प्रश्नावली 9 (B)
प्रश्न 1.
20 सेमी भुजा के वर्ग और एक समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल समान हैं । यदि समान्तर चतुर्भुज का आधार 25 सेमी हो, तो इसके संगत शीर्ष लम्ब ज्ञात कीजिए ।
हल :
वर्ग का क्षेत्रफल =20×20=400 वर्ग सेमी
समान्तर चतुर्भुज का आधार =25 सेमी
माना
संगत शीर्ष लम्ब =h सेमी
∵समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार × संगत शीर्ष लम्ब
=25 × h
प्रश्नानुसार, समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वर्ग =वर्ग का क्षेत्रफल
25×h=400
$h=\frac{400}{25}$=16 सेमी या संगत शीर्ष लम्ब =16 सेमी ।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि एक ही आधार और समान समान्तर रेखाओं के बीच बना एक समलम्ब और एक समान्तर चतुर्भुज के क्षेत्रफल बराबर होते हैं, और ये एक आयत को निरूपित करते हैं ।
हल :
दिया है : ABCD एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसमें AB||CD और L, BC का मध्य बिन्दु है।
अब ΔPLB और ΔQLC में , BL=LC (∵ L, BC का मध्य बिन्दु है)
∠PLB=∠QLC , (सम्मुख कोण हैं)
∠LPB=∠LQC , (एकान्तर कोण हैं ∵ AB||CD
ΔPLB⩭ΔQLC
क्षेत्रफल ΔPLB=क्षेत्रफल ΔQLC
दोनों ओर $A P L C D$ जोड़ने पर
क्षेत्रफल $A P L C D+$ क्षेत्रफल $\triangle P L B=$ क्षेत्रफल $A P L C D+$ क्षेत्रफल $\triangle Q L C$
क्षेत्रफल समलम्ब $A B C D=$ क्षेत्रफल समान्तर चतुर्भुज $A P Q D$
$\triangle D A E$ तथा $\triangle Q P B$ में,
$\begin{aligned}D E &=Q B \\\angle D E A &=\angle Q B P \\\angle D A E &=\angle Q P B \\\triangle D A E & \equiv \triangle Q P B\end{aligned}$
आयत क्षेत्रफल $D E B Q=$ क्षेत्रफल समा. चतुर्भुज $A P Q D$.
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल, उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है ।
हल :
दिया है : $P Q R S$ एक समचतुर्भुज है जिसके विकर्ण $P R$ तथा $Q S$ एक-दूसरे को $O$ पर प्रतिच्छेदित करते हैं ।
सिद्ध करना है : समचतुर्भुज $P Q R S$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} P R \times Q S$.
उपपत्ति : $\because$ समचतुर्भुज के विकर्ण एक- दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ।
$S Q \perp P R$
$S O \perp P R$
$O Q \perp P R$
$O S=O Q$
$\Delta P Q R$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} P R \times C O Q$....................(1)
$\triangle S P R$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} P R \times O S$.................(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
क्षेत्रफल $(\triangle P Q R+\triangle S P R)=\frac{1}{2} P R \times O Q+\frac{1}{2} P R \times O S$
$\begin{aligned}\text { समचतुर्भुज } P Q R S &=\frac{1}{2} P R \times[O Q+O S] \\&=\frac{1}{2} P R \times Q S\end{aligned}$
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ विकर्णों का गुणनफल ।
प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में $A D, \Delta A B C$ की माध्यिका है । $X, A D$ पर बिन्दु है । दिखाइए कि क्षेत्रफल $(\triangle A B X)=$ क्षेत्रफल $(\triangle A C X)$.
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में $A D$ माध्यिका है । $X, A D$ पर स्थित कोई बिन्दु है ।
सिद्ध करना है : क्षेत्रफल $(\triangle A B X)=$ क्षेत्रफल $(\triangle A C X)$.
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में $A D$ माध्यिका है ।
क्षेत्रफल $(\triangle A B D)=$ क्षेत्रफल $(\triangle A C D)$..................(i)
(माध्यिका त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटती है ।)
इसी प्रकार $\triangle X B C$ में $X D$ माध्यिका है ।
क्षेत्रफल $(\triangle X B D)=$ क्षेत्रफल $(\triangle X C D)$............(ii)
'समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर
क्षेत्रफल $(\triangle A B D)-$ क्षेत्रफल $(\triangle X B D)=$ क्षेत्रफल $(\triangle A C D)-$ क्षेत्रफल $(\triangle X C D)$
क्षेत्रफल $(\triangle A B X)=$ क्षेत्रफल $(\triangle A C X)$.
प्रश्न 5.
यदि एक चतुर्भुज का प्रत्येक विकर्ण उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में बाँटता है, तो दिखाओ कि चतुर्भुज एक समान्तर चतुर्भुज है ।
हल :
दिया है : माना $A B C D$ एक चतुर्भुज है $A C$ इसका विकर्ण है तथा क्षेत्रफल $\triangle A B C=$ क्षेत्रफल $\triangle D A C$.
सिद्ध करना है : चतुर्भुज $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
रचना : विकर्ण $A C$ पर शीर्ष बिन्दु $B$ तथा $D$ से क्रमश: $B E$ तथा $D F$ लम्ब खींचे ।
उपपत्ति :
$\triangle A B C$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} A C \times B E$...........(1)
$\triangle D A C$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} A C \times D F$.............(2)
क्षेत्रफल $\triangle A B C=$ क्षेत्रफल $\triangle D A C$
सम्बन्ध (1) तथा (2) से,
$\frac{1}{2} A C \times B E=\frac{1}{2} A C \times D F$
$B E=D F$
$A B \| D C$
$A B=D C$
इसी प्रकार, दिखाया जा सकता है कि
$\begin{aligned}&A D \| B C \\&A D=B C\end{aligned}$
अत: चतुर्भुज $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
प्रश्न 6.
आकृति में, $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है, $A E \perp D C$ और $C F \perp A D$ हैं। यदि $A B=16$ सेमी., $A E=8$ सेमी और $C F=10$ सेमी है, तो $A D$ ज्ञात कीजिए।
हल :
चतुर्भुज की सम्मुख भुजायें $D C$ तथा $A B$ हैं।
$\therefore D C=A B=16$ सेमी तथा ऊँचाई $A E=8$ सेमी
$\because$ समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=D C \times A E$ $=16 \times 8=128$ सेमी $^{2} .$
$A D$ को आधार मानते हुये .ऊँचाई, $C F=10$ सेमी.
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=A D \times C F$
स्पष्टत :
10. $A D=128$
$A D=\frac{128}{10}=12.8$ सेमी.
प्रश्न 7.
यदि $E, F, G$ और $H$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज $A B C D$ की भुजाओं के मध्य-बिन्दु हैं, तो दर्शाइए कि $\operatorname{ar}(E F G H)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)$ है।
सिद्ध करना है : $\quad$ ar $(\square E F G H)=\frac{1}{2}$ ar $(\square A B C D)$
रचना : $E G$ को मिलाइए।
उपपत्ति : $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$A B=C D$ और $A B \| C D$
E, $A B$ का मध्य बिन्दु है और $G, C D$ का मध्य बिन्दु है।
$\therefore$
$A E=E B=\frac{1}{2} A B$
$D G=G C=\frac{1}{2} C D$
$A E=D G$ और $A E \| D G$
$\therefore \square A E G D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\because \square A E G D$ और $\triangle E G H$ उभयनिष्ठ आधार $E G$ पर स्थित हैं। इनके शीर्ष A,D व H एक ही रेखा पर हैं जो
$E G$ के समान्तर है।
$\therefore \triangle E G H$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज $A E G D$ का क्षेत्रफल............(1)
$\triangle E G F$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज $E B C G$ का क्षेत्रफल.......(2)
समीकरण (1) व (2) को जोड़ने पर
$\triangle E G H$ का क्षेत्रफल $+\triangle E G F$ का क्षेत्रफल
$=\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज $A E G D$ का क्षेत्रफल $+\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज $E B C G$ का क्षेत्रफल
$\square E F G H$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ समान्तर [\squareAEGD का क्षेत्रफल $+\square E B C G$ का क्षेत्रफल]
$=\frac{1}{2}$ समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल
$\operatorname{ar} \square E F G H=\frac{1}{2} \operatorname{ar} \square A B C D$
प्रश्न 8.
$P$ और $Q$ क्रमशः समांतर चतुर्भुज $A B C D$ की भुजाओं $D C$ और $A D$ पर स्थित बिन्दु हैं। दर्शाइए कि ar $(A P B)=\operatorname{ar}(B Q C)$ है।
हल :
$\triangle A P B$ और समांतर चतुर्भुज $A B C D$ समान आधार $A B$ और समान समांतर रेखाओं $A B$ और $D C$ के मध्य स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(A P B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)$..........(1)
इसी प्रकार, $\triangle B Q C$ और समांतर चतुर्भुज $A B C D$ समान आधार $B C$ और समान समांतर रेखाओं $B C$ तथा $A D$ के मध्य स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(B Q C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)$...........(2)
समी. (1) व (2) से,
$\operatorname{ar}(A P B)=\operatorname{ar}(B Q C)$
प्रश्न 9.
आकृति में, $P$ समांतर चतुर्भुज $A B C D$ के अंय्यन्तर में स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए कि
(i) $\operatorname{ar}(A P B)+\operatorname{ar}(P C D)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)$
(ii) $\operatorname{ar}(A P D)+\operatorname{ar}(P B C)=\operatorname{ar}(A P B)+\operatorname{ar}(P C D)$
[संकेत : $P$ होकर $A B$ के समांतर एक रेखा खींचिए।]
हल :
EPF रेखा को AB-या DC के समांतर खींचिए और $G P H$ को $A D$ या $B C$ के समांतर खींचिए।
अब AGHD एक समांतर चतुर्भुज है। $[\because G H \| D A$ और $A G \| D H]$
इसी प्रकार, HCBG, EFCD तथा ABFE समांतर चतुर्भुज हैं।
(i) $\triangle A P B$ और समांतर चतुर्भुज $A B E F$ समान आधार $A B$ पर और समान समांतर रेखाओं $A B$ और $D C$ के मध्य स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(A P B)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B F E)$..........(1)
$\operatorname{ar}(P C D)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(E F C D)$ ............(2)
समी. (1) व (2) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(A P B)+\operatorname{ar}(P C D) &=\frac{1}{2}[\operatorname{ar}(A B FE)+\operatorname{ar}(E F C D)] \\&=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)\end{aligned}$.............(3)
(ii) $\triangle A P D$ और समांतर चतुर्भुज $A G H D$ समान आधार $A D$ पर और समान ' समांतर रेखाओं $A D$ और $H G$ के मध्य स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(A P D)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A G H D)$.............(4)
इसी प्रकार, $\operatorname{ar}(P B C)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(\dot{G B C H})$..........(5)
समी. (4) व (5) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\operatorname{ar}(A P D)+\operatorname{ar}(P B C) &=\frac{1}{2}[\operatorname{ar}(A G HD)+\operatorname{ar}(G B C H)] \\&=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B C D)\end{aligned}$................(6)
समी. (3) व (6) से,
$\operatorname{ar}(A P D)+\operatorname{ar}(P B C)=\operatorname{ar}(A P B)+\operatorname{ar}(P C D)$
$\operatorname{ar}(A P D)+\operatorname{ar}(P B C)=\operatorname{ar}(A P B)+\operatorname{ar}(P C D)$
प्रश्न 10.
आकृति में, $P Q R S$ और $A B R S$ समांतर चतुर्भुज हैं तथा $X$ भुजा $B R$ पर स्थित कोई बिन्दु है। दर्शाइए न्टि
(i) ar (PQRS)=ar(ABRS)
(ii) ar(AXS)$=\frac{1}{2}$ ar(PQRS)
हल :
दिया है : $P Q R S$ तथा $A B R S$ समान्तर चतुर्भुज हैं तथा $X$ भुजा $B R$ पर स्थित कोई बिन्दु है। सिद्ध करना है : (i) ar $(P Q R S)=\operatorname{ar}(A B R S)$
(ii) $\operatorname{ar}(A X S)=\frac{1}{2}$ ar $(P Q R S)$.
उपपत्ति : (i) समान्तर चतुर्भुज $P Q R S$ तथा $A B R S$ समान आधार $R S$ तथा समान समान्तर रेखाओं SR तथा PB के बीच स्थित हैं।
इस प्रकार
$\operatorname{ar}(P Q R S)=\operatorname{ar}(A B R S)$…(i)
(ii) $\triangle A X S$ तथा समान्तर चतुर्भुज $A B R S$ समान आधार $A S$ तथा समान्तर रेखाओं $A S$ तथा $P B$ के बीच स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(A X S)=\frac{1}{2} \operatorname{ar}(A B R S)$..............(ii)
समी. (i) व (ii) से, $\quad \operatorname{ar}(A X S)=\frac{1}{2}$ ar $(P Q R S)$.
प्रश्न 11.
एक किसान के पास समान्तर चतुर्भुज $P Q R S$ के रूप का एक खेत था। उसने $R S$ पर स्थित कोई बिन्दु $A$ लिया और उसे $P$ और $Q$ से मिला दिया। खेत कितने भागों में विभाजित हो गया है ? इन भागों के आकार क्या हैं ? वह किसान खेत में गेहूँ और दालें बराबर-बराबर भागों में अलग-अलग बोना चाहता है। वह ऐसा कैसे करे ?
हल :
प्रश्नानुसार $P Q R S$ खेत जो कि समान्तर चतुर्भुज के आकार का है, एक किसान के पास था। $S R$ भुजा पर एक $A$ बिन्दु लिया तथा $A$ को बिन्दु $P$ तथा $Q$ से मिला दिया। $\mathrm{A}$ बिन्दु को मिलाने पर यह खेत तीन भागों क्रमशः
$\triangle P A S, \triangle A P Q$ तथा $\triangle A Q R$ में विभाजित हो गया। ये तीनों भाग त्रिभुजाकार हैं। अब हम जानते हैं कि $\triangle A P Q$ और समान्तर चतुर्भुज $P Q R S$ के एक ही आधार तथा एक ही समान्तर रेखाओं $P Q$ और $S R$ के बीच स्थित हैं।
$\operatorname{ar}(A P Q)=\frac{1}{2}$ ar (समान्तर चतुर्भुज $\left.P Q R S\right)$
अर्थात् त्रिभुजाकार भाग $A P Q$, समान्तर चतुर्भुज $P Q R S$ के रूप के खेत का आधा भाग है। अत: वह किसान यदि त्रिभुजाकार खेत $A P Q$ में गेहूँ बोता है तो दूसरे दो
त्रिभुजाका खेतों क्रमशः PAS तथा AQR उसे दालें बोनी पड़ेंगी। या यदि वह त्रिभुजाकार खेत APQ में दालें बोता है तो दूसरे दो त्रिभुजाकार खेतों क्रमशः PAS तथा AQR में उसे निश्चित ही गेहूँ बोना पड़ेगा।
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