Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) प्रश्नादली 13 (A)

  प्रश्नादली 13 (A)

प्रश्न 1.

 एक खिलौन। त्रिज्या 3.5 सेमी. वाले एक शंकु के आकार का है, जो उसी त्रिज्या वाले एक अर्धगोले पर अध्यांरोंपित है। इस खिलौने की सम्पूर्ण ऊँचाई 15.5 सेमी. है। इस खिलौने का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

खिलौने की त्रिज्या (r)=3.5 सेमी.

ऊँचाई (h)=(15.5-3.5) सेमी. =12.0 सेमी.

$\therefore$ शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l$

- जहाँ तिर्यक ऊँचाई, $l^{2}=(12)^{2}+(3.5)^{2}$

या $l^{2}=144+12.25=156.25$

l=12.5 सेमी.

और अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r^{2}$

$\therefore$ खिलौने का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l+2 \pi r^{2}=\pi r(l+2 r)$ सेमी. ${ }^{2}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{35}{10}(12.5+2 \times 3.5)$

$=11 \times(12.5+7)$

$=11 \times 19.5=214.5$ सेमी. ${ }^{2}$

$=\frac{22}{7} \times \frac{35}{10}(12.5+2 \times 3.5)$

$=11 \times(12.5+7)$

$=11 \times 19.5=214.5$ सेमी. ${ }^{2}$

प्रश्न 2. 

दवा का एक कैप्सूल (capsule) एक बेलन के आकार का है जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला लगा हुआ है (देखिए आकृति)। पूरे कैप्सूल की लम्बाई 14 मिमी. है और उसका व्यास 5 मिमी. है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

अर्धगोलाकार भाग का व्यास $=\frac{5}{2}$ मिमी. $=2.5$ मिमी.

चूँकि एक अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r^{2}$

∴दोनों अर्धगोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2\left(2 \pi r^{2}\right)=4 \pi r^{2}=4 \times \frac{22}{7} \times\left(\frac{25}{10}\right)^{2} \\&=4 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10} \times \frac{25}{10}\end{aligned}$ 

बेलनाकार भाग का क्षेत्रफल $=2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 9$ 

$=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10} \times 9$ 

समूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\left[2 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10} \times 9\right]+\left[4 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10} \times \frac{25}{10}\right]$

$\begin{aligned}&=\left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{25}{10}\right)\left(9+\frac{50}{10}\right)  \\&=\frac{44 \times 25}{70} \times 14 \end{aligned}$ 

$\begin{aligned}&=\frac{44 \times 25 \times 2}{10} \\&=44 \times 5 \\&=220  \end{aligned}$

प्रश्न 3. 

ऊँचाई 2.4 सेमी. और व्यास 1.4 सेमी. वाले एक ठोस बेलन में से इसी ऊँवाई और इसी व्यास वाला एक शंक्वाकार खोल (cavity) काट लिया जाता है। शेष बचे ठोस का निकटतम वर्ग सेंटीमीटर तक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h)=2.4 सेमी.

तथा व्यास (d)=1.4 सेमी.

त्रिज्या $(r)=\frac{1.4 }{2}=0.7$ सेमी.

$\therefore$ बेलनाकार भाग का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2 \pi r[h+r] \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{10}[2.4+0.7] \\&=\frac{44}{10} \times 3.1 =\frac{44 \times 31}{100}=\frac{1364}{100}\end{aligned}$

शंक्वाकार भाग का व्यास (r)=0.7 सेमी.

ऊँचाई (h)=2.4 सेमी.

तिर्यक ऊँचाई $(l)=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{(0.7)^{2}+(2.4)^{2}}$

$=\sqrt{0.49+5.76}=\sqrt{6.25}=2.5$ सेमी.

शंक्वांकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l=\frac{22}{7} \times 0.7 \times 2.5$ सेमी.

$\begin{aligned}&=\frac{22}{7} \times \frac{7}{10} \times \frac{25}{10}  \\&=\frac{22 \times 25}{100} =\frac{550}{100}\end{aligned}$

शंक्वाकार भागं के आधार का क्षेत्रफल

$=\pi r^{2}=\frac{22}{7} \times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$ 

$=\frac{22 \times 7}{100}$ 

$=\frac{154}{100}$ सेमी. $^{2}$

$\therefore$ शेष बचे ठोस का क्षेत्रफल

=[(बेलनाकार भाग का कुल क्षेत्रफल )+( शंक्वाकार भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल )]-( शंक्वांकांर भाग के आधार का क्षेत्रफल)

$\begin{aligned}&=\left[\frac{1364}{100}+\frac{550}{100}\right]-\frac{154}{100} \\&=\frac{1914}{100}-\frac{154}{100} =\frac{1760}{100} =17.6 \approx 18\end{aligned}$ 

प्रश्न 4

भुजा 7 सेमी. वाले एक घनाकार ब्लॉक के ऊपर एक अर्धगोला रखा हुआ है। अर्धगोले का अधिकतम' व्यास क्या हो सकता है? इस प्रकार बने ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

घनाकार ब्लॉक की एक भुजा, a=7 सेमी.

$\therefore$ अर्धगोले का अधिकतम व्यास =7 सेमी.

$\therefore$ ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल

= घनाकार ब्लॉक का सम्पूर्ण क्षेत्रफल $+$ अर्धगोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल

- अर्धगोले के आधार का क्षेत्रफल

$=\left(6 \times a^{2}\right)+2 \pi r^{2}-\pi r^{2}$

$\left[\because l=7\right.$ सेमी. और $r=\frac{7}{2}$ सेमी.]

$=(6 \times 49)+\left(2 \times \frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)-\left(\frac{22}{7} \times \frac{7}{2} \times \frac{7}{2}\right)$

$=294+(11 \times 7)-\left(11 \times \frac{7}{2}\right)=\left(294+77-\frac{77}{2}\right)$

=332.5 सेमी

प्रश्न 5.

कोई बर्तन एक खोखले अर्धगोले के आकार का है जिसके ऊपर एक खोखला बेलन आध्यारोपित है। अर्धगोले का व्यास 14 सेमी. है और इस बर्तन (पात्र) की कुल ऊँचाई 13 सेमी है। दस बर्तन का आंतरिक पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

बेलनाकार भाग के लिए :

त्रिज्या $(r)=7$ सेमी.

ऊँचाई $(h)=6$ सेमी.

$\therefore$ बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$=2 \pi r h$ $=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 6$ सेमी. $^{2}$

अर्धगोलाकार भाग|के लिए :

त्रिज्या $(r)=7$ सेमी.

$\therefore$ अर्द्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \times \frac{22}{7} \times 7 \times 7$ सेमी. $^{2}=308$ सेमी. $^{2}$

$\therefore \quad$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=(264+308)$ सेमी. $^{2}=572$ सेमी. $^{2}$ ।

प्रश्न 6.

 कोई तंबू एक बेलन के आकार का है जिस पर एक शंकु अध्यारोपित' है। यदि बेलनाकार भाग की ऊँचाई और व्यास क्रमशः $2.1$ मी. और 4 मी. है तथा शंकु की तिर्यक ऊँचाई $2.8$ मी. है तो इस तंबू को बनाने में प्रयुक्त कैनवास (canvas) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। साथ ही र 500 प्रति मी. $^{2}$ की दर से इसमें प्रयुक्त कैनवासं की लागत ज्ञात कीजिए। (घ्यान दीजिए कि तंबू के आधार को कैनवस से नहीं ढका जाता है।)

हल : बेलनाकार भाग की त्रिज्या $(r)=\frac{4}{2}$ मी. $=2$ मी. तथा ऊँचाई $(h)=2.1$ मी.

$\therefore$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h=2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times \frac{21} {10}$ मी.

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l)=2.8 मी.

तथा आधार की त्रिज्या (r)=2 मी.

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\pi r l=\frac{22}{7} \times 2 \times \frac{28}{10}$ मी. $^{2}$

∴कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल =  [बेलनाकार भाग का क्षेत्रफल] +  [शंकु कापृष्ठीय क्षेत्रफल] 

$\begin{aligned}&=\left[2 \times \frac{22}{7} \times 2 \times \frac{21}{10}\right]+\left[\frac{22}{7} \times 2 \times\frac{28}{10}\right]  \\&=2 \times \frac{22}{7}\left[\frac{42}{10}+\frac{28}{10}\right]  \\&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{70}{10} =44 \end{aligned}$

1 मी. ${ }^{2}$ कैनवस की लागत = ई 500

$\therefore \quad 44$ मी. ${ }^{2}$ कैनवस की लागत = ई $500 \times 44=$ ई 22000 .

प्रश्न 7.

8.25 मीटर ऊँचाई का लस्बवृत्तीय बेलन के आकार का एक टैंट है। जिसके आधार का व्यास 30 मीटर तथा ऊँचाई 5.5 मीटर है। यह एक लम्बवृत्ताकार शंकु से घिरा हुआ है जिसका आधार समान है। जिसकी 45 प्रति वर्ग मीटर की दर से लगने वाले कैनवास का खर्च ज्ञात कीजिए।

हल : 

बेलनाकार टैंट के आधार की त्रिज्या, $r=15$ मीटर और

ऊँचाई, $\mathrm{H}=5.5$ मीटर

शंकु की ऊँचाई, $h=(8.25-5.5)$ मी $=2.75$ मीटर

शंकु . की त्रिज्या, $r=15$ मीटर

शंकु की तिर्यक ऊँचाई, $l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{(2.75)^{2}+(15)^{2}}=15.25$ मीटर

पूरे टैंट में लगा कपड़ा (केनवास)

$=2 \pi r \mathrm{H}+\pi r l$

$\begin{aligned}&=\pi r(2 \mathrm{H}+l)=\frac{22}{7} \times 15(2 \times 5.5+15.25) \\&=\frac{330}{7} \times 26.25=1237.5 \text { वर्ग मीटर }\end{aligned}$

$\because \quad 1$ वर्ग मीटर कैनवास का खर्चा $=$ ई 45

$\therefore \quad 1237.5$ वर्ग मीटर कैनवास कां खर्चा $=$ र $45 \times 1237.5$

$=$ = $55687.50$ उत्तर

प्रश्न 8. 

लकड़ी का एक खिलौना रॉकेट एक शंकु के आकार का है जो एक बेलन पर अध्यारोपित है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। सम्पूर्ण रॉकेट की ऊँचाई 26 सेमी. है, जबकि शंक्वाकार भाग की ऊँचाई 6 सेमी है। शंक्वाकार के भाग के आधार पर व्यास 5 सेमी और बेलनाकार भाग के आधार का व्यास 3 सेमी है। यदि शंक्वाकार भाग पर नारंगी रंग किया जाना है और बेलनाकार भाग पर पीला रंग किया जाना है, तो प्रत्येक रंग द्वारा रॉकेट का रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। $(\pi=3.14$ लीजिए)

हल : 

माना शंकु की त्रिज्या को $r$ से, शंकु की तिर्यक ऊँचाई को $l$ से, शंकु की ऊँचाई को $h$ से बेलन की त्रिज्या को $\mathrm{R}$ से, बेलन की ऊँचाई को $\mathrm{H}$ से व्यक्त करें, तब $r=2.5$ सेमी, $h=6$

 सेमी, $\mathrm{R}=1.5$ सेमी, $\mathrm{H}=26-6=20$ सेमी तथ

$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{2.5^{2}+6^{2}}=6.5$ सेमी

यहाँ, शंक्वाकार भाग का वृत्तीय आधार बेलन के आधार पर टिका हुआ है परन्तु शंकु का आधार बेलन के आधार से बड़ा है। अतः शंकु के आधार के एक भाग [वलय (ring)] को भी रंगा जायेगा।

अतः नारंगी रंग से रंगे भाग का क्षेत्रफल = शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + शंकु के आधार का क्षेत्रफल -बेलन

के आधार का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=\pi r l+\pi r^{2}-\pi(\mathrm{R})^{2} \\&=\pi\left[(2.5 \times 6.5)+(2.5)^{2}-(1.5)^{2}\right] \\&=\pi[20.25]=3.14 \times 20.25 \\&=63.585 \end{aligned}$ वर्ग सेमी

अब, पीले रंग से रंगे जाने वाले भाग का क्षेत्रफल $=$ बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल + बेलन के एक आधार

का क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2 \pi \mathrm{RH}+\pi(\mathrm{R})^{2} \\&=\pi \mathrm{R}(2 \mathrm{H}+\mathrm{R}) \\&=3.14 \times 1.5[2 \times 20+1.5] \\&=4.71 \times 41.5 \\&=195.465 \end{aligned}$ वर्ग सेमी

प्रश्न 9. 

लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर निकालते हुए, एक वस्तु बनाई गई है, जैसाकि आकृति में दर्शाया गया है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी. है और आधार की त्रिज्या $3.5$ सेमी. है तो इस वस्तु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : 

बेलन की त्रिज्या $(r)=3.5$ सेमी.

तथा ऊँचाई $(h)=10$ सेमी.

$\therefore \quad$ कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r h+\pi r^{2}=2 \pi r(h+r)$

$\begin{aligned}&=2 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10}\left(10+\frac{35}{10}\right)  \\&=22\left(\frac{135}{10}\right)=297\end{aligned}$ सेमी.$^{2}$

अर्धगोलाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $=2 \pi r^{2}$

$\therefore$ दोनों अर्धगोलाकारों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=2 \times 2 \pi r^{2}=4 \pi r^{2} \\&=4 \times \frac{22}{7} \times \frac{35}{10} \times \frac{35}{10} \\&=154 \end{aligned}$

अर्धगोलाकार भाग के आधार का क्षेत्रफल $=\pi r^{2}$

$\therefore$ दोनों अर्धगोलाकार भागों के आधार का क्षेत्रफल

$=2 \times \pi r^{2}=2 \times \frac{22}{7} \times(3.5)^{2}$

$=\frac{2 \times 22 \times 35 \times 35}{7 \times 10 \times 10} =77$ सेमी. $^{2}$

$\therefore$ ठोस का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल

$\begin{aligned}&=[(297+154)-77] \\&=(451-77) =374\end{aligned}$  सेमी. $^{2}$

प्रश्न 10.

 एक वृत्ताकार हॉल जिसकी छत अर्द्यगोलाकार है। इसमें 5236 वर्ग मीटर हवा है तथा कमरे के आन्तरिक' व्यास उस ऊँचाई के बराबर है जो कमरे के उच्चतम बिन्दु से आधार तक है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि यहाँ छत अर्द्धगोलोकार तथा हॉल बेलनाकार आकार में दी गयी है, तब

ऊँचाई, $h=2 r-r=r$

अर्द्धगोलाकार छत का पृष्ठीय क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times 4 \pi r^{2}=2 \pi r^{2}$

$\therefore4 \pi^{2}=5236$ $r^{2}=\frac{5236 \times 7}{4 \times 22}$ $r^{2}=119 \times 3.5=416.5$

$r=20.4$ मीटर

अतः हॉल की ऊँचाई $=2 r=2 \cdot \times 20.4=40.8$ मीटर। उत्तर

प्रश्न 11. 

तीन धातु के ठोस घन जिनकी भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी को पिघलाकर एक ठोस घन बनाया गया है। इस प्रकार बने ठोस की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल : दिया है, तीन धातु के घनों की भुजाएँ क्रमशः 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं।

$\therefore \quad$ पहले घन का आयतन $=(3)^{3}=27$ सेमी $^{3}$

दूसरे घन का आयतन $=(4)^{3}=64$ सेमी $^{3}$

तथा  तीसरे घन का आयतन $=(5)^{3}=125$ सेमी $^{3}$

चूँकि  तीनों घनों को पिघलाकर एक घन बनाया गया है। तब

माना  नए घन की भुजा $=x$ सेमी

प्रश्नानुसार,

नए घन की भुजा = तीनों घनों का आयतन 

$\begin{aligned}& & x^{3} &=27+64+125=216 \\\Rightarrow & & x^{3} &=6 \times 6 \times 6 \\\Rightarrow & & x &=6 \end{aligned}$सेमी उत्तर

प्रश्न 12. 

1.4 सेमी व्यास वाले कंचों को 7 सेमी व्यास वाले बेलनाकार बीकर में डाला जाता है बीकर में कितने कंचे डाले जाएँ कि बीयर के पानी का तल $5.6$ सेमी ऊँचा हो जाए?

हल : दिया है,

कंचे का व्यास $=1.4$ सेमी

$\therefore \quad$ कंचे की त्रिज्या $=\frac{1.4}{2}=0.7$ सेमी

$\therefore \quad$ एक कंचे का आयतन $=\frac{4}{3} \pi(0.7)^{3}$

$=\frac{4}{3} \pi \times 0.343=\frac{1.372}{3} \pi$  सेमी$^{3}$

बीकर का व्यास =7 सेमी

बीकर की त्रिज्या $=\frac{7}{2}$ सेमी =3.5 सेमी

पानी के तल की ऊँचाई =5.6 सेमी

बीकर में उठे पानी का आयतन $=\pi r^{2} h$

$=\pi(3.5)^{2} \times 5.6=68.6 \pi$ सेमी 

अभीष्ट कंचों की संख्या =बीकर में उठे पानी का आयतन / एक कंचे का आयतन 

$=\frac{68.6 \pi}{1.37^{7} \pi} \times 3=150$ कंचे।

प्रश्न 13. 

एक आयताकार टैंक का आधार 11 मी $\times 6$ मी है और टैंक में 5 मी ऊँचाई तक पानी भरा है। यदि पानी की त्रिज्या $3.5$ मी के बेलनाकार टैंक में स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो पानी के तल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : आयताकार टैंक की भुजाएँ

लम्बाई $=11$ मी; चौड़ाई $=6$ मी; पानी के तल की ऊँचाई $=5$ मी.

$\therefore \quad$ आयताकार टैंक में पानी का आयतन $=11 \times 6 \times 5=330$ मी $^{3}$ दिया है,

 बेलनाकार टैंक की त्रिज्या $=3.5$ मी.

माना बेलनाकार टैंक की ऊँचाई $=h$ मी.

$\therefore \quad$ बेलनाकार टैंक में पानी का आयतन $=\pi r^{2} h$

$=\frac{22}{7} \times(35)^{2} \times h=38.5 h$ मी$^{3}$

प्रश्नानुसार, दोनों टैंकों में पानी का आयतन समान है।

$\begin{aligned} 38.5 h &=330 & \\ \Rightarrow & & h &=\frac{330}{38.5}=8.57  \\ \Rightarrow & & h &=8.6 \end{aligned}$मी (लगभग)

अतः बेलनाकार टैंक में पानी के स्तर की ऊँचाई =8.6 मी

प्रश्न 14. 

एक बेलनाकार भवन के ऊपर अर्द्वगोलाकार गुबंद है और उसमें उपस्थित हवा का आयतन

$41 \frac{19}{21}$ मी 3 है। यदि गुबंद का अंतरिक व्यास भवन की कुल ऊँचाई के बराबर हो, तो भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल : माना भवन की ऊँचाई = गुबंद का आंतरिक व्यास $=2 r$ मी

$\therefore$ भवन की त्रिज्या (गुंबद) $=\frac{2 r}{2}=r$ मी

बेलनाकार भाग की ऊँचाई $=2 r-r=r$ मी

$\therefore \quad$ बेलनॉकार भाग का आयतन $=\pi r^{2} h=\pi r^{2} \times(r)=\pi r^{3}$ मी $^{3}$

और अर्द्धगोलांकार गुंबद का आयतन $=\frac{2}{3} \pi r^{3}$ मी $^{3}$

$\therefore$ भवन का कुल आयतन = भवन का कुल आयतन + अर्द्धगोलाकार गुंबद का आयतन

$=\pi r^{3}+\frac{2}{3} \pi r^{3}=\frac{5}{3} \pi r^{3}$मी

प्रश्नानुसार, भवन का कुल आयतन = हवा का आयतन

$\begin{aligned}\Rightarrow \quad \frac{5}{3} \pi r^{3} &=41 \frac{19}{21} \\\frac{5}{3} \pi r^{3} &=\frac{880}{21} \\\frac{5}{3} \times \frac{22}{7} r^{3} &=\frac{880}{21} \\r^{3} &=\frac{880}{21} \times \frac{21}{110} \\r^{3} &=8 \\r &=2\end{aligned}$

अतः भवन की ऊँचाई $=2 r=2 \times 2=4$ मी।

उत्तर