प्रश्नावली 7(B)
प्रश्न 1
सिद्ध कीजिए कि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है ।
हल :
दिया है : ΔABC में कर्ण AB तथा ∠ACB=90°
सिद्ध करना है : कर्ण AB सबसे बड़ी भुजा है ।
उपपत्ति : ΔABC में,
∠ACB=90°
∠A+∠B+∠C=180°
∠A+∠B+90°=180°
∠A+∠B=180°-90°=90°
$\therefore \angle A$ तथा $\angle B, 90^{\circ}$ से छोटे होंगे, तब
$\angle C>\angle A$
$\angle C>\angle B$
$\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned}&\angle C>\angle A \\&\angle C>\angle B\end{aligned}$
भुजा AB>भुजा BC
भुजा AB>भुजा AC
तब भुजा $A B$, भुजा $B C$ तथा $A C$ दोनों से बड़ी है ।
अतः कर्ण AB सबसे बड़ी भुजा है ।
प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि 'समद्विबाहु त्रिभुज में माध्यिकाएँ सदैव लम्बों से बड़ी होती हैं ।.
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में,
$A B=A C$
$\angle C=\angle B$
सिद्ध करना हैं : माध्यिका $A D>$ लम्ब $A E$. उपपत्ति :
भुजा AB= भुजा AC
∠B=∠C
अब $\triangle A E D$ में,
$\angle A D E<\angle A E D$ [ $\triangle A E D$ समकोणीय है]
$A D>A E$
क्योंकि समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है ।
अत: माध्यिकाएँ सदैव लम्बों से बड़ी होती हैं।
प्रश्न 3
चित्र में, AB>AC है । सिद्ध कीजिए कि AB>AD
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में, $A B>A C$ और $B C$ भुजा का एक अन्तरिक बिन्दु $D$ है । सिद्ध करना है : $\triangle A B C$ में,
$A B>A C$
उपपत्ति : $\angle A C B>\angle A B C$............(1)
$\angle A D B, \triangle A C D$ की भुजा $C D$ पर बहिष्कोण है ।
$\begin{aligned}& \angle A D B &=\angle A C B+\angle C A D \\\therefore & & \angle A D B &=\angle A C B\end{aligned}$............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से, . .
$\begin{array}{lc} & \angle A D B>\angle A B C \\\therefore & \angle A D B>\angle A B D \\\therefore \quad & . A B>A D .\end{array}$ यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 4.
समबाहु त्रिभुज $A B C$ में $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक बिन्दु $D$ पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $A D+B D<A B$
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ समबाहु त्रिभुज है अर्थात्
$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$
$\angle B$ तथा $\angle C$ के समद्विभाजक $D$ पर मिलते हैं, तब
$\angle A B D=\angle B A D=30^{\circ}$
सिद्ध करना है :
$A D+B D>A B$
उपपत्ति $\angle A B D=\angle B A D=30^{\circ}$
तब $\triangle A B D$ से,
$\begin{aligned} \angle A D B &=120^{\circ} \\ \angle A D B &>\angle A B D+\angle B A D \\ A B &>A D+B D \end{aligned}$
प्रश्न 5.
दी गई आकृति में $A B C D$ एक वर्ग है $1 P$ तथा $Q, A B$ तथा $C D$ के मध्य बिन्दु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $A Q=P C .$
हल :
दिया है : $A B C D$ एक वर्ग है । बिन्दु $P, A B$ का मध्य बिन्दु है तथा $Q, D C$ का मध्य बिन्दु है. । सिद्ध करना है :
$A Q=P C$
रचना : $A Q$ तथा $P C$ को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle A D Q$ तथा $\triangle P B C$ में,
A D=B C (वर्ग की भुजाएँ हैं)
$D Q=P B$(दिया है)
$\angle A D Q=\angle P B C=90^{\circ}$(वर्ग के चारों कोण $90^{\circ}$ के हैं)
$\triangle A D Q \cong \triangle P B C$
AQ=DC इति सिद्धम् ।
प्रश्न 6
चित्र में यदि $A B\|P R, P Q\| B C$ और $A Q=C R$, तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta A B C \cong \triangle P Q R .$
हल :
दिया है :
$A B \| P R$
$P Q \| B C$
$A Q=C R$
सिद्ध करना है :
$\triangle A B C \cong \Delta P Q R$
उपपत्ति : $\because$ $A Q=R C$
दोनों ओर $Q C$ जोड़ने पर
$\begin{aligned}A Q+Q C &=R C+Q C \\A C &=R Q\end{aligned}$
अब $\triangle A B C$ तथा $\triangle P \cup R$ में,
$\begin{aligned} A B & \| R P \\ \angle B &=\angle R \\ \angle A &=\angle P \\ A C &=R Q \\ \triangle A B C & \cong \triangle P Q R, \end{aligned}$ (A.A.S. की सवीगसमता' से)
प्रश्न 7.
$\triangle D E F$ में यदि $D M$ और $E N$ दो माध्यिकाएँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि
$2(D M+E N)>(D F+E F)$
हल :
दिया है : $\triangle D E F$ में,
$D M$ और $E N$ माध्यिकाएँ हैं अर्थात् बिन्दु $M, E F$ का मध्य बिन्दु है तथा $N, F D$ का मध्य बिन्दु है '।
सिद्ध करना है :
$2(D M+E N)>(D F+E F)$.
रचना : $E N$ तथा $D M$ को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle E N F$ में,
$E N+N F>E F$ $(\because$ त्रिभुज में दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है)
$E N>E F-N F$......(1)
इसी प्रकार, $\triangle D M F$ में,
$\begin{aligned}D M+M F &>D F \\D M &>D F-M F\end{aligned}$...........(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर-
$\begin{aligned}E N+D M &>E F-N F+D F-M F \\E N+D M &>E F-\frac{D F}{2}+D F-\frac{E F}{2} \\E N+D M &>\frac{1}{2} E F+\frac{1}{2} D F \\&>\frac{1}{2}(E F+D F) \\2(E N+D M) &>E F+D F \\2(D M+E N) &>D F+E F\end{aligned}$
प्रश्न 8.
यदि एक त्रिभुज की तीनों ऊँचाइयाँ बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज समबाहु होगा ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में,
सिद्ध करना है :
$A P=B Q=C R$
$A B=B C=A C$
$\angle A=\angle B=\angle C$
रचना : $A P, B Q$ तथा $C R$ लम्ब खींचे ।
उपपत्ति : $\triangle A B P$ तथा $\triangle R C B$ में,
$\begin{aligned}A P &=R C \\\angle A P B &=\angle C R B=90^{\circ}\end{aligned}$
$\angle B$ दोनों में उभयनिष्ठ है ।
$\begin{aligned} \triangle A B P & \cong \triangle R C B \\ A B &=B C \end{aligned}$.......(1)
इसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है
$\begin{aligned}&B C=C A...(2) \\&C A=A B\end{aligned}$...........(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) सें,
$A B=B C=C A$
अतः समबाहु त्रिभुज है ।
प्रश्न 9.
आकृति में, $\triangle A B C$ की भुजाओं $A B$ और $A C_{i}$ को क्रमशः बिन्दुओं $P$ और $Q$ तक बढ़ाया गया है साथ ही $\angle P B C<\angle Q C B$ है। दर्शाइए कि $A C>A B$ है।
हल :
दिया है: $\triangle A B C$ की भुजाओं $A B$ तथा $A C$ को बिन्दु $P$ तथा $Q$ तक बढ़ाया गया है तथा $\angle P B C<\angle Q C B$
सिद्ध करना है : $A C>A B$
उपपत्ति : $\angle P B C<\angle Q C B$
लेकिन $\angle P B C+\angle A B C=180^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle P B C &=180^{\circ}-\angle A B C \\ \angle Q C B+\angle B C A &=180^{\circ} \\ \angle Q C B &=180^{\circ}-\angle B C A \\ 180^{\circ}-\angle A B C &<180^{\circ}-\angle B C A \\-\angle A B C &<-\angle B C A \\ \angle A B C &>\angle B C A \\ A C &>A B \end{aligned}$
प्रश्न 10.
आकृति में $\angle B<\angle A$ तथा $\angle C<\angle D$ दिखाइये कि $A D<B C$ ।
हल :
क्योंकि $\angle B<\angle A$ तथा $\angle C<\angle D$
$A O<B O$ तथा $O D<O C$ (:. बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
$\begin{aligned} A O+O D &<B O+O C \\ A D &<B C . \end{aligned}$
प्रश्न 11.
$A B$ और $C D$ क्रमशः एक चतुर्भुज $A B C D$ की सबसे छोटी और सबसे बड़ी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\angle A>\angle C$ और $\angle B>\angle D$ है।
हल :
दिया है : चतुर्भुज $A B C D$ की सबसे छोटी तथा बड़ी भुजायें क्रमशः $A B$ व $C D$ हैं।
सिद्ध करना है : $\angle A>\angle C$ तथा $\angle B>\angle D$
रचना $: B$ से $D$ को मिलाया।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में,
$B C>\mathrm{AB}$
$\angle B A C>\angle B C A$.........(i)
( बहेे कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।)
$\triangle A C D$ में,
$\begin{gathered}C D>A D \\\angle C A D>\angle A C D\end{gathered}$..........(ii)
समी. (i) व (ii) को जोड़ने पर
$\begin{aligned} \angle B A C+\angle C A D &>\angle B C A+\angle A C D \\ \angle B A D &>\angle B C D \\ \angle A &>\angle C \\ \angle B &>\angle D \end{aligned}$
प्रश्न 12.
आकृति में, $P R>P Q$ है और $P S$ कोण $Q P R$ को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि $\angle P S R>\angle P S Q$ है।
हल :
दिया है : $\triangle P Q R$ में $P R>P Q$ तथा $P S$ कोण $Q P R$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है :
उपपत्ति $: \triangle P Q R$ में,
$\therefore \quad \angle P S R>\angle P S Q$
$\therefore \quad P R>P Q$,
$\angle \quad \angle P Q R>\angle P R Q$..............(i)
$\quad(\because$ बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है।)
$\because P S, \angle P$ का समह्विभाजक है
$\angle 1=\angle 2$...........(ii)
समी. (i) व (ii) को जोड़ने पर,
$\angle P Q R+\angle 1>\angle P R Q+\angle 2$................(iii)
$\angle P Q S+\angle 1+\angle P S Q=\angle P R S+\angle 2+\angle P S R$ $(\Delta$ के कोणों का योग)
$\angle P Q R+\angle 1+\angle P S Q=\angle P R Q+\angle 2+\angle P S R$............(iv)
$(\because \angle P Q S=\angle P Q R$ तथा $\angle P R S=\angle P R Q)$
समी. (iii) व (iv) से,
$\begin{aligned}&\angle P S Q<\angle P S R \\&\angle P S R>\angle P S Q\end{aligned}$
प्रश्न 13.
दर्शाइए कि एक रेखा पर एक दिए हुए बिन्दु से, जो उस रेखा पर स्थित नहीं है, जितने रेखाखण्ड' खींचे जा सकते हैं उनमें लम्ब रेखाखण्ड सबसे छोटा होता है।
हल :
माना कि P कोई बिन्दु है, जो कि सीधी रेखा $l$ पर नहीं है। तथा $P M \perp l, M$ के अलावा रेखा $l$ पर N कोई बिन्दु है।
$\triangle P M N$ में,
$\begin{aligned} \angle M &=90^{\circ} \\ \angle N &<90^{\circ} \quad\left[\because \angle \mathrm{M}=90^{\circ} \Rightarrow \angle M P N+\angle P N M=90^{\circ}\right] \\ \angle P+\angle N &=90^{\circ} \\ \angle N &<90^{\circ} \\ \angle N &<\angle M \end{aligned}$
PM<PN (∵ बड़े कोण की सम्मुख भुजा बड़ी होती है)
अत: P से AP तक रेखाखण्डों में से PM सबसे छोटा रेखाखण्ड है।
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