प्रश्नावली 10 (C)
बहुविकल्पीय प्रश्न
प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।
प्रश्न 1.
चित्र में वृत्त का केन्द्र O है और AC वृत्त की स्पर्श रेखा है। यदि $\angle A D B=55^{\circ}$, तो $\angle A C O$ की माप होगी :
(i) $20^{\circ}$
(ii) $27.5^{\circ}$
(iii) $30^{\circ}$
(iv) $35^{\circ}$
हल :
$\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$
तब $\angle \mathrm{ABD}=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$
$\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ABD}$
$=2 \times 35^{\circ}=70^{\circ}$
$\triangle \mathrm{AOC}$ से,
$\begin{aligned}\angle \mathrm{ACO} &=180^{\circ}-(\angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{AOC}) \\&=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+70^{\circ}\right) \\&=180^{\circ}-160^{\circ}=20^{\circ}\end{aligned}$
अतः विकल्प (i) $20^{\circ}$.
प्रश्न 2.
दिये हुए चित्र में $\mathrm{ABCD}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के बिन्दु $\mathrm{B}$ पर स्पर्श रेखा $\mathrm{PBQ}$ खींची गयी है। यदि $\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ}$, तो $\angle \mathrm{BCD}$ का मान होगा :
(i) $65^{\circ}$
(ii) $90^{\circ}$
(iii) $110^{\circ}$
(iv) $115^{\circ}$.
हल :
$\begin{aligned}&\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ} \\&\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ}\end{aligned}$
[एकान्तर वृत्तखण्ड में बने कोण हैं]
$\therefore \mathrm{ABCD}$ चक्रीय चतुर्भुज है, तब
$\begin{aligned}\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ} \\65^{\circ}+\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ}-65^{\circ} \\&=115^{\circ}\end{aligned}$
अतः विकल्प (iv) $115^{\circ}$.
प्रश्न 3.
चित्र में वृत्त का केन्द्र $O$ है। वृत्त के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा $T P T^{\prime}$ खींची गई है। बिन्दु $P$ से कोई जीवा PQ खींची गई है जो केन्द्र पर $\angle \mathrm{POQ}$ अन्तरित' करती है। यदि $\angle \mathrm{QPT}=\alpha$, तो $\angle \mathrm{POQ}$ का मान होगा :
(i) $\boldsymbol{\alpha}$
(ii) $2 \alpha$
(iii) $90^{\circ}-\alpha$
(iv) $90^{\circ}+\alpha$
हल :
वृत्त प़र $\mathrm{P}$ स्पर्श बिन्दु है। $\mathrm{PQ}$ जीवा है। $\mathrm{AP}$ और $\mathrm{AQ}$ को मिलाओ। $\mathrm{P}$ से खींची गई जीवा $\mathrm{PQ}$ है।
$\angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{TPQ}=\alpha$ (एकान्तर वृत्तखण्ड में बनेकोण हैं)
$\angle \mathrm{POQ}$=चाप PQ द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण =2⍺
अतः विकल्प (ii) =2⍺
प्रश्न 4.
5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा $P Q$ केन्द्र $O$ से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $O Q=12$ सेमी। $P Q$ की लम्बाई है :
(i) 12 सेमी
(ii) 13 सेमी
(iii) $8.5$ सेमी
(iv) $\sqrt{119}$ सेमी
हल :
चित्रानुसार,
OP=5 सेमी , OQ=12 सेमी
∵PQ एक स्पर्श रेखा है।
$\angle Q P O=90^{\circ} \quad(\because O P \perp Q P)$
अब समकोण $\Delta Q P O$ में,
$\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}$(पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned}(5)^{2}+\mathrm{PQ}^{2} &=(12)^{2} \\ 25+\mathrm{PQ}^{2} &=144 \\ \mathrm{PQ}^{2} &=144-25 \\ \mathrm{PQ}^{2} &=119 \\ \mathrm{PQ} &=\sqrt{119} \end{aligned}$
अतः विकल्प (iv) सही है।
प्रश्न 5.
दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी $4.5$ सेमी है और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 2 सेमी और $2.5$ सेमी हैं। उन वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं :
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) $4 .$
हल : . के केन्द्रों के बीच की दूरी $=4.5$ सेमी
त्रिज्याओं का योग $=2+2.5$
$=4.5$ सेमी
$\because \quad$ केन्द्रों के बीच की दूरी $=$ वृत्तों की त्रिज्याओं का योग
अतः वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं।
इन वृत्तों पर तीन स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है।
अतः विकल्प (iii) 3 . उत्तर
प्रश्न 6.
दिये हुये चित्र में वृत्त $\mathrm{ABC}$, जिसका केन्द्र $\mathrm{O}$ है, की जीवा $\mathrm{AB}=10$ सेमी है। रेखा $\mathrm{AB}$ पर $\mathrm{B}$ से 8 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु $P$ लिया गया है। बिन्दु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा $P C$ खींची गयी है, तो स्पर्श रेखा $P C$ की लम्बाई होगी:
(i) 144 सेमी
(ii) 18 सेमी
(iii) 12 सेमी
(iv) 10 सेमी।
हल :
$\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{AP} \times \mathrm{BP}$
$\begin{aligned} \mathrm{PC}^{2} &=(\mathrm{AB}: \mathrm{BP}) \times \mathrm{BP} \\ &=(10+8) \times 8 \\ &=18 \times 8 \\ &=9 \times 2 \times 8 \\ &=9 \times 16 \\ \mathrm{PC} &=3 \times 4 \end{aligned}$
=12 सेमी
अतः विकल्प (iii) 12 सेमी।
प्रश्न 7.
दो बाह्यत: स्पर्श करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या होती है :
(i) 1
(ii) 2
(iii) 3
(iv) 4 .
हल :
दो बाह्यतः स्पर्श करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ तीन होती हैं। अतः विकल्प (iii) $3 .$
अतः विकल्प (iii) $3 .$
प्रश्न 8.
एक बिन्दु $\mathrm{Q}$ से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा $\mathrm{Q}$ की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है :
(i) 7 सेमी
(ii) 12 सेमी
(iii) 15 सेमी
(iv) $24.5$ सेमी
हल :
मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $O P$ है तथा $P Q$ एक स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई $P Q=24$ सेमी है और $\mathrm{OQ}=25$ सेमी है।
$\because \mathrm{PQ}$ एक स्पर्श रेखा है,
$\mathrm{PQ} \perp \mathrm{OP}$
अब समकोण $\triangle O P Q$में
,$\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}$(पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned} \mathrm{OP}^{2}+(24)^{2} &=(25)^{2} \\ \mathrm{OP}^{2}+576 &=625 \\ \mathrm{OP}^{2} &=625-576 \\ &=49 \\ \mathrm{OP} &=7 \end{aligned}$
$\therefore$ अतः विकल्प (i) 7 सेमी सही है।
प्रश्न 9.
दी हुई आकृति में यदि TP तथा TQ केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle \mathrm{POQ}=110^{\circ}$, तो $\angle \mathrm{PTQ}$ बराबर है :
(i) $60^{\circ}$
(ii) $70^{\circ}$
(iii) $80^{\circ}$
(iv) $90^{\circ}$
हल :
दिया गया है- $\angle \mathrm{POQ}=110^{\circ}$
$\because \mathrm{PT}$ तथा $\mathrm{QT}$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं अर्थात् $\mathrm{PT} \perp \mathrm{OP}$ और $\mathrm{QT} \perp \mathrm{OQ}$ हैं।
$\therefore\angle O P T=\angle O Q T=90^{\circ}$
$\because$ चतुर्भुज OPTQ में चारों कोणों का योगफल के नियम से,
$\therefore \quad \angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{OQT}+\angle \mathrm{OPT}+\angle\mathrm{PTQ}=360^{\circ}$
$\begin{aligned} 110^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ} \\ 290^{\circ}+\angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ}-290^{\circ} \\ \angle \mathrm{PTQ} &=70^{\circ} \end{aligned}$
अतः विकल्प (ii) $70^{\circ}$ सही है।
प्रश्न 10.
यदि एक बिन्दु $\mathrm{P}$ से $\mathrm{O}$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^{\circ}$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle P O A$ बराबर है :
(i) $50^{\circ}$
(ii) $60^{\circ}$
(iii) $70^{\circ}$
(iv) $80^{\circ}$
हल :
$\because$ PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ है।
$\therefore \quad \angle \mathrm{PAO}=\angle \mathrm{OBP}=90^{\circ}$
और दिया है $\angle \mathrm{APB}=80^{\circ} .$
चतुर्भुज OAPB में चारों कोणों के योग नियम से,
$\therefore \quad \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{OBP}+\angle \mathrm{BPA}+\angle \mathrm{PAO}=360^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle \mathrm{AOB}+90^{\circ}+80^{\circ}+90^{\circ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB}+260^{\circ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=360^{\circ}-260^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=100^{\circ} \end{aligned}$
$\because \angle \mathrm{POA}, \angle \mathrm{AOB}$ का समद्विभाजक है।
अतः$\angle \mathrm{POA}=\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{AOB}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$
अतः किक्ल (i) सही है।
लघुडत्तरीय प्रश्न
प्रश्न 11.
चित्र में, $O$ वृत्त का केन्द्र है, $P B A$ छेदक रेखा है तथा $P T$ स्पर्श रेखा है। यदि $P B=4$ सेमी एवं $P A$ $=9$ सेमी, तो PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए। [उ. प्र. 2007 (HM)]
हल :$\mathrm{PB}=4$ सेमी
$\mathrm{PA}=9$ सेमी
PT स्पर्श रेखा है।
$\mathrm{PT}^{2}=\mathrm{PA} \times \mathrm{PB}$
$\mathrm{PT}^{2}=9 \times 4=36$
$\mathrm{PT}=6$ सेमी।
प्रश्न 12.
निम्न चित्र में, रेखा PCA तथा रेखा PDB वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शी हैं, तो सिद्ध कीजिए AC $=$ BD, जहाँ बिन्दु A, C, B तथा Dवृत्तों पर स्थित हैं।
हल :
बिन्दु Pसे वृत्तों पर PA, PB, PC तथा PD स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, तब
$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$..........(1)
तथा $\mathrm{PC}=\mathrm{PD}$........(2)
समीकरण' (1) से,
$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$
$\mathrm{AC}+\mathrm{CP}=\mathrm{BD}+\mathrm{DP}$
समीकरण (2) से,
$\mathrm{AC}+\mathrm{PD}=\mathrm{BD}+\mathrm{DP}$
$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$
प्रश्न 13.
चित्र में, $\mathrm{AD}$ वृत्त की स्पर्श रेखा और $\mathrm{ABC}$ छेदक रेखा है। यदि $\mathrm{AB}=4$ सेमी और $\mathrm{BC}=5$ सेमी, तो $\mathrm{AD}$ की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
AB=4 सेमी
BC=5 सेमी
$\mathrm{AD}^{2} =\mathrm{AC} \times \mathrm{AB}$
$\begin{aligned} &=(4+5) \times 4 \\ \mathrm{AD}^{2} &=9 \times 4=36 \end{aligned}$
AD=6 सेमी।
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