प्रश्नादली 13 (D)
प्रश्न 1.
एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी. है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 सेमी. और 6 सेमी. हैं। इस छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है :
तिर्यक ऊँचाई (l)=4 सेमी.
$2 \pi r_{1}=18$ सेमी. और $2 \pi r_{2}=6$ सेमी.
$\pi_{1}=\frac{18}{2}=9$ सेमी. और $\pi r_{2}=\frac{6}{2}=3$ सेमी.
∴छिन्नक का वक्र पृष्ठ
$\begin{aligned}&=\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l \\&=\left(\pi r_{1}+\pi r_{2}\right) l \\&=(9+3) \times 4 =12 \times 4 \end{aligned}$
=48 सेमी. $^{2}$
प्रश्न 2.
धातु की चादर से बना और ऊपर से खुला एक बर्तन शंकु के एक छिन्नक के आकार का है, जिसकी ऊँचाई 16 सेमी. है तथा निचले और ऊपरी सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 सेमी. और 20 सेमी. हैं। ₹ 20 प्रति लीटर की दर से, इस बर्तन को पूरा भर सकने वाले दूध का मूल्य ज्ञात कीजिए। साथ ही, इस बर्तन को बनाने के लिए प्रयुक्त धातु की चादर का मूल्य ₹ 8 प्रति 100 सेमी. $^{2}$ की दर से ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ लीजिए।)
हल :
दिया है :
माना शंकु छिन्नक की त्रिज्याएँ, $r_{1}=20$ सेमी., $r_{2}=8$ सेमी., और ऊँचाई $h=16$ सेमी.
∴ छिन्नक का आयतन
$=\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)$
$=\frac{1}{3} \times \frac{314}{100} \times 16\left[20^{2}+8^{2}+20 \times 8\right]$ सेमी. $^{3}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{314}{100} \times 16[400+64+16 \mathrm{p}]$ सेमी $^{3}$
$=\frac{1}{3} \times \frac{314}{100} \times 16 \times 624$ सेमी. $^{3}=\left[\frac{314}{100} \times 16 \times 208\right]$ सेमी.
$=\left[\frac{314}{100} \times 16 \times 208\right]+1000 $
$=\frac{314 \times 16 \times208}{100000}$ लीटर
दूध की कीमत $=₹ 20 \times \frac{314 \times 16 \times 208}{100000}$
$=\frac{628 \times 16\times 208}{10000} $
$=₹ \frac{2089984}{10000}=₹ 208.998 \approx ₹ 209 $
दिए गये छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई, $l=\sqrt{h^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}$
$\begin{aligned}&=\sqrt{16^{2}+(20-8)^{2}}=\sqrt{16^{2}+12^{2}} \\&=\sqrt{256+144}=\sqrt{400}\end{aligned}$
=20 सेमी.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l=\frac{314}{100}(20+8) \times 20$
$=\frac{314}{100} \times 28 \times 20 =\frac{314}{5} \times 28 $
$=\frac{8792}{5}$
=1758.4 सेमी. $^{2}$
आधार का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}=\frac{314}{100} \times 8 \times 8$
$=\frac{20096}{100}$
=200.96 सेमी.
आवश्यक धातु का क्षेत्रफल $=1758.4$ सेमी. $^{2}+200.96$ सेमी. $^{2}$
=1959.36 सेमी. $^{2}$
धातु की कीमत $=₹ \frac{8}{100} \times 1959.36=₹ 156.75$. उत्तर
प्रश्न 3.
एक तुर्की टोपी शंकु के एक छिन्लक के आकार की है (देखिए आकृति)। यदि इसके खुले सिरे की त्रिज्या 10 सेमी. है, ऊपरी सिरे की त्रिज्या 4 सेमी. और टोपी की तिर्यक ऊँचाई 15 सेमी. है, तो इसके बनाने में प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना टोपी के खुले सिरे की त्रिज्या $\left(r_{1}\right)=10$ सेमी.
और टोपी के ऊपरी सिरे की. त्रिज्या $\left(r_{2}\right)=4$ सेमी.
तिर्यक ऊँचाई $(l)=15$ सेमी.
$\therefore$ प्रयुक्त पदार्थ का क्षेत्रफल
= छिन्नक का वक्र पृष्ठ + टोपी के ऊपरी सिरे का क्षेत्रफल
$=\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l+\pi r_{2}^{2}$ $=\frac{22}{7} \times(10+4) \times 15+\frac{22}{7} \times 4 \times 4$ $=\left[\frac{22}{7} \times 14 \times 15+\frac{22}{7} \times 16\right] \cdot$ सेमी. $^{2}$ $=\left[(22 \times 2 \times 15)+\left(\frac{22 \times 16}{7}\right)\right]$ सेमी. $^{2}$ $=\left(660+\frac{352}{7}\right)$ सेमी. $^{2}=\frac{4620+352}{7}$ सेमी. $^{2}=\frac{4972}{7}$ सेमी. $^{2}$ $=710 \frac{2}{7}$ सेमी. $^{2} 1$
प्रश्न 4.
20 सेमी. ऊँचाई और शीर्ष कोण (vertical angle) $60^{\circ}$ वाले एक शंकु को उसकी ऊँचाई के बीचों बीच से होकर जाते हुए एक तल से दो भागों में काटा गया है, जबकि तल शंकु के आधार के समान्तर है। यदि इस प्राप्त शंकु के छिन्नक को व्यास $\frac{1}{16}$ सेमी. वाले एक तार के रूप में बदल दिया जाता है तो तार की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना दिए गयें शंकु $\mathrm{ABC}$ का छिन्नक $\mathrm{DECB}$ है।
यहाँ, $r_{1}=\mathrm{BO}$ और $r_{2}=\mathrm{DO}^{\prime}$
$\triangle \mathrm{AOB}$ में, $\frac{r_{1}}{\left(h_{1}+h_{2}\right)}=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\triangle \mathrm{AOB}$ में,
$\begin{aligned}\frac{r_{1}}{\left(h_{1}+h_{2}\right)} &=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\r_{1} &=\left(h_{1}+h_{2}\right) \times \frac{1}{\sqrt{3}} \\&=20 \times \frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}$
$\triangle \mathrm{ADO}^{\prime}$ में,
$\begin{aligned}&\frac{r_{2}}{h_{1}}=\tan 30^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\&r_{2}=h_{1} \times \frac{1}{\sqrt{3}}=10 \times \frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}$
अब, छिन्नक DBCE का आयतन
$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi h_{2}\left[r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right]=\frac{1}{3} \times \pi \times10\left[\left(\frac{20}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\left(\frac{10}{\sqrt{3}}\right)^{2}+\frac{20}{\sqrt{3}}\times \frac{10}{\sqrt{3}}\right] \\&=\frac{\pi}{3} \times 10\left[\frac{400}{3}+\frac{100}{3}+\frac{200}{3}\right]=\frac{\pi}{3}\times 10\left[\frac{700}{3}\right]\end{aligned}$
चूँकि छिद्नक को एक तार के रुप में बदला जाता है जिसका व्यास $(\mathrm{D})=\frac{1}{16}$ सेमी है।
माना तार की लम्बाई ' $l$ ' है। और एक तार का रूप' बेल नाकार होता है।
$\therefore \quad$ तार (बेलन) का आयतन $=\pi r^{2} l$
या $=\pi\left(\frac{\mathrm{D}}{2}\right)^{2} \times l=\frac{\pi \mathrm{D}^{2} l}{4}=\frac{\pi l}{4 \times 16 \times 16}$
$\because\mathrm{D}=\frac{1}{16}$
∵ छिन्नक का आयतन = तार का आयतन
∴$ \left[\frac{\pi}{3} \times 10 \times \frac{700}{3}\right]$
$=\frac{\pi l}{4 \times 16 \times 16} $
$=\frac{\pi l}{4 \times 16 \times 16} $
या $\frac{l}{4 \times 16 \times 16}=\frac{10 \times 700}{3 \times 3}$
या $l=\frac{10 \times 700}{3 \times 3} \times 4 \times \frac{16}{100} \times \frac{16}{100}$ मीटर
$=\frac{7168000}{9 \times 100}=7964.44$
अतः तार की अभीष्ट लम्बाई 7964.44 मी. है।
प्रश्न 5.
टीन की बनी हुई एक तेल की कुप्पी 10 सेमी. लंबे एक बेलन में एक शंकु के छिन्नक को जोड़ने से बनी है। यदि उसकी कुल ऊँचाई 22 सेमी. है, बेलनाकार भाग का व्यास 8 सेमी. है, और कुप्पी के ऊपरी सिरे का व्यास 18 सेमी. है, तो इसके बनाने में लगी टीन की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति)।
हल :
दिया है : कुप्पी के बेलनाकार भाग का व्यास =8 सेमी.
त्रिज्या $(r)=\frac{8}{2}=4$ सेमी.
ऊँचाई, h=10 सेमी.
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times 4 \times 10 \\&=\frac{22}{7} \times 80 \end{aligned}$ सेमी. $^{2}$
छिन्नक के लिए :
$\begin{aligned}&r_{1}=\frac{18}{2} =9 \\&r_{2}=\frac{8 }{2}\end{aligned}$
=4 सेमी.
ऊँचाई H=22-10=12 सेमी.
∴तिर्यक ऊँचाई (l)
$\begin{aligned} &=\sqrt{\mathrm{H}^{2}+\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}}=\sqrt{(12)^{2}+(9-4)^{2}} \\ &=\sqrt{144+5^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13 \end{aligned}$
∴ वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल, $\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l=\frac{22}{7} \times(4+9) \times 13$ सेमी.
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 13 \times 13 \\&=\frac{22}{7} \times 169\end{aligned}$
वुर्णी निर्मित करने में लगी टिन की चादर का क्षेत्रफल = छिन्नक का क्षेत्रफल + बेलनाकार भाग का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=2 \pi r_{2} h+\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l \\&=\frac{22}{7} \times 169 +\frac{22}{7} \times 80=\frac{22}{7}\times(169+80) \\&=\frac{22}{7} \times 249 =\frac{5478}{7} =782 \frac{4}{7}\end{aligned}$ सेमी. $^{2}$
प्रश्न 6.
एक खोख़ले शंकु को आधार के संमान्तर किसी समतल द्वारा काटा जाता है और ऊपर के सिरों को हटा दिया जाता है। शेष भाग का वक्र पृष्ठ; सम्पूर्ण शंकु के वक्र तल के पृष्ठ का $\frac{8}{9}$ भाग है। शंकु का उन्नतांशं' (Altitude) किसी समतल के द्वारा बाँटने पर रेखाखण्ड' का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
मान लीजिए PQR एक खोखला शंकु है, जिसकी ऊँचाई $H$, तिर्यक ऊँचाई $L$ और आधार त्रिज्या R है। साथ ही माना PQ'R' एक छोटा शंकु है, जिसकी ऊँचाई $h$, तिर्यक ऊँचाई $l$ और आघार की त्रिज्या $r$ है।
स्पष्टतः $\triangle \mathrm{PQ}^{\prime} \mathrm{R}^{\prime} \sim \triangle \mathrm{PQR}$,
$\frac{\mathrm{PO}^{\prime}}{\mathrm{PO}}=\frac{\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{Q}^{\prime}}{\mathrm{OQ}}=\frac{\mathrm{PQ}^{\prime}}{\mathrm{PQ}}$
$\frac{h}{\mathrm{H}}=\frac{r}{\mathrm{R}}=\frac{l}{\mathrm{~L}}$...........(i)
दिया है कि :
QRR' Q' का वक्र पृष्ठ $=\frac{8}{9} \times$ शुंकु के वक्र तल का पृष्ठ
$\pi(\mathrm{R}+r)(\mathrm{L}-l)=\frac{8}{9} \pi \mathrm{RL}$
$\left(\frac{\mathrm{R}+r}{\mathrm{R}}\right)\left(\frac{\mathrm{L}-l}{\mathrm{~L}}\right)=\frac{8}{9}$
$\left(1+\frac{r}{\mathrm{R}}\right)\left(1-\frac{l}{\mathrm{~L}}\right)=\frac{8}{9}$
समीकरण (i) के प्रयोग से,
$\begin{aligned}\left(1+\frac{h}{\mathrm{H}}\right)\left(1-\frac{h}{\mathrm{H}}\right) &=\frac{8}{9} \\1-\frac{h^{2}}{\mathrm{H}^{2}} &=\frac{8}{9} \\\frac{h^{2}}{\mathrm{H}^{2}} &=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9} \\\frac{h}{\mathrm{H}} &=\frac{1}{3} \\h &=\frac{\mathrm{H}}{3}\end{aligned}$
अभीष्ट अनुपात $=\frac{h}{\mathrm{H}-h}$
$=\frac{\frac{\mathrm{H}}{3}}{\mathrm{H}-\frac{\mathrm{H}}{3}}=\frac{\frac{\mathrm{H}}{3}}{\frac{2 \mathrm{H}}{3}}$
$=\frac{\mathrm{H}}{3} \times \frac{3}{2 \mathrm{H}}=\frac{1}{2}$
=1: 2 .
उत्तर
प्रश्न 7.
एक बात्टी जो 8 सेमी ऊँचाई की है। ताँबे की चादर से एक लम्बवृत्तीय' शंकु के आकार का एक छिन्नक है। जिसके नीचे तथा ऊपर के सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 3 सेमी तथा 9 सेमी हैं। गणना कीजिए :
(i) बाल्टी वाले भाग के शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
(ii) बात्टी में भरे जा सकने वाले पांनी का आयतन ज्ञात कीजिए।
(iii) बात्टी के बनाने वाली ताँबें की चादर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल :
माना शंकु के छिन्नक की ऊँचाई $h$, तिर्यक ऊँचाई $l$ तथा आधार के सिरों की त्रिज्याएँ $r_{1}$ तथा $r_{2}$ है। साथ ही दिया है : $h=8$ सेमी, $r_{1}=9$ सेमी तथा $r_{2}=3$ सेमी।
(i) माना बाल्टी वाले शंकु के भाग की ऊँचाई $h_{1}$ हो, तब
$\begin{aligned}h_{1} &=\frac{h r_{1}}{r_{1}-r_{2}}=\frac{8 \times 9}{9-3}=\frac{8 \times 9}{6}\end{aligned}$
=12 सेमी।
(ii) माना बाल्टी में भरे जा सकने वाले पानी का आयतन $V$ होता है, तब
$\mathrm{V}=$ छिन्नक का आयतन $=\frac{1}{3} \pi\left(r_{1}^{2}+r_{1} r_{2}+r_{2}^{2}\right) h$
$=\frac{1}{3} \pi\left(9^{2}+9 \times 3+3^{2}\right) \times 8$ $=\frac{1}{3} \pi(81+27+9) \times 8$
$=\frac{1}{3} \pi \times 117 \times 8$ $=312 \pi$ घन सेमी। उत्तर
(iii) मान लीजिए बाल्टी को बनाने में लगी ताँबे की चादर का क्षेत्रफल S हो, तब
जहाँ $\mathrm{S}=\pi\left(r_{1}+r_{2}\right) l+\pi r_{2}^{2}$ $l=$ छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई
∴
$\begin{aligned}l &=\sqrt{\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}=\sqrt{(9-3)^{2}+8^{2}} \\&=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \\\mathrm{S} &=\pi(9+3) 10+\pi \times 3^{2} \\&=\pi[120+9] \end{aligned}$
=129𝛑 वर्ग सेमी।
प्रश्न 8.
एक शंकु की ऊँचाई 30 सेमी है। आधार के समान्तर किसी समतल के द्वारा एक छोटा शंकु काटा गया है। इसका आयतन दिए शंकु के आयतन का $\frac{1}{27}$ है। आधार से ऊपर कितनी ऊँचाई पर यह भाग है।
हल :
माना दिए शंकु आयतन $V$ घन सेमी है, तब कटे हुए छोटे शंकु का आयतन
$=\frac{\mathrm{V}}{27}$ घन सेमी
मांना $\mathrm{CD}=h$ सेमी
अब समरूप $\Delta \mathrm{ODB}$ तथा $\triangle \mathrm{OCE}$ में,
शंकु OAB का आयतन / शंकु OCE का आयतन
$\begin{aligned} &=\frac{\frac{1}{3} \pi(\mathrm{DB})^{2} \cdot \mathrm{OD}}{\frac{1}{3} \pi(\mathrm{CE})^{2} \cdot \mathrm{OC}} \\ &=\left(\frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{CE}}\right)^{2} \cdot \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}} \\ &=\left(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}}\right)^{2} \cdot \frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}} \\ &=\left(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}}\right)^{3} \\ \frac{\mathrm{V}}{\mathrm{V}} &=\left(\frac{\mathrm{OD}}{\mathrm{OC}}\right)^{3}=\left(\frac{30}{30-h}\right)^{3} \\ 27 &=\left(\frac{30}{30-h}\right)^{3} \end{aligned}$
$\begin{aligned} 3 &=\frac{30}{30-h} \\ 90-3 h &=30 \\ 3 h &=60 \end{aligned}$
h=20 सेमी
प्रश्न 9.
8 सेमी त्रिज्या और 12 सेमी ऊँचाई वाले शंकु को आधाहर के समाम्तर बीच से दो बराबर भागों में विभाजित' किया गया है। दोनों भागों के आयतनों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल :
माना ORN एक शंकु है और शंकु के आधार की त्रिज्या; $r_{1}=8$ सेमी और ऊँचाई, h=12 सेमी, OM=12 सेमी
माना OM का मध्य बिन्दु P है, तब
$\begin{aligned} \mathrm{OP} &=\mathrm{PM}=\frac{12}{2}=6 \text { सेमी } \\ \Delta \mathrm{OPD} & \sim \Delta \mathrm{OMN} \\ \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}} &=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{MN}} \\ \frac{6}{12} &=\frac{\mathrm{PD}}{8} \Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{\mathrm{PD}}{8} \end{aligned}$
PD=4 सेमी।
∵ समतल CD, शंकु को दो भ्ग्रगों में बाँटता है।
(i) छोटे शंकु की त्रिज्या 4 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी
(ii) शंकु के छिन्नक के लिए,
छिन्नक की ऊपरी त्रिज्या, $r_{1}=8$ सेमी
तली की त्रिज्या, $r_{2}=4$ सेमी
ऊँचाई, $h=6$ सेमी
छोटे शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r_{2}^{2} h=\frac{1}{3} \times \pi(4)^{2} \times 6=32 \pi$ सेमी $^{3}$ और शंकु के छिन्नक का आयतन $=\frac{1}{3} \pi h\left(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{1} r_{2}\right)=\frac{1}{3} \pi \times 6\left(8^{2}+4^{2}+8 \times 4\right)$ $=2 \pi(64+16+32)=224 \pi$ सेमी $^{3}$
अभीष्ट अनुपात = शंकु का आयतन : छिन्नक का आयतन $=32 \pi: 224 \pi=1: 7$.
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