प्रश्नावली 8 E
बहुविकल्पीय' प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं सही उत्तर छाँटकर लिखिए।
प्रश्न 1.
यदि $\sin \theta=\frac{3}{5}$ तो $\tan \theta$ का मान है :
(i) $\frac{3}{4}$
(ii) $\frac{4}{3}$
(iii) $\frac{3}{5}$
(iv) $-\frac{3}{5}$.
हल :
$\sin \theta=\frac{3}{5}$
$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \\ \tan \theta &=\frac{3}{4} \end{aligned}$
अतः विकल्प (i) $\frac{3}{4}$.
प्रश्न 2.
$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}$ का मान है :
(i) 1 से काम
(ii) 1
(iii) 1 से अधिक
(iv) 10 .
हल :
$\begin{aligned}\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-75^{\circ}\right)}{\cos75^{\circ}} \\&=\frac{\cos 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=1\end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) 1 .
प्रश्न 3.
$\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 81^{\circ}}$ का मान है :
(i) 1 से अधिक
(ii) 1
(iii) 4 से कम
(iv) 0 .
हल :
$\begin{aligned}\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 81^{\circ}} &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-81^{\circ}\right)}{\cos 81^{\circ}}\\&=\frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 81^{\circ}}=1\end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) 1 .
प्रश्न 4.
$\sin ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ का मान है :
(i) $\cos ^{2} \theta$
(ii) $\cot ^{2} \theta$
(iii) $\tan ^{2} \theta$
(iv) $\operatorname{cosec}^{2} \theta$
हल :
$\begin{aligned}\sin ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta &=\sin ^{2} \theta \times \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \\&=\tan ^{2} \theta\end{aligned}$
अतः विकल्प (iii) $\tan ^{2} \theta$. उत्तर
प्रश्न 5.
$(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$ बराबर है-
(i) 0
(ii) 1
(iii) 2
(iv) -1
हल :
ज्ञात है: $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$
$\begin{aligned}&=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin\theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \\&=\left(\frac{\cos \theta+\sin \theta+1}{\cos \theta}\right)(\sin \theta+\cos \theta-1) \\&=\frac{[(\sin \theta+\cos \theta)+1][(\sin \theta+\cos \theta)-1]}{\sin \theta \cos \theta} \\&=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^{2}-1}{\sin \theta \cos \theta} \\&=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta}\end{aligned}$
$=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta}$
$=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$=2$
अतः विकल्प (iii) सही है।
प्रश्न 6.
$\tan \theta=\sin \theta$, तो $\theta$ का मान होगा :
(i) $45^{\circ}$
(ii) $60^{\circ}$
(iii) $90^{\circ}$
(iv) $0^{\circ}$.
हल :
$\tan \theta=\sin \theta$
$\begin{aligned} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} &=\sin \theta \\ \cos \theta &=1=\cos 0^{\circ} \\ \theta &=0^{\circ} \end{aligned}$
अतः विकल्प (iv) $0^{\circ}$.
प्रश्न 7.
$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ के लिए $\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)$ बराबर है :
(i) $\cos \theta$
(ii) $\sin \theta$
(iii) $\tan \theta$
(iv) $\cot \theta$
हल :
$\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta$
अतः विकल्प (ii) $\sin \theta$.
प्रश्न 8.
यदि $\tan \theta=\frac{a}{b}$ हो, तो $\frac{b \sin \theta-a \cos \theta}{b \sin \theta+a \cos \theta}$ का मान होगा :
(i) 1
(ii) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$
(iii) $\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}}$
(iv) 0 .
हल :
$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{a}{b} \\ \frac{b \sin \theta-a \cos \theta}{\sin \theta+a \cos \theta} &=\frac{\cos \theta[b \tan \theta-a]}{\cos \theta[b \tan \theta+a]} \\ &=\frac{b \times \frac{a}{b}-a}{b \times \frac{a}{b}+a}=\frac{a-a}{a+a} \\ &=\frac{0}{2 a}=0 . \end{aligned}$
अतः विकल्प (iv) 0 .
प्रश्न 9.
$9 \sec ^{2} \mathrm{~A}-9 \tan ^{2} \mathrm{~A}$ बराबर है-
(i) 1
(ii) 9
(iii) 8
(iv) 0 .
हल :
ज्ञात है : $9 \sec ^{2} \mathrm{~A}-9 \tan ^{2} \mathrm{~A}$
$=9\left(\sec ^{2} A-\tan ^{2} A\right)$
$=9 \times 1$$\quad\left(\because \sec ^{2} A-\tan ^{2} A=1\right)$
=9
अतः विकल्प (ii) सही है।
प्रश्न 10.
$\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}$ बराबर है-
(i) $\sec ^{2} \mathbf{A}$
(ii) $-1$
(iii) $\cot ^{2} \mathrm{~A}$
(iv) $\tan ^{\frac{2}{2}} \mathrm{~A}$
हल :
$\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}}$
$=\frac{\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}}{\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}}=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}} \times \frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{1}=\tan ^{2} \mathrm{~A}$
अतः विकल्प (iv) $\tan ^{2} \mathrm{~A}$.
प्रश्न 11.
यदि $\sec \theta=2$ तो $\theta$ की माप होगी :
(i) $\frac{\pi}{2}$
(ii) $\frac{\pi}{3}$
(iii) $\frac{\pi}{4}$
(iv) $\frac{\pi}{6}$.
हल :
$\begin{aligned}\sec \theta &=2 \\\cos \theta &=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ} \\\theta &=60^{\circ}=\frac{\pi}{3} .\end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) $\frac{\pi}{3}$.
प्रश्न 12.
सिद्ध कीजिए कि :
$\frac{1}{\sec A+\tan A}=\sec A-\tan A$
हल :
बायाँ पक्ष :
$=\frac{1}{\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}}=\frac{1 \times(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A})}{(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A})(\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A})}$
$=\frac{\sec A-\tan A}{\sec ^{2} A-\tan ^{2} A}$
$=(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}) \quad\left[\because \sec ^{2} \mathrm{~A}-\tan ^{2}=1\right]$
= दायाँ पक्ष।
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि :
$\sec ^{2} \theta+\operatorname{coses}^{2} \theta=\sec ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta $
हल :
बायाँ पक्ष :
$\begin{aligned} \sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta &=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \\ &=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta} \\ &=\frac{1}{\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta} \\ &=\sec ^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta \end{aligned}$
= दायाँ पक्षा
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि : $\frac{1}{\sec \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta+1}=2 \cot ^{2} \theta$
हुल :
बायाँ पक्ष :
$\frac{1}{\sec \theta-1}-\frac{1}{\sec \theta+1}=\frac{(\sec \theta+1)-(\sec \theta-1)}{(\sec \theta-1)(\sec\theta+1)}$
$=\frac{\sec \theta+1-\sec \theta+1}{\sec ^{2} \theta-1}$
$=\frac{2}{\tan ^{2} \theta}$
$=2 \cot ^{2} \theta$
= दायाँ पक्ष।
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए कि : $\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta=1$.
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta \\&=\sin ^{2} \theta \frac{1}{\sin ^{2}}=1\end{aligned}$
=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए कि :
$\cos ^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta+\sin \theta=\operatorname{cosec} \theta$
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\cos ^{2} \theta \operatorname{cosec} \theta+\sin \theta \\&=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta}+\sin \theta \\&=\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta} \\&=\frac{1}{\sin \theta}=\operatorname{cosec} \theta\end{aligned}$
=दायाँ पक्ष।
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