar}(A B C)$.
(iii) तथा
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(B D E F) &=2 \times \operatorname{ar}(D E F) \\&=2 \times \frac{1}{4} \operatorname{ar}(A B C) \\&=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C)\end{aligned}$
प्रश्न 13.
आकृति में, चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैंकि $O B=O D$ है। यदि $A B=C D$ है, तो दर्शाइए कि
(i) $\operatorname{ar}(D O C)=\operatorname{ar}(A O B)$
(ii) $\operatorname{ar}(D C B)=\operatorname{ar}(A C B)$
(iii) $D A \| C B$ या $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है। [संकेत : $D$ और $B$ से $A C$ पर लम्ब खींचिए
हल :
(i) दिए गए चित्र में बिन्दु $B$ से लम्ब $B M \perp A C$ तथा बिन्दु $D$ से लम्ब $D N \perp A C$
खीचिए।
अब $\triangle D O N$ और $\triangle B O M$ में
OD=OB (प्रश्नानुसार)
∠DNO=∠BMO (प्रत्येक 90°)
∠DNO=∠BMO (प्रत्येक 90°)
∠DON=∠BOM (शीर्षाभिमुख कोण)
ΔDON⩭ΔBOM (सवीगसमता के नियम AAS के अनुसार)
DN=BM (क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
ar(ΔDON)=arΔBOM........(i)
अब ΔDCN और ΔABM में,
∠DNC=∠BMA (क्योंकि प्रत्येक कोण 90°)
CD=AB (प्रश्नानुसार)
DN=BM (सिद्ध कर चुके हैं)
ΔDCN⩭ΔBAM (सर्वांगसमता के नियम RHS के अनुसार)
$\operatorname{ar}(\Delta D C N)=\operatorname{ar}(\Delta B A M)$.............(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर
(ΔDON)+(ΔDCN)=(ΔB OM)+(ΔBAM)
ar(ΔDOC)=ar(ΔAOB).....(iii)
(ii) समीकरण (iii) के अनुसार
ar(ΔDOC)=(ΔAOB)
दोनों पक्षों में ar(ΔBOC) जोड़ने पर
ar(ΔDOC)+ar(ΔBOC)=ar(ΔAOB)+ar(ΔBOC)
या ar(ΔDCB)=ar(ΔACB)...(iv)
(iii) समीकरण (iv) के अनुसार
(ΔDCB)=(ΔA CB)
अर्थात् इन दोनों त्रिभुजों का आधार एक ही CB है तथा दोनों एक ही समान्तर रेखाओं CB तथा DA के बीच स्थित हैं। अत : DA||CB
अब AB=CD तथा DA||CB
अत: ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 14.
XY त्रिभुज $A B C$ की भुजा $B C$ के समान्तर एक रेखा है। यदि $B E \| A C$ और $C F \| A B$ रेखा $X Y$ से क्रमशः $E$ और $F$ पर मिलती हैं, तो दर्शाइए कि-
$\operatorname{ar}(A B E)=\operatorname{ar}(A C F)$
हल :
चित्रानुसार क्योंकि $\triangle A B E$ तथा समान्तर चतुर्भुज $B C Y E$ एक ही आधार $B E$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं BE तथा AC के बीच स्थित हैं।
अतः arΔABE=$\frac{1}{2}$ar(समान्तर चतुर्भुज BCYE)....(i)
इसी प्रकार $\triangle A C F$ और समान्तर चतुर्भुज $B C F X$ एक ही आधार $C F$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $B X$ और $C F$ के बीच स्थित हैं।
अतः arΔACF$=\frac{1}{2}$ (arसमान्तर चतुर्भुज BCFX)...............(ii)
लेकिन समान्तर चतुर्भुज BCYE और समान्तर चतुर्भुज BCFX एक ही आधार BC और एक ही समान्तर रेखाओं BC और EF के बीच स्थित हैं।
अतः ar(समान्तर चतुर्भुज BCYE)=ar(समान्तर चतुर्भुज) (BCFX)...(iii)
समीकरण (i), (ii) व (iii) से arΔABC=ar(ΔACF).
प्रश्न 15.
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ की एक भुजा AB को एक बिन्दु $P$ तक बढ़ाया गया है। A से होकर $C P$ के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई CB को Q पर मिलती है और फिर समान्तर चतुर्भुज $P B Q R$ को पूरा किया गया है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि ar $(A B C D)=\operatorname{ar}(P B Q R)$ है।
[संकेत : $A C$ और $P Q$ को मिलाइए। अब ar $(A C Q)$ और $\operatorname{ar}(A P Q)$ की तुलना कीजिए।]
हल : प्रश्नानुसार दिया गया है कि $A B C D$ और $P B Q R$ समान्तर चतुर्भुज हैं तथा $C P \| A Q$ । अब क्योंकि $\triangle A C Q$. और $\triangle A P Q$ एक ही आधार $A Q$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A Q$ और $C P$ के बीच स्थित हैं। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A C Q)=\operatorname{ar}(\Delta A P Q)$
दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle A B Q)$ घटाने पर
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(\Delta A C Q)-\operatorname{ar}(\Delta A B Q) &=\operatorname{ar}(\Delta A PQ)-\operatorname{ar}(\Delta A B Q) \\\operatorname{ar}(\Delta A C B) &=\operatorname{ar}(\Delta P B Q)\end{aligned}$
$\frac{1}{2}$ ar (समान्तर चतुर्भुज $\left.A B C D\right)=\frac{1}{2}$ ar (समान्तर चतुर्भुज $\left.P B Q R\right)$
क्योंकि हम जानते हैं कि विकर्ण चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में विभाजित कंरता है। अर्थात्
त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times$ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल
अर्थात् $\quad \mathrm{ar}$ (समान्तर चतुर्भुज $A B C D)=\operatorname{ar}$ (समान्तर चतुर्भुज $P B Q R)$. इति सिद्धम।'
प्रश्न 16.
एक समलम्ब $A B C D$, जिसमें $A B \| D C$ है, के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(A O D)=\operatorname{ar}(B O C)$ है।
हल :
प्रश्नानुसार एवं चित्रानुसार अव्लोकन करने पर हम देखते हैं कि $\triangle A B D$ और $\triangle A B C$ एक ही आधार $A B$ और एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ तथा $D C$ के बीच स्थित हैं।
अत:$\operatorname{ar}(\Delta A B D)=\operatorname{ar}(\Delta A B C)$
उपर्युक्त दोनों पक्षों में से $\operatorname{ar}(\triangle A O B)$ को घटाने पर
$\operatorname{ar}(\Delta A B D)-\operatorname{ar}(\Delta A O B)=\operatorname{ar}(\Delta A B C)-\operatorname{ar}(\Delta A O B)$
या $\operatorname{ar}(\triangle A O D)=\operatorname{ar}(\triangle B O C)$
प्रश्न 17.
आकृति में, $A B C D E$ एक पंचभुज है। $B$ से होकर $A C$ के समान्तर खींची गई रेखा बढ़ाई गई $D C$ को $F$ पर मिलती है। दर्शाइए कि
(i) $\operatorname{ar}(A C B)=\operatorname{ar}(A C F)$
(ii) $\operatorname{ar}(A E D F)=\operatorname{ar}(A B C D E)$
हल :
(i) प्रश्नानुसार दिया गया है कि $B F \| A C$ तथा $\triangle A C B$ और $\triangle A C F$ एक ही आधार $A C$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A C$ तथा $B F$ के बीच स्थित हैं। अत
$\operatorname{ar}(\Delta A C B)=\operatorname{ar}(\Delta A C F)$.................(1)
(ii) अब $\operatorname{ar}(A B C D E)=\operatorname{ar}$ (समलम्ब चतुर्भुज $A E D C)+\operatorname{ar}(\triangle A B C)$ ...........(2)
समीकरण (1) का प्रयोग (2) में करने पर
ar(ABCDE) =ar(समलम्ब चतुर्भुज AEDC )+ar(ΔACF)
=ar( समलम्ब चतुर्भुज AEDC)+ar(ΔACF)
=ar(चतुर्भुज AEDF)
ar(AEDF)=ar(ABCDE) इति सिद्धम्।
प्रश्न 18.
गाँव के एक निवासी इतवारी के पास एक चतुर्भुजाकार भूखंड था। उस गाँव की ग्राम पंचायत ने उसके भूखंड के एक कोने से उसका कुछ भाग लेने का निर्णय लिया ताकि वहाँ एक स्वास्थ्य केन्द्र का निर्माण कराया जा सके। इतवारी इस प्रस्ताव को इस प्रतिबन्ध के साथ स्वीकार कर लेता है कि उसे इस भाग के बदले उसी भूखंड के संलग्न एक भाग ऐसा दे दिया जाए कि उसका भूखंड त्रिभुजाकार हो जाए। स्पष्ट कीजिए कि इस प्रस्ताव को किस प्रकार कार्यान्वित किया जा सकता है।
हल :
माना कि इतवारी के पास $P Q R S$ एक चतुर्भुजाकार भूखण्ड था। भुजा $P Q$ को $T$ बिन्दु तक बढ़ाइए। $Q S$ को मिलाइए तथा $R T \| Q S$ खीची। चित्रानुसार क्योंकि $\triangle Q S R$ और $\Delta Q S T$ एक ही आधार $Q S$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $Q S$ तथा $R T$ के बीच स्थित हैं अतः
$\operatorname{ar}(\Delta Q S R)=\operatorname{ar}(\Delta Q S T)$
दोनों पक्षों में $\operatorname{ar}(\triangle P Q S)$ जोड़ने पर
$\begin{aligned} \operatorname{ar}(\Delta P Q S)+\operatorname{ar}(\Delta Q S R) &=\operatorname{ar}(\Delta P Q S)+\operatorname{ar}(\Delta Q S T) \\ \operatorname{ar}(P Q R S) &=\operatorname{ar}(\Delta P T S) \end{aligned}$
अत: स्वास्थ्य केन्द्र के लिए दिया गया भूखण्ड $=\operatorname{ar}(\triangle R S O)$
उक्त भूखण्ड के बदले इतवारी को मिला भूखण्ड $=\operatorname{ar}(\Delta Q T O)$.
प्रश्न 19.
$A B C D$ एक समलम्ब है, जिसमें $A B \| D C$ है। $A C$ के समान्तर एक रेखा $A B$ को $X$ पर और $B C$ को $Y$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ar $(A D X)=\operatorname{ar}(A C Y)$ है।
[संकेत : $C X$ को मिलाइए।]
हल :
प्रश्नानुसार एवं चित्रानुसार $C X$ को मिलाया। अब $\triangle A D X$ और $\triangle A C X$ एकं ही आधार $X A$ पर तथा एक ही समान्तर रेखाओं $X A$ और $D C$ के बीच स्थित हैं। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A D X)=\operatorname{ar}(\Delta A C X)$................(i)
साथ ही $\triangle A C X$ तथा $\triangle A C Y$ एक ही आधार $C Y$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $C Y$ और $X A$ के बीच स्थित हैं।
अतः $\text { ar }(\Delta A C X)=\operatorname{ar}(\Delta A C Y)$............(ii)
समीकरण (i) व (ii) से
$\operatorname{ar}(\Delta A D X)=\operatorname{ar}(\Delta A C Y)$
प्रश्न 20.
आकृति में, $A P\|B Q\| C R$ है। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(A Q C)=\operatorname{ar}(P B R)$ है।
हल :
चित्रानुसार हम देख सकते हैं कि $\triangle A B Q$ और $\triangle B P Q$ एक ही आधार $B Q$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $A P$ तथा $B Q$ के बीच स्थित हैं। अतः
$\operatorname{ar}(\Delta A B Q)=\operatorname{ar}(\Delta B P Q)$..............(i)
इसी प्रकार $\triangle B Q C$ और $\triangle B Q R$ एक ही आधार $B Q$ तथा एक ही समान्तर रेखाओं $B Q$ तथा $C R$ के बीच स्थित
$\operatorname{ar}(\Delta B Q C)=\operatorname{ar}(\Delta B Q R)$...........(ii)
समीकरण (i) व (ii) को जोड़ने पर
$\operatorname{ar}(\Delta A B Q)+\operatorname{ar}(\Delta B Q C)=\operatorname{ar}(\Delta B P Q)+\operatorname{ar}(\Delta B Q R)$
या $\operatorname{ar}(\triangle A Q C)=\operatorname{ar}(\Delta P B R)$
प्रश्न 21.
चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\operatorname{ar}(A O D)=\operatorname{ar}(B O C)$ है। सिद्ध कीजिए कि $A B C D$ एक समलम्ब है।
हल :
प्रश्नानुसार दिया गया है कि
$\operatorname{ar}(\Delta A O D)=\operatorname{ar}(\triangle B O C)$...........(i)
समीकरण (i) के दोनों पक्षों में
$\operatorname{ar}(\triangle A O B)$ जोड़ने पर $ \begin{array}{l}\text { ar }(\triangle A O D)+\operatorname{ar}(\triangle A O B)=\operatorname{ar}(\Delta B O C)+\operatorname{ar}(\triangle A O B) \\ \operatorname{ar}(\Delta A B D)=\operatorname{ar}(\triangle A B C)\end{array} $
क्योंकि हम जानते हैं कि यदि कोई दो त्रिभुज समान क्षेत्रफल तथा एक ही आधार पर स्थित हों, तो वे एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं। चित्रानुसार $\triangle A B D$ और $\triangle A B C$ एक ही आधार $A B$ पर स्थित हैं और इनके क्षेत्रफ़ल भी समान हैं अतः ये एक ही समान्तर रेखाओं $A B$ और $D C$ के बीच स्थित हैं। अर्थात् AB||DC
अब चतुर्भुज ABCD में AB||DC
अतः $A B C D$ एक समलम्ब चतुर्भुज है क्योंकि समलम्ब में सम्मुख भुजाओं का एक युग्म समान्तर होता है।
प्रश्न 22.
आकृति में ar $(D R C)=\operatorname{ar}(D P C)$ है और $\operatorname{ar}(B D P)=\operatorname{ar}(A R C)$ है। दर्शाइए कि दोनों चतुर्भुज $A B C D$ और $D C P R$ 'समलम्ब हैं।
हल :
प्रश्नानुसार दिया गया है कि $\triangle D R C$ तथा $\triangle D P C$ एक ही आधार $D C$ पर स्थित हैं तथा $\operatorname{ar}(\Delta D R C)=\operatorname{ar}(\triangle D P C)$.........(i)
DC||RP
क्योंकि हम जानते हैं कि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
अब चतुर्भुज DCPR में DC||RP
अत: DCRP एक समलम्ब चतुर्भुज है। साथ ही यह भी दिया गया है कि $\operatorname{ar}(\Delta B D P)=\operatorname{ar}(\Delta A R C)$....................(ii)
समीकरण' (i) को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है-
$\operatorname{ar}(\triangle D P C)=\operatorname{ar}(\Delta D R C)$............(iii)
समीकरण (iii) को समीकरण (ii) में. से घटाने पर
$\operatorname{ar}(\Delta B D P)-\operatorname{ar}(\Delta D P C)=\operatorname{ar}(\Delta A R C)-\operatorname{ar}(\triangle D R C)$
$\operatorname{ar}(\Delta B D C)=\operatorname{ar}(\triangle A D C)$
चूँकि हम जानते हैं कि यदि समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज एक ही आधार पर स्थित हों तो वे सदैव एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित होते हैं।
यहाँ इस प्रश्न में भी ΔBDC तथा ΔADC समान क्षेत्रफल के तथा एक ही आधार DC पर स्थित हैं अतः AB||DC
अब चतुर्भुज ABCD में AB||DC
अत: ABCD एक समलम्ब है।
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