प्रश्नावली 8 B
प्रश्न 1.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए :
(i) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=$
(A) $\sin 60^{\circ}$
(B) $\cos 60^{\circ}$
(C) $\tan 60^{\circ}$
(D) $\sin 30^{\circ}$
(ii) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}$ बराबर है :
(A) $\cos 60^{\circ}$
(B) $\sin 60^{\circ}$
(C) $\tan 60^{\circ}$
(D) $\sin 30^{\circ}$
(iii) $\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=$
(A) $\tan 90^{\circ}$
(B) 1
(C) $\sin 45^{\circ}$
(D) 0
(iv) $\sin 2 \mathrm{~A}=2 \sin ^{\circ} \mathrm{A}$ तब सत्य होता है, जबकि $\mathrm{A}$ बराबर है :
(A) $0^{\circ}$
(B) $30^{\circ}$
(C) $45^{\circ}$
(D) $60^{\circ}$
हल :
(i) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1+\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}$
$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^{\circ}$
अतः विकल्प (A) सही है।
(ii) $\frac{2 \tan 30^{\circ}}{1-\tan ^{2} 30^{\circ}}=\frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$
$=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2}$
$=\sqrt{3}=\tan 60^{\circ}$
अतः विकल्प (C) सही है।
(iii) $\frac{1-\tan ^{2} 45^{\circ}}{1+\tan ^{2} 45^{\circ}}=\frac{1-(1)^{2}}{1+(1)^{2}}=\frac{1-1}{1+1}=\frac{0}{2}=0$
अतः विकल्प (D) सही है।
(iv)$\sin 2 \mathrm{~A}=2 \sin \mathrm{A}$
यदि $\mathrm{A}=0^{\circ}$ लेने पर,
$\begin{aligned} \sin 2 \mathrm{~A} &=\sin 2 \times 0^{\circ} \\ &=\sin 0^{\circ}=0 \\ 2 \sin \mathrm{A} &=2 \sin 0^{\circ}=2 \times 0=0 \end{aligned}$
अतः विकल्प (A) सही है।
प्रश्न 2.
यदि $\tan (A+B)=\sqrt{3}$ और $\mid \tan (A-B)=\frac{1}{\sqrt{3}}, 0^{\circ}<A+B \leq 90^{\circ}, A>B$ तो $A$ और $B$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$\because\tan (A+B)=\sqrt{3}$(ज्ञात है)
$\begin{aligned} \tan (\mathrm{A}+\mathrm{B}) &=\tan 60^{\circ} \\ \mathrm{A}+\mathrm{B} &=60^{\circ} \end{aligned}$........(1)
$\tan (A-B)=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\begin{aligned} \tan (A-B) &=\tan 30^{\circ} \\ A-B &=30^{\circ} \end{aligned}$.......(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\therefore2 \mathrm{~A}=90^{\circ}$
$A=45^{\circ}$
$\mathrm{A}$ का मान समीकरण (1) में रखने पर,
$\therefore$
$\begin{aligned}45^{\circ}+B &=60^{\circ} \\B &=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 3.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य है। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए-
(i) $\sin (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\sin \mathbf{A}+\sin \mathbf{B}$.
(ii) $\theta$ में वृद्धि होने के साथ $\sin \theta$ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) $\theta$ में वृद्धि होने के साथ $\cos \theta$ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) $\theta$ के समी मानों पर $\sin \theta=\cos \theta$.
(v) $\mathrm{A}=0^{\circ}$ पर $\cot \mathrm{A}$ परिमाधित नहीं है।
हल :
(i) मान लीजिए
A=30° और B=60° हो, तो
$\sin (A+B)=\sin \left(30^{\circ}+60^{\circ}\right)$
$\begin{aligned}&=\sin 90^{\circ} \\&=1\end{aligned}$
और $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}=\sin 30^{\circ}+\sin 60^{\circ}$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} \\ & \sin(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \neq \sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B} \end{aligned}$
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(ii) माना $\theta=0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}$ तथा $90^{\circ}$ आदि
$\sin \theta=\sin 0^{\circ}=0$
$\sin \theta=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\sin \theta=\sin 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin \theta=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin \theta=\sin 90^{\circ}=1$
स्पष्टत : $\theta$ का मान बढ़ाने पर $\sin \theta$ के मान में भी वृद्धि सम्भव है।
अतः दिया गया कथन सत्य है।
(iii) $\because \theta$ का मान $0^{\circ}, 30^{\circ}$ लेने पर,
$\cos \theta=\cos 0^{\circ}=0$
$\cos \theta=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
यहाँ $\theta$ का मान बढ़ाने पर $\cos \theta$ के मान में कमी होती है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(iv) $\because \theta=60^{\circ}$ लेने पर,
∴ sin θ=cos θ (ज्ञात है)
$\begin{array}{llll}& & \sin 60^{\circ}=\cos 60^{\circ}\end{array}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{1}{2}$
और $\theta$ के सभी मानों पर sin θ और cos θ का बराबर होना सम्भव नहीं है।
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(v)
$\begin{aligned} \mathrm{A} &=0^{\circ} \\ \cot \mathrm{A} &=\cot 0^{\circ} \\ &=\infty \end{aligned}$
अतः दिया गया कथन सत्य है।
प्रश्न 4.
निम्नलिखित के मान निकालिए'
(i) $2 \tan ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}$
(ii) $\frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}}$
(iii) $\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}$
(iv) $\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}$
(v) $\frac{5 \cos ^{2} \cdot 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$
हल :
(i) $2 \tan ^{2} 45^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}-\sin ^{2} 60^{\circ}$
$=2 .(1)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$
$=2 \times 1+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=2 .$
(ii)
$\begin{aligned} \frac{\cos 45^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\operatorname{cosec} 30^{\circ}} &=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{1}} \\ &=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{3}+1)} \\ &=\frac{\sqrt{3}}{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})} \end{aligned}$
$=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$
$=\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{2(6-2)}=\frac{3 \sqrt{2}-\sqrt{6}}{8}$
(iii) $\frac{\sin 30^{\circ}+\tan 45^{\circ}-\operatorname{cosec} 60^{\circ}}{\sec 30^{\circ}+\cos 60^{\circ}+\cot 45^{\circ}}$
$=\frac{\frac{1}{2}+1-\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{1}{2}+1}$
$=\frac{\sqrt{3}+2 \sqrt{3}-4}{2 \sqrt{3}}$
$\frac{4+\sqrt{3}+2 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3}}$
$=\frac{3 \sqrt{3}-4}{3 \sqrt{3}+4}$
$=\frac{(3 \sqrt{3}-4)(3 \sqrt{3}-4)}{(3 \sqrt{3}+4)(3 \sqrt{3}-4)}$
$=\frac{(3 \sqrt{3}-4)^{2}}{(3 \sqrt{3})^{2}-(4)^{2}}$
$=\frac{(3 \sqrt{3})^{2}+(4)^{2}-2 \times 3 \sqrt{3} \times 4}{27-16}$
$=\frac{27+16-24 \sqrt{3}}{11}$
$=\frac{43-24 \sqrt{3}}{11}$
(iv) $\sin 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 30^{\circ} \cos 60^{\circ}$
$\begin{aligned}&=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \\&=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=\frac{4}{4}=1\end{aligned}$
(v) $\frac{5 \cos ^{2} 60^{\circ}+4 \sec ^{2} 30^{\circ}-\tan ^{2} 45^{\circ}}{\sin ^{2} 30^{\circ}+\cos ^{2} 30^{\circ}}$
$=\frac{5 \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+4 \times\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}-(1)^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}$
$=\frac{\frac{5}{4}+\frac{16}{3}-1}{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}$
$=\frac{15+64-12}{\frac{12}{4}}=\frac{67}{12} .$
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए : $\cos ^{2} 30^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ}=1$.
हल :
बायाँ पक्ष
$\begin{aligned}&=\cos ^{2} 30^{\circ}+\sin ^{2} 30^{\circ} \\&=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \\&=\frac{3}{4}+\frac{1}{4} \\&=\frac{4}{4}\end{aligned}$
=1= दायाँ पक्ष
प्रश्न 6.
यदि $\theta=45^{\circ}$, तो सिद्ध कीजिए कि $2 \sin \theta \cos \theta=\sin 2 \theta$.
हल :
बायाँ पक्ष $=2 \sin \theta \cos \theta$
$\begin{aligned}&=2 \sin 45^{\circ} \cos 45^{\circ} \left[\because \theta=45^{\circ}\right] \\&=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} \\&=1\end{aligned}$
दायौं पक्ष
$\begin{aligned}&=\sin 2 \theta \\&=\sin 2 \times 45^{\circ} \\&=\sin 90^{\circ} \\&=1\end{aligned}$
बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।
प्रश्न 7.
यदि $\operatorname{cosec} \mathrm{A}=\frac{17}{15}$, तो सिद्ध कीजिए कि $\sec \mathrm{A}=\frac{17}{8}$.
हल :
$\because\operatorname{cosec} \mathrm{A}=\frac{17}{15}$
$\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{17}{15}$
पाइथागोरस प्रमेय से,
$\begin{aligned}(\mathrm{AC})^{2} &=(\mathrm{AB})^{2}+(\mathrm{BC})^{2} \\(17)^{2} &=(\mathrm{AB})^{2}+(15)^{2} \\ 289 &=(\mathrm{AB})^{2}+225 \\(\mathrm{AB})^{2} &=289-225=64 \\ \mathrm{AB} &=8 \\ \sec \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{17}{8} \end{aligned}$
प्रश्न 8.
निम्न के मान ज्ञात कीजिए :
(i) $ \cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ}$
(ii) $\cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ}$
हल :
(i) $\cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}-\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=0$
(ii) $\cos 60^{\circ} \cos 30^{\circ}+\sin 60^{\circ} \sin 30^{\circ}$
$=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$
$=\frac{2 \sqrt{3}}{4}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2} .$
प्रश्न 9.
निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए :
(i) $\tan 30^{\circ} \cot 60^{\circ}$
(ii) $\sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ}$
हल :
(i) $\tan 30^{\circ} \cot 60^{\circ}$
$=\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{3}}$
$=\frac{1}{3}$
(ii) $\sin 30^{\circ} \sin 60^{\circ} \sin 45^{\circ}$
$=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{3}}{4 \sqrt{2}}=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{3}{2}}$
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