Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 8 त्रिकोंणमिति का परिचय (Introduction to Trigonometry) प्रश्नावली 8 A

 प्रश्नावली 8 A

प्रश्न 1. 

एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=5$ सेमी, $\mathrm{BC}=12$ सेमी हो तो $\sin \mathrm{A}, \cos \mathrm{A}, \tan \mathrm{A}$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\ &=5^{2}+12^{2} \\ &=25+144=169 \\ \mathrm{AC} &=13 \\ \sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{13} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{5}{13} \\ \tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{5} \end{aligned}$

प्रश्न 2. 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{B}$ समकोण है। भुजा $\mathrm{AB}=4$ सेमी तथा $\mathrm{BC}=3$ सेमी और $\mathrm{CA}=5$ सेमी हो, तो $\sin A, \tan A, \cos C$ तथा $\cot C$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=4$ सेमी, $\mathrm{BC}=3$ सेमी तथा $\mathrm{CA}=5$ सेमी।

तब

$\sin \mathrm{A}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}$

$\begin{aligned}&\tan \mathrm{A}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{4} \\&\cos \mathrm{C}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{3}{5}\end{aligned}$

$\cot \mathrm{C}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{4}$

प्रश्न 3.

 $\triangle \mathrm{PQR}$ में $\angle \mathrm{P}$ समकोण है, यदि $\mathrm{PQ}=\sqrt{3}, \mathrm{PR}=1$ तथा $\mathrm{QR}=2$ हो, तो $\sin \mathrm{Q}, \cos \mathrm{Q}, \tan \mathrm{R}$, $\sin \mathbf{R}$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle \mathrm{PQR}$ में, $\angle \mathrm{P}=90^{\circ}, \mathrm{PQ}=\sqrt{3}, \mathrm{PR}=1$ तथा $\mathrm{QR}=2$.

$\sin Q=\frac{R P}{R Q}=\frac{1}{2}$

$\cos Q=\frac{Q P}{R Q}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan R=\frac{Q P}{R P}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$

$\sin R=\frac{Q P}{Q R}=\frac{\sqrt{3}}{2} .$

$BC=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$

प्रश्न 4. 

समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{C}$ समकोण है। यदि भुजा $\mathrm{AB}=26, \mathrm{AC}=10, \mathrm{BC}=24$ हो, तो $\sin \mathrm{B}$, $\tan \mathbf{B}, \cos \mathbf{A}$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=26, \mathrm{AC}=10, \mathrm{BC}=24$.

sin B= लम्ब / कर्ण $=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$ 

tan B=लम्ब / आधार$=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$ 

cos A=आधार / कर्ण $=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$.

प्रश्न 5. 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{B}$ समकोण है। भुजा $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=1$ सेमी, $\mathrm{AC}=\sqrt{2}$ सेमी हो, तो $\operatorname{sinA}, \tan \mathrm{C}$ के मान बताइए।

हल :

 $\begin{aligned} \sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan \mathrm{C} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} \\ &=\frac{1}{1}=1 \end{aligned}$

प्रश्न 6. 

$\triangle \mathrm{PQR}$ में $\angle \mathrm{Q}$ समकोण है। यदि $\mathrm{PQ}=4$ सेमी, $\mathrm{QR}=3$ सेमी, $\mathrm{PR}=5$ सेमी, तो $\cos \mathrm{P}, \tan \mathrm{P}$ तथा $\cos \mathrm{R}$ के मान बताइए।

हल :

$\cos P=\frac{P Q}{P R}=\frac{4}{5}$

$\tan P=\frac{Q R}{P Q}=\frac{3}{4}$

$\cos R=\frac{Q R}{P R}=\frac{3}{5}$

प्रश्न 7 

7 से 12 तक में तीन त्रिकोणमितीय अनुपातों में से एक विया है, अन्य दो अनुपातों को ज्ञात कीजिए :

$\sin \mathrm{A}=\frac{1}{11}$

हल :  

$\sin \mathrm{A}=\frac{1}{11}$= लम्ब / कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

तब  $\mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=11$

पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{aligned} 11^{2} &=A B^{2}+1^{2} \\ 121 &=A B^{2}+1 \\ A B^{2} &=121-1=120 \\ A B &=\sqrt{120}=2 \sqrt{30} \\ \cos A &=\frac{A B}{A C}=\frac{2 \sqrt{30}}{11} \\ \tan A &=\frac{B C}{A B}=\frac{1}{2 \sqrt{30}} \end{aligned}$

प्रश्न 8. 

$\cos \mathrm{B}=\frac{12}{13}$.

 

हल : 

$\cos \mathrm{B}=\frac{12}{13}$

=आधार / कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}$

तब $\mathrm{BC}=12, \mathrm{AB}=13$

 पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AB}^{2}=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

$\begin{aligned}(13)^{2} &=(12)^{2}+\mathrm{AC}^{2} \\ 169 &=144+\mathrm{AC}^{2} \\ \mathrm{AC}^{2} &=169-144=25 \\ \mathrm{~A} \mathrm{C} &=5 \end{aligned}$

$\sin \mathrm{B}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5}{13}$

$\tan \mathrm{B}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{12}$

प्रश्न 9.'

 $\cos \theta=\frac{2}{5}$.

हल :

$\cos \theta=\frac{2}{5}$

तब $\mathrm{AB}=2$ तथा $\mathrm{BC}=5$

पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}$

$\begin{aligned} 25 &=A C^{2}+4 \\ A C^{2} &=25-4=21 \\ A C &=\sqrt{21} \\ \sin \theta &=\frac{A C}{B C}=\frac{\sqrt{21}}{5} \\ \tan \theta &=\frac{A C}{A B}=\frac{\sqrt{21}}{2} \end{aligned}$

प्रश्न 10. 

$\sin A=\frac{3}{4}$.

हल : 

$\sin A=\frac{3}{4}$= लम्ब / कर्ण $=\frac{B C}{A C}$

या $\mathrm{BC}=3, \mathrm{AC}=4$

पाइथागोरस प्रमेय से, $A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$

$\begin{aligned} 16 &=9+\mathrm{AB}^{2} \\ \mathrm{AB}^{2} &=16-9=7 \\ \mathrm{AB} &=\sqrt{7} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\sqrt{7}}{4} \\ \tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{\sqrt{7}} \end{aligned}$

प्रश्न 11. 

$\tan \mathrm{C}=\frac{1}{3}$.

हल :

$\tan \mathrm{C}=\frac{1}{3}$=लम्ब / आधार $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

तब लम्ब $A B=1$, आधार $B C=3$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=1+3^{2} \\&=1+9=10 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{10}\end{aligned}$

$\sin C=\frac{A B}{A C}=\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\cos C=\frac{B C}{A C}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

प्रश्न 12. 

$\tan \phi=\frac{40}{9}$.

हल :

$\tan \phi=\frac{40}{9}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

तब  $A B=40, B C=9$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{BC}^{2}+\mathrm{AB}^{2} \\&=9^{2}+40^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} &=81+1600=1681 \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{1681}=41 \\ \sin \phi &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{40}{41} \\ \cos \phi &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{9}{41} \end{aligned}$

प्रश्न 13.

 यदि $\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, तो शेष पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल :  

$\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}}$=लम्ब / कर्ण  $=\frac{\mathrm{BC}} {\mathrm{AC}}$

अर्थाति $\mathrm{BC}=1, \mathrm{AC}=\sqrt{2}$

पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{aligned}(\sqrt{2})^{2} &=1+A B^{2} \\ 2-1 &=A B^{2}=1 \\ A B &=1 \\ \cos \theta &=\frac{A B}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan \theta &=\frac{B C}{A B}=\frac{1}{1}=1 \\ \operatorname{cosec} \theta &=\frac{A C}{B C}=\sqrt{2} \end{aligned}$

$\sec \theta=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\sqrt{2}$

$\cot \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{1}=1$

प्रश्न 14.

 यदि $\sec \theta=\sqrt{5}$, तो शेष पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए। 

हल :

$\sec \theta=\sqrt{5}$=कर्ण / आधार

$=\frac{\sqrt{5}}{1}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}$

तब $\mathrm{AC}=\sqrt{5}, \mathrm{AB}=1$

पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{aligned}(\sqrt{5})^{2} &=1+\mathrm{BC}^{2} \\ 5-1 &=\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{BC}^{2} &=4 \text { or } \mathrm{BC}=2 \\ \sin \theta &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \cos \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \tan \theta &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{1}=2 \\ \operatorname{cosec} \theta &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \cot \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{2} . \end{aligned}$

प्रश्न 15.

 यदि $\operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}}$, तो शेष पाँच त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है, $\operatorname{cosec} \theta=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$

$\therefore\mathrm{AC}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{3}$

पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{array}{r}(2)^{2}=A B^{2}+3 \\4=A B^{2}+3\end{array}$

$\mathrm{AB}^{2}=4-3=1 \Rightarrow \mathrm{AB}=1$

$\cot \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\sin \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}$

$\tan \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$

$\sec \theta=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{2}{1}=2$

प्रश्न 16. 

यदि $\cos \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :

$\sin A \cos B+\cos A \sin B .$

हल : जब $\cos \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ हो

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned} \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AB}^{2} \\ & \doteq(\sqrt{2})^{2}-(1)^{2} \\ &=2-1=1 \\ \mathrm{BC} &=1 \end{aligned}$

पुनः पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned} \sin A &=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \sin B &=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{A C}{A B} \\ B C^{2} &=A B^{2}-A C^{2} \\ &=(2)^{2}-(\sqrt{3})^{2} \\ &=4-3=1 \\ \cos B &=\frac{B C}{A B}=\frac{1}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sin A \cos B+\cos A \sin B &=\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &=\frac{1}{2 \sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

प्रश्न 17. 

यदि $\tan \theta=\frac{a}{b}$, तो सिद्ध कीजिए कि

$\frac{b \sec \theta}{a \operatorname{cosec} \theta}=1$

हल :

 दिया है :$\tan \theta=\frac{a}{b}$

सिद्ध करना है : $\frac{b \sec \theta}{a \operatorname{cosec} \theta}=1$

बायाँ पक्ष $=\frac{b \sec \theta}{a \operatorname{cosec} \theta}=\frac{b \times \frac{1}{\cos \theta}}{a \times \frac{1}{\sin \theta}}=\frac{\frac{b}{\cos \theta}}{\frac{a}{\sin \theta}}$

$=\frac{b}{a} \cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{b}{a} \cdot \tan \theta$

$=\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}$

$=1=$ दायाँ पक्ष। $\quad\left[\because \tan \theta=\frac{a}{b}\right]$

प्रश्न 18. 

यदि $\cos \mathrm{A}=\frac{4}{5}$, तो सिद्ध कीजिए कि

$\begin{aligned} \frac{\tan \mathrm{A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}} &=\frac{\sin \mathrm{A}}{\sec \mathrm{A}} \end{aligned}$

cos \A$=\frac{4}{5}$=आधार / कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

AB=4, AC=5

हल : 

$\cos \mathrm{A}=\frac{4}{5}$= आधार / कर्ण $=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$

$\mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=5$

 पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$

$\begin{aligned} 25 &=16+B C^{2} \\ B C^{2} &=9 \text { or } B C=3 \\ \sin A &=\frac{B C}{A C}=\frac{3}{5}, \\ \sec A &=\frac{A C}{A B}=\frac{5}{4}, \tan A=\frac{B C}{A B}=\frac{3}{4}\end{aligned}$

बायाँ पक्ष  $=\frac{\tan A}{1+\tan ^{2} A}$

$\begin{array}{r}=\frac{\frac{3}{4}}{1+\frac{9}{16}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{25}{16}} \\=\frac{3 \times 16}{4 \times 25}=\frac{12}{25} \end{array}$

दायाँ पक्ष $=\frac{\sin \mathrm{A}}{\sec \mathrm{A}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{5}{4}}$

$=\frac{3 \times 4}{5 \times 5}=\frac{12}{25}$

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 19. 

यदि $\sin \theta=\frac{1}{2}$, तो सिद्ध कीजिए कि $3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta=1$.

हल : 

दिया है : $\sin \theta=\frac{1}{2}$

सिद्ध करना है :

$3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta=1$

बायाँ पक्ष $=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta$

$\begin{aligned}&=3\left(\frac{1}{2}\right)-4\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \\&=\frac{3}{2}-4 \times \frac{1}{8} \\&=\frac{3}{2}-\frac{1}{2} \\&=\frac{3-1}{2}=\frac{2}{2}=1\end{aligned}$

= दायाँ पक्ष।

प्रश्न 20. 

यदि $\sin \mathrm{A}=\frac{1}{3}$, तो निम्नलिखित' का मान ज्ञात कीजिए :

$\cos \text { A. } \operatorname{cosec} A+\tan A \text {. sec'A. }$

हल :

 $\sin A=\frac{1}{3}$

तब

$\begin{aligned}B C &=1, A C=3 \\A C^{2} &=A B^{2}+B C^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}(3)^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+(1)^{2} \\ 9 &=\mathrm{AB}^{2}+1 \\ \mathrm{AB}^{2} &=9-1=8 \\ \mathrm{AB} &=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} \\ \operatorname{cosec} \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{3}{1} \\ \tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \\ \sec \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

अब $\cos \mathrm{A} \cdot \operatorname{cosec} \mathrm{A}+\tan \mathrm{A} \cdot \sec \mathrm{A}$ में मान रखने पर,

$\begin{aligned}\frac{2 \sqrt{2}}{3} \cdot \frac{3}{1}+\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{3}{2 \sqrt{2}}&=2 \sqrt{2}+\frac{3}{8} \\&=\frac{16 \sqrt{2}+3}{8}\end{aligned}$

प्रश्न 21. 

यदि $13 \sin \mathrm{A}=12$, तो $\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

हल : 

$13 \sin A=12$

$\sin \mathrm{A}=\frac{12}{13}$= लम्ब / कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{BC}^{2} \\&=13^{2}-12^{2} \\&=169-144 \\&=25 \\\mathrm{AB} &=5 \\\sec \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{13}{5} \\\tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{5} \\\sec \mathrm{A}-\tan \mathrm{A} &=\frac{13}{5}-\frac{12}{5}=\frac{1}{5}\end{aligned}$

प्रश्न 22. 

यदि $\cos \theta=\frac{m}{n}$, तो $\tan \theta-\cot \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

 हल :

$\cos \theta=\frac{m}{n}$=आधार / कर्ण $=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AC}^{2} \\\mathrm{AB}^{2}+m^{2} &=n^{2} \\\mathrm{AB} &=\sqrt{n^{2}-m^{2}} \\\tan \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{m} \\\cot \theta &=\frac{m}{\sqrt{n^{2}-m^{2}}} \\\tan \theta-\cot \theta &=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{m}-\frac{m}{\sqrt{n^{2}-m^{2}}} \\&=\frac{n^{2}-m^{2}-m^{2}}{m \sqrt{n^{2}-m^{2}}} \\&=\frac{n^{2}-2 m^{2}}{m \sqrt{n^{2}-m^{2}}}\end{aligned}$

प्रश्न 23. 

यदि $\cos \mathrm{A}=\frac{5}{13}$, तो $\frac{\sin \mathrm{A}-\cot \mathrm{A}}{2 \tan \mathrm{A}}$ का मान ज्ञात कीजिए। 

हल :

$\cos A=\frac{5}{13}$= आधार / कर्ण $=\frac{A B}{A C}$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{BC}^{2} &=\mathrm{AC}^{2}-\mathrm{AB}^{2} \\&=13^{2}-5^{2} \\&=169-25 \\&=144 \\\mathrm{BC} &=12 \\\sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{12}{13} \\\tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{12}{5} \\\cot \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{5}{12}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\sin A-\cot A}{2 \tan A} &=\frac{\frac{12}{13}-\frac{5}{12}}{2 \times \frac{12}{5}} \\ &=\frac{\frac{144-65}{13 \times 12}}{\frac{24}{5}} \\ &=\frac{79 \times 5}{13 \times 12 \times 24} \\ &=\frac{395}{3744} . \end{aligned}$

प्रश्न 24. 

यदि $\tan \theta=\frac{4}{3}$, तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{2 \sin \theta+3 \cos \theta}=-\frac{1}{17}$

हल :

दिया है, $\tan \theta=\frac{4}{3}$,

सिद्ध करना है: $\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{2 \sin \theta+3 \cos \theta}=-\frac{1}{17}$

बायाँ पक्ष $=\frac{2 \sin \theta-3 \cos \theta}{2 \sin \theta+3 \cos \theta}$

$=\frac{\cos \theta\left[2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}-3\right]}{\cos \theta\left[2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}+3\right]}$

$=\frac{2 \tan \theta-3}{2 \tan \theta+3}$

$=\frac{2 \times \frac{4}{3}-3}{2 \times \frac{4}{3}+3}=\frac{\frac{8-9}{8+9}}{\frac{3}{8}}$

$=-\frac{1}{17}=$ दायाँ पक्ष।

प्रश्न 25. 

यदि $\tan \theta=\frac{24}{7}$, तो सिद्ध कीजिए कि

$\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\frac{17}{31}$

हल : 

दिया है, $\tan \theta=\frac{24}{7}$

सिद्ध करना है : $\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta}=\frac{17}{31}$

$\begin{aligned} \text { बायाँ पक्ष } &=\frac{\sin \theta-\cos \theta}{\sin \theta+\cos \theta} \\ &=\frac{\cos \theta\left[\frac{\sin \theta}{\cos \theta}-1\right]}{\cos \theta\left[\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+1\right]} \\ &=\frac{\tan \theta-1}{\tan \theta+1} \\ &=\frac{\frac{24}{7}-1}{\frac{24}{7}+1}=\frac{\frac{24-7}{7}}{\frac{24+7}{7}} \\ &=\frac{17}{31}\end{aligned}$=दायाँ पक्ष।

प्रश्न 26. 

यदि $\tan \mathrm{A}=1$ और $\tan \mathrm{B}=\sqrt{3}$ तो निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए :

$\cos A \cos B-\sin A \sin B .$

हल :

$\tan A=\frac{1}{1}=\frac{B C}{A B}$

$\therefore\mathrm{BC}=1=\mathrm{AB}$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AC} &=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}} \\&=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \sin A &=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos A &=\frac{A B}{A C}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan B &=\frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{A C}{B C} \\ A C &=\sqrt{3}, B C=1 \end{aligned}$

पाइथागोरस प्रमेय से, $A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}}$

$\begin{aligned} &=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}} \\ &=\sqrt{1+3}=2 \\ \sin \mathrm{B} &=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \mathrm{B}=\frac{1}{2} \\ \cos \mathrm{A} \cos \mathrm{B}-\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{B} &=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &=\frac{1}{2 \sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \end{aligned}$

प्रश्न 27. 

यदि $\tan \theta+\cot \theta=2, \tan ^{2} \theta+\cot ^{2} \theta$ का मान ज्ञात कीजिए। $\tan \theta+\cot \theta=2$

हल :

दोनों पक्षों का वृग करने पर,

$(\tan \theta + \cot \theta)^2=(2)^2$

$\begin{aligned} \tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta+2 \tan \theta \cdot \frac{1}{\tan \theta} & =4 \\ \tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta+2 & =4 \\ \tan ^2 \theta+\cot ^2 \theta & =2\end{aligned}$

प्रश्न 28.

यदि $\sin \mathrm{A}=\cos \mathrm{A}$ तो $2 \tan ^2 \mathrm{~A}-2 \sec ^2 \mathrm{~A}+5$ का मान ज्ञात कीजिए।

हल :

sin A=cos A

दोनों पक्षों को $\cos \mathrm{A}$ से भाग करने पर

$\begin{aligned} \frac{\sin A}{\cos A} &=\frac{\cos A}{\cos A}=1 \\ \tan A &=1 \end{aligned}$

पाइथागोरस प्रमेय से,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=1^{2}+1^{2}=2 \\\mathrm{AC} &=\sqrt{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} \tan \mathrm{A} &=1, \sec \mathrm{A}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{\sqrt{2}}{1} \\ 2 \tan ^{2} \mathrm{~A}-2 \sec ^{2} \mathrm{~A}+5 &=2(1)^{2}-2(\sqrt{2})^{2}+5 \\ &=2-2 \times 2+5 \\ &=2-4+5=3 \end{aligned}$

प्रश्न 29.

 यदि $\sin \mathrm{A}=\frac{3}{4}$, तो $\cos \mathrm{A}$ और $\tan \mathrm{A}$ के मान परिकलित कीजिए। 

हल : 

$\because$ दिया है : $\sin \mathrm{A}=\frac{3}{4}$ =लम्ब / कर्ण 

माना लम्ब $(\mathrm{BC})=3 x$ तथा कर्ण $(\mathrm{AC})=4 x$

$\because$ समकोण' $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$(पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}(4 x)^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+(3 x)^{2} \\ 16 x^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+9 x^{2} \\ \mathrm{AB}^{2} &=16 x^{2}-9 x^{2} \\ \mathrm{AB}^{2} &=7 x^{2} \text { or } \mathrm{AB}=x \sqrt{7} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x \sqrt{7}}{4 x}=\frac{\sqrt{7}}{4} \\ \tan \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{3 x}{x \sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}} \end{aligned}$

प्रश्न 30.

 यदि $\sec \theta=\frac{13}{12}$ हो तो अन्य समी त्रिकोणमितीय अनुपात परिकलित' कीजिए। 

हल : 

ज्ञात है : $\sec \theta=\frac{13}{12}$= कर्ण / आघार 

यहाँ कर्ण $(\mathrm{AC})=13 x$ तथा आधार $(\mathrm{AB})=12 x$ माना समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\(13 x)^{2} &=(12 x)^{2}+\mathrm{BC}^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 169 x^{2} &=144 x^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\ \mathrm{BC}^{2} &=169 x^{2}-144 x^{2} \\ \mathrm{BC}^{2} &=25 x^{2} \text { या } \mathrm{BC}=5 x \\ \sin \theta &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{5 x}{13 x}=\frac{5}{13} \\ \cos \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{12 x}{13 x}=\frac{12}{13} \\ \tan \theta &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{5 x}{12 x}=\frac{5}{12} \\ \cot \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{12 x}{5 x}=\frac{12}{5} \\ \operatorname{cosec} \theta &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{13 x}{5 x}=\frac{13}{5} \end{aligned}$

प्रश्न 31.

यदि $3 \cot A=4$, तो जाँच कीजिए कि $\frac{1-\tan ^{2} A}{1+\tan ^{2} A}=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A$ है या नहीं।

हल : 

ज्ञात है : $3 \cdot \cot \mathrm{A}=4$, या $\cot \mathrm{A}=\frac{4}{3}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$

माना $\mathrm{AB}=4 x$ तथा $\mathrm{BC}=3 x$ हो, और

$\triangle \mathrm{ABC}$ में $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned} \mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}  \end{aligned}$

पाइथागोरस प्रमेय  $\begin{aligned} &=(4 x)^{2}+(3 x)^{2} \\ &=16 x^{2}+9 x^{2} \\ \mathrm{AC}^{2} &=25 x^{2} \\ \mathrm{AC} &=5 x \end{aligned}$

बायॉँ पक्ष : $\frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}}=\frac{1-(\tan \mathrm{A})^{2}}{1+(\tan\mathrm{A})^{2}}$

$\begin{aligned} &=\frac{1-\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\right)^{2}}{1+\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\right)^{2}}=\frac{1-\left(\frac{3 x}{4 x}\right)^{2}}{1+\left(\frac{3 x}{4 x}\right)^{2}} \\ &=\frac{1-\frac{9 x^{2}}{16 x^{2}}}{1+\frac{9 x^{2}}{16 x^{2}}}=\frac{\frac{7}{16}}{\frac{25}{16}}=\frac{7}{16} \times \frac{16}{25} \\ \frac{1-\tan ^{2} \mathrm{~A}}{1+\tan ^{2} \mathrm{~A}} &=\frac{7}{25} \end{aligned}$

दायॉँ पक्ष :

$\begin{aligned} \cos ^{2} \mathrm{~A}-\sin ^{2} \mathrm{~A} &=(\cos \mathrm{A})^{2}-(\sin \mathrm{A})^{2} \\ &=\left(\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}\right)^{2}-\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}\right)^{2} \\ &=\left(\frac{4 x}{5 x}\right)^{2}-\left(\frac{3 x}{5 x}\right)^{2} \\ &=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25} \end{aligned}$

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष।

प्रश्न 32.

 $\triangle \mathrm{ABC}$ में, जिसका कोण $\mathrm{B}$ समकोण' है, $\mathrm{AB}=24$ सेमी और $\mathrm{BC}=7$ सेमी है। निम्नलिखित' के मान ज्ञात कीजिए।

(i) $\sin A, \cos A$

(ii) $\sin \mathrm{C}, \cos \mathrm{C}$

हल :

 (i) ज्ञात है : $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=24$ सेमी तथा $\mathrm{BC}=7$ सेमी

समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=(24)^{2}+(7)^{2}\end{aligned}$

(पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned} &=576+49 \\ \mathrm{AC}^{2} &=625 \\ \mathrm{AC} &=\sqrt{625}=25 \text { सेमी } \\ \sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{25} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{25} \end{aligned}$

(ii) हमें लम्ब रेखा को आधार रेखा में तथा आधार रेखा को लम्ब रेखा में बदलना पड़ेगा। जिससे कोण $\mathrm{C}$ के सभी त्रिकोणमिति अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।

$\begin{aligned} \mathrm{AB} &=24 \mathrm{~cm} \\ \mathrm{BC} &=7 \mathrm{~cm} \\ \sin \mathrm{C} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{24}{25} \quad[\because \mathrm{AC}=25,(\mathrm{i}) ] \\ \cos \mathrm{C} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{7}{25} . \end{aligned}$

प्रश्न 33. 

यदि $15 \cot \mathrm{A}=8$ हो, तो $\sin \mathrm{A}$ और $\sec \mathrm{A}$ के मान ज्ञात कीजिए। 

हल : 

ज्ञात है : $15 \cot \mathrm{A}=8$

$\therefore$ $\cot \mathrm{A}=\frac{8}{15}$=आधार / लम्ब

माना $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle B=90^{\circ}$ है।

यहाँ $\mathrm{AB}=8 x$ तथा $\mathrm{BC}=15 x$ लेने पर, समकोण' $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय)

$\begin{aligned} &=(8 x)^{2}+(15 x)^{2} \\ &=64 x^{2}+225 x^{2} \\ \mathrm{AC}^{2} &=289 x^{2} \\ \mathrm{AC} &=17 x \\ \sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{15 x}{17 x}=\frac{15}{17} \\ \sec \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}}=\frac{17 x}{8 x}=\frac{17}{8} . \end{aligned}$

प्रश्न 34.

 एक समकोण त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, जिसका कोण $\mathrm{B}$ समकोण है, यदि $\tan \mathrm{A}=1$, तो सत्यापित कीजिए, कि $2 \sin A \cos A=1$.

हल : 

$\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\tan A=\frac{B C}{A B}=1$

AB=BC=x माना 

$\begin{aligned} \mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\ &=x^{2}+x^{2}=2 x^{2} \\ \mathrm{AC} &=x \sqrt{2} \\ \sin \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{x}{x \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x}{x \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}$

बायाँ पक्ष =2sin A cos A

$=2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}$

=1= दायाँ पक्ष। 

प्रश्न 35. 

त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में, जिसका कोण $\mathrm{B}$ समकोण है, यदि $\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ हो, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए-

(i) $\sin A \cos C+\cos A \sin C$

(ii) $\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{C}-\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{C}$.

हल :

 $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{B}=90^{\circ}$ और

$\tan \mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

जहॉं $\tan A=\frac{B C}{A B}$

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

मान लीजिए $\mathrm{BC}=x$ तथा $\mathrm{AB}=x \sqrt{3}$ हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

(पाइथागोरस प्रमेय

$\begin{aligned}\mathrm{AC}^{2} &=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2} \\&=(x \sqrt{3})^{2}+(x)^{2} \\\mathrm{AC}^{2} &=3 x^{2}+x^{2}=4 x^{2} \\\mathrm{AC} &=2 x \\\sin \cdot \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{x}{2 x}=\frac{1}{2} \\\cos \mathrm{C} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}=\frac{x}{2 x}=\frac{1}{2} \\\cos \mathrm{A} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x \sqrt{3}}{2 x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\sin \mathrm{C} &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{x \sqrt{3}}{2 x}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}$

(i) $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$उत्तर

(ii) $\cos A \cos C-\sin A \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}=0$उत्तर

प्रश्न 36. 

यदि $\angle \mathrm{A}$ और $\angle \mathrm{B}$ न्यूनकोण हों, जहाँ $\cos \mathrm{A}=\cos \mathrm{B}$, तो दिखाइए कि $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}$. 

हल : 

मान लीजिए कि $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{A}<90^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{B}<90^{\circ}$

 तब

$\cos A=\cos B$

आधार AC / कर्ण AB= आधार BC

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{AB}} &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\ \mathrm{AC} &=\mathrm{BC} \end{aligned}$

जब $\triangle \mathrm{ABC}$ में दो भुजाएँ बराबर ज्ञात हों, तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते हैं। $\therefore\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B} .$इति सिद्धम्।

प्रश्न 37. 

$\triangle \mathrm{PQR}$ में, जिसका कोण $\mathrm{Q}$ समकोण है, $\mathrm{PR}+\mathrm{QR}=25$ सेमी और $\mathrm{PQ}=5$ सेमी है। $\sin \mathrm{P}$, $\cos P$ और $\tan P$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल : 

ज्ञात है : $\triangle \mathrm{PQR}$ में, $\mathrm{PQ}=5$ सेमी, $\mathrm{PR}+\mathrm{QR}=25$ सेमी

समकोण $\triangle \mathrm{PQR}$ में,

$\begin{aligned}\mathrm{PR}^{2} &=\mathrm{PQ}^{2}+\mathrm{QR}^{2} \\\mathrm{PR}^{2} &=(5)^{2}+\mathrm{QR}^{2} \\\mathrm{PR}^{2}-\mathrm{QR}^{2} &=25 \\(\mathrm{PR}+\mathrm{QR})(\mathrm{PR}-\mathrm{QR}) &=25\end{aligned}$

                                                          $\left[\because\left(a^{2}-b^{2}\right)=(a+b)(a-b)\right.$ से $]$

$25(\mathrm{PR}-\mathrm{QR})=25$[ज्ञात है PR + QR =25]

$P R-Q R=1$...........(i)

$P R+Q R=25$............(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

$\begin{aligned}2 P R &=26 \\P R &=13\end{aligned}$

PR का मान समीकरण (i) में रखने पर, 

$13-Q R=1$

$\begin{aligned}-Q R &=1-13 \\-Q R &=-12 \\ Q R &=12 \\ \sin P &=\frac{R Q}{P R}=\frac{12}{13} \end{aligned}$

$\cos P=\frac{P Q}{P R}=\frac{5}{13}$

$\tan P=\frac{R Q}{P Q}=\frac{12}{5}$

प्रश्न 38. 

यदि $\cot \theta=\frac{7}{8}$, तो (i) $\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)}$, (ii) $\cot ^{2} \theta$ का मान निकालिए। 

हल :

ज्ञात है : $\cot \theta=\frac{7}{8}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}$C

यहाँ $\mathrm{AB}=7 x$ तथा $\mathrm{BC}=8 x$ हो, तब समकोण $\triangle \mathrm{ABC}$ में,

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय,

$\begin{aligned} &=(7 x)^{2}+(8 x)^{2} \\ \mathrm{AC}^{2} &=49 x^{2}+64 x^{2} \\ \mathrm{AC}^{2} &=113 x^{2} \\ \mathrm{AC} &=x \sqrt{113} \\ \sin \theta &=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} \\ &=\frac{8 x}{x \sqrt{113}}=\frac{8}{\sqrt{113}} \\ \cos \theta &=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}} \\ &=\frac{7 x}{x \sqrt{113}}=\frac{7}{\sqrt{113}} \end{aligned}$

(i)

$\begin{aligned}\frac{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}{(1+\cos \theta)(1-\cos \theta)} &=\frac{1-\sin ^{2} \theta}{1-\cos^{2} \theta} \\\frac{1-(\sin \theta)^{2}}{1-(\cos \theta)^{2}} &=\frac{1-\left(\frac{8}{\sqrt{113}}\right)^{2}}{1\left(\frac{7}{\sqrt{113}}\right)^{2}}\end{aligned}$

$=\frac{1-\frac{64}{113}}{49}=\frac{113-64}{113-49}$

$=\frac{113}{113}$

$=\frac{49}{113} \times \frac{113}{64}=\frac{49}{64}$

(ii) $\cot ^{2} \theta=(\cot \theta)^{2}=\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$

$\cot ^{2} \theta=\frac{49}{64}$

प्रश्न 39.

 बताइए कि निम्नलिखित' कथन सत्य हैं या असत्य। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए-

(i) $\tan \mathrm{A}$ का मान सदैव 1 से कम होता है।

(ii) कोण $\mathrm{A}$ के किसी मान के लिए $\sec \mathrm{A}=\frac{12}{5}$.

(iii) $\cos \mathrm{A}$, कोण $\mathrm{A}$ के $\operatorname{cosec}$ cant के लिए प्रयुक्त एक संक्षिप्त रूप है।

(iv) $\cot \mathrm{A}, \cot$ और $\mathrm{A}$ का गुणनफल होता है।

(v) किसी भी कोण $\theta$ के लिए $\sin \theta=\frac{4}{3}$.

हल : 

(i) चूँकि $\tan \mathrm{A}=\tan 45^{\circ}=1, \tan \mathrm{A}$ का मान सदेव 1 से कम नहीं होता है।

अतः असत्य कथन है।

(ii) $\because \sec \mathrm{A}$ में अनुपात 12: 5 सदेव नहीं हो सकता है।

अतः दिया गया कथन असत्य है।

(iii) $\because \cos \mathrm{A}$ कोण $\mathrm{A}$ का संक्षिप्त रूप $\operatorname{cosin} e$ होता है और $\operatorname{cosecant}$ का संक्षिप्त रूप $\operatorname{cosec}$ होता है। अर्थात् दिया गया कथन असत्य है।

(iv) $\cot \mathrm{A}$ का अर्थ $\cot$ के कोण $\mathrm{A}$ से होता है न कि गुणनफल से, अर्थात् दिया गया कथन असत्य है।

(v) दिया है : $\sin \theta=\frac{4}{3}$= लम्ब / कर्ण 

यहाँ लम्ब /  कर्म  $=\frac{4}{3}$

चूँकि कर्ण की भुजा बड़ी होती है लेकिन यहाँ छोटी दी गई है अर्थात् दिया गया कथन असत्य है।