प्रश्नावली 7(A)
प्रश्न 1.
चतुर्भुज $A C B D$ में, $A C=A D$ है और $A B$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle A B C \cong \triangle A B D$ हैं।
BC और BD के बारे में आप क्या कह सकते हैं ?
हल :
दिया है : $A C B D$ एक चतुर्भुज है, जहाँ $A C=A D$ तथा $A B$ कोण $\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
सिद्ध करना है : $\triangle A B C \cong \Delta A B D$
उपपत्ति : $\triangle A B C$ तथा $\triangle A B D$ में,
$A B=A B$ (उभयनिष्ठ)
$\angle B A C=\angle B A D$(दिया है)
$A C=A D$ (दिया है)
$\triangle A B C \cong \triangle A B D$(SAS सर्वासमता)
$B C=B D \text {. }$(सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 2.
$A B C D$ एक चतुर्भुज है, जिसमें $A D=B C$ और $\angle D A B=\angle C B A$ है (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि
(i) $\triangle A B D \cong \Delta B A C$
(ii) $B D=A C$.
(iii) $\angle A B D=\angle B A C$.
हल :
दिया है : $A B C D$ एक चतुर्भुज है जिसमें $A D=B C$ तथा $\angle D A B=\angle C B A$
सिद्ध करना है : (i) $\triangle A B D \cong \triangle B A C$
(ii) $B D=A C$
(iii) $\angle A B D=\angle B A C$.
उपपत्ति : $\triangle A B D$ तथा $\triangle B A C$ में,
$A B=B A$(उभयनिष्ठ)
$\angle D A B=\angle C B A$(दिया है)
$A D=B C$(दिया है)
$\triangle A B D \cong \triangle B A C$(SAS सर्वांगसता से)
$B D=A C$(सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ)
$\angle A B D=\angle B A C$(सकांगसम त्रिभुजों के संगत कोण)
प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड $A B$ पर $A D$ और $B C$ दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $C D$, रेखाखण्ड $A B$ को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : रेखाखण्ड $A B$ पर $A D$ तथा $B C$ दो बराबर लम्ब रेखाखण्ड हैं।
उपपत्ति : $\triangle A O D$ तथा $\triangle B O C$ में,
$\angle D A O=\angle C B O=90^{\circ}$(दिया है)
$\angle A O D=\angle B O C$( शीर्षाभिमुख कोण)
$B C=A D$(दिया है)
$\triangle A O D \cong \triangle O B C$(ASA सर्वांगमता)
$O A=O B$(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः $C D$ रेखाखण्ड $A B$ को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 4
l और m दो समान्तर रेखाएँ हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं p और q का एक अंन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle A B C \cong \triangle C D A$ है।
हल :
दिया है : l तथा m दो समान्तर रेखायें हैं जिन्हें समान्तर रेखाओं p तथा q का एक अन्य युग्म प्रतिच्छेदित करता है।
सिद्ध करना है : $\triangle A B C \cong \triangle C D A$
उपपत्ति : $\triangle A B C$ तथा $\triangle C D A$, में
$\angle B A C=\angle D C A$(एकान्तर कोण)
$\angle A C B=\angle C A D$(एकान्तर कोण)
$A C=C A$(उभयनिष्ठ)
$\triangle A B C \cong \Delta C D A$(ASA नियम)
इति सिद्धम!
प्रश्न 5.
रेखों $l$ कोण $A$ को समद्विभाजित करती है और $B$ रेखा $l$ पर स्थित कोई बिन्दु है। $B P$ और $B Q$ कोण $A$ की भुजाओं पर: $B$ से डाले गए लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि :
(i) $\triangle A P B \cong \Delta A Q B$
(ii) $B P=B Q$ है, अर्थात् बिन्दु $B$ कोण की भुजाओं से समदूरस्थ है।
हल :
(i) $\triangle A P B$ तथा $\triangle A Q B$ में
$\angle A P B=\angle A Q B$(प्रत्येक $=90^{\circ}$ )
$\angle P A B=\angle Q A B$$(\because A B, \angle P A Q$ का समद्विभाजक है)
$A B=A B$(उभयनिष्ठ)
$\Delta A P B \cong \triangle A Q B$
(ii) $B P=P Q$(सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अतः $B, \angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ हैं।
प्रश्न 6.
आकृति में, $A C=A E, A B=A D$ और $\angle B A D=\angle E A C$ है। दर्शाइए कि $B C=D E$ है।
हल :
दिया है : $A C=A E, A B=A D$
तथा $\angle B A D=\angle E A C$
सिद्ध करना है : $B C=D E$
उपपत्ति : $\angle B A D=\angle E A C$
दोनों पक्षों में $\angle D A C$ जोड़ने पर,
$\begin{aligned} \angle B A D+\angle D A C &=\angle E A C+\angle D A C \\ \angle B A C &=\angle D A E^{\circ} \end{aligned}$'
$\triangle A B C$ तथा $\triangle D A E$ में,
$\angle B A C=\angle D A E$ (ऊपर सिद्ध किया है)
$B A=D A$ (दिया है)
$A C=A E$ (दिया है)
$\Delta B A C \cong \Delta D A E$(SAS सवीगसमता नियम से)
$B C=D E$ इति सिद्धम।
प्रश्न 7.
$A B$ एक रेखाखण्ड है और $P$ इसका मध्य-बिन्दु है। $D$ और $E$ रेखाखण्ड $A B$ के एक ही ओर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि $\angle B A D=\angle A B E$ और $\angle E P A=\angle D P B$ हैं। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) $\Delta D A P \cong \triangle E B P$
(ii) $A D=B E$.
हल
$: A B$ एक रेखाखण्ड है तथा $P$ इसका मध्य बिन्दु है। $D$ तथा $E$ रेखाखण्ड $A B$ के एक ही ओर स्थित दो बिन्दु इस प्रकार हैं कि
$\begin{aligned}&\angle B A D=\angle A B E \\&\angle E P A=\angle D P B\end{aligned}$
सिद्ध करना है : (i) $\triangle D A P \cong \triangle E B P$
(ii) $A D=B E$.
उपपत्ति : $\angle A P E=\angle D P B$ (दिया है)
दोनों पक्षों में $\angle E P D$ जोड़ने पर,
$\begin{aligned} \angle A P E+\angle E P D &=\angle D P B+\angle E P D \\ \angle A P D &=\angle B P E \end{aligned}$
$\triangle D A P$ तथा $\triangle E P B$ में,
$\angle D A P=\angle E B P$(दिया है)
$\angle A P D=\angle B P E$(ऊपर सिद्ध किया जा चुका है)
$A P=B P$( $A B$ का मध्य बिन्दु $P$ है)
$\Delta D A P \cong \triangle E B P$( $A S A$ नियम से)
(ii) अतः $A D=B E$ इति सिद्धम
प्रश्न 8.
एक समकोण त्रिभुज $A B C$ में जिसमें कोण $C$ समकोण है, $M$ कर्ण $A B$ का मध्य-बिन्दु है। $C$ को $M$ से मिलाकर बिन्दु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $D M=C M$ है। बिन्दु $D$ को बिन्दु $B$ से मिला दिया जाता दै (देखिए आकति। दर्शाडए कि
(i) $\triangle A M C \cong \triangle B M D$
(ii) $\angle D B C$ एक 'समकोण' है
(iii) $\triangle D B C \cong \Delta A C B$
(iv) $C M=\frac{1}{2} A B$.
हल :
दियां है : समकोण $\triangle A B C$ में कोण $C$ समकोण है। $M$ कर्ण $A B$ का मध्य बिन्दु है। $C$ को $M$ से मिलाकर बिन्दु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाया गया है कि $D M=C M$ है। बिन्दु $D$ को बिन्दु $B$ से मिला दिया जाता है। सिद्ध करना है :
(i) $\triangle A M C \cong \triangle B M D$
(ii) $\angle D B C$ एक समकोण है
(iii) $\triangle D B C \cong \triangle A C B$
(iv) $C M=\frac{1}{2} A B$
उपपत्ति : (i) $\triangle A M C$ तथा $\triangle B M D$ में,
$A M=B M$(दिया है)
$C M=D M$(दिया है)
$\angle A M C=\angle B M D$( शीर्षाभिमुख कोण)
$\triangle A M C \cong \triangle B M D$(SAS नियम)
(ii)$\angle C A M=\angle D B M$(C.P.C.T.)
तथा $\angle C A M+\angle M B C=90^{\circ}$ (क्योंकि, $\angle C=90^{\circ}$ )
$\angle D B M+\angle M B C=90^{\circ}$
$\angle \dot{D B C}=90^{\circ}$इति सिद्धम्।
(iii) $\triangle D B C$ तथा $\triangle A C B^{\prime}$ में,
$B C=B C$(उभयनिष्ठ)
$D B=A C$$(\triangle B M D \cong \triangle A M C$, C.P.C.T. $)$
$\angle D B C=\angle A C B=90^{\circ}$(ऊपर सिद्ध किया है)
$\triangle D B C \cong \triangle A C B$(SAS नियम)
(iv) क्योकि $\triangle D B C \cong \triangle A C B$
$D C=A B$
अतः $\frac{1}{2} D C=\frac{1}{2} A B$
$C M=\frac{1}{2} A B$ [M, AB तथा DC का मध्यबिन्दु है।]
$C M=\frac{1}{2} A B$
इति सिद्धम्।
प्रश्न 9.
एक समद्विबाहु त्रिभुज $A B C$ में, जिसमें $A B=A C$ है, $\angle B$ और $\angle C$ के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदन करते हैं। $A$ को $O$ से जोड़िए। दर्शाइए कि
(i) OB=OC
(ii) AO कोण A को समद्विभाजित करता है।
हल : दिया है : एक समद्विबाहु $\triangle A B C$ में
$A B=A C$
$\angle B$ तथा $\angle C$ के समद्विभाजक परस्पर बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदन करते हैं।
$A$ को $O$ से जोड़ा।
सिद्ध करना है : (i) $O B=O C$
(ii) $A O$ कोण $A$ को समहिभाजित करता है।
उपपत्ति : (i)$\angle A B C=\angle A C B$
$\begin{aligned} \frac{1}{2} \angle A B C &=\frac{1}{2} \angle A C B \\ \angle O B C &=\angle O C B \\ O B &=O C \end{aligned}$
(ii) $\triangle A O B$ तथा $\triangle A O C$ में,
$O B=O C$(ऊपर सिद्ध किया है)
$A B=A C$(दिया है)
$O A=A O$(उभयनिष्ठ)
$\triangle A O B \cong \triangle A O C$(SSS नियम)
$\angle O A B=\angle O A C$(सर्वांगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग)
अत: $A O$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम ।
प्रश्न 10.
$\triangle A B C$ में $A D$ भुजा $B C$ का लम्ब समद्विभाजक है। (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $A B=A C$ है।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में $A D$ भुजा $B C$ का लम्ब समद्विभाजक है।
सिद्ध करना है : $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु $\Delta$ है जिसमें $A B=A C$.
उपपत्ति : $\triangle A B D$ तथा $\triangle A C D$ में,
$D B=D C$(दिया है)
$\angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$
$A D=A D$(उभयनिष्ठ)
$\triangle A B D \cong \triangle A C D$(SAS सवांगसता' के नियम से)
$A B=A C$[CPCT नियम]
अतः $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु $\Delta$ है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 11
ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें बराबर भुजाओं $A C$ और $A B$ पर क्रमशः शीर्षलम्ब $B E$ और $C F$ खींचे गए हैं। दर्शाइए कि ये शीर्षलम्ब बराबर हैं।
हल :
दिया है : ABC समद्विबाहु $\Delta$ है जिसमें बराबर भुजाओं $A C$ तथा $A B$ पर क्रमशः लम्बशीर्ष $B E$ तथा $C F$ खींचे गये है।
सिद्ध करना है : 'लम्बशीर्ष $B E=$ लम्बशीर्ष $C F$.
उपपत्ति : $\triangle A B E$ तथा $\triangle A C F$ में,
$\angle A=\angle A$(उभयनिष्ठ)
$\angle A E B=\angle A F C=90^{\circ}$(दिया है)
$A B=A C$(दिया है)
$\triangle A B E \cong \triangle A C F$(AAS सवांगसमता के नियम से)
$B E=C F$(संवांगस त्रिभुजों के संगत भाग)
इति सिद्धम ।
प्रश्न 12.
$A B C$ एक त्रिभुज है जिसमें $A C$ और $A B$ पर खींचे गए शीर्षलम्ब $B E$ और $C F$ बराबर हैं (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि
(i) $\triangle A B E \cong \triangle A C F$
(ii) $A B=A C$, अर्थात $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल :
$A B C$ एक $\Delta$ है जिसमें $A C$ तथा $A B$ पर खींचे गये शीर्षलम्ब $B E$ तथा $C F$ बराबर हैं। सिद्ध करना है : (i) $\triangle A B E \cong \triangle A C F$
(ii) $A B=A C$ या $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु $\Delta$ है।
उपपत्ति : (i) $\triangle A B E$ तथा $\triangle A C F$ में,
$B E=C F$(दिया है)
$\angle A=\angle A$(उभयनिष्ठ)
$\angle A E B=\angle A F C=90^{\circ}$(दिया है)
$\Delta A B E \cong \triangle A C F$(AAS सवांगसमता के नियम से)
(ii)$A B=A C$(सवांगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग)
अतः $\triangle A B C$ एक 'समद्विबाहु $\Delta$ है। इति सिद्धम्।
प्रश्न 13
ABC और DBC समान आधार $B C$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $\angle A B D=\angle A C D$ है।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ तथा $\triangle D B C$ समान आधार $B C$ पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं।
सिद्ध करना है : $\angle A B D=\angle A C D$
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में, (दिया है)
$\angle A B C=\angle A C B$ …(i) (समद्विबाहु $\Delta$ प्रमेय से )
$\triangle D B C$ में, $B D=C D$ (दिया है)
$\angle D B C=\angle D C B$...(ii)
समी. (i) व (ii) को जोड़ने पर,
$\angle A B C+\angle D B C=\angle A C B+\angle D C B$
अत:$\angle A B D=\angle A C D$
प्रश्न 14
ABC सक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसमें $A B=A C$ है। भुजा $B A$ बिन्दु $D$ तक इस प्रकार बढ़ाई गई है कि $A D=A B$ है (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि $\angle B C D$ एक समकोण है।
हल :
$\triangle A B C$ में,
AB=AC (दिया है)
∠ACB=∠ABC ...(1)
(: समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
AB=AD
इसलिए $\triangle A D C$ में,$A D=A C$ $(\because A B=A C)$
$\angle A C D=\angle A D C$............(2)
$[\because$ समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं]
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\angle A C B+\angle A C D &=\angle A B C+\angle A D C \\\angle B C D &=\angle AB C+\angle B D C\end{aligned}$
$[\because \angle A D C=\angle B D C]$
$\begin{aligned} 2 \angle B C D &=180^{\circ} \\ \angle B C D &=90^{\circ} \end{aligned}$
अतः $\angle B C D$ एक समकोण है।
प्रश्न 15.
$A B C$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle A=90^{\circ}$ और $A B=A C$ है। $\angle B$ और $\angle C$ ज्ञात कीजिए।
हल :
प्रश्नानुसार एक समकोण त्रिभुज $A B C$ है जिसमें
तथा
$\angle A=90^{\circ}$ $A B=A C$
$\triangle A B C$ में
$A B=A C$ $A B=A C$
अर्थात् $\angle C=\angle B$...........(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
अब पुन: $\triangle A B C$ में,
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$
$\left[\because \angle A=90^{\circ}\right.$ (दिया है) तथा $\angle B=\angle C$ समीकरण (i) से]
$\begin{aligned} 2 \angle B &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ 2 \angle B &=45^{\circ} \\ \angle B&=45^{\circ} \\ \angle C &=\angle B \\ \angle C &=45^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 16.
दर्शाइए कि किसी समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है। हल : माना कि एक समबाहु त्रिभुज $A B C$ है।
हल : माना कि एक समबाहु त्रिभुज $A B C$ है।
$\therefore$ $A B=B C=A C$
यदि $A B=B C$ है तो
$\angle C=\angle A$................(i)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्पुख कोण हैं।]
पुन: यदि
$A B=A C$ है तो
$\angle C=\angle B$.........(ii)
[क्योंकि ये समान भुजाओं के सम्मुख कोण हैं।]
अब 'समीकरण (i) व (ii) से
$\angle A=\angle B=\angle C$..............(iii)
अब $\triangle A B C$ में,
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$..........(iv)
(त्रिभुज के कोण के योग गुणधर्म से)
$\angle A+\angle A+\angle A=180^{\circ}$
$3 \angle A=180^{\circ}$
$\angle A=60^{\circ}$
$\because$ 'समीकरण (iii) से,
$\angle A=\angle B=\angle C$
$\angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}$
इसका अर्थ है कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ होता है।
प्रश्न 17.
दो समकोण त्रिभुजों में एक त्रिभुज की एक भुजा और एक न्यूनकोण दूसरे त्रिभुज की संगत भुजा और कोण के बराबर है ।सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज सर्वांगसम हैं ।
हल :
दो समकोण त्रिभुज $A B C$ तथा $P Q R$ हैं जिनमें
$\begin{aligned} \angle B &=\angle Q=90^{\circ} \\ B C &=Q R \\ \angle A C B &=\angle P R Q \end{aligned}$
सिद्ध करना है : $\Delta A B C \cong \Delta P Q R$
उपपत्ति : $\triangle A B C$ तथा $\triangle P Q R$ में,
$\angle A B C=\angle P Q R$(दोनों $90^{\circ}$ के है)
$\angle A C B=\angle P R Q$(दिया है)
$B C=Q R$ (दिया है)
$\triangle A B C \cong \Delta P Q R$(A.S.A. की सर्वांगसमता से) यही सिद्ध करना था ।
यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 18.
चित्र में, $\triangle A B C$ की दो भुजाएँ $A B$ और $B C$ तथा माध्यिका $A D$ क्रमशः $\triangle P Q R$ की भुजाओं $P Q$, $Q R$ तथा माध्यिका $P M$ के बराबर हैं । सिंद्ध कीजिए कि $\triangle A B C$ तथा $\triangle P Q R$ सर्वांगसम हैं ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ और $\triangle P Q R$ दो त्रिभुजों में $A B=P Q, B C=Q R$ तथा माध्यिका $A D=P M$.
सिद्ध करना है :
$\begin{aligned} \Delta A B C & \cong \triangle P Q R \\ B C &=Q R \\ \frac{B C}{2} &=\frac{Q R}{2} \\ B D &=Q M \end{aligned}$
पुनः $\triangle A B D$ और $\triangle P Q M$ से,
$A B=P Q$(दिया है)
$A D=P M$(दिया है)
$B D=Q M$( ज्ञात कर लिया है)
$\triangle A B D \cong \Delta P Q M$(S.S.S. की सवीगसमता से)
$\angle B=\angle Q$...(1)
पुन : $\triangle A B C$ तथा $\triangle P Q R$ में,
$A B=P Q$(दिया है)
$B C=Q R$,(दिया है)
$\angle B=\angle Q$(सम्बन्ध (1) से ]
$\triangle A B C \cong \Delta P Q R$(S.A.S. की सवांगसमता से)
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 19.
चित्र में, $A B=A C$ तथा $D B=D C$ सिद्ध कीजिए कि
$\angle A B D=\angle A C D .$
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में,
$A B=A C$
$\triangle A B C$ में एक बिन्दु ऐसा है कि
$D B=D C$
सिद्ध करना है :
$\angle A B D=\angle A C D$
उपपत्ति : बिन्दु $D$ की दो स्थितियाँ हैं ।
(i) एक $\triangle A B C$ के अन्दर ।
(ii) एक ΔABC के बाहर
$\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned}A B &=A C \\\angle A B C &=\angle A C B\end{aligned}$
$\triangle B C D$ में,
$\begin{aligned}D B &=D C \\\angle D B C &=\angle D C B\end{aligned}$
प्रथम स्थिति में,
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
$\begin{aligned}\angle A B C-\angle D B C &=\angle A C B-\angle D C B \\\angle A B D &=\angle A C D\end{aligned}$
द्वितीय स्थिति में,
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर
$\begin{aligned}\angle A B C+\angle D B C &=\angle A C B+\angle D C B \\\angle A B D &=\angle A C D\end{aligned}$
प्रश्न 20. चित्र का अवलोकन कीजिए । समझाइये कि बिना नदी को पार किए कोई व्यक्ति किस प्रकार नदी की चौड़ाई ज्ञात कर सकता है ।
हल :
प्रश्नानुसार, चित्र देखकर बिना नदी को प़ार किये नदी की चौड़ाई $A B$ ज्ञात करने के लिए नदी के एक किनारे पर $A B$ के लम्बवत् चलकर कोई दूरी $B M$ लेंगे जिसका मध्य बिन्दु $O$ ज्ञात करेंगे तथा बिन्दु $M$ से एक लम्ब खींचेंगे जिस पर बिन्दु $N$ इस प्रकार लेंगे कि बिन्दु $N, O$ और $A$ एक सीध में हो जाएँ । $M N$ को नाप लेंगे जो नदी की चौड़ाई $A B$ के बराबर होगी ।
प्रमाण : चित्रानुसार,
$\triangle A B O$ और $\triangle N M O$ में,
$\begin{aligned} \angle B &=\angle M \\ \angle A O B &=\angle N O M \\ B O &=M O \\ \triangle A O B & \cong \triangle N O M \\ A B &=M N \end{aligned}$
$M N$ को नाप सकते हैं जो कि नदी की चौड़ाई $A B$ के बराबर होगी ।
प्रश्न 21. सिद्ध कीजिए कि किसी त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनने वाले चार त्रिभुजों में से प्रत्येक त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होता है ।
हल : दिया है : माना $\triangle A B C$ की भुजाओं $A B, B C$ तथा $A C$ के मध्य बिन्दु $P, R$ तथा $Q$ हैं ।
सिद्ध करना है : $\triangle A P Q, \triangle B P R, \Delta C Q R$ तथा $\triangle P Q R$ चारों $\triangle A B C$ के समरूप हैं ।
रचना : PQ, PR तथा QR को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle A P Q$ तथा $\triangle A B C$ में,
$\angle A P Q=\angle A B C$
$\angle A Q P=\angle A C B$
$\angle A$ दोनों में उभयनिष्ठ है ।
अतः $\Delta A P Q \cong \Delta A B C$ (A.A.A. की सर्वागसमता से) .
इसी प्रकार, सिद्ध किया जा सकता है कि
$\begin{aligned} \Delta B P R \cong \triangle A B C \\ \Delta C Q R & \equiv \triangle A B C \\ \Delta P Q R & \cong \triangle A B C \end{aligned}$
प्रश्न 22. मान लीजिए कि रेखाखण्ड $A B$ और $C D$ बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित करते हैं कि $A O=O D$ और $O B=O C$ है । सिद्ध कीजिए कि $A C=B D$ किन्तु यहाँ यह आवश्यक नहीं है कि $A C$ और $B D$ समान्तर हों ।
हल : दिया है : $A B$ तथा $C D$ रेखाखण्ड बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदित करते हैं और
OA=OD
OB=OC
सिद्ध करना है :
AC=BD
रचना : AC तथा DB को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle A O C$ तथा $\triangle B O D$ में,
$O A=O D$(दिया है) '
$O C=O B$(दिया हैं)
$\angle A O C=\angle B O D$(सम्पुख कोण हैं)
$\begin{aligned} \triangle A O C & \cong \triangle B O D \\ A C &=B D \end{aligned}$
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 23. $\triangle A B C$ और $\triangle D B C$ एक ही आधार $B C$ पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $A$ और $D$ भुजा $B C$ के एक ही ओर स्थित हैं (देखिए आकृति) । यदि $A D$ बढ़ाने पर $B C$ को $P$ पर प्रतिच्छेद करे, तो दर्शाइए कि
(i) $\triangle A B D \cong \triangle A C D$
(ii) $\triangle A B P \cong \Delta A C P$
(iii) $A P$ कोण $A$ और कोण $D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
(iv) $A P$ रेखाखण्ड $B C$ का लम्ब समद्विभाजक है।
हल : दिया है : $\triangle A B C$ तथा $\triangle D B C$ एक ही आधार $B C$ पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $A$ व $D$ भुजा $B C$ के एक ही ओर स्थित हैं। $A D$ बढ़ाने पर $B C$ को $P$ पर प्रतिच्छेदित करता है। सिद्ध करना है : (i) $\triangle A B D \cong \triangle A C D$
(ii) $\triangle A B P \cong \Delta A C P$
(iii) $A P$ कोण $A$ तथा कोण $D$ दोनों को समह्विभाजित करता है।
(iv) $A P$ रेखाखण्ड $B C$ का लम्ब समदिभाजक है।
उपपत्ति : (i) $\triangle A B D$ तथा $\triangle A C D$ में,
$A B=A C$(दिया है)
$B D=C D$(दिया है)
$A D=A D$(उभयनिष्ठ)
$\triangle A B D \cong \triangle A C D$(SSS सवांगसमता के नियम से)
$\angle B A D=\angle C A D$('सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
$\therefore A D$ या $A P$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है। इति सिद्धम्।
(ii) $\triangle A B P$ तथा $\triangle A C P$ में,
$\angle B A P=\angle C A P$(ऊपर सिद्ध किया है)
$A B=A C$(दिया है)
$A P=A P$(उभयनिष्ठ)
$\triangle A B P \cong \triangle A C P$(SAS नियम) इति सिद्धम्।
(iii) $\triangle B P D$ तथा $\triangle C P D$ में,
$P D=P D$(उभयनिष्ठ)
$B D=C D$(दिया है)
$B P=C P$(ऊपर सिद्ध किया है)
$\triangle B P D \cong \Delta C P D$(SSS नियम से)
$\angle B D P=\angle C D P$
क्योंकि $B P=C P$
$\therefore A P, \angle A$ तथा $\angle D$ को समद्विभाजित करता है।
(iv) : $\angle A P B=\angle A P C$ (समांगसम' त्रिभुजों के सगत भाग)
लेकिन $\angle A P B+\angle A P C=180^{\circ}$ (रेखिक युग्म)
$\therefore$ $\angle A P B=$ समकोण त्रिभुज
$\therefore$ $A P \perp B C$
or $B P=P C$ (सवांगसम त्रिभ्जों के संगत भाग)
अतः $A P$ रेखाखण्ड $B C$ का लम्ब समद्विभाजक है।
प्रश्न 24. $A D$ एक समद्विबाहु त्रिभुज $A B C$ का एक शीर्षलम्ब है, जिसमें $A B=A C$ है। दर्शाइए कि (i) $A D$ रेखाखण्ड $B C$ को समद्विभाजित करता है। (ii) $A D$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है।
हल :
दिया है : (i) AD एक समद्विबाहु $\triangle A B C$ का एक लम्बशीर्ष है जिसमें $A B=A C$ सिद्ध करना है : $A D$ रेखाखण्ड $B C$ को समद्विभाजित करता है।
(ii) $A D$ कोण $\angle A$ को समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में,
$A B=\mathrm{AC}$,
$\angle B=\angle C$
(समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान होते हैं)
$\triangle A B D$ तथा $\triangle A C D$ में,
$A D=A D$(उभयनिष्ठ)
$A B=A C$(दिया है)
$\angle A D B=\angle A D C$(प्रत्येक $90^{\circ}$ )
$\triangle A B D \cong \triangle A C D$(R.H.S. नियम)
$B D=C D$(सर्वांगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग)
$\angle B A D=\angle C A D$
इस प्रकार (i) $A D, B C$ को समाद्वियाजित करता है,
(ii) $A D, \angle A$ समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 25. एक त्रिभुज $A B C$ की दो भुजाएँ $A B$ और $B C$ तथा माध्यिका $A M$ क्रमशः एक-दूसरे त्रिभुज की भुजाओं $P Q$ और $Q R$ तथा माध्यिका $P N$ के बराबर हैं (देखिए आकृति) । दर्शाइए कि
(i) $\triangle A B M \cong \Delta P Q N$
(ii) $\triangle A B C \cong \Delta P Q R$
हल : (i) $\triangle A B C$ तथा $\triangle P Q R$ में,
$A B=P Q$ (दिया है)
$B C=Q R$(दिया है)
$A M=P N$(दिया है)
चूँकि $A M$ तथा $P N$ क्रमशः $\triangle A B C$ तथा. $\triangle P Q R$ की माध्यिकाएँ हैं।
अब, B C=Q R(दिया है)
$\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} Q R$
$B M=Q N$...........(i)
अब, $\triangle A B M$ तथा $\triangle P Q N$ में,
$A B=P Q$(दिया है)
$B M=Q N$(समी. (i) से)
$A M=P N$(दिया है)
$\therefore$ भुजा-भुजा-भुजा सव्वांगसम' गुणधर्म से,
$\Delta A B M \cong \triangle P Q N$
(ii) $\triangle A B C$ तथा $\triangle P Q R$ में,
$\begin{aligned} A B &=P Q \\ \angle B &=\angle Q \\ B C &=Q R \\ \triangle A B C & \cong \triangle P Q R \end{aligned}$
प्रश्न 26. $B E$ और $C F$ एक त्रिभुज $A B C$ के दो बराबर शीर्षलम्ब हैं। RHS सर्वांगसमता' नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल : प्रश्नानुसार त्रिभुज की रचना कर अब $\triangle B E C$ और $\triangle C F B$ में
$\angle B E C=\angle C F B$ [प्रत्येक $90^{\circ}$ ]
[क्यांकि $B E \perp A C$ और $C F \perp A B]$
$\dot{B} C=B C$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$B E=C F$ (दिया है)
$\Delta B E C \cong \Delta C F B$
[सर्वागसमता के नियम RHS से]
$E C=F B$ ...(i)
[क्योंकि ये सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
अब पुनः $\triangle A E B$ तथा $\triangle A F C$ में,
$\angle A E B=\angle A F C$ [प्रत्येक $90^{\circ}$ (दिया है)]
$\angle A=\angle A$(उभयनिष्ठ कोण)
$E B=F C$(दिया है)
$\Delta A E B \cong \Delta A F C$(सर्वांगसमता के नियम $\mathrm{AAS}$ के अनुसार)
$A E=A F$…(ii)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
अब समींकरण (i) व (ii) को जाड़ने पर
या
$E C+A E=F B+A F$
$A C=A B$
अब $\triangle A B C$ में हमें प्राप्त है
$A B=A C$
अर्थात् $\triangle A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 27. $A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $A B=A C$ है। $A P \perp B C$ खींचकर दर्शाइए कि $\angle B=\angle C$ है।
हल : दिया है : चित्रानुसार एक समद्विबाहु त्रिभुज $A B C$ है। जिसमें $A B=A C$.
सिद्ध करना है :
$\angle B=\angle C$
रचना : भुजा $B C$ पर लम्ब $A P$ खीचा।
उपपत्ति : $\triangle A B P$ तथा $\triangle A C P$ में,
$\angle A P B=\angle A P C$[प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ ] (रचना से)
$A B=A C$(दिया है)
$A P=A P$(उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\triangle A B P \cong \triangle A C P$('सर्वांगसम के नियम RHS के अनुसार)
$\angle B=\angle C$[क्योंकि ये सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं]
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