प्रश्नावली 10 (B)
प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
हल :
दिया है : वृत्त का केन्द्र $O$ तथा $A Q C$ एक स्पर्श रेखा है। स्पर्श रेखा $A C$ के बिन्दु $Q$ से एक लम्ब $P Q$ खींचा गया है।
सिद्ध करना है : खींचा गया लम्ब QP वृत्त के केन्द्र $O$ से होकर जाता है।
उपपत्ति $\because \mathrm{AQ}$, वृत्त के स्पर्श बिन्दु $\mathrm{Q}$ पर एक स्पर्श रेबा है।
इस प्रकार $\mathrm{AQ}$ वृत्त की त्रिज्या पर लम्ब होगी।
PQ रेखा में वृत्त का केन्द्र स्थित होगा।
QP रेखा वाली भुजा पर एक बिन्दु O होगा जो वृत्त का केन्द्र बिन्दु है।
अतः हम कह सकते हैं कि लम्ब QP वृत्त के केन्द्र O से होकर जाता है।
प्रश्न 2.
एक बिन्दु $A$ से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 सेमी दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल :
$\because$ माना वृत्त का केन्द्र $O$ है तथा वृत्त के बाहर वृत्त के केन्द्र से दूरी $(O P)=5$ सेमी है।
$\because$ PQ एक स्पर्श रेखा है जिसकी लम्बाई 4 सेमी है।
$\therefore\text { PQ } \perp 00$
समकोण $\triangle O Q P$ में,
$\mathrm{OQ}^{2}+\mathrm{PQ}^{2}=\mathrm{OP}^{2}$ (पाइथागोरस प्रमेय से)
$\begin{aligned} \mathrm{OQ}^{2}+(4)^{2} &=(5)^{2} \\ \mathrm{OQ}^{2}+16 &=25 \\ \mathrm{OQ}^{2} &=25-16=9 \\ \mathrm{OQ} &=3 \end{aligned}$
अतः वृत्त की त्रिज्या 3 सेमी होगी।
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान्तर होती हैं।
हल :
दिया है : वृत्त का केन्द्र $O$ है और व्यास $P Q$ तथा स्पर्श रेखाएँ $A P B$ तथा $C Q D$ दी गयी हैं।
सिद्ध करना है : $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$
उपपत्ति : $\because \mathrm{PQ}$ वृत्त का व्यास है, बिन्दु $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ बिन्दु पर $\mathrm{APB}$ तथा $\mathrm{CQD}$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\angle \mathrm{BPO}=\angle \mathrm{DQO}=90^{\circ}$
$\because$ APB एक रेखा है अतः $\angle \mathrm{APO}=90^{\circ}$
इसी प्रकार $\mathrm{CQD}$ एक रेखा है अत $\} \quad \angle \mathrm{CQO}=90^{\circ}$
$\angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{DQO}=90^{\circ}$ (एकान्तर कोण के रूप में)
अतः $\mathrm{AB} \| \mathrm{CD}$, यही सिद्ध करना था।
प्रश्न 4.
चित्र में, $O$ वृत्त का केन्द्र है, $P B A$ छेदक रेखा है तथा $P T$ स्पर्श रेखा है। यदि $P B=2$ सेमी. एवं PA=8 सेमी, तो PT की लम्बाई ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : $\mathrm{PB}=2$ सेमी, $\mathrm{PA}=8$ सेमी।
ज्ञात करना है : $\mathrm{PT}$ की लम्बाई।
$\begin{aligned}\mathrm{PT}^{2} &=\mathrm{AP} \times \mathrm{BP} \\&=8 \times 2=16\\\mathrm{PT} \end{aligned}$
=4 सेमी
PT की लम्बाई $=4$ सेमी।
प्रश्न 5.
दिए चित्र में, $\mathrm{XY}$ तथा $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{Y}^{\prime}, \mathrm{O}$ केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समान्तर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु $\mathrm{C}$ पर स्पर्श रेखा $\mathrm{AB}, \mathrm{XY}$ को $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{X}^{\prime} \mathrm{Y}^{\prime}$ को $\mathrm{B}$ पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि $\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$ है।
हल :
सिद्ध करना है : $\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$
उपपत्ति : $\triangle \mathrm{AOP}$ तथा $\triangle \mathrm{AOC}$ में,
AP=AC (बाहरी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
AO=AO (उभयनिष्ठ भुजा)
OP=OC (वृत्त की त्रिज्याएँ).
$\triangle \mathrm{AOP} \cong \triangle \mathrm{AOC}$(भुजाओं से)
$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOC}$.......(i)
अब $\Delta \mathrm{BQO}$ तथा $\Delta \mathrm{BOC}$ में,
$\mathrm{OQ}=\mathrm{OC}$(वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\mathrm{OB}=\mathrm{OB}$(उभयनिष्ठ भुजा)
BQ=BC (बाहरी बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ)
$\Delta \mathrm{BQO} \cong \Delta \mathrm{BOC}$(भुजा से)
अतः : $\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{BOC}$........(ii)
$\because \mathrm{POQ}$ एक सरल रेखा है।
$\angle \mathrm{AOP}+\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOQ}+\angle\mathrm{BOC}=180^{\circ}$(रेखीय युग्म से)
$\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}+\angle\mathrm{BOC}=180^{\circ}$(समीकरण (i) तथा (ii) से)
$\begin{aligned} 2 \angle \mathrm{AOC}+2 \angle \mathrm{BOC} &=180^{\circ} \\ 2(\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC}) &=180^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{BOC} &=90^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=90^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 6.
दो प्रतिच्छेदी ' स्पर्श रेखाओं के मध्यस्थ कोण का एक अर्द्धक वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है, सिद्ध कीजिए।
हल :
दिया है : माना $P A$ तथा $P B$ दो प्रतिच्छेदी स्पर्श रेखाएँ हैं। $\angle A P B$ की अर्द्धक रेखा $P O$ है। सिद्ध करना है : PO रेखा वृत्त के केन्द्र से होकर जायेगी।
रचना : $\mathrm{OA}$ तथा $\mathrm{OB}$ को मिलाया।
उपपत्ति' : $\triangle \mathrm{APO}$ तथा $\triangle \mathrm{BPO}$ में,
$\angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OBP}=90^{\circ}$(स्पर्श रेखा तथा त्रिज्या से बना कोण)
$\angle \mathrm{APO}=\angle \mathrm{BPO}$(दिया है)
$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\triangle \mathrm{APO} \sim \triangle \mathrm{BPO}$
अतः PO रेखा वृत्त के केन्द्र से होकर जायेगी।
प्रश्न 7.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाद्य बिन्दु से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाले रेबाखण्ड' द्वारा केन्द्र पर अन्तरित' कोण का सम्पूरक होता है।
हल :
दिया है : माना दिया गया वृत्त का केन्द्र $O$ है जिसके बाहर एक बिन्दु $P$ है। $P Q$ तथा $P R$ दो स्पर्श रेखाएँ हैं तथा स्पर्श बिन्दुओं को मिलाने वाला रेखाख़ण्ड $\mathrm{QR}$ है जो वृत्त के केन्द्र पर $\angle \mathrm{QOR}$ बनाती है।
सिब्ध करना है : $\angle \mathrm{QPR}, \angle \mathrm{QOR}$ का सम्पूरक है।
उपपत्ति : : $\mathrm{PQ}$ एक स्पर्श रेखा है।
$\mathrm{PQ} \perp \mathrm{OQ}$
$\angle \mathrm{OQP}=90^{\circ}$...........(1)
इसी प्रकार PR एक स्पर्श रेखा है।
PR $\perp$ OR
$\angle$ ORP $=90^{\circ}$.........(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\angle O Q P+\angle O R P=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
अब चतुर्भुज OQPR से,
$\begin{aligned} \angle \mathrm{OQP}+\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{ORP}+\angle \mathrm{ROQ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{ROQ}+180^{\circ} &=360^{\circ} \\ \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{ROQ} &=360^{\circ}-180^{\circ} \\ \angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{ROQ} &=180^{\circ} \end{aligned}$
अतः $\angle \mathrm{QPR}, \angle \mathrm{QOR}$ का सम्मूरक है।
प्रश्न 8.
O केन्द्र के वृत्त के बिन्दु R पर PQ स्पर्श रेखा है। $\angle P R S$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
$\angle \mathrm{QRT}=30^{\circ}$ $\angle \mathrm{SRT}=90^{\circ} .$ $\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{PRS}+\angle \mathrm{SRT}+\angle \mathrm{QRT} \quad$ [अर्द्धवृत्त में स्थित कोण]
$\begin{aligned} 180^{\circ} &=\angle \mathrm{PRS}+90^{\circ}+30^{\circ} \\ 180^{\circ} &=\angle \mathrm{PRS}+120^{\circ} \\ \angle \mathrm{PRS} &=180^{\circ}-120^{\circ} \\ \angle \mathrm{PRS} &=60^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 9.
दो वृत्त एक-दूसरे को $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेदित करते हैं। उनमें से एक वृत्त के बिन्दु $\mathbf{P}$ से PAC और PBD खींची गई, रेखाएँ, एक-दूसरे वृत्त को C और D पर प्रतिच्छेदित करती हैं। सिद्ध करो कि P बिन्दु पर स्पर्श रेखा RPS, CD के समान्तर होगी।
हल :
दिया है : दो वृत्त एक-दूसरे को $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ पर काटते हैं। वृत्त पर स्थित बिन्दु $\mathrm{P}$ से $\mathrm{PAC}$ तथा $\mathrm{PBD}$ खींची गई हैं।
सिद्ध करना है : $\mathrm{P}$ बिन्दु पर स्पर्श रेखा $\mathrm{RPS} \| \mathrm{CD}$.
रचना : दोनों वृत्त के प्रतिच्छेद बिन्दुओं $\mathrm{A}$ तथा $\mathrm{B}$ को मिलाया।
'उपपत्ति' : $\because$ RPS स्पर्श रेखा है। अतः $\mathrm{PA}$ वृत्त की जीवा है।
$\angle \mathrm{RPA}=\angle \mathrm{PBA}, \quad$ (एकान्तर 'वृत्तखण्ड' के कोण बराबर होते हैं)
चक्रीय चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में,
बहिष्कोण $P A B=\angle A C D$
$\begin{aligned}&\angle \mathrm{RPA}=\angle \mathrm{ACD} \\&\angle \mathrm{RPC}=\angle \mathrm{PCD}\end{aligned}$
परन्तु ये एकान्तर कोण हैं।
अतः रेखा RPS $\| \mathrm{CD}$. यही सिद्ध करना था।
प्रश्न 10.
चित्र में $\mathrm{CP}$ वृत्त की स्पर्श रेखा है। यदि $\angle \mathrm{PCB}=60^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{BCA}=45^{\circ}$, तो $\angle \mathrm{ABC}$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\mathrm{CP}$ वृत्त की स्पर्श रेखा है तथा $\mathrm{CB}$ वृत्त की जीवा है। $\therefore$
$\angle \mathrm{PCB}=\angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}$
लेकिन $\triangle \mathrm{ABC}$ में
$\begin{aligned}\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{BCA}+\angle \mathrm{CAB} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{ABC}+45^{\circ}+60^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{ABC}+105^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{ABC} &=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ} . \\\angle \mathrm{ABC} &=75^{\circ} .\end{aligned}$
प्रश्न 11.
चित्र में, वृत्त के बाह्य बिन्दु $P$ से वृत्त पर $P A$ और $P C$ दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं जिनके बीच के कोण $\mathrm{APC}$ की माप $=30^{\circ}$ है। बिन्दु $\mathrm{C}$ से स्पर्श रेखा $\mathrm{PA}$ के समान्तर जीवा $\mathrm{CB}$ खींची गई है। $\angle \mathrm{BAC}$ की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
जीवा CB||PA
$\begin{array}{ll}\therefore & \angle \mathrm{DCB}=\angle \mathrm{APC}=30^{\circ} \\ & \angle \mathrm{DCB}=\angle \mathrm{BAC},\end{array}$
(क्योंकि एकान्तर वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं)
तब $\angle B A C=\angle D C B=30^{\circ}$
अतः $\angle B A C=30^{\circ} .$
प्रश्न 12.
चित्र में, वृत्त के बिन्दु $\mathrm{A}$ पर स्पर्श रेखा $\mathrm{DAE}$ खींची गयी है। वृत्त के अन्तर्गत एक $\triangle \mathrm{ABC}$ इस प्रकार है कि $\angle \mathrm{CAE}$ की माप $=70^{\circ}$ हो, तो $\angle \mathrm{ABC}$ की माप ज्ञात कीजिए।
हल :
$\angle \mathrm{CAE}=70^{\circ}$
$\because$ एकान्तर वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं, तब
$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{EAC}=70^{\circ}$
अतः $\angle \mathrm{ABC}=70^{\circ}$
प्रश्न 13.
चित्र में, O केन्द्र के वृत्त पर बिन्दु $P$ से $P A$ तथा $P B$ स्पर्श रेखाएँ खींची गई है। $L N$ रेखा वृत्त को बिन्दु $\mathbf{M}$ पर स्पर्श करती है, तो सिद्ध कीजिए कि
$P L+L M=P N+N M .$
हल :
दिया है : $O$ केन्द्र के वृत्त के बाहर एक बिन्दु $P$ दिया है। $P A$ तथा $P B$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं। $L N$ एक रेखाखण्ड है जो वृत्त को स्पर्श करती है।
सिद्ध करना है: $\mathrm{PL}+\mathrm{LM}=\mathrm{PN}+\mathrm{NM} .$
उपपत्ति : बिन्दु $P$ से वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ $P A$ तथा $P B$ हैं।
$\begin{aligned} \mathrm{PA} &=\mathrm{PB} \\ \mathrm{PL}+\mathrm{LA} &=\mathrm{PN}+\mathrm{NB} \end{aligned}$..........(1)
LA तथा LM बिन्दु L से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ है।
$\therefore$ $\mathrm{LA}=\mathrm{LM}$.........(2)
इसी प्रकार, $\mathrm{NB}=\mathrm{NM}$........(3)
समीकरण- (1), (2) तथा (3) से,
$\mathrm{PL}+\mathrm{LM}=\mathrm{PN}+\mathrm{NM}$
प्रश्न 14.
$\triangle \mathrm{ABC}$ के परिवृत्त पर बिन्दु $\mathrm{A}$ से $\mathrm{PAQ}$ स्पर्श रेखा इस प्रकार से है कि $\mathrm{PAQ} \| \mathrm{BC}$, तो सिद्ध कीजिए कि $\triangle \mathrm{ABC}$ समद्विबाहु त्रिभुज होगा।
हल :
दिया है : त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का परिवृत्त दिया है। बिन्दु $\mathrm{A}$ से $\mathrm{PQ}$ स्पर्श रेखा है। यह स्पर्श रेखा इस प्रकार है कि $\mathrm{PAQ} \| \mathrm{BC}$.
सिद्ध करना है : $\triangle \mathrm{ABC}$ समद्विबाहु है।
उपपत्ति : $\mathrm{PAQ}$ स्पर्श रेखा तथा $\mathrm{AB}$ एक जीवा है।
$\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{C}$ (एकान्तर वृत्तखण्ड प्रमेय से)
PAQ |BC, (दिया है)
$\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{B}$(एकान्तर कोण हैं)
$\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$
अतः $\triangle \mathrm{ABC}$ समद्विबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समान्तर चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है।
S वृत्त के परिगत एक समान्तर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ है जिसकी भुजाएँ वृत्त को क्रमशः $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ तथा $s$ बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं।
सिद्ध करना है : $\mathrm{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है।
उपपत्ति :
$\because \mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ दोनों बिन्दु क्रमशः $\mathrm{AB}$ तथा $\mathrm{BC}$ पर स्पर्श करते है।
$\mathrm{BP}=\mathrm{BQ}$.......(i)
$\because \mathrm{Q}$ तथा $\mathrm{R}$ दोनों बिन्दु क्रमशः $\mathrm{BC}$ तथा $\mathrm{CD}$ पर स्पर्श करते हैं।
$\therefore$ $\mathrm{CQ}=\mathrm{C} \mathrm{R}$........(ii)
$\because \mathrm{R}$ तथा $\mathrm{S}$ दोनों बिन्दु क्रमशः $\mathrm{CD}$ तथा $\mathrm{DA}$ पर स्पर्श करते हैं। $\therefore$ D R=D S.....(iiii)
और $\mathrm{S}$ तथा $\mathrm{P}$ दोनों बिन्दु क्रमशः $\mathrm{AD}$ तथा $\mathrm{AB}$ पर स्पर्श करते हैं।
$\mathrm{AS}=\mathrm{AP}$.........(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii) तथा (iv) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\mathrm{BP}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DR}+\mathrm{AS}&=\mathrm{BQ}+\mathrm{CR}+\mathrm{DS}+\mathrm{AP} \\(\mathrm{BP}+\mathrm{AS})(\mathrm{CQ}+\mathrm{DR}) &=(\mathrm{BQ}+\mathrm{CR})(\mathrm{DS}+\mathrm{AP})\end{aligned}$
$\begin{aligned}(\mathrm{BP}+\mathrm{AP})+(\mathrm{CR}+\mathrm{DR}) &=(\mathrm{BQ}+\mathrm{CQ})+(\mathrm{DS}+\mathrm{AS}) \\ \mathrm{AB}+\mathrm{CD} &=\mathrm{BC}+\mathrm{AD} \\ \mathrm{AB}+\mathrm{AB} &=\mathrm{BC}+\mathrm{BC} \end{aligned}$
$[\because \mathrm{AB}=\mathrm{CD}$ तथा $\mathrm{BC}=\mathrm{AB}$ समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ $]$
$\begin{aligned} 2 A B &=2 B C \\ A B &=B C \end{aligned}$
$\therefore$ समान्तर चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में,
A B=B C=C D=D A
अतः $\mathrm{ABCD}$ एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 16.
चित्र में, $O$ केन्द्र वाले वृत्त की जीवा $A B$ है। बिन्दु $B$ पर $B T$ स्पर्श रेखा है, तो $x$ तथा $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
O वृत्त का केन्द्र है,
OA=OB
∠OAB=∠OBA=40°
∠OBP=90° , त्रिज्या एवं स्पर्श रेखा के बीच 90° का कोण
$\begin{aligned} \angle \mathrm{OBA} &=90^{\circ}-x=40^{\circ} \\ x &=50^{\circ} \\ \angle \mathrm{AOB} &=180^{\circ}-\angle \mathrm{OAB}-\angle \mathrm{OBA} \\ &=180^{\circ}-40^{\circ}-40^{\circ}=100^{\circ} \\ \angle \mathrm{ACB} &=y=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB} \\ &=\frac{1}{2} \times 100=50^{\circ} \\ x &=y=50^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 17.
चित्र में, वृत्त के किसी दिये हुये बाह्य बिन्दु $\mathrm{T}$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा $\mathrm{TP}$ तथा एक छेदक रेखा $\mathrm{TAB}$ खींची जाती है; जो वृत्त को बिन्दु $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ पर काटती है। सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड $\mathrm{TP}=$ रेखाखण्ड' $\mathrm{TQ}$.
हल :
रेखा $\mathrm{PQ}, \angle \mathrm{APB}$ की अर्द्धक है।
$\angle \mathrm{APQ}=\angle \mathrm{BPQ}=\alpha$, (माना) $\angle \mathrm{APT}=\angle \mathrm{PBQ}$, (एकान्तर वृत्तखण्ड' में बने कोण है) $\angle \mathrm{APT}=\angle \mathrm{PBQ}=\beta$, (माना)
$\triangle \mathrm{PBQ}$ में, बहिष्कोण $=$ सम्मुख अन्तः कोणों का योग
$\angle \mathrm{PQT}=\angle \mathrm{PBQ}+\angle \mathrm{BPQ}$
या$\angle \mathrm{PQT}=\beta+\alpha=\alpha+\beta$ .......(1)
पुनः $\triangle \mathrm{PQT}$ में,
$\begin{aligned}\angle \mathrm{TPQ} &=\angle \mathrm{APT}+\angle \mathrm{APQ} \\&=\beta+\alpha \\&=\alpha+\beta\end{aligned}$.........(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle \mathrm{PQT}=\angle \mathrm{TPQ}$
अतः रेखाखण्ड $\mathrm{TP}=$ रेखाखण्ड $\mathrm{TQ}$.
प्रश्न 18.
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के परिगत बनी चतुर्भुज की आमने-सामने की भुजाएँ केन्द्र पर सम्पूरक कोण अन्तरित करती हैं।
हल :
दिया है : $\mathrm{ABCD}$ एक चतुर्भुज है जिसके अन्दर वृत्त बना है तथा $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ तथा $\mathrm{S}$ भुजाओं $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}$, $\mathrm{CD}$ तथा $\mathrm{DA}$ के स्पर्श बिन्दु हैं।
सिब्ध करना है : $\quad \angle \mathrm{BOC}+\angle \mathrm{DOC}=180^{\circ}$.
रचना : स्पर्श बिन्दु $P$ तथा $S$ को केन्द्र $O$ से मिलाया।
उपपत्ति : मान लीजिए $\angle \mathrm{A}=2 a, \angle \mathrm{B}=2 b, \angle \mathrm{C}=2 c$ तथा $\angle \mathrm{D}=2 d$
$\triangle \mathrm{AOS}$ तथा $\triangle \mathrm{AOP}$ में,
O S=O P(वृत्त की त्रिज्याएँ)
$\mathrm{OA}=\mathrm{OA}$(उभयनिष्ठ भूजा)
$\mathrm{AP}=\mathrm{AS}$(बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ)
$\triangle \mathrm{AOS} \cong \triangle \mathrm{AOP}$(भुजाओं से)
$\angle \mathrm{OAS}=\angle \mathrm{OAP}$(CPCT द्वारा)
$\angle B A D=2 a$
$\angle \mathrm{OAS}=\angle \mathrm{OAP}=\frac{1}{2} \times 2 a=a$
इसी प्रकार $\angle \mathrm{OBA}=\angle \mathrm{OBC}=b$
$\angle O C B=\angle O C D=c$
$\angle O D A=\angle O D C=d$
$\therefore \triangle \mathrm{AOB}$ में,
$\begin{aligned}\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{OAB}+\angle \mathrm{OBA} &=180^{\circ} \\\angle \mathrm{AOB}+a+b &=180^{\circ}\end{aligned}$
$\therefore \quad \angle \mathrm{AOB}=180^{\circ}-a-b$..........(1)
इसी प्रकार $\Delta C O D$ में,
$\angle \mathrm{COD}=180^{\circ}-c-d$.......(2)
सभीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{COOD} &=180^{\circ}-a-b+180^{\circ}-c-d \\&=360^{\circ}-(a+b+c+d)\end{aligned}$........(3)
$\because$ चतुर्भुज $\mathrm{ABCD}$ में चारों कोणों के योग के नियम से,
$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{D}=360^{\circ}$
$2 a+2 b+2 c+2 d=360^{\circ}$
$2(a+b+c+d)=360^{\circ}$
$a+b+c+d=180^{\circ}$
$a+b+c+d$ का मान' समीकरण' (3) में रखने पर, अतः
$\begin{array}{ll}\text { अत: } & \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{COD}=360^{\circ}-180^{\circ} \\\therefore & \angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{COD}=180^{\circ} .\end{array}$
प्रश्न 19.
4 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखण्ड BD और DC(जिनमें स्पर्श बिन्दु D दारा BC विभाजित है) की लम्बाइयाँ क्रमशः 8 सेमी और 6 सेमी है (देखिए आकृति में)। भुजाएँ $\mathrm{AB}$ और $\mathrm{AC}$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\mathrm{ABC}$ एक त्रिभुज है जिसमें $\mathrm{O}$ वृत्त का केन्द्र है। $\mathrm{O}$ से $\mathrm{OD}, \mathrm{OE}$ तथा $\mathrm{OF}$ वृत्त की त्रिज्याएँ है। $\therefore$ $O D=O E=O F=4$ सेमी
दिया है
तथा $\mathrm{CD}=6$ सेमी
$\because \mathrm{BD}$ तथा $\mathrm{BF}$ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\therefore\mathrm{BD}=\mathrm{BF}=8$ सेमी
इसी प्रकार $\mathrm{CD}$ तथा $\mathrm{CE}$ स्पर्श रेखाएँ हैं।
$\therefore\mathrm{CD}=\mathrm{CE}=6$ सेमी
अब माना $\mathrm{AE}=x$ सेमी हो, तो
$\mathrm{AE}$ तथा $\mathrm{AF}$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ होने के कारण,
$\mathrm{AE}=\mathrm{AF}=x$ सेमी
$\mathrm{AC}=\mathrm{AE}+\mathrm{EC}=(x+6)$ सेमी
$\mathrm{BC}=\mathrm{BD}+\mathrm{CD}=8+6=14$ सेमी
$\mathrm{AB}=\mathrm{AF}+\mathrm{FB}=(x+8)$ सेमी
अब त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप $\mathrm{s}=\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{CA}}{2}$
$=\frac{x+8+14+x+6}{2}$
$=(x+14)$ सेमी
त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\begin{aligned}&=\sqrt{(x+14)(x+14-x-8)(x+14-14)(x+14-x-6)} \\&=\sqrt{(x+14) \times 6 \times x \times 8} \\&=\sqrt{48\left(x^{2}+14 x\right)}\end{aligned}$
$\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल $=\triangle \mathrm{AOB}$ का क्षेत्रफल $+\Delta \mathrm{BOC}$ का क्षेत्रफल +$\Delta \mathrm{AOC} $ का क्षेत्रफल
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{OF}+\frac{1}{2} \times \mathrm{BC} \times\mathrm{OD}+\frac{1}{2} \times \mathrm{AC} \times \mathrm{OE} \\&=\frac{1}{2} \times 4 \times(8+x)+\frac{1}{2} \times 14 \times 4+\frac{1}{2} \times 4 \times(6+x) \\&=16+2 x+28+12+2 x \\&=4 x+56=4(x+14)\end{aligned}$
$\because$ दोनों क्षेत्रफल समान हैं।
$\begin{aligned}\sqrt{48\left(x^{2}+14 x\right)} &=4(x+14) \\\sqrt{\left(x^{2}+14 x\right) \cdot 3} &=(x+14)\end{aligned}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$3\left(x^{2}+14 x\right)=\left(x^{2}+196+28 x\right)$
$\begin{aligned} 3 x^{2}+42 x &=x^{2}+196+28 x \\ 3 x^{2}-x^{2}+42 x-28 x-196 &=0 \\ 2 x^{2}+14 x-196 &=0 \\ x^{2}+7 x-98 &=0 \\ x^{2}+14 x-7 x-98 &=0 \\ x(x+14)-7(x+14) &=0 \\(x+14)(x-7) &=0 \\ x+14 &=0 \text { या } x=-14 \\ x-7 &=0 \text { या } x=7 \end{aligned}$
$\because$ भुजा की माप ऋणात्मक नहीं हो सकती है
$\mathrm{AE}=\mathrm{AF}=7$ सेमी
$\mathrm{AB}=x+8=7+8=15$ सेमी
$\mathrm{AC}=x+6=7+6=13$ सेमी।
प्रश्न 20.
चित्र में वृत्त TQT' का केन्द्र O हो, तो $\angle \mathrm{TPT}^{\prime}$ की माप ज्ञात कीजिए। जहाँ PT' ॥ TQ तथा PT $\|$ T'Q.
हल :
$\because$ TQ || PT
तथा TP||QT'
$\angle \mathrm{QTP}=\angle \mathrm{PT} \mathrm{Q}=180^{\circ}-42^{\circ}=138^{\circ}$
चतुर्मुज PTQT में,
$\begin{aligned} \angle \mathrm{TPT} &=360^{\circ}-\left(138^{\circ}+138^{\circ}+42^{\circ}\right) \\ &=360^{\circ}-\left(276^{\circ}+42^{\circ}\right) \\ &=360^{\circ}-318^{\circ} \\ &=42^{\circ} \\ \angle \mathrm{TPT} &=42^{\circ} \end{aligned}$
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