प्रश्नावली 9 (A)
प्रश्न 1
निम्नलिखित आकृतियों में से कौन-सी आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समांतर रेखाओं के बीच स्थित हैं? ऐसी स्थिति में, उभयनिष्ठ आधार और दोनों समांतर रेखाएँ लिखिए।
हल :
(i) इस आकृति में त्रिभुज PDC तथा चतुर्भज ABCD का उभयनिष्ठ आधार $D C$ है। $A B$ तथा $D C$ की समान्तर रेखा पर त्रिभुज का शीर्ष $P$ तथा चतुर्भुज के शीर्ष A व B स्थित हैं।
अत: ये आकृतियाँ (त्रिभुज और चतुर्भुज) एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं।
(ii) इस आकृति में दोनों चतुर्भुजों का आधार SR तो उभयनिष्ठ है परन्तु उनके शीर्ष P , Q व M , N आधार के समान्तर एक ही रेखा में नहीं हैं। अतः ये एक ही आधार और एक समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(iii) दी गई आकृति में $\triangle Q R T$ और $\square P Q R S$ का आधार $Q R$ उभयनिष्ठ है जबकि आधार $Q R$ के समान्तर एक ही रेखा पर $\triangle Q R T$ का शीर्ष $T$ और $\square P Q R S$ के शीर्ष $P$ व $S$ स्थित हैं। तब $\triangle Q R T$ और $\square P Q R S$ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित हैं। उभयनिष्ठ आधार $Q R$ तथा समान्तर रेखाएँ $Q R$ व $P S$ हैं।
(iv) दी गई आकृति में दो समलम्ब व एक त्रिभुज है जिनका कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं हैं। अतः ये एक ही आधार व एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं है।
(v) इस आकृति में दो समलम्ब $A B Q D$ तथा $A P C D$ हैं व दो त्रिभुज $A B P$ तथा $D C Q$ हैं, जिनमें सभी का कोई उभयनिष्ठ आधार नहीं है। अतः ये आकृतियाँ एक ही. आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
(vi) दी गई आकृति में $P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसके अंन्तर्गत $\square P A D S, A B C D$, व $\square B Q R C$. तीन समान्तर चतुर्भुज समाहित हैं परन्तु इनका कोई उभवनिष्ठ आधार नहीं है। अतः ये आकृतियाँ एक ही आधार और एक ही समान्तर रेखाओं के बीच स्थित नहीं हैं।
प्रश्न 2
सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाला रेखाखण्ड समान्तर चतुर्भुज को बराबर क्षेत्रफल वाले दो समान्तर चतुर्भुजों में बाँटता है ।
हल :
दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में AB तथा CD के मध्य बिन्दु क्रमशः E तथा F हैं और EF इसे दो भागों में विभक्त करता है ।
$\begin{aligned}&A E=B E \\&D F=C F .\end{aligned}$
सिद्ध करना है : AEFD तथा BCFE बराबर क्षेत्रफल के समान्तर चतुर्भुज हैं । रचना : बिन्दु $F$ तथा $D$ से रेखा AB पर क्रमशः FH तथा DG लम्ब खींचे ।
$A E=\frac{1}{2} A B$ $[\because E, A B$ का मध्य बिन्दु है]
$D F=\frac{1}{2} D C$, $[\because F, C D$ का मध्य बिन्दु है]
AE = DF..........(1)
[AB =DC]
AB || DC
AE||DF....(2)
समीकरण (1) व (2) से AEFD समान्तर चतुर्भुज है । इसी प्रकार से $B C F E$ भी समान्तर चतुर्भुज है । समान्तर चतुर्भुज $A E F D$ का क्षेत्रफल $=A E \times D G$..................(3)
समान्तर चतुर्भुज BCFE का क्षेत्रफल=EB×FH=AE×DG...........(4)
[∵EB=AE तथा FH=DG]
समीकरण (3) तथा (4) से,
समान्तर चतुर्भुज $A E F D$ का क्षेत्रफल $=$ समान्तर चतुर्भुज $B C F D$ का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल महत्तम होता है जब यह एक आयत है ।
हल :
दिया है : समान्तर चतुर्भुज ABCD तथा आयत PQRS जिनकी भुजाएँ
AB=PQ=a
AD=PS=b
सिद्ध करना है : आयत PQRS का क्षेत्रफल > समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ।
रचना : बिन्दु D से रेखाखण्ड AB पर लम्ब DE खींचा ।
उपपत्ति : आयत PQRS का क्षेत्रफल = PQ×PS
=a × b.....(1)
समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल =A B × D E
=a × D E
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=A B \times D E$
$=a \times D E$
समकोण $\triangle A E D$ में,
$D E \angle A$ $D E<b$[क्योंकि समकोण $\Delta$ में कर्ण सबसे बड़ा होता है]
DE<b
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=a \times D E<a \times b$, $[\because D E<b]$
$a \times D E<a \times b$
आयत PQRS का क्षेत्रफल > समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ।
प्रश्न 4.
एक समान्तर चतुर्भुज की क्रमागत भुजाएँ 10 सेमी और 8 सेमी हैं । यदि बड़ी भुजाओं के बीच की दूरी 4 सेमी हो, तो छोटी भुजाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसमें $A B=10$ सेमी, $B C=A D=8$ सेमी तथा शीर्ष लम्ब $D E=4$ सेमी, तब शीर्ष लम्ब $B F$ ज्ञात करना है ।
अब समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ एक भुजा $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
=AB . DE
=10×4 वर्ग सेमी......(1)
पुनः समान्तर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = AD (छोटी भुजा )×संगत शीर्ष लम्ब
=8×BF.........(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
8 × BF=10 × 4
$BF =\frac{10 \times 4}{8}$=5 सेमी
छोटी भुजा के बीच की दूरी =5 सेमी ।
प्रश्न 5.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 32 मीटर $^{2}$ है । यदि आधार और इसके संगत शीर्ष लम्ब का अनुपात $1: 2$ है, तो आधार और शीर्ष लंम्ब ज्ञात कीजिए।
हल :
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल =32 मीटर $^{2}$
आधार
संगत शीर्ष लम्ब $=\frac{1}{2}$ या आधार $=\frac{1}{2}$ संगत शीर्ष लम्ब..............(1)
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × संगत शीर्ष लम्ब
$32=\frac{1}{2}$ संगत शीर्ष लम्ब × संगत शीर्ष लम्ब
(संगत शीर्ष लम्ब) $^{2}=64$
संगत शीर्ष लम्ब =8 मीटर
समीकरण (1) से,
आधार$=\frac{1}{2}$ संगत शीर्ष लम्ब
$=\frac{1}{2} \times 8$=4 मीटर
आधार =4 मीटर
शीर्ष लम्ब =8 मीटर ।
प्रश्न 6.
एक समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 72 मीटर $^{2}$ है । यदि आधार के संगत शीर्षलम्बं दुगुना हो, तो आधार और शीर्ष लम्ब ज्ञात कीजिए ।
हल :
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=72$ मीटर $^{2}$
माना
आधार =a मीटर
संगत शीर्ष लम्ब =h मीटर
तब दिया है कि a=2h
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल =आधारं × संगत शीर्ष लम्ब
$\begin{aligned} 72 &=a \times h \\ 72 &=2 h \times h \end{aligned}$ $[\because a=2 h$ से]
$\begin{aligned} 2 h^{2} &=72 \\ h^{2} &=\frac{72}{2}=36 \end{aligned}$
h=6 मीटर
a=2h
a=2 × 6=12 मीटर
आधार की लम्बाई =a=12 मीटर
संगत शीर्ष लम्ब =h=6 मीटर ।
प्रश्न 7.
चित्र में ABCD एक चतुर्भुज है और $B D$ इसका एक विकर्ण है । दिखाइए कि $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है और इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : $A B C D$ चतुर्भुज में $A B=C D=3$ सेमी, $\angle A B D=\angle B D C=90^{\circ}$. सिद्ध करना है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा इसका क्षेत्रफल भी ज्ञात करना है । उपपत्ति : $A B$ तथा $D C$ रेखाओं को तिर्यक् रेखा $D B$ काट रही है ।
$\begin{aligned}\angle A B D &=\angle B D C=90^{\circ} \\A B & \| D C \\A B &=D C\end{aligned}$
$\therefore A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
पुन: समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का क्षेत्रफल $=$ आधार $\times$ संगत शीर्ष लम्ब
$=3 \times 4=12$ वर्ग सेमी ।
अत: $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $=12$ वर्ग सेमी ।
प्रश्न 8.
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A B=6$ सेमी, भुजाओं $A B$ तथा $B C$ की संगत ऊँचाइयाँ क्रमश: 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं । $B C$ की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A B=6$ सेमी, भुजाओं $A B$ तथा $B C$ की संगत ऊँचाइयाँ 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं । $B C$ की लम्बाई ज्ञात करनी है ।
समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार ×संगत ऊँचाई
$\begin{aligned}&=A B \times D E \\ &=B C \times D F \\ A B \times D E &=B C \times D F \\ 6 \times 5 &=B C \times 3 \\ B C &=\frac{6 \times 5}{3} \end{aligned}$
=10 सेमी
BC की लम्बाई =10 सेमी ।
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