Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 12 हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) प्रश्नावली 12A

 प्रश्नावली 12.1

प्रश्न 1. 

उन त्रिभुजों के क्षेत्रफल निकालो' जिनकी भुजाएँ निम्नलिखित हैं :

(i) 21 मीटर, 17 मीटर, 10 मीटर

हल :

माना

a=21 मीटर, b=17 मीटर, c=10 मीटर 

$\begin{aligned}s &=\frac{a+b+c}{2}=\frac{21+17+10}{2} \\&=\frac{48}{2}\end{aligned}$

=24 मीटर

तब सूत्र,

त्रिभुज का क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{24(24-21)(24-17)(24-10)} \\&=\sqrt{24 \times 3 \times 7 \times 14} \\&=\sqrt{7056} \end{aligned}$

=84 वर्ग मीटर

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल =84 वर्ग मीटर।

(ii) 21 सेमी, 20 सेमी, 13 सेमी।

हल : 

माना

a=21 सेमी, b=20 सेमी, c=13 सेमी 

तब

$\begin{aligned}s &=\frac{a+b+c}{2}=\frac{21+20+13}{2} \\&=\frac{54}{2}\end{aligned}$

=27 सेमी

सूत्र : 

क्षेत्रफल

$\begin{aligned} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{27(27-21)(27-20)(27-13)} \\ &=\sqrt{27 \times 6 \times 7 \times 14} \\ &=\sqrt{15876} \end{aligned}$

=126 वर्ग सेमी।

अतः अभीष्ट क्षेत्रफल =126 वर्ग सेमी।

(iii) 15 मीटर, 20 मीटर, 25 मीटर।

हल : माना

a=15 मीटर, b=20 मीटर, c=25 मीटर

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15+20+25}{2}$

सूत्र :

$=\frac{60}{2}$=30 मीटर

क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{30(30-15)(30-20)(30-25)} \\&=\sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5} \\&=\sqrt{450 \times 50} \\&=\sqrt{22500}\end{aligned}$

=1.50 वर्ग सेमी

अत: अभीष्ट क्षेत्रफल $=150$ वर्ग सेमी।

(iv) $a=25$ मीटर, $b=17$ मीटर, $c=12$ मीटर।

हल :

माना 

a=25 मीटर, b=17 मीटर, c=12 मीटर 

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{25+17+12}{2}=\frac{54}{2}$

=27 मीटर 

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}  &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{27(27-25)(27-17)(27-12)} \\ &=\sqrt{27 \times 2 \times 10 \times 15} \\ &=\sqrt{54 \times 150} \\ &=\sqrt{8100} \end{aligned}$

=90 वर्ग मीटर 

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल $=90$ वर्ग मीटर।

प्रश्न 2. 

उन समबाहु त्रिभुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करो जिनकी भुजाएँ निम्न हैं :

(i) 10 सेमी।

हल :

समबाहु त्रिभुज की भुजा =10 सेमी

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4}$ भुजा $^{2}$

$\begin{aligned} &=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 100 \\ &=\sqrt{3} \times 25 \\&=25 \sqrt{3} \end{aligned}$

अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल $=25 \sqrt{3}$ वर्ग सेमी।

(ii) 16 मीटर ।

हल :

समबाहु त्रिभुज की भुजा $=16$ मीटर

समबाहु त्रिभुज की क्षेत्रफल$=\frac{\sqrt{3}}{4}$ (भुजा )$^{2}$

$\begin{aligned}&=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 256 \\&=\sqrt{3} \times 64\end{aligned}$

$=64 \sqrt{3}$ वर्ग मीटर

अत: अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल $=64 \sqrt{3}$ वर्ग मीटर।

प्रश्न 3. 

एक 'यातायात संकेत बोर्ड पर ' आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा ' $a$ ' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी. है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा ?

हल : 

माना समबाहु $\Delta$ की प्रत्येक भुजा $=a$,

अर्द्धपरिमाप $S=\frac{a+a+a}{2}=\frac{3 a}{2}$

त्रिभुज का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(\frac{3 a}{2}\right)\left(\frac{3 a}{2}-a\right)\left(\frac{3 a}{2}-a\right)\left(\frac{3 a}{2}-a\right)} \\ &=\sqrt{\frac{3 a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{a}{2}}  \end{aligned}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ वर्ग इकाई 

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना, जब इसका परिमाप =180 सेमी

⇒a+a+a=180 सेमी

⇒$a=\frac{180}{3}$ सेमी=60 

अभीष्ट क्षेत्रफल $=\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 60^{2}$ सेमी $^{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \times 60 \times 60$ सेमी $^{2}$

$=900 \sqrt{3}$ सेमी $^{2} ।$

प्रश्न 4. 

किसी फ्लाईओवर (flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 122 मीटर, 22 मीटर और 120 मीटर हैं (देखिए आकृति) । इस विज्ञापन से प्रति वर्ष 5000 रु. प्रति मीटर $^{2}$ की प्रापि होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 मह़ीने के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?

हल : 

माना भुजाएँ a=122 मीटर, b=22 मीटर, c=120 मीटर हों, तब

$\begin{aligned}s &=\frac{a+b+c}{2} \\&=\frac{122+22+120}{2} \end{aligned}$

=132 मीटर

त्रिभुजाकार दीवार का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)^{\prime}}$, हीरोन सूत्र से

$\begin{aligned}&=\sqrt{132(132-122)(132-22)(132-120)}  \\&=\sqrt{132 \times 10 \times 110 \times 12} \end{aligned}$

=1320 मीटर $^{2}$

किराये की दर =5000 रु. प्रति वर्ग मीटर प्रति वर्ष

3 महीने का कुल किराया $=\left(5000 \times 1320 \times \frac{3}{12}\right)$ रु.

=16,50,000  रु.

प्रश्न 5.

एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 6 सेमी और शेष भुजाओं में से प्रत्येक 5 सेमी है। उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

आधार $=6$ सेमी

अब $\triangle A B D$ में,

$\begin{aligned}A D &=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}} \\&=\sqrt{25-9} \\&=\sqrt{16}, \quad\left[\because B D=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 6\right]\end{aligned}$

=3 सेमी 

ऊँचाई $=A D=4$ सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2}$ आधार $\times$ ऊँचाई

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 6 \times 4 \\&=3 \times 4 \\&=12 \end{aligned}$

अभीष्ट त्रिभुज का क्षेत्रफल =12 वर्ग सेमी।

प्रश्न 6. 

किसी त्रिभुजाकार पीतल की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जबकि उसकी भुजाएँ 3 मीटर, 4 मीटर तथा 5 मीटर हैं।

हल : माना

a=3 मीटर, b=4 मीटर, c=5 मीटर

$s=\frac{a+b+c}{2}$

$=\frac{3+4+5}{2}=\frac{12}{2}$

=6 मीटर

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$ $=\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}=\sqrt{36}$ 

=6 वर्ग मीटर

अतः त्रिभुजाकार पीतल की चादर का क्षेत्रफल =6 वर्ग मीटर।

प्रश्न 7. 

एक त्रिभुजाकार पार्क का परिमाप 180 मीटर तथा भुजाएँ $5: 6: 7$ के अनुपात में हैं। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना

भुजाएँ $a: b: c=5: 6: 7$

समानुपाती भागों का योग $=1.8$

परिमाप $=180$ मीटर

भुजा $a=\frac{5}{18} \times 180=50$ मीटर

$b=\frac{6}{18} \times 180$=60 मीटर

$c=\frac{7}{18}×180$=70 मीटर 

$s=\frac{a+b+c}{2}$

$=\frac{50+60+70}{2}$

$=\frac{180}{2}=90$

पार्क का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{90(90-50)(90-60)(90-70)} \\ &=\sqrt{90 \times 40 \times 30 \times 20} \\ &=\sqrt{2160000}\end{aligned}$

$=600 \sqrt{6}$  वर्ग मीटर। 

प्रश्न 8. 

उस त्रिभुजाकार पार्क का क्षेत्रफल उसमें श $4.50$ प्रति वर्ग मीटर की दर से घास लगवाने का खर्च ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 30 मीटर, 40 मीटर और 50 मीटर हैं।

हल : 

त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 30 मीटर, 40 मीटर और 50 मीटर हैं।

a=30 मी., b=40 मी. , c=50 मी.

$s=\frac{a+b+c}{2}$

$=\frac{30+40+50}{2}=\frac{120}{2}=60$

पार्क का क्षेत्रफल 

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{60(60-30)(60-40)(60-50)} \\&=\sqrt{60 \times 30 \times 20 \times 10} \end{aligned}$

=600 वर्ग मीटर 

∵1 वर्ग मीटर घास लगवाने का खर्च $=$ २ $4.50$

∴600 वर्ग मीटर घास लगवाने का खर्च $=4.50 \times 600$

=2700.00

अतःपार्क का क्षेत्रफल =600 वर्ग मीटर

तथा पार्क में घास लगवाने का खर्च =2700.00

उत्तर

प्रश्न 9. 

किसी पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पाश्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर "पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए" लिखा हुआ है (देखिए आकृति) । यदि इस दीवार की विमाएँ 15 मीटर, 11 मीटर और 6 मीटर हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना भुजाएँ $a=15$ मीटर, $b=11$ मीटर, $c=6$ मीटर हों, तब

$s=\frac{a+b+c \cdot 15+11+6}{2}$

=16 मीटर

हीरोन सूत्र का प्रयोग करने पर अभीष्ट क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\&=\sqrt{16(16-15)(16-11)(16-6)} \\&=\sqrt{16 \times 1 \times 5 \times 10}  \\&=4 \times 5 \times \sqrt{2} \end{aligned}$

$=20 \sqrt{2}$ मीटर $^{2}$

उत्तर

प्रश्न 10. 

उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 सेमी और 10 सेमी हैं तथा उसका परिमाप 42 सेमी है।

हल : 

माना $a, b$ और $c$ एक त्रिभुज की भुजाएँ हों, तब,

$a=18$ सेमी, $b=10$ सेमी और $a+b+c=42$ सेमी

$\begin{array}{ll}\therefore & . c=42-a-b \\ \Rightarrow & c=(42-18-10)\end{array}$

=14 सेमी 

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)=\frac{1}{2} \times 42=21$

s-a=(21-18) सेमी=3 सेमी

s-b=(21-10) सेमी=11 सेमी

s-c=(21-14) सेमी =7 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$=\sqrt{21 \times 3 \times 11 \times 7}$ सेमी $^{2}$

$=\sqrt{3 \times 7 \times 3 \times 11 \times 7}$ सेमी $^{2}$

$=\sqrt{3 \times 3 \times 7 \times 7 \times 11}$ सेमी $^{2}$

$=3 \times 7 \sqrt{11}$ सेमी $^{2}$

$=21 \cdot \sqrt{11}$ सेमी $^{2} ।$

प्रश्न 11. 

एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात $12: 17: 25$ है और उसका परिमाप 540 सेमी है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

त्रिभुज का परिमाप $=540$ सेमी

माना त्रिभुज की भुजाएँ $a=12 x, b=17 x, c=25 x$

अब

$\begin{aligned}a+b+c &=540 \\12 x+17 x+25 x &=540 \\54 x &=540 \\x &=10^{5} \end{aligned}$

$a=12 x=12 \times 10$=120 सेमी 

$b=17 x=17 \times 10$=170 सेमी

$c=25 x=25 \times 10$=250 सेमी

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{540}{2}$=270 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल

 $\begin{aligned} &=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &=\sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)} \\ &=\sqrt{270 \times 150 \times 100 \times 20} \\ &=\sqrt{9 \times 3 \times 10 \times 5 \times 3 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 2}  \\ &=\sqrt{9 \times 9^{\prime} \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10}  \\ &=9 \times .10 \times 10 \times 10 \end{aligned}$

=9000  सेमी $^{2}$

प्रश्न 12. 

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप $30 \mathrm{~cm}$ है और उसकी बराबर भुजाएँ $12 \mathrm{~cm}$ लम्बाई की हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार त्रिभुज का परिमाप $=30 \mathrm{~cm}$

अर्थात् $\quad 12 \mathrm{~cm}+12 \mathrm{~cm}+x=30 \mathrm{~cm}$

$\begin{aligned}24 \mathrm{~cm}+x &=30 \mathrm{~cm} \\x &=30 \mathrm{~cm}-24 \mathrm{~cm} \\x &=6 \mathrm{~cm}\end{aligned}$

त्रिभुज का अर्ध्ध-परिमाप $(s)=\frac{12+12+6}{2}$

$-\frac{30}{2}=15 \mathrm{~cm}$

हीरोन के सूत्रानुसार Δ का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$\begin{aligned}&=\sqrt{15(15-12)(15-12)(15-6)} \\&=\sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 9} \mathrm{~cm}^{2} \\&=\sqrt{15 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} \\&=3 \times 3 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{2} \\&=9 \sqrt{15} \mathrm{~cm}^{2}\end{aligned}$