Dr Manohar Re Solution CLASS 10 CHAPTER 10 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 10 (C)

  प्रश्नावली 10 (C)

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।

प्रश्न 1. 

चित्र में वृत्त का केन्द्र O है और AC वृत्त की स्पर्श रेखा है। यदि $\angle A D B=55^{\circ}$, तो $\angle A C O$ की माप होगी :

(i) $20^{\circ}$

(ii) $27.5^{\circ}$

(iii) $30^{\circ}$

(iv) $35^{\circ}$

हल :

$\angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}$

तब $\angle \mathrm{ABD}=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$

$\angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{ABD}$

$=2 \times 35^{\circ}=70^{\circ}$

$\triangle \mathrm{AOC}$ से,

$\begin{aligned}\angle \mathrm{ACO} &=180^{\circ}-(\angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{AOC}) \\&=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+70^{\circ}\right) \\&=180^{\circ}-160^{\circ}=20^{\circ}\end{aligned}$

अतः विकल्प (i) $20^{\circ}$.

प्रश्न 2. 

दिये हुए चित्र में $\mathrm{ABCD}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के बिन्दु $\mathrm{B}$ पर स्पर्श रेखा $\mathrm{PBQ}$ खींची गयी है। यदि $\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ}$, तो $\angle \mathrm{BCD}$ का मान होगा :

(i) $65^{\circ}$

(ii) $90^{\circ}$

(iii) $110^{\circ}$

(iv) $115^{\circ}$.

हल :

$\begin{aligned}&\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ} \\&\angle \mathrm{DAB}=\angle \mathrm{PBC}=65^{\circ}\end{aligned}$

                                     [एकान्तर वृत्तखण्ड में बने कोण हैं]

$\therefore \mathrm{ABCD}$ चक्रीय चतुर्भुज है, तब

$\begin{aligned}\angle \mathrm{DAB}+\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ} \\65^{\circ}+\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{DCB} &=180^{\circ}-65^{\circ} \\&=115^{\circ}\end{aligned}$

अतः विकल्प (iv) $115^{\circ}$.

प्रश्न 3.

चित्र में वृत्त का केन्द्र $O$ है। वृत्त के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा $T P T^{\prime}$ खींची गई है। बिन्दु $P$ से कोई जीवा PQ खींची गई है जो केन्द्र पर $\angle \mathrm{POQ}$ अन्तरित' करती है। यदि $\angle \mathrm{QPT}=\alpha$, तो $\angle \mathrm{POQ}$ का मान होगा :

(i) $\boldsymbol{\alpha}$

(ii) $2 \alpha$

(iii) $90^{\circ}-\alpha$

(iv) $90^{\circ}+\alpha$

हल : 

वृत्त प़र $\mathrm{P}$ स्पर्श बिन्दु है। $\mathrm{PQ}$ जीवा है। $\mathrm{AP}$ और $\mathrm{AQ}$ को मिलाओ। $\mathrm{P}$ से खींची गई जीवा $\mathrm{PQ}$ है।

$\angle \mathrm{PAQ}=\angle \mathrm{TPQ}=\alpha$ (एकान्तर वृत्तखण्ड में बनेकोण हैं)

$\angle \mathrm{POQ}$=चाप PQ द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण =2⍺

अतः विकल्प (ii) =2⍺

प्रश्न 4.

5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिन्दु $P$ पर स्पर्श रेखा $P Q$ केन्द्र $O$ से जाने वाली एक रेखा से बिन्दु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $O Q=12$ सेमी। $P Q$ की लम्बाई है :

(i) 12 सेमी

(ii) 13 सेमी

(iii) $8.5$ सेमी

(iv) $\sqrt{119}$ सेमी

हल : 

चित्रानुसार,

OP=5 सेमी  , OQ=12 सेमी

∵PQ एक स्पर्श रेखा है।

$\angle Q P O=90^{\circ} \quad(\because O P \perp Q P)$

अब समकोण $\Delta Q P O$ में,

$\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}$(पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned}(5)^{2}+\mathrm{PQ}^{2} &=(12)^{2} \\ 25+\mathrm{PQ}^{2} &=144 \\ \mathrm{PQ}^{2} &=144-25 \\ \mathrm{PQ}^{2} &=119 \\ \mathrm{PQ} &=\sqrt{119} \end{aligned}$

अतः विकल्प (iv) सही है।

प्रश्न 5. 

दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी $4.5$ सेमी है और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 2 सेमी और $2.5$ सेमी हैं। उन वृत्तों पर स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं :

(i) 1

(ii) 2

(iii) 3

(iv) $4 .$

हल : . के केन्द्रों के बीच की दूरी $=4.5$ सेमी

त्रिज्याओं का योग $=2+2.5$

$=4.5$ सेमी

$\because \quad$ केन्द्रों के बीच की दूरी $=$ वृत्तों की त्रिज्याओं का योग

अतः वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं।

इन वृत्तों पर तीन स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती है।

अतः विकल्प (iii) 3 . उत्तर

प्रश्न 6.

 दिये हुये चित्र में वृत्त $\mathrm{ABC}$, जिसका केन्द्र $\mathrm{O}$ है, की जीवा $\mathrm{AB}=10$ सेमी है। रेखा $\mathrm{AB}$ पर $\mathrm{B}$ से 8 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु $P$ लिया गया है। बिन्दु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा $P C$ खींची गयी है, तो स्पर्श रेखा $P C$ की लम्बाई होगी:

(i) 144 सेमी

(ii) 18 सेमी

(iii) 12 सेमी

(iv) 10 सेमी।

हल : 

$\mathrm{PC}^{2}=\mathrm{AP} \times \mathrm{BP}$

$\begin{aligned} \mathrm{PC}^{2} &=(\mathrm{AB}: \mathrm{BP}) \times \mathrm{BP} \\ &=(10+8) \times 8 \\ &=18 \times 8 \\ &=9 \times 2 \times 8 \\ &=9 \times 16 \\ \mathrm{PC} &=3 \times 4  \end{aligned}$

=12 सेमी 

अतः विकल्प (iii) 12 सेमी।

प्रश्न 7. 

दो बाह्यत: स्पर्श करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या होती है :

(i) 1

(ii) 2

(iii) 3

(iv) 4 .

हल : 

दो बाह्यतः स्पर्श करने वाले वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ तीन होती हैं। अतः विकल्प (iii) $3 .$

अतः विकल्प (iii) $3 .$

प्रश्न 8. 

एक बिन्दु $\mathrm{Q}$ से एक वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 सेमी तथा $\mathrm{Q}$ की केन्द्र से दूरी 25 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या है :

(i) 7 सेमी

(ii) 12 सेमी

(iii) 15 सेमी

(iv) $24.5$ सेमी

हल : 

मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या $O P$ है तथा $P Q$ एक स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई $P Q=24$ सेमी है और $\mathrm{OQ}=25$ सेमी है।

$\because \mathrm{PQ}$ एक स्पर्श रेखा है,

$\mathrm{PQ} \perp \mathrm{OP}$

अब समकोण $\triangle O P Q$में

,$\mathrm{OP}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OQ}^{2}$(पाइथागोरस प्रमेय से)

$\begin{aligned} \mathrm{OP}^{2}+(24)^{2} &=(25)^{2} \\ \mathrm{OP}^{2}+576 &=625 \\ \mathrm{OP}^{2} &=625-576 \\ &=49 \\ \mathrm{OP} &=7 \end{aligned}$

$\therefore$ अतः विकल्प (i) 7 सेमी सही है।

प्रश्न 9. 

दी हुई आकृति में यदि TP तथा TQ केन्द्र $O$ वाले किसी वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार हैं कि $\angle \mathrm{POQ}=110^{\circ}$, तो $\angle \mathrm{PTQ}$ बराबर है :

(i) $60^{\circ}$

(ii) $70^{\circ}$

(iii) $80^{\circ}$

(iv) $90^{\circ}$

हल : 

दिया गया है- $\angle \mathrm{POQ}=110^{\circ}$

$\because \mathrm{PT}$ तथा $\mathrm{QT}$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं अर्थात् $\mathrm{PT} \perp \mathrm{OP}$ और $\mathrm{QT} \perp \mathrm{OQ}$ हैं।

$\therefore\angle O P T=\angle O Q T=90^{\circ}$

$\because$ चतुर्भुज OPTQ में चारों कोणों का योगफल के नियम से,

$\therefore \quad \angle \mathrm{POQ}+\angle \mathrm{OQT}+\angle \mathrm{OPT}+\angle\mathrm{PTQ}=360^{\circ}$

$\begin{aligned} 110^{\circ}+90^{\circ}+90^{\circ}+\angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ} \\ 290^{\circ}+\angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{PTQ} &=360^{\circ}-290^{\circ} \\ \angle \mathrm{PTQ} &=70^{\circ} \end{aligned}$

अतः विकल्प (ii) $70^{\circ}$ सही है।

प्रश्न 10.

 यदि एक बिन्दु $\mathrm{P}$ से $\mathrm{O}$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर $\mathrm{PA}, \mathrm{PB}$ स्पर्श रेखाएँ परस्पर $80^{\circ}$ के कोण पर झुकी हों, तो $\angle P O A$ बराबर है :

(i) $50^{\circ}$

(ii) $60^{\circ}$

(iii) $70^{\circ}$

(iv) $80^{\circ}$

हल :

$\because$ PA तथा PB दो स्पर्श रेखाएँ है।

$\therefore \quad \angle \mathrm{PAO}=\angle \mathrm{OBP}=90^{\circ}$

और दिया है $\angle \mathrm{APB}=80^{\circ} .$

चतुर्भुज OAPB में चारों कोणों के योग नियम से,

$\therefore \quad \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{OBP}+\angle \mathrm{BPA}+\angle \mathrm{PAO}=360^{\circ}$

$\begin{aligned} \angle \mathrm{AOB}+90^{\circ}+80^{\circ}+90^{\circ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB}+260^{\circ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=360^{\circ}-260^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=100^{\circ} \end{aligned}$

$\because \angle \mathrm{POA}, \angle \mathrm{AOB}$ का समद्विभाजक है।

अतः$\angle \mathrm{POA}=\frac{1}{2} \times \angle \mathrm{AOB}=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$

अतः किक्ल (i) सही है।

लघुडत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 11. 

चित्र में, $O$ वृत्त का केन्द्र है, $P B A$ छेदक रेखा है तथा $P T$ स्पर्श रेखा है। यदि $P B=4$ सेमी एवं $P A$ $=9$ सेमी, तो PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए। [उ. प्र. 2007 (HM)]

हल :$\mathrm{PB}=4$ सेमी

$\mathrm{PA}=9$ सेमी

PT स्पर्श रेखा है।

$\mathrm{PT}^{2}=\mathrm{PA} \times \mathrm{PB}$

$\mathrm{PT}^{2}=9 \times 4=36$

$\mathrm{PT}=6$ सेमी।

प्रश्न 12. 

निम्न चित्र में, रेखा PCA तथा रेखा PDB वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शी हैं, तो सिद्ध कीजिए AC $=$ BD, जहाँ बिन्दु A, C, B तथा Dवृत्तों पर स्थित हैं।

हल : 

बिन्दु Pसे वृत्तों पर PA, PB, PC तथा PD स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं, तब

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$..........(1)

तथा $\mathrm{PC}=\mathrm{PD}$........(2)

समीकरण' (1) से, 

$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$

$\mathrm{AC}+\mathrm{CP}=\mathrm{BD}+\mathrm{DP}$

समीकरण (2) से,

$\mathrm{AC}+\mathrm{PD}=\mathrm{BD}+\mathrm{DP}$

$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$

प्रश्न 13.

 चित्र में, $\mathrm{AD}$ वृत्त की स्पर्श रेखा और $\mathrm{ABC}$ छेदक रेखा है। यदि $\mathrm{AB}=4$ सेमी और $\mathrm{BC}=5$ सेमी, तो $\mathrm{AD}$ की माप ज्ञात कीजिए।

हल :

AB=4 सेमी

BC=5 सेमी

$\mathrm{AD}^{2} =\mathrm{AC} \times \mathrm{AB}$

$\begin{aligned} &=(4+5) \times 4 \\ \mathrm{AD}^{2} &=9 \times 4=36 \end{aligned}$

AD=6 सेमी।