प्रश्नादली 13 (B)
प्रश्न 1.
एक बर्तन एक उत्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 सेमी. है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 सेमी. है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ 'गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 सेमी. त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं, तो इसमें से भरे हुए पानी का एक चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :
शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h)=8 सेमी.
आधार की त्रिज्या (r)=5 सेमी.
शंक्वाकार बर्तन का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(5)^{2} \times 8 \\&=\frac{4400}{21} \end{aligned}$ सेमी. $^{3}$
अब, गोलाकार एक गोली की त्रिज्या (R)=0.5 सेमी.
$=\frac{5}{10}$ सेमी.
$\therefore \quad 1$ गोली का आयतन $=\frac{4}{3} \pi R^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10}$ सेमी.$^{3}$
माना गोलियों की कुल संख्या =n
चूँकि गोलियों को बर्तन में डालने पर पानी का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकलता है।
∴ गोलियों का आयतन $=\frac{1}{4}$ (बर्तन में पानी का आयतन)
$\begin{aligned}&\begin{aligned}\Rightarrow & n\left[\frac{4}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times\frac{5}{10}\right]=\frac{1}{4}\left[\frac{4400}{21}\right] \\\Rightarrow & n=\frac{1100}{21} \times \frac{3 \times 7 \times 10 \times 10 \times 10}{4 \times 22\times 5 \times 5 \times 5}=100\end{aligned}\end{aligned}$
अतः गोलियों की संख्या =100. उत्तर
प्रश्न 2.
एक ठोस एक अर्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 सेमी. हैं, तथा शंकु की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए
हल :
दिया है :
r=1 सेमी. और h=1 सेमी.
$\therefore$ शंक्वाकार भाग का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
अर्धगोलाकार भाग का आयतन $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$
∴पूर्ण ठोस का आयतन =
$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \pi r^{2} h+\frac{2}{3} \pi r^{3} \\&=\frac{1}{3} \pi r^{2}[h+2 r] \\&=\frac{1}{3} \pi(1)^{2}[1+2(1)] \\&=\frac{1}{3} \pi \times 1 \times 3 \\&=\frac{3 \pi}{3} =\pi\end{aligned}$ सेमी. $^{3}$
प्रश्न 3.
एक कलमदान' घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाम की विमाएँ 15 सेमी. $\times 10$ सेमी. $\times 3.5$ सेमी. हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या $0.5$ सेमी. है और गहराई $1.4$ सेमी. है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। (देखिए आकृति)।
हल :
∴ घनाभ का आयतन =15 सेमी. $\times 10$ सेमी. $\times 3.5$ सेमी.
$\begin{aligned}&=15 \times 10 \times \frac{35}{10} \\&=15 \times 35 =525\end{aligned}$ सेमी. $^{3}$
चूँकि प्रत्येक गड्ढां शंक्वाकार है जिसकी त्रिज्या $(\dot{r})=0.5$ सेमी. और गहराई $(h)=1.4$ सेमी.
$\therefore$ प्रत्येक शंक्वाकार गड़ढे का आयतन
$=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{5}{10}\right)^{2} \times \frac{14}{10}$ सेमी. $^{3}$
चूँकि 'कलमदान' में कुल चार गड्ढे हैं।
∴ गड्ढों का कुल आयतन
$=4 \times \frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times \frac{5}{10} \times \frac{5}{10} \times \frac{14}{10}$ सेमी ${ }_{2}^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{11}{10}$ सेमी. $^{3}=\frac{44}{30}$ सेमी. $^{3}$
अब कल'मदान' में लकड़ी की मात्रा (आयतन)
=घनाभ का आयतन - गड्ढों का कुल आयतन
=525 सेमी. $^{3}-\frac{44}{30}$ सेमी. $^{3}$
$=\frac{15750-44}{30}$ सेमी. $^{3}$
$=\frac{15706}{30}$ सेमी. $^{3}$ $=523.53$ सेमी. उत्तर
प्रश्न 4
एक ठोस में, ऊँचाई 120 सेमी. और त्रिज्या 60 सेमी. वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 सेमी. त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर आरोपित' है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्ब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 सेमी. है और ऊँचाई 180 सेमी. है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई, $h=120$ सेमी.
शंक्वाकार भाग के आधार की त्रिज्या, r=60 सेमी.
∴ शंक्वांकार भाग का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 60 \times 60 \times 120 $ सेमी.
अर्धगोलाकार भाग की त्रिज्या =60 सेमी.
अर्धगोलाकार भाग का आयतन $=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 60 \times 60 \times 60$ सेमी. $^{3}$
अब, ठोस का आयतन=शंक्कावार भाग का आयतन+अर्धगोलाकार भाग का आयतन
$=\left[\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times 60^2 \times 120\right]+\left[\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 60^3\right]$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 60^2 [60+60]$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 60 \times 60 \times 120$
$=\frac{2 \times 22 \times 60 \times 60 \times 40}{}$
$=\frac{6336000}{7}$ सेमी. $^{3}$
यहाँ बेलन की ऊँचाई, H=180 सेमी
और त्रिज्या, R=60 सेमी
अब बेलन का आयतन$= \pi R^2 H$
$=\frac{22}{7} \times 60^2 \times 180$ सेमी $^3$
$=\frac{22 \times 60 \times 60 \times 180}{7} \times 60^2 $ सेमी $^3$
$=\frac{14256000}{7}$ सेमी $^3$
∴ बेलन में पानी का आयतन$=\frac{14256000}{7}$ सेमी $^3$
अब, बेलन में शेष बचे पानी का आयतन
$=\left[\frac{14256000}{7}-\frac{6336000}{7}\right]$
$=\frac{7920000}{7}$सेमी $^3$
=1131428.57142सेमी $^3$
$=\frac{1131428.57142}{1000000}$मी $^3$ [∵1000000सेमी $^3$=1मी $^3$ ]
=1.13142857142मी $^3$
=1.131 मी $^3$
प्रश्न 5.
ऊँचाई 220 सेमी. और आधार का व्यास 24 सेमी. वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 सेमी. और त्रिज्या 8 सेमी. वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान' ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 सेमी. $^{3}$ लोहे का द्रव्यमान लगमग 8 ग्राम होता है। $(\pi=3.14$ लीजिए। $)$
हल :
बड़े बेलन की ऊँचाई $(h)=220$ सेमी.
आधार की त्रिज्या $(r)=\frac{24}{2}$ सेमी. $=12$ सेमी.
∴ बड़े बेलन का आयतन
$\begin{aligned} &=\pi r^{2} h \\ &=\pi(12)^{2} \times 220 \end{aligned}$ सेमी. $^{3}$
चूँकि, छोटे बेलन की ऊँचाई $=\mathrm{H}=60$ सेमी.
आधार की त्रिज्या $=\mathrm{R}=8$ सेमी.
$\begin{aligned} \cdots \quad \text { छोटे बेलन का आयतन } &=\pi \mathrm{R}^{2} \mathrm{H} \\ &=\pi(8)^{2} \times 60 \end{aligned}$ सेमी.$^{3} $
∴ लोहे के स्तम्भ का आयतन $=$ बड़े बेलन का आयतन $+$ छोटे बेलन का आयतन
$\begin{aligned}&=\left[\pi(12)^{2} \times 220+\pi(8)^{2} \times 60\right] \\&=3.14[220 \times 12 \times 12+60 \times 8 \times 8] \text { सेमी. }^{3} \\&=\frac{314}{100}[220 \times 144+60 \times 64]\end{aligned}$
$\begin{aligned}&=\frac{314}{100}[31680+3840] \\&=\frac{314}{100} \times 35520\end{aligned}$
$\because 1$ सेमी. ${ }^{3}$ लोहे का द्रव्यमान = 8 ग्राम
∴ स्तम्भ में लोहे का द्रव्यमान
$\begin{aligned}&=\frac{8 \times 314 \times 35520}{100} \\&=\frac{89226240}{100} \\&=\frac{8922624}{10000}\\&=892.2624 =892.26\end{aligned}$ किग्रा।
प्रश्न 6.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 सेमी. है और व्यास 2 सेमी. है जबकि गोलाकार भाग का व्यास $8.5$ सेमी. है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा माप कर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 सेमी. ${ }^{3}$ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपरोक्त' मापन' आंतरिक' मापन है और $\pi=3.141$
हल :
दिया है, बेलन की त्रिज्या $=\frac{2}{2}=1$ सेमी तथा ऊँचाई (h)=8 सेमी. बेलनाकार भाग का आयतन $=\pi r^{2} h=3.14 \times 1^{2} \times 8$ सेमी.
$=\frac{314}{100} \times 8$ सेमी. $^{3}$
यहाँ गोले की त्रिज्या, $\mathrm{R}=\frac{8.5}{2}$ सेमी.
गोलाकार भाग का आयतन $=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
$=\frac{4}{3} \times \frac{314}{100} \times \frac{85}{20} \times \frac{85}{20} \times \frac{85}{20} \cdot$ सेमी. $^{3}$
गोलाकार बर्तन का कुल आयतन
$=\left[\frac{314}{100} \times 8\right]+\left[\frac{314}{100} \times \frac{4}{3} \times \frac{85 \times 85 \times 85}{8000}\right]$
$\begin{aligned}&=\frac{314}{100}\left[8+\frac{4 \times 85 \times 85 \times 85}{24000}\right] \\&=\frac{314}{100}\left[8+\frac{614125}{6000}\right] \\&=\frac{314}{100}[48000+614125] \\&\left.=\frac{6000^{\prime}}{100}\right] \\&=\frac{314}{100} \times \frac{5297}{48}\\&=\frac{157}{100} \times \frac{5297}{24}=\frac{831629}{2400} \end{aligned}$
=346.51 सेमी.$^{3}$(लगभग)
अर्थात् बर्तन में पानी का आयतन =346.51 सेमी. $^{3}$
चूँकि बच्चे द्वारा ज्ञात किया गया पानी का आयतन =345 सेमी. $^{3}$
$\therefore$ बच्चे का उत्तर सही नहीं है।
अतः सही उत्तर है =346.51 सेमी. ${ }^{3}$ । उत्तर
प्रश्न 7.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 सेमी. है और इसकी लम्बाई 12 सेमी. है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 सेमी. हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अंतर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की अंतरिक और बाहरी विमाएँ लगमग बराबर हैं।)
हल :
दिया है : व्यास $=3$ सेमी. हो, तब त्रिज्या $(r)=\frac{3}{2}$ सेमी.
कुल ऊँचाई $=12$ सेमी.
एक शंकु की ऊँचाई $\left(h_{1}\right)=2$ सेमी.
चित्र में दर्शाए गए दोनों शंकुओं की ऊँचाई $=2 \times 2=4$ सेमी.
$\therefore \quad$ बेलन की ऊँचाई $\left(h_{2}\right)=(12-4)$ सेमी. $=8$ सेमी.
अब, बेंलनांकांर भाग का आयतन $=\pi r^{2} h_{2}$
दोनों शंक्वांकार भागों का आयतन $=2\left[\frac{1}{3} \pi r^{2} h_{1}\right]$
∴पूरे मॉडल का आयतन =
$\begin{aligned}=\pi r^{2} h_{2} &+\frac{2}{3} \pi r^{2} h_{1}=\pi r^{2}\left(h_{2}+\frac{2}{3} h_{1}\right) \\ &=\frac{22}{7} \times\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\left[8+\frac{2}{3}(2)\right] \\ &=\frac{22}{7} \times \frac{9}{4} \times\left[\frac{24+4}{3}\right] . \\ &=\frac{22}{7} \times \frac{3}{4} \times 28 \\ &=22 \times 3 =66 \end{aligned}$ सेमी. $^{3}$
प्रश्न 8.
एक ठोस जो लम्बवृतीय शंकु के आकार का है एक अर्द्य गोले पर स्थित है। अर्द्यगोले की त्रिज्या .2.1 सेमी तथा शंकु की ऊँचाई 4 सेमी है। इस ठोस को एक बेलनाकार पानी से भरे हुए ट्यूब में पूरा डूब सके। यदि बेलन की त्रिज्या 5 सेमी तथा ऊँचाई $9.8$ सेमी हो तो ट्यूब में शेष पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
अर्ध गोले की त्रिज्या =2.1 सेमी
अर्ध गोले का आयतन $=\frac{2}{3} \pi $ ×त्रिज्या $^{3}$
$=\frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^{3}$
$=19.404$ घन सेमी।
शंकु की ऊँचाई $=4$ सेमी
शंकु की त्रिज्या $=$ अर्धगोले की त्रिज्या $=2.1$ सेमी
शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi(\text { त्रिज्या })^{2} \times$ ऊँचाई
$\begin{aligned}&=\frac{1}{3} \times \frac{22}{7} \times(2.1)^{2} \times 4 \\&=18.48 \text { घन सेमी }\end{aligned}$
बेलनाकार ट्यूब की त्रिज्या $=5$ सेमी
बेलनाकार ट्यूब की ऊँचाई $=9.8$ सेमी
बेलनाकार ट्यूब में कुल पानी का आयतन
=𝝿 × त्रिज्या $^{2}$ × ऊँचाई }
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times 5 \times 5 \times 9.8\end{aligned}$
$=770$ घन सेमी
अतः ट्यूब में शेष पानी का आयतन $=770-(19.404+18.48)$
=732.116 घन सेमी।
उत्तर
प्रश्न 9
14 सेमी व्यास वाले पाइप में पानी 15 किमी/घंटा की चाल से 50 मी. लम्बे और 44 मी. चौड़े घनाकार तालाब में बह रहा है। कितने समय में तालाब में पानी का स्तर 21 सेमी ऊपर उठ जाएगा।
हल :
दिया है, टैंक की लम्बाई =50 मी. तथा चौड़ाई =44 मी.
पानी के तल की ऊँचाई =21 सेमी $=\frac{21}{100}$ मी.
∴ टैंक में पानी का आयतन $=50 \times 44 \times \frac{21}{100}=462$ मी $^{3}$
और दिया है, पाइप की त्रिज्या, R=7 सेमी $=\frac{7}{100}$ मी
बहते पानी की चाल =15 किमी $/$ घंटा $=15 \times 1000$ मी/ घंटा =15000 मी/घंटा अब, 1 घटे में बहने वाले पानी का आयतन $=\pi R^{2} h$
$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{100} \times \frac{7}{100} \times 15000\end{aligned}$
=231 मी $^{3}$
∵ टैंक में पानी का आयतन =462 / 1 घंटे में बहने वाले पानी का आयतन =2 घटे उत्तर
प्रश्न 10.
एक 8 सेमी त्रिज्या के ठोस घात्चिक अर्द्धगोले को पिघलाकर एक 6 सेमी त्रिज्या का लम्बवृत्तीय शंकु बनाया गया है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल :
माना शंकु की ऊँचाई =h
दिया है, शंकु की त्रिज्या =6 सेमी
∴ शंकु का आयतन $=\frac{1}{3} \pi r^{2} h=\frac{1}{3} \pi(6)^{2} h=12 \pi h$ सेमी $^{3}$ और अर्द्धगोले की त्रिज्या =8 सेमी
∴अर्द्धगोले का आयतन $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{2}{3} \pi(8)^{3}=\frac{1024}{3} \pi$ सेमी
शंकु का आयतन = अर्द्धगोले का आयतन
$\begin{aligned}12 \pi h &=\frac{1024 \pi}{3} \\h &=\frac{1024 \pi}{12 \pi \times 3}\end{aligned}$
h=28.44 सेमी
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