Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नादली 13 (C)

 प्रश्नादली 13 (C)

प्रश्न 1. 

विमाओं 5.5 सेमी. ×10 सेमी. $\times 3.5$ सेमी. वाला एक घनाभ बनाने के लिए, $1.75$ सेमी. व्यास और 2 मिमी. मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पड़ेगा?

हल : 

सिक्के का व्यास $(d)=1.75$ सेमी.

तब त्रिज्या $(r)=\frac{175}{200}$ सेमी.

मोटाई $(h)=2$ मिमी. $=\frac{2}{10}$ सेमी.

∴ बेलनाकार सिक्के का आयतन $=\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times\left(\frac{175}{200}\right)^{2} \times \frac{2}{10}$ सेमी. $^{3}$

घनाभ की लम्बाई $(l)=10$ सेमी., चौड़ाई $(b)=5.5$ सेमी. तथा ऊँचाई $(h)=3.5$ सेमी. हों, तब

घनाभ का आयतन $=10 \times \frac{55}{10} \times \frac{35}{10}$ सेमी $^{3}$

माना वांछित सिक्कों की संख्या ' n ' हो, तब

$\begin{aligned}n &=\left[10 \times \frac{55}{10} \times \frac{35}{10}\right]+\left[\frac{22}{7} \times \frac{175}{200} \times \frac{175}{200} \times \frac{2}{10}\right] \\&=10 \times \frac{55}{10} \times \frac{35}{10} \times \frac{7}{22} \times \frac{200}{175} \times\frac{200}{175} \times \frac{10}{2} \\&=16 \times 25=400\end{aligned}$

इस प्रकार, वांछित सिक्कों की संख्या =400 उत्तर

प्रश्न 2.

 क्रमशः 6 सेमी., 8 सेमी. और 10 सेमी. त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल :

माना दिए गए तीन गोलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_{1}=6$ सेमी., $r_{2}=8$ सेमी. तथा $r_{3}=10$ सेमी. हों, तब उनके आयतन $\mathrm{V}_{1}=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}, \mathrm{~V}_{2}=\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}$ और $\mathrm{V}_{3}=\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3}$ होंगे।

$\mathrm{vc}$ दिए गये तीनों गोलों का कुल आयतन

 $=\mathrm{V}_{1}+\mathrm{V}_{2}+\mathrm{V}_{3}$

$\begin{aligned}&=\frac{4}{3} \pi r_{1}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}+\frac{4}{3} \pi r_{3}^{3} \\&=\frac{4}{3} \pi\left[r_{1}^{3}+r_{2}^{3}+r_{3}^{3}\right] \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times\left[6^{3}+8^{3}+10^{3}\right] \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times[216+512+1000]  \\&=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1728\end{aligned}$ 

जब इन तीन गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाते हैं, तब बड़े गोले की त्रिज्या =R (माना)

 

∴ नये गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \times \pi \times R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times R^{3}$

चूँकि, दोनों आयतन समान हैं,

$\therefore \quad \frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times R^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times 1728$ सेमी. ${ }^{3}$

या $\mathrm{R}^{3}=1728$

या $R^{3}=2^{3} \times 2^{3} \times 3^{3}$

या $\mathrm{R}^{3}=(2 \times 2 \times 3)^{3}$

या $R=2 \times 2 \times 3$

या $\mathrm{R}=12$ सेमी.

इस प्रकार वांछित गोले की त्रिज्या $=12$ सेमी.।उत्तर

प्रश्न 3.

 त्रिज्या $4.2$ सेमी. वाले धातु के एक गोले को पिघलोकर त्रिज्या 6 सेमी.वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि गोले की त्रिज्या $\left(r_{1}\right)=4.2$ सेमी.

गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi_{1}^{3}=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10}$ सेमी. $^{3}$ बेलन की त्रिज्या $\left(r_{2}\right)=6$ सेमी.

माना बेलन की ऊँचाई ‘ $h$ ' सेमी. हो, तब

बेलन का आयतन $=\pi r_{2}^{2} h=\frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times h$

धातु के गोले का आयतन $=$ बेलन का आयतन

$\begin{aligned}\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10}&=\frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times h \\h &=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10} \times \frac{42}{10}\times \frac{7}{22} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \\&=\frac{4 \times 7 \times 7 \times 4}{10 \times 10 \times 10} =\frac{2744}{1000} \end{aligned}$

 सेमी.=2.744

अतः बेलन की ऊँचाई =2.744 सेमी.।उत्तर

प्रश्न 4. 

व्यास 12 सेमी. और ऊँचाई 15 सेमी. वाले एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 सेमी. और व्यास 6 सेमी. वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस' अंइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।

हल : 

लम्ब वृत्तीय बेलन का व्यास $=12$ सेमी.

त्रिज्या $=\frac{12}{2}=6$ सेमी.

ऊँचाई $(h)=15$ सेमी.

$\therefore \quad$ लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन $=\pi r^{2} h$

या कुल ऑइसक्रीम का आयतन $=\frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 15$ सेमी. $^{3}$

शंक्वाकार भाग का व्यास $=6$ सेमी.

अर्थात्त्रिज्या $(\mathrm{R})=3$ सेमी.

शंकु की ऊँचाई $(\mathrm{H})=12$ सेमी.

शंकु का आयतन= शंक्वाकार भाग का आयतन

$=\frac{1}{3} \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{H}$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 12$

अर्द्धगोले का व्यास $=6$ सेमी

तब त्रिज्या $=3$ सेमी

$\therefore \quad$ अर्द्धगोले का आयतन $=\frac{2}{3} \pi$ त्रिज्या$^{3}$ $=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 3$

अब शंक्वाकार और अर्द्धगोले भागों के कुल आयतन

$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3 \times 12+\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times3 \times 3 \times 3 \\&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 3 \times 3(12+2 \times 3) \\&=\frac{22 \times 3}{7} \times 18 \end{aligned}$

माना

अइसक्रीम शंकुओं की संख्या $=n$

$\therefore \quad n\left[\frac{22 \times 3}{7} \times 18\right]=\frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 15$

या $n=\frac{22}{7} \times 6 \times 6 \times 15 \div \frac{22 \times 3}{7} \times 18$

या  $n=2 \times 5=10$

अतः आइसक्रीम शंकुओं की संख्या =10. उत्तर

प्रश्न 5

व्यास 7 मी. वाला 20 मी. गहरा एक कुआँ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 मी. × 14 मी. वाला एक चबूतरा बनाया गया है । इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : बेलनाकार कुआँ का व्यास $=7$ मी. अर्थात् त्रिज्या $(r)=\frac{7}{2}$ मी. कुआँ की गहराई $(h)=20$ मी.

$\therefore \quad$ कुआँ का आयतन $=\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2} \times 20$ मी. $^{3}=22 \times 7 \times 5$ मी. $^{3}$

कुआँ से निकाली गई मिट्टी का आयतन $=22 \times 7 \times 5$ मी. $^{3}$

चूंकि, निकाली गई मिट्टी से घनाभ के रूप में चबूतरा बनाया गया है जिसकी

लंम्बाई $=22$ मी. चौड़ाई $=14$ मी.

मान लीजिए चबूतरे की ऊँचाई $h$ मी. है।

$\therefore \quad$ चबूतरे का आयतन $=22 \times 14 \times h$ मी. $^{3}$

अतः कुएँ से निकली गयी मिट्टी का आयतन $=$ चबूतरे का आयतन

$\therefore22 \times 14 \times h=22 \times 7 \times 5$

$\Rightarrow=\frac{22 \times 7 \times 5}{22 \times 14}=\frac{5}{2}$

=2.5 मी.

अत :चबूतरे की वांछित ऊँचाई 2.5 मी. है।उत्तर

प्रश्न 6. 

6 मी. चौड़ी और 1.5 मी. गहरी एक नहर में पानी 10 किमी./घण्टा की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 सेमी. गहरे पानी की आवश्यकता' होती है।

हल : 

नहर की चौड़ाई $=6$ मी. तथा गहराई =1.5 मी.

1 घण्टे में बह जाने वाले पानी की लम्बाई =10 किमी.

∴30 मिनट (अर्थात् $\frac{1}{2}$ घ.) में बह जाने वाले पानी के स्तम्भ की लम्बाई

$\frac{10}{2}$ किमी. =5 किमी.=5000 मी.

$\Rightarrow \frac{1}{2}$ घण्टे में बहने वाले पानी की मात्रा (आयतन)

$=6 \times 1.5 \times 5000$ 

$=6 \times \frac{15}{10} \times 5000$

=45000 मी $^{3}$

चूँकि पानी की मात्रा (आयतन) का फैलाव एक ऐसे घनाभ के रूप में है जिसकी ऊँचाई 8 सेमी (या $\frac{8}{100}$ मी.) हो। माना घनाभ का क्षेत्रफल = a सेमी. $^{2}$

∴ घनाभ कां आयतन = क्षेत्रफल (आधार का) × ऊँचाई

$\therefore \quad a \times \frac{8}{100}=45000$

य $a=\frac{45000 \times 100}{8}=\frac{4500000}{8}$ मी.या

$a=562500$ मी $^{2}=\frac{562500}{10000}$ हेक्टेयर $=56.25$ हेक्टेयंर

$\therefore$ वांछित क्षेत्र का क्षेत्रफल $56.25$ हेक्टेयर है। उत्तर

प्रश्न 7.

32 सेमी. ऊँची और आधार त्रिज्या 18 सेमी. वाली एक बेलनाकार बात्टी रेत से भरी हुई है। इस बात्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ठेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 सेमी. है, तो इस ठेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :

बेलनाकार बाल्टी की त्रिज्या $(r)=18$ सेमी. तथा ऊँचाई $(h)=32$ सेमी.

बेलनाकार बाल्टी में रेत का आयतन $=\pi r^{2} h=\frac{22}{7} \times(18)^{2} \times 32$ सेमी. $^{3}$

$=\left(\frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32\right)$

शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई $(\mathrm{H})=24$ सेमी.

माना आधार की त्रिज्या $(\mathrm{R})$ है।

$\therefore \quad$ शंक्वाकार रेत की ठेरी का आयतन $=\frac{1}{3} \pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{H}$

$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \mathrm{R}^{2} \times 24$ सेमी. $^{3}$

शंक्वाकार ढेरी का आयतन = रेत का आयतन

$\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \mathrm{R}^{2} \times 24=\frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32$

या

$\begin{aligned}R^{2}=& \frac{22}{7} \times 18 \times 18 \times 32 \times 3 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{24}\\=& 18 \times 18 \times 4=18^{2} \times 2^{2} \\R=\sqrt{18^{2} \times 2^{2}}=18 \times 2 \end{aligned}$

=36 सेमी. 

माना रेत के शंक्वाकार ढेर की तिर्यक ऊँचाई ' 1 हो, तब

$\begin{aligned}l^{2} &=\mathrm{R}^{2}+\mathrm{H}^{2} \text { or } l^{2}=24^{2}+36^{2} \\&=(12 \times 2)^{2}+(12 \times 3)^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&=12^{2}\left[2^{2}+3^{2}\right]=12^{2} \times 13 \\&l=\sqrt{12^{2} \times 13}=12 \times \sqrt{13}\end{aligned}$

इस प्रकार, ढेरी की वांछित ऊँचाई 36 सेमी. और तिर्यक ऊँचाई $12 \times \sqrt{13}$ सेमी है।

प्रश्न 8. 

एक धातु का गोला जिसका व्यास $8.4$ सेमी है, को पिघलाकर व्यास 12 सेमी वाले एक बेलन कें रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : गोले का व्यास $=8.4$ सेमी

तब त्रिज्या, $\mathrm{R}=\frac{8.4}{2}=4.2$ सेमी

बेलन की त्रिज्या, $r=\frac{12}{2}=6$ सेमी

माना बेलन की ऊँचाई $h$ हो, तब प्रश्नानुसार

$\begin{aligned}\pi r^{2} h &=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3} \\h &=\frac{4 \pi \mathrm{R}^{3}}{3 \pi r^{2}} \\&=\frac{4 \times 4.2 \times 4.2 \times 4.2}{3 \times 6 \times 6}\end{aligned}$

=2.74 सेमी।

प्रश्न 9. 

एक घनाभ के आकार के डिब्बे में जिसकी माप 8 मी $\times 6$ मी $\times 3$ मी है, में कितने नमक से भरे थैले रखे जा सकते हैं। प्रत्येक थैला $0.64$ घन मीटर स्थान घेरता है?

हल : 

घनाभ के आकार के डिब्बे का आयतन

=8×6×3 घन मी 

एक थैले द्वारा घेरे गए स्थान का आयतन =0.64 घन मी

डिब्बे में थैलों की संख्या = डिब्ये का आयतन / एक थैले द्वारा घेरे गए स्थान का आयतन 

$=\frac{8 \times 6 \times 3}{0.64}$

=225 

प्रश्न 10.

6 सेमी व्यास का एक ताँबे का गोला है। गोले को पिघलाकर समान मोटाई का लम्बा तार बनाया जाता है। तार की लम्बाई 36 सेमीं है। तार की मोटाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

ताँबे के गोले का व्यास =6 सेमी

त्रिज्या, $r=\frac{6}{2}=3$ सेमी।

∴ गोले का आयतन $=\frac{4}{3} \pi r^{3}$

$=\frac{4}{3} \times \pi \times(3)^{3}$

=36 𝛑 घन सेमी

दिए गए तार की लम्बाई =36 सेमी

यदि तार के अनुप्रस्थ काट की त्रिज्या R है, तो तार का आयतन

$=\pi \mathrm{R}^{2} \times 36$घन सेमी

$\begin{aligned}\therefore \quad \quad \pi \mathrm{R}^{2} \times 36 &=36 \pi \\\mathrm{R}^{2} &=1 \\\mathrm{R} &=1\end{aligned}$

अतः तार की मोटाई 1 सेमी है। उत्तर

प्रश्न 11. 

सेल्वी के घर की छत पर बेलन के आकार की एक टंकी है। इस टंकी में एक भूमिगत टंकी में भरे पानी को पंप द्वारा पहुँचा कर टंकी को भरा जाता है। यह भूमिगत टंकी एक घनाभ के आकार की है, जिसकी भुजाएँ 1.57 मी × 1.44 मी  × 95 सेमी हैं। छत की टंकी की त्रिज्या 60 सेमी है और ऊँचाई 95 सेमी हैं। यदि भूमिगत 'टंकी पानी से पूरी भरी हुई थी, तो उससे छत की टंकी को पूरा भरने के बाद भूमिगत टंकी में पानी कितनी ऊँचाई तक रह जायेगा? छत की टंकी की धारिता की भूमिगत टंकी की धारिता से तुलना कीजिए।

(𝛑=3.14 लीजिए)

हल : 

छत की टंकी का आयतन = भूमिगत टंकी से निकाले गए पानी का आयतन

अब, छत की टंकी (बेलन) का आयतन $=\pi r^{2} h$

$=3.14 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.95$ घन मी.

भूमिगत टंकी के पानी से पूरी भरी होने पर पानी का आयतन

$=l \times b \times h=1.57 \times 1.44 \times 0.95$ घन मी. 

छा की टंकी को पानी से पूरा भरने के बाद भूमिगत टंकी में शेष बचे पानी का आयतन

$=[(1.57 \times 1.44 \times 0.95)-(3.14 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.95)]$ घन मी 

$=(1.57 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.95 \times 2)$ घन मी.

इसलिए, भूमिगत टंकी में शेष बचे पानी की ऊँचाई

= उसमें बचे पानी का आयतन / l × b

$\begin{aligned}&=\frac{1.57 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.95 \times 2}{1.57 \times 1.44}\end{aligned}$

=0.475 मीटर=47.5 सेमी

साथ ही,   छत की टंकी की धारिता / भूमिगत टंकी की धारिता $=\frac{3.14 \times 0.6 \times 0.6 \times 0.95}{1.57 \times 1.44 \times 0.95}=\frac{1}{2}$

अतः छंत की टंकी की धारिता.भूमिगत टंकी की धारिता की आधी है।

प्रश्न 12.

 व्यास 3 मी. का एक कुआँ 14 मी. की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिटूटी को कुएँ के चारों ओर 4 मी. चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

बेलनांकार कुएँ का व्यास (d)=3 मी.

 $(r)=\frac{3}{2}$ मी. =1.5 मी.

और कुएँ की गहराई (h)=14 मी.

∴ कुआँ खोदने पर निकाली गयी मिट्टी का आयतन

$\begin{aligned}&=\pi r^{2} h \\&=\frac{22}{7} \times\left(\frac{15}{10}\right)^{2} \times 14 \\&=\frac{22 \times 15 \times 15 \times 14}{7 \times 10 \times 10} \\&=11 \times 3 \times 3 \end{aligned}$

=99 मी. $^{3}$

माना वृत्ताकार वलय (ring) की ऊँचाई $=\mathrm{H}$ मी.

वलय (ring) की भीतरी त्रिज्या $(r)=1.5$ मी.

वलय (ring) की बाहरी त्रिज्या $(\mathrm{R})=(4+1.5)$ मी. $=5.5$ मी.

$\therefore$ वलय (ring) का आयतन

$\begin{aligned}&=\pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{H}-\pi r^{2} \mathrm{H}=\pi \mathrm{H}\left[\mathrm{R}^{2}r^{2}\right]=\pi \mathrm{H}(\mathrm{R}+r)(\mathrm{R}-r) \\&=\frac{22}{7} \times \mathrm{H}(5.5+1.5)(5.5-1.5)=\frac{22}{7} \times \mathrm{H} \times 7 \times 4 \end{aligned}$  मी. $^{3}$

चूँकि वलय (ring) का आयतन = बेलनाकार कुएँ का आयतन

 

∴ $\frac{22}{7} \times \mathrm{H} \times 7 \times 4=99$

या $\mathrm{H}=99 \times \frac{7}{22} \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{4} =\frac{9}{8}$

=1.125 मी.

अतः वलय (ring) की अभीष्ट ऊँचाई =1.125 मी.।