प्रश्नावली 2(B)
बहुविकल्पीय प्रश्न :
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हुए हैं, सही उत्तर छाँटिए :
प्रश्न 1
निम्नलिखित में घात 2 का बहुपद है :
(i) $4 x+\frac{1}{4 x}$
(ii) $\sqrt{x+8 x-4}$
(iii) $3 x^{2}+4 x+7$
(iv) $5 x^{3}+3 x^{2}+3 x+7$
उत्तर :
विकल्प (iii) $3 x^{2}+4 x+7 .$
प्रश्न 2
बहुपद $x^{4}+3 x+x^{5}+7$ की घात होगी :
(i) शून्य
(ii) एक
(iii) चार
(iv) पाँच।
उत्तर :
विकल्प (iv) पाँचे।
प्रश्न 3
यदि $P(x)=4 x^{2}+8 x+5$ और q(x)=0 तो $P(x) \cdot q(x)$ का मान होगा :
(i) $4 x^{2}+8 x+5$
(ii) $4 x^{2}+8 x$
(iii) $4 x^{2}+5$
(iv) 0
उत्तर :
(iv) 0
प्रश्न 4
बहुपद 9x+1 की घात है :
(i) 9
(ii) 8
(iii) 1
(iv) 0
उत्तर :
विकल्प (iii) 1
प्रश्न 5
बहुपद $x\left(5 x^{5}+3 x\right)$ की घात है :
(i) 6
(ii) 5
(iii) 1
(iv) 0
उत्तर : विकल्प (i) 6
प्रश्न 6
बहुपद 10 की घात है :
(i) अनन्त
(ii) शून्य
(iii) इसकी घात परिभाषित नहीं है
(iv) 1
उत्तर :
विकल्प (ii) शून्य।
प्रश्न 7
यदि घात p(x)=0 और घात q(x)=35, तब घात p(x)+q(x) है :
(i) 10
(ii) 35
(iii) 25
(iv) 12 .
उत्तर : विकल्प (ii) 35 .
प्रश्न 8
घात p(x)=3, घात q(x)=5, तब p(x).q(x) है :
(i) 8
(ii) 3
(iii) 5
(iv) 2
उत्तर : विकल्प (i) 8 .
अतिलघु उत्तरीय प्रश्न :
प्रश्न 9
निम्नलिखित में से प्रत्येक बहुपद की घात ज्ञात कीजिए :
(i) 9
(ii) 3
(iii) 0
(iv) 2x+5
(v) $2x^{2}+4x+5$
(vi) (x+3)(x+4)
(vii) $2 x\left(x^{2}+9\right)$
(viii) $\frac{x^{3}+2 x^{2}+4 x}{x}$
उत्तर :
(i) 9 की घात =0
(ii) 3 की घात =0
(iii) 0 की घात =0
(iv) 2x+5 की घात =1
(v) $2 x^{2}+4 x+5$ की घांत =2
(vi) (x+3)(x+4) की घात =2
(vii) $2 x\left(x^{2}+9\right)$ की घात =3
(viii) $\frac{x^{3}+2 x^{2}+4 x}{r}$ की घात =2
प्रश्न 10
निम्नलिखित बहुपद समूहों का योगफल ज्ञात कीजिए और प्रत्येक योगफल की घात बताइए :
(i) $3 y^{2}-7 y+5$ और $6 y^{3}+5 y-7$
(ii) $\begin{aligned} p(x) &=3 x^{2}+5 x-2 \\ q(x) &=-3 x^{2}-5 x+6 \\ q(x) &=-3 x^{2}-5 x+6\end{aligned}$
(iii)
$\begin{aligned} p(y) &=y^{2}+y^{2}-7 \\ q(y) &=y^{3}+y^{2}+3 y+4 \end{aligned}$
(iv)
$\begin{aligned} p(u) &=3 u^{2}-3 u+6 \\ q(u) &=-u^{2}+4 u+3 \\ \text { और } r(u) &=-2 u^{2}+4 \end{aligned}$
हल :
(i) योगफल
$\begin{aligned} &=\left(3 y^{2}-7 y+5\right)+\left(6 y^{3}+5 y-7\right) \\ &=6 y^{3}+3 y^{2}-2 y-2 \end{aligned}$
घात =3
(ii) योगफल
$\begin{aligned} &=\left(3 x^{2}+5 x-2\right)+\left(-3 x^{2}-5 x+6\right)=4 \end{aligned}$
घात=0
(iii) योगफल
$\begin{aligned}&=p(y)+q(y) \\&=y^{2}+y-7+y^{3}+y^{2}+3 y+4 \\&=y^{3}+2 y^{2}+4 y-3\end{aligned}$
घात=3
(iv) योगफल
$\begin{aligned}&=p(u)+q(u)+r(u) \\&=\left(3 u^{2}-3 u+6\right)+\left(-u^{2}+4 u+3\right)+\left(-2 u^{2}+4\right) \\&=u+13 \end{aligned}$
घात=1
प्रश्न 11
निम्नलिखित बहुपद में प्रत्येक बहुपद की घात लिखिए :
(i) $5 x^{3}+4 x^{2}+7 x$
(ii) $4-y^{2}$
(iii) $5 t-\sqrt{7}$
(iv) 3
हल :
(i) $5 x^{2}+4 x^{2}+7 x$ में चर x की.अधिकतम घात 3 है। अतः बहुपद की घात 3 है।
(ii) $4-y^{2}$ में चर y की अधिकतम घात 2 है।
अतः बहुपद की घात 2 है।
(iii) $5 t-\sqrt{7}$ में चर t की अधिकतम घात एक है।
अतः बहुपद की एक घात है।
(iv) 3 या $3 x^{\circ}$ में चर की घात शून्य है।
अतः समीकरण का घात शून्य है।
प्रश्न 12
निम्नलिखित बहुपदों में कौन-कौन से बहुपद रैखिक हैं , कौन-कौन से द्विघाती हैं, और कौन-कौन से त्रिघाती हैं ?
(i) $x^{2}+x$
(ii) $x-x^{3}$
(iii) $y+y^{2}+3$
(iv) $1+x$
(v) $3 t$
(v) $r^{2}$
(vii) $7 x^{3}$
हल :
(i) $x^{2}+x$ में चर x की अधिकतम घात 2 है।
अतः यह एक द्विघातीय बहुपद है।
(ii) $x-x^{3}$ में चर x की अधिकतम घात 3 है।
अतः यह त्रिघातीय बहुपद है।
(iii) $y+y^{2}+3$ में चर y की अधिकतम घात 2 है।
अतः द्विघातीय बहुपद है।
(iv) 1+x में चर x की अधिकतम घात 1 है।
अतः यह एक रैखिक बहुपद है।
(v) 3t में चंर t की अधिकतम घात 1 है।
अतः यह एक रैखिक बहुपद है।
(vi) $r^{2}$ में चर की अधिकतम घात 2 है।
अतः यह एक द्विघातीय बहुपद है।
(vii) $7 x^{3}$ में चर x की अधिकतम घात 3 है।
अतः यह एक त्रिघातीय बहुपद है।
लघु उत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 13
निम्नलिखित्त में, पहले बहुपद में से दूसरे बहुपद को घटाइए और अन्तर की घात ज्ञात कीजिए :
(i) $\begin{aligned}&p(y)=y^{3}-3 y^{2}+y+2 \\&q(y)=y^{3}+2 y+1\end{aligned}$
(ii) $\begin{aligned} p(x) &=\frac{4}{3}+\frac{3}{5} x-5 x^{2}+\frac{1}{2} x^{3}+x^{5} \\ q(x) &=x^{4}-x^{3}+\frac{1}{3} x^{2}-x+\frac{2}{3}\end{aligned}$
(iii) $\begin{aligned}p(x) &=2 x^{4}-6 x^{3}+4 x+1 \\ q(x) &=2 x^{3}+6 x-3 \end{aligned}$
हल :
(i)
अन्तर =p(y)-q(y)
$=\left(y^{3}-3 y^{2}+y+2\right)-\left(y^{3}+2 y+1\right)$
$=y^{3}-3 y^{2}+y+2-y^{3}-2 y-1$
$=-3 y^{2}-y+1$
घात =2
(ii)
$\begin{aligned} p(x)-q(x) &=\left(\frac{4}{3}+\frac{3}{5} x-5 x^{2}+\frac{1}{2} x^{3}+x^{5}\right)-\left(x^{4}-x^{3}+\frac{1}{3} x^{2}-x+\frac{2}{3}\right) \\ &=\frac{4}{3}+\frac{3}{5} x-5 x^{2}+\frac{1}{2} x^{3}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-\frac{1}{3} x^{2}+x-\frac{2}{3} \\ &=x^{5}-x^{4}+\frac{3}{2} x^{3}-\frac{16}{3} x^{2}+\frac{8}{5} x+\frac{2}{3} \end{aligned}$
घात=5
(iii)
$\begin{aligned} p(x)-q(x) &=\left(2 x^{4}-6 x^{3}+4 x+1\right)-\left(2 x^{3}+6 x-3\right) \\ &=2 x^{4}-6 x^{3}+4 x+1-2 x^{3}-6 x+3 \\ &=2 x^{4}-8 x^{3}-2 x+4\end{aligned}$
घात=4
प्रश्न 14
निम्नलिखित में से प्रत्येक में $p(x)$ को $q(x)$ से गुणा कीजिए और इस गुणनफल की घात ज्ञात कीजिए :
(i) $p(x)=x^{2}-2 x+1$ और $q(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x-1$
(ii) $p(x)=x^{2}+2 x+3$ और q(x)=x-1
हल :
(i)
$p(x) \times q(x)=\left(x^{2}-2 x+1\right)\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x-1\right)$
$=x^{2}\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x-1\right)-2 x\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x-1\right)+1\left(x^{3}-3 x^{2}+2 x-1\right)$
$=x^{5}-3 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-2 x^{4}+6 x^{3}-4 x^{2}+2 x+x^{3}-3 x^{2}+2 x-1$
$=x^{5}-5 x^{4}+9 x^{3}-8 x^{2}+4 x-1$
घात =5
(ii)
$\begin{aligned} p(x) \times q(x) &=\left(x^{2}+2 x+3\right) \times(x-1) \\ &=x^{3}+2 x^{2}+3 x-x^{2}-2 x-3 \\ &=x^{3}+x^{2}+x-2 \end{aligned}$
घात=3
प्रश्न 15
निम्नलिखित में p(x)+q(x) ज्ञात कीजिए और बहुपद की घात बताइए :
(i) $p(x)=x^{3}-1, q(x)=x-1$
(ii) $p(x)=x^{4}+2 x^{3}+5 x^{2}+7 x, q(x)=x$.
हल :
(i)
$\begin{aligned} \frac{p(x)}{q(x)} &=\frac{x^{3}-1}{x-1} \\ &=\frac{(x-1)\left(x^{2}+1+x\right)}{(x-1)} \\ &=x^{2}+1+x \end{aligned}$
घात=2
(ii)
$\begin{aligned} \frac{p(x)}{q(x)} &=\frac{x^{4}+2 x^{3}+5 x^{2}+7 x}{x} \\ &=\frac{x\left(x^{3}+2 x^{2}+5 x+7\right)}{x} \\ &=x^{3}+2 x^{2}+5 x+7 \end{aligned}$
घात=3
प्रश्न 16
$8 x^{3}-3 x^{2}+5 x-9$ में क्या जोड़ें कि 'योगफल $7 x^{3}+x^{2}-3 x+4$ प्राप्त हो जाये ?
हल :
अभीष्ट संख्या $=\left(7 x^{3}+x^{2}-3 x+4\right)-\left(8 x^{3}-3 x^{2}+5 x-9\right)$
$=7 x^{3}+x^{2}-3 x+4-8 x^{3}+3 x^{2}-5 x+9$
$=-x^{3}+4 x^{2}-8 x+13$
प्रश्न 17
$6 x^{3}+5 x^{2}-3 x-4$ में से क्या घटाएँ कि $8 x^{3}+2 x^{2}-x-10$ प्राप्त हो जाए ?
उत्तर :
अभीष्ट संख्या
$\begin{aligned} &=\left(6 x^{3}+5 x^{2}-3 x-4\right)-\left(8 x^{3}+2 x^{2}-x-10\right)^{\prime} \\ &=6 x^{3}+5 x^{2}-3 x-4-8 x^{3}-2 x^{2}+x+10 \\ &=-2 x^{3}+3 x^{2}-2 x+6 \end{aligned}$
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