प्रश्नावली 8 D
प्रश्न 1.
(i) त्रिकोणमितीय अनुपातों $\sin \mathrm{A}, \sec \mathrm{A}$ और $\tan \mathrm{A}$ को $\cot \mathrm{A}$ के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल :
$\because$$\sin A=\frac{1}{\operatorname{cosec} A}$
$\begin{aligned} \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A} &=1+\cot ^{2} \mathrm{~A} \\ \operatorname{cosec} \mathrm{A} &=\sqrt{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}} \\ \sin \mathrm{A} &=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}} \end{aligned}$
सर्वसमिका$\sec ^{2} A=1+\tan ^{2} A$ से
$\begin{aligned} \sec ^{2} A &=1+\frac{1}{\cot ^{2} A} \\ \sec ^{2} A &=\frac{\cot ^{2} A+1}{\cot ^{2} A} \\ \sec A &=\sqrt{\frac{1+\cot ^{2} A}{\cot ^{2} A}} \\ \tan A &=\frac{1}{\cot A} \end{aligned}$
(ii) $\angle \mathrm{A}$ के अन्य सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों को $\sec \mathrm{A}$ के पदों में लिखिए।
हल : त्रिकोणमिति के छ: अनुपात $\sin , \cos , \tan , \cot , \sec$ तथा $\operatorname{cosec}$ में से सभी पाँच अनुपातों को $\sec \mathrm{A}$ के पदों में निम्न प्रकार से व्यक्त करते हैं।
$\begin{aligned} \sin A &=\frac{1}{\operatorname{cosec} A} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} A}}=\frac{1}{\sqrt{1+\cot ^{2} A}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\tan ^{2} A}}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\frac{1+\tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}}=\frac{\sqrt{\tan ^{2} A}}{\sqrt{1+\tan ^{2} A}} \\ &=\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sqrt{\sec ^{2} A}} \\ &=\frac{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}{\sec A} \end{aligned}$
$\cos A=\frac{1}{\sec A}$
$\tan A=\sqrt{\tan ^{2} A}$
$\tan A=\sqrt{\sec ^{2} A-1}$
$\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}}$ $\left[\because \tan ^{2} \mathrm{~A}=\sec ^{2} \mathrm{~A}-1\right.$ से]
$\begin{aligned} \operatorname{cosec} A &=\sqrt{\operatorname{cosec}^{2} A} \\ &=\sqrt{1+\cot ^{2} A} \\ &=\sqrt{1+\frac{1}{\tan ^{2} A}}=\sqrt{\frac{\tan ^{2} A+1}{\tan ^{2} A}} \\ &=\sqrt{\frac{1+\tan ^{2} A}{\tan ^{2} A}}=\sqrt{\frac{\sec ^{2} A}{\sec ^{2} A-1}} \\ \operatorname{cosec} A &=\frac{\sec A}{\sqrt{\sec ^{2} A-1}} . \end{aligned}$
प्रश्न 2.
निम्नलिखित सर्वसमिका' को सिद्ध कीजिए :
$\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta=1+2 \tan ^{2} \theta$
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\sec ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta \\&=\left(1+\tan ^{2} \theta\right)^{2}-\tan ^{4} \theta, \left[\because 1+\tan ^{2} \theta=\sec^{2} \theta\right] \\&=1+2 \tan ^{2} \theta+\tan ^{4} \theta-\tan ^{4} \theta \\&=1+2 \tan ^{2} \theta \end{aligned}$
=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 3.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए :
$\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta}=(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta)^{2}$
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\frac{1+\cos \theta}{1-\cos \theta} \\&=\frac{(1+\cos \theta)(1+\cos \theta)}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)}\end{aligned}$
अंश व हर में $(1+\cos \theta)$ से गुणा करने पर
$=\frac{(1+\cos \theta)^{2}}{1-\cos ^{2} \theta}$
$=\frac{(1+\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta} \quad\left[\because 1-\cos ^{2} \theta=\sin ^{2} \theta\right]$
$=\left(\frac{1+\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}$
$=\left(\frac{1}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}$
$=(\operatorname{cosec} \theta+\cot \theta)^{2}$
$=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए : $(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)=2$
हल :
बायाँ पक्ष $=(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\cot \theta-\operatorname{cosec} \theta)$
$=(1+\tan \theta+\sec \theta)\left(\frac{\tan \theta+1-\tan \theta \operatorname{cosec} \theta}{\tan \theta}\right)$
$=\frac{1}{\tan \theta}(1+\tan \theta+\sec \theta)(1+\tan \theta-\sec \theta)$
$=\frac{1}{\tan \theta}\left[(1+\tan \theta)^{2}-\sec ^{2} \theta\right]$
$=\frac{1}{\tan \theta}\left[1+\tan ^{2} \theta+2 \tan \theta-\sec ^{2} \theta\right]$
$=\frac{1}{\tan \theta}\left[\sec ^{2} \theta+2 \tan \theta-\sec ^{2} \theta\right]$
$=\frac{1}{\tan \theta} \times 2 \tan \theta$
$=2=$ दायाँ णक्षे
प्रश्न 5.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए :
$\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}=\sec \theta-\tan \theta$
हल :
पहला भाग $=\frac{\cos \theta}{1+\sin \theta}$,
अंश व हर में $(1-\sin \theta)$ से गुणा करने पर
$\begin{aligned}&=\frac{\cos \theta(1-\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)} \\&=\frac{\cos \theta(1-\sin \theta)}{\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} \\&=\frac{\cos \theta(1-\sin \theta)}{\cos ^{2} \theta} \\&=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\end{aligned}$ =दूसरा भाग
तीसरा भाग
$=\sec \theta-\tan \theta=\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$=\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}$
पहला भाग = दूसरा भाग = तीसरा भाग।
प्रश्न 6.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए :
$\frac{\tan \theta+\sin \theta}{\tan \theta-\sin \theta}=\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}$
हल :
बायाँ पक्ष $=\frac{\tan \theta+\sin \theta}{\tan \theta-\sin \theta}$
$=\frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\sin \theta}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-\sin \theta}=\frac{\sin \left[\frac{1}{\cos \theta}+1\right]}{\sin \theta\left[\frac{1}{\cos \theta}-1\right]}$
$=\frac{\frac{1}{\cos \theta}+1}{\frac{1}{\cos \theta}-1}$
$=\frac{\sec \theta+1}{\sec \theta-1}$
$=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 7.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए :
$(\sec \theta-\tan \theta)^{2}=\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}$
हल :
बायाँ पक्ष
बायाँ पक्ष
$=(\sec \theta-\tan \theta)^{2}$
$=\left(\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)^{2}$
$=\left(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}\right)^{2}$
$=\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{\cos ^{2} \theta}$
$=\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{1-\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{(1-\sin \theta)^{2}}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$
$=\frac{1-\sin \theta}{1+\sin \theta}$
=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 8.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए :
$(\cos \mathrm{A}+\sec \mathrm{A})^{2}+(\sin \mathrm{A}+\operatorname{cosec} \mathrm{A})^{2}=7+\tan ^{2} \mathrm{~A}+\cot ^{2} \mathrm{~A}$
हल :
बायाँ पक्ष $(\cos A+\sec A)^{2}+(\sin A+\operatorname{cosec} A)^{2}$
$\begin{aligned}&=\cos ^{2} \mathrm{~A}+\sec ^{2} \mathrm{~A}+2 \cos \mathrm{A} \sec \mathrm{A}+\sin ^{2}\mathrm{~A}+\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A} \\&=\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}+\sec ^{2}\mathrm{~A}+2+\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}+2 \\&=1+1+\tan ^{2} \mathrm{~A}+2+1+\cot ^{2} \mathrm{~A}+2 \\&=7+\tan ^{2} \mathrm{~A}+\cot ^{2} \mathrm{~A}\end{aligned}$दायाँ पक्ष।
प्रश्न 9.
सिद्ध कीजिए : $\frac{\cos \mathbf{A}}{1+\sin \mathbf{A}}+\frac{1+\sin \mathbf{A}}{\cos \mathbf{A}}=2 \sec \mathbf{A}$.
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned} &=\frac{\cos \mathrm{A}}{1+\sin \mathrm{A}}+\frac{1+\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}} \\ &=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}+1+\sin ^{2} \mathrm{~A}+2 \sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})} \end{aligned}$
$=\frac{1+\left(\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}\right)+2 \sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$=\frac{1+1+2 \sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$\left[\because \sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}=1\right]$
$=\frac{2+2 \sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$=\frac{2(1+\sin \mathrm{A})}{\cos \mathrm{A}(1+\sin \mathrm{A})}$
$=\frac{2}{\cos \mathrm{A}}=2 \sec \mathrm{A}=$ दायाँ पक्ष
प्रश्न 10.
सिद्ध कीजिए : $\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}=1+\sec \theta \operatorname{cosec} \theta$.
हल :
बायों पक्ष
$=\frac{\tan \theta}{1-\cot \theta}+\frac{\cot \theta}{1-\tan \theta}$
$=\frac{\sin \theta / \cos \theta}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta / \sin \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}}$
$=\frac{\sin \theta / \cos \theta}{\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta / \sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}}{\cos \theta}$
$=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \frac{\sin \theta}{\sin \theta-\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta} \times \frac{\cos \theta}{\cos \theta-\sin \theta}$
$=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)}+\frac{\cos ^{2} \theta}{\sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)}$
$=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos \theta(\sin \theta-\cos \theta)} \cos ^{2} \theta$
$=\frac{\sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)}{\cos \theta \sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
$=\frac{(\sin \theta-\cos \theta)\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta\right)}{\cos \theta \sin \theta(\sin \theta-\cos \theta)}$
$=\frac{1+\sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta} \quad\left[\because \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\right]$
$=\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}+\frac{\sin \theta \cos \theta}{\cos \theta \sin \theta}$
$=\sec \theta \cdot \operatorname{cosec} \theta+1$
$=1+\sec \theta \operatorname{cosec} \theta=$ दायों पक्ष
प्रश्न 11.
सिद्ध कीजिए कि :
$\left(\frac{1+\cos \theta}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1-\cos \theta}{\cos \theta}\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta=\sec ^{2} \theta$
हल :
बायौं पक्ष
$=\left(\frac{1+\cos \theta}{\cos \theta}\right)\left(\frac{1-\cos \theta}{\cos\theta}\right) \operatorname{cosec}^{2} \theta$
$=\frac{1-\cos ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{\sin ^{2} \theta}{\cos ^{2} \theta} \cdot \frac{1}{\sin ^{2} \theta}$
$=\frac{1}{\cos ^{2} \theta}$
$=\sec ^{2} \theta$
$=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 12.
(a) सिब्द कीजिए कि : $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2}=2$.
(b) सिद्ध कीजिए कि : $(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)\left(1+\cot ^{2} \theta\right)=1$.
हल :
(a)
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=(\sin \theta+\cos \theta)^{2}+(\sin \theta-\cos \theta)^{2} \\&=\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cos \theta+\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta \\&-2 \sin \theta \cos \theta\end{aligned}$
$=2 \sin ^{2} \theta+2 \cos ^{2} \theta$
$=2\left(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta\right)$
$=2=$ दायाँ पक्ष।
(b)
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)\left(1+\cot ^{2} \theta\right) \\&=\left(1-\cos ^{2} \theta\right) \cdot \operatorname{cosec}^{2} \theta\end{aligned}$
$=\sin ^{2} \theta \times \frac{1}{\sin ^{2} \theta}$
$=1=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 13.
निम्नलिखित सर्वसमिका को सिद्ध कीजिए ः
$(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\left(1+\tan ^{2} \theta\right)=1$
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=(1-\sin \theta)(1+\sin \theta)\left(1+\tan ^{2} \theta\right) \\&=\left(1-\sin ^{2} \theta\right) \sec ^{2} \theta \\&=\cos ^{2} \theta \times \frac{1}{\cos ^{2} \theta}\end{aligned}$
=1=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 14.
सिद्ध कीजिए कि : $\frac{1-\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\sin \mathrm{A}}{1+\cos \mathrm{A}}$.
हल :
बायाँ पक्ष
$=\frac{1-\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}$
अंश व हर में $(1+\cos \mathrm{A})$ से गुणा करने पर
$\begin{aligned}&=\frac{(1-\cos \mathrm{A})(1+\cos \mathrm{A})}{\sin \mathrm{A}(1+\cos \mathrm{A})} \\&=\frac{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}(1+\cos \mathrm{A})} \\&=\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}(1+\cos \mathrm{A})} \\&=\frac{\sin \mathrm{A}}{1+\cos \mathrm{A}} \end{aligned}$=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए : $(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)^{2}=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}$
हल :
$\begin{aligned}\text { बायाँ पक्ष } &=(\operatorname{cosec} \theta-\cot \theta)^{2} \\&=\left(\frac{1}{\sin \theta}-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2} \\&=\left(\frac{1-\cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2} \\&=\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{\sin ^{2} \theta}=\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{1-\cos ^{2} \theta} \\&=\frac{(1-\cos \theta)^{2}}{(1-\cos \theta)(1+\cos \theta)} \\&=\frac{1-\cos \theta}{1+\cos \theta}\end{aligned}$
=दायाँ पक्ष।
प्रश्न 16.
सिथ्ध कीजिए कि : $\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}=\sec A-\tan A$.
हल :
बायाँ पक्ष
$=\sqrt{\frac{1-\sin A}{1+\sin A}}$
अंश व हर में $\sqrt{1-\sin \mathrm{A}}$ से गुणा करने पर
$=\sqrt{\frac{(1-\sin A)(1-\sin A)}{(1+\sin A)(1-\sin A)}}$
$=\sqrt{\frac{(1-\sin A)^{2}}{1-\sin ^{2} A}}=\sqrt{\frac{(1-\sin A)^{2}}{\cos ^{2} A}}$
$=\frac{1-\sin A}{\cos A}$
$=\frac{1}{\cos A}-\frac{\sin A}{\cos A}$
$=\sec A-\tan A$
$=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 17.
सिद्ध कीजिए : $\frac{1+\sec \mathbf{A}}{\sec \mathbf{A}}=\frac{\sin ^{2} \mathbf{A}}{1-\cos \mathbf{A}}$.
हल :
बायों पक्ष $=\frac{1+\sec A}{\sec A}$
$\begin{aligned}&=\frac{1+\frac{1}{\cos \mathrm{A}}}{1 / \cos \mathrm{A}} \\&=\frac{\cos \mathrm{A}+1}{\cos \mathrm{A}} \times \frac{\cos \mathrm{A}}{1}=1+\cos\mathrm{A}\end{aligned}$
दायाँ पक्ष $=\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{1-\cos \mathrm{A}}$
$\begin{aligned}&=\frac{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}{1-\cos \mathrm{A}} \\&=\frac{(1-\cos \mathrm{A})(1+\cos \mathrm{A})}{1-\cos \mathrm{A}} \\&=1+\cos \mathrm{A}\end{aligned}$
अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 18.
सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^{2} A=1+\cot ^{2} A$ को लागू करके सिद्ध कीजिए कि :
$\frac{\cos A-\sin A+1}{\cos A+\sin A-1}=\operatorname{cosec} A+\cot A$
हल :
बायॉँ पक्ष $=\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A}+1}{\cos \mathrm{A}+\sin \mathrm{A}-1}$
$=\frac{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}-1+\frac{1}{\sin \mathrm{A}}}{\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}+1-\frac{1}{\sin \mathrm{A}}}$
[ $\because \sin \mathrm{A}$ का अंश तथा हर में गुणा करने पर, ]
$=\frac{\cot A-1+\operatorname{cosec} A}{\cot A+1-\operatorname{cosec} A}$
$=\frac{\cot \mathrm{A}+\operatorname{cosec} \mathrm{A}-\left(\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}-\cot ^{2} \mathrm{~A}\right)}{\cot \mathrm{A}+1-\operatorname{cosec} \mathrm{A}}$
$=\frac{(\cot \mathrm{A}+\operatorname{cosec} \mathrm{A})-(\operatorname{cosec} \mathrm{A}+\cot \mathrm{A})(\operatorname{cosec} \mathrm{A}-\cot \mathrm{A})}{\cot \mathrm{A}+1-\operatorname{cosec} \mathrm{A}}$
$=\frac{(\cot \mathrm{A}+\operatorname{cosec} \mathrm{A})(1-\operatorname{cosec} \mathrm{A}+\cot \mathrm{A})}{\cot \mathrm{A}+1-\operatorname{cosec} \mathrm{A}}$
$=\cot \mathrm{A}+\operatorname{cosec} \mathrm{A}=$ दायाँ पक्ष।
प्रश्न 19.
सिद्ध कीजिए $\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta}=\tan \theta$.
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned} &=\frac{\sin \theta-2 \sin ^{3} \theta}{2 \cos ^{3} \theta-\cos \theta} \\&=\frac{\sin \theta\left(1-2 \sin ^{2} \theta\right)}{\cos \theta\left(2 \cos ^{2} \theta-1\right)} \\&=\frac{\sin \theta\left(1-2 \sin ^{2} \theta\right)}{\cos \theta\left[2\left(1-\sin ^{2}\theta\right)-1\right]} \\&=\frac{\sin \theta\left(1-2 \sin ^{2} \theta\right)}{\cos \theta\left[\left(2-2 \sin ^{2}\theta\right)-1\right]} \\&=\frac{\sin \theta\left(1-2 \sin ^{2} \theta\right)}{\cos \theta\left(1-2 \sin ^{2} \theta\right)}\\&=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\tan \theta\end{aligned}$
=दायों पक्ष
प्रश्न 20.
सिद्ध कीजिए $(\operatorname{cosec} A-\sin A)(\sec A-\cos A)=\frac{1}{\tan A+\cot A}$.
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=(\operatorname{cosec} \mathrm{A}-\sin \mathrm{A})(\sec \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}) \\ &=\left(\frac{1}{\sin \mathrm{A}}-\sin \mathrm{A}\right)\left(\frac{1}{\cos \mathrm{A}}-\cos \mathrm{A}\right) \\ &=\left(\frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}}\right)\left(\frac{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}\right) \end{aligned}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}} \times \frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos\mathrm{A}}$
$\begin{aligned}&=(\operatorname{cosec} \mathrm{A}-\sin \mathrm{A})(\sec \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}) \\ &=\left(\frac{1}{\sin \mathrm{A}}-\sin \mathrm{A}\right)\left(\frac{1}{\cos \mathrm{A}}-\cos \mathrm{A}\right) \\ &=\left(\frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}}\right)\left(\frac{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}\right) \end{aligned}$
$=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\sin \mathrm{A}} \times \frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos\mathrm{A}}$
$=\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}$
दायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\frac{1}{\tan \mathrm{A}+\cot \mathrm{A}} \\&=\frac{1}{\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}+\frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}} \\&=\frac{1}{\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}+\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A} \sin\mathrm{A}}} \\&=\frac{\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{A}}{\sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\cos\mathrm{A} \sin \mathrm{A}\end{aligned}$
बायॉं पक्ष = दायॉं पक्ष
प्रश्न 21.
सिद्ध कीजिए $\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}=\left(\frac{1-\tan \mathrm{A}}{1-\cot \mathrm{A}}\right)^{2}=\tan ^{2} \mathrm{~A}$.
हुलः
पहला भाग
$\left(\frac{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\cot ^{2} \mathrm{~A}}\right)=\frac{\sec ^{2} \mathrm{~A}}{\operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}}=\left(\frac{\sec \mathrm{A}}{\operatorname{cosec} \mathrm{A}}\right)^{2}$
$=\left(\frac{-\frac{1}{\cos } \frac{1}{1}}{\frac{1}{\sin A}}\right)^{2}$
$=\left(\frac{1}{\cos A} \times \frac{\sin A}{1}\right)^{2}$
$=\left(\frac{\sin A}{\cos A}\right)^{2}=\frac{\sin ^{2} A}{\cos ^{2} A}=\tan ^{2} A=$ तीसरा भाग
दूसरा भाग
$\left(\frac{1-\tan A}{1-\cot A}\right)^{2}=\left(\frac{1-\frac{\sin A}{\cos A}}{1-\frac{\cos A}{\sin A}}\right)^{2}$
$=\left(\frac{\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}}{\frac{\sin \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}}\right)^{2}$
$=\left(\frac{\cos \mathrm{A}-\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}} \times \frac{\sin \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}-\cos \mathrm{A}}\right)^{2}$
$=\left(\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}\right)^{2}=\frac{\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\tan ^{2} \mathrm{~A}=$ तीसरा भाग।
प्रश्न 22.
सिद्ध कीजिए : $(\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A})(1-\sin \mathrm{A})=\cos \mathrm{A}$.
हल :
बायों पक्ष : $(\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A})(1-\sin \mathrm{A})$
$\begin{aligned}&=\left(\frac{1}{\cos \mathrm{A}}+\frac{\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}\right)(1-\sin\mathrm{A}) \\&=\left(\frac{1+\sin \mathrm{A}}{\cos \mathrm{A}}\right)(1-\sin \mathrm{A}) \\&=\frac{1-\sin ^{2} \mathrm{~A}}{\cos \mathrm{A}}=\frac{\cos ^{2} \mathrm{~A}}{\cos\mathrm{A}} \\&=\cos \mathrm{A}=\text { दायों पक्ष }\end{aligned}$
प्रश्न 23.
सिद्ध कीजिए कि : $\frac{1}{\sec \mathbf{A}-\tan \mathbf{A}}-\frac{1}{\cos \mathbf{A}}=\frac{1}{\cos \mathbf{A}}-\frac{1}{\sec \mathbf{A}+\tan \mathbf{A}}$.
हल :
$\frac{1}{\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}}-\frac{1}{\cos \mathrm{A}}=\frac{1}{\cos \mathrm{A}}-\frac{1}{\sec \mathrm{A}+\tan \mathrm{A}}$
दिये प्रश्न को पक्षान्तर से निम्न प्रकार लिख सकते हैं :
$\begin{aligned}\frac{1}{\sec A-\tan A}+\frac{1}{\sec A+\tan A} &=\frac{1}{\cos A}+\frac{1}{\cos A} \\&=\frac{2}{\cos A} \end{aligned}$
बायाँ पक्ष $=\frac{1}{\sec A-\tan A} +\frac{1}{\sec A+\tan A}$
$=\frac{\sec A+\tan A+\sec A-\tan A}{(\sec A-\tan A)(\sec A+\tan A)}$
$=\frac{2 \sec A}{\sec ^{2} A-\tan ^{2} A}$
$=2 \sec A=\frac{2}{\cos A}$
= दायाँ पक्ष।
प्रश्न 24.
सिद्ध कीजिए कि $\frac{1}{\operatorname{cosec} A-\cot A}-1+\cos A$
हल :
बायँँ पक्ष
$=\frac{1}{\operatorname{cosec} \mathrm{A}-\cot \mathrm{A}}$
बायॉं पक्ष
$\begin{aligned}&=\frac{1}{\operatorname{cosec} \cdot A-\cot A} \\ &=\frac{1}{\operatorname{cosec} A-\cot A} \times \frac{\operatorname{cosec} A+\cot A}{\operatorname{cosec} A+\cot A} \\ &=\frac{\operatorname{cosec} A+\cot A}{\operatorname{cosec}^{2} A-\cot ^{2} A} \end{aligned}$
$=\operatorname{cosec} \mathrm{A}+\cot \mathrm{A} \quad\left\{\because \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}-\cot ^{2} \mathrm{~A}=1\right\}$
$=\frac{1}{\sin A}+\frac{\cos A}{\sin A}$
$=\frac{1+\cos A}{\sin A}=$ दायों पक्ष।
प्रश्न 25.
सिद्ध कीजिए :
$\frac{1}{1-\cos \mathrm{A}}+\frac{1}{1+\cos \mathrm{A}}=2 \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}$
हल :
बायौं पक्ष
$\begin{aligned}&=\frac{1}{1-\cos \mathrm{A}}+\frac{1}{1+\cos \mathrm{A}} \\&=\frac{1+\cos \mathrm{A}+1-\cos \mathrm{A}}{(1-\cos \mathrm{A})(1+\cos \mathrm{A})} \\&=\frac{2}{1-\cos ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{2}{\sin ^{2} \mathrm{~A}} \\&=2 \operatorname{cosec}^{2} \mathrm{~A}\end{aligned}$=दायाँ पक्ष
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