Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 8 त्रिकोंणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8 E

  प्रश्नावली 8 E

बहुविकल्पीय' प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं सही उत्तर छाँटकर लिखिए।

प्रश्न 1.

 यदि $\sin \theta=\frac{3}{5}$ तो $\tan \theta$ का मान है :

(i) $\frac{3}{4}$

(ii) $\frac{4}{3}$

(iii) $\frac{3}{5}$

(iv) $-\frac{3}{5}$.

हल : 

$\sin \theta=\frac{3}{5}$

$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sin \theta}{\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}} \\ &=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{\frac{3}{5}}{\sqrt{\frac{16}{25}}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} \\ \tan \theta &=\frac{3}{4} \end{aligned}$

अतः विकल्प (i) $\frac{3}{4}$.

प्रश्न 2. 

$\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}$ का मान है :

(i) 1 से काम

(ii) 1

(iii) 1 से अधिक

(iv) 10 .

हल :

$\begin{aligned}\frac{\sin 15^{\circ}}{\cos 75^{\circ}} &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-75^{\circ}\right)}{\cos75^{\circ}} \\&=\frac{\cos 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}=1\end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) 1 .

प्रश्न 3.

$\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 81^{\circ}}$ का मान है :

(i) 1 से अधिक

(ii) 1

(iii) 4 से कम

(iv) 0 .

हल :

$\begin{aligned}\frac{\sin 9^{\circ}}{\cos 81^{\circ}} &=\frac{\sin \left(90^{\circ}-81^{\circ}\right)}{\cos 81^{\circ}}\\&=\frac{\cos 81^{\circ}}{\cos 81^{\circ}}=1\end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) 1 .

प्रश्न 4. 

$\sin ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta$ का मान है :

(i) $\cos ^{2} \theta$

(ii) $\cot ^{2} \theta$

(iii) $\tan ^{2} \theta$

(iv) $\operatorname{cosec}^{2} \theta$

हल :

$\begin{aligned}\sin ^{2} \theta \cdot \sec ^{2} \theta &=\sin ^{2} \theta \times \frac{1}{\cos ^{2} \theta} \\&=\tan ^{2} \theta\end{aligned}$

अतः विकल्प (iii) $\tan ^{2} \theta$. उत्तर

प्रश्न 5. 

$(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$ बराबर है-

(i) 0

(ii) 1

(iii) 2

(iv) -1

हल : 

ज्ञात है: $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$

$\begin{aligned}&=\left(1+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}\right)\left(1+\frac{\cos \theta}{\sin\theta}-\frac{1}{\sin \theta}\right) \\&=\left(\frac{\cos \theta+\sin \theta+1}{\cos \theta}\right)(\sin \theta+\cos \theta-1) \\&=\frac{[(\sin \theta+\cos \theta)+1][(\sin \theta+\cos \theta)-1]}{\sin \theta \cos \theta} \\&=\frac{(\sin \theta+\cos \theta)^{2}-1}{\sin \theta \cos \theta} \\&=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta}\end{aligned}$

$=\frac{1+2 \sin \theta \cos \theta-1}{\sin \theta \cos \theta}$

$=\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$=2$

अतः विकल्प (iii) सही है।

प्रश्न 6. 

$\tan \theta=\sin \theta$, तो $\theta$ का मान होगा :

(i) $45^{\circ}$

(ii) $60^{\circ}$

(iii) $90^{\circ}$

(iv) $0^{\circ}$.

हल : 

$\tan \theta=\sin \theta$

$\begin{aligned} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} &=\sin \theta \\ \cos \theta &=1=\cos 0^{\circ} \\ \theta &=0^{\circ} \end{aligned}$

अतः विकल्प (iv) $0^{\circ}$.

प्रश्न 7. 

$0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$ के लिए $\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)$ बराबर है :

(i) $\cos \theta$

(ii) $\sin \theta$

(iii) $\tan \theta$

(iv) $\cot \theta$

हल : 

$\cos \left(90^{\circ}-\theta\right)=\sin \theta$

अतः विकल्प (ii) $\sin \theta$.

प्रश्न 8. 

यदि $\tan \theta=\frac{a}{b}$ हो, तो $\frac{b \sin \theta-a \cos \theta}{b \sin \theta+a \cos \theta}$ का मान होगा :

(i) 1

(ii) $\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

(iii) $\frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}}$

(iv) 0 .

हल :

$\begin{aligned} \tan \theta &=\frac{a}{b} \\ \frac{b \sin \theta-a \cos \theta}{\sin \theta+a \cos \theta} &=\frac{\cos \theta[b \tan \theta-a]}{\cos \theta[b \tan \theta+a]} \\ &=\frac{b \times \frac{a}{b}-a}{b \times \frac{a}{b}+a}=\frac{a-a}{a+a} \\ &=\frac{0}{2 a}=0 . \end{aligned}$

अतः विकल्प (iv) 0 .

प्रश्न 9. 

$9 \sec ^{2} \mathrm{~A}-9 \tan ^{2} \mathrm{~A}$ बराबर है-

(i) 1

(ii) 9

(iii) 8

(iv) 0 .

हल : 

ज्ञात है : $9 \sec ^{2} \mathrm{~A}-9 \tan ^{2} \mathrm{~A}$

$=9\left(\sec ^{2} A-\tan ^{2} A\right)$

$=9 \times 1$$\quad\left(\because \sec ^{2} A-\tan ^{2} A=1\right)$

=9

अतः विकल्प (ii) सही है।

प्रश्न 10.

 $\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}$ बराबर है-

(i) $\sec ^{2} \mathbf{A}$

(ii) $-1$

(iii) $\cot ^{2} \mathrm{~A}$

(iv) $\tan ^{\frac{2}{2}} \mathrm{~A}$

हल :

$\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}}$

$=\frac{\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}}{\frac{1}{\sin ^{2} \mathrm{~A}}}=\frac{1}{\cos ^{2} \mathrm{~A}} \times \frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{1}=\tan ^{2} \mathrm{~A}$

अतः विकल्प (iv) $\tan ^{2} \mathrm{~A}$.

प्रश्न 11.

 यदि $\sec \theta=2$ तो $\theta$ की माप होगी :

(i) $\frac{\pi}{2}$

(ii) $\frac{\pi}{3}$

(iii) $\frac{\pi}{4}$

(iv) $\frac{\pi}{6}$.

हल :

$\begin{aligned}\sec \theta &=2 \\\cos \theta &=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ} \\\theta &=60^{\circ}=\frac{\pi}{3} .\end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) $\frac{\pi}{3}$.

प्रश्न 12.

 सिद्ध कीजिए कि :

$\frac{1}{\sec A+\tan A}=\sec A-\tan A$

हल : 

बायाँ पक्ष :

$=\frac{1}{\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}}=\frac{1 \times(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A})}{(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A})(\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A})}$

$=\frac{\sec A-\tan A}{\sec ^{2} A-\tan ^{2} A}$

$=(\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}) \quad\left[\because \sec ^{2} \mathrm{~A}-\tan ^{2}=1\right]$

= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 13. 

सिद्ध कीजिए कि :

$\sec ^{2} \theta+\operatorname{coses}^{2} \theta=\sec ^{2} \theta \operatorname{cosec}^{2} \theta$

हल : 

बायाँ पक्ष :

$\begin{aligned} \sec ^{2} \theta+\operatorname{cosec}^{2} \theta &=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \\ &=\frac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta} \\ &=\frac{1}{\cos ^{2} \theta \sin ^{2} \theta} \\ &=\sec ^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta \end{aligned}$

= दायाँ पक्षा 

प्रश्न 15.

 सिद्ध कीजिए कि : $\frac{1}{\sec \theta-1}=\frac{1}{\sec \theta+1}=2 \cot ^{2} \theta$

हुल : 

बायाँ पक्ष :

$\frac{1}{\sec \theta-1}-\frac{1}{\sec \theta+1}=\frac{(\sec \theta+1)-(\sec \theta-1)}{(\sec \theta-1)(\sec\theta+1)}$

$=\frac{\sec \theta+1-\sec \theta+1}{\sec ^{2} \theta-1}$

$=\frac{2}{\tan ^{2} \theta}$

$=2 \cot ^{2} \theta$

= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 16. 

सिद्ध कीजिए कि : $\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta=1$.

हल :

बायाँ पक्ष 

$\begin{aligned}&=\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta \\&=\sin ^{2} \theta \frac{1}{\sin ^{2}}=1\end{aligned}$

=दायाँ पक्ष। 

प्रश्न 17. 

सिद्ध कीजिए कि :

$\cos ^{2} \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta+\sin \theta=\operatorname{cosec} \theta$

हल :

बायाँ पक्ष 

$\begin{aligned}&=\cos ^{2} \theta \operatorname{cosec} \theta+\sin \theta \\&=\cos ^{2} \theta \cdot \frac{1}{\sin \theta}+\sin \theta \\&=\frac{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta} \\&=\frac{1}{\sin \theta}=\operatorname{cosec} \theta\end{aligned}$

=दायाँ पक्ष।