प्रश्नावली 8 (D)
प्रश्न 1
चित्र में समबाहु $\triangle A B C$ की भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ के मध्य बिन्दु कमशः $D, E$ और $F$ हैं । सिद्ध कीजिए कि $\triangle D E F$ भी एक समबाहु त्रिभुज है ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ समबाहु है बिन्दु $D, E, F$ क्रमशः भुजाओं $B C, C A$ और $A B$ के मध्य बिन्दु हैं । मध्य बिन्दुओं को क्रम से मिलाने पर $\triangle D E F$ बना ।
सिद्ध करना है : $\triangle D E F$ समबाहु त्रिभुज है ।
उपपत्ति : $\because D$ तथा $E$ भुजाओं $B C$ तथा CA के मध्य बिन्दु हैं ।
∴ $D E=\frac{1}{2} A B$ या AB=2DE
∴ E और F क्रमशः CA और AB के मध्य बिन्दु हैं ।
$\therefore \quad E F=\frac{1}{2} B C \text { or } B C=2 E F$
इसी प्रकार F तथा D भुजाओं $A B$ और $B C$ के मध्य बिन्दु हैं ।
$\therefore D F=\frac{1}{2} C A \text { or } C A=2 D F$
$\triangle A B C$ समबाहु त्रिभुज है ।
AB=BC=CA or
2DE=2EF=2DF or
DE=EF=DF
अतः ΔDEF समबाहु त्रिभुज है ।
प्रश्न 2.
$\triangle A B C$ का $\angle B$ समकोण है और भुजा $A C$ का मध्य बिन्दु $P$ है । सिद्ध कीजिए कि
$P B=P A=\frac{1}{2} A C$
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में, $\angle B=90^{\circ}$, भुजा $A C$ का मध्य बिन्दु $P$ है ।
सिद्ध करना है : $P B=P A=\frac{1}{2} A C$
रचना : बिन्दु $P$ से $B C \| P Q$ खीची ।
उपपत्ति : $\because P Q \| B C$, बिन्दु $P, A C$ का मध्य बिन्दु है ।
$\therefore Q, A B$ का मध्य बिन्दु होगा 1
$\because P Q \| B C$ और $A B$ तिर्यक् रेखा है ।
$\angle A Q P=\angle A B C=90^{\circ}, \quad\left[\because \angle A Q P+\angle B Q P=180^{\circ}\right]$
$\angle B Q P=90^{\circ}$
$\triangle A Q P$ तथा $\triangle B Q P$ में,
$\begin{aligned} \angle A Q P &=\angle B Q P=90^{\circ} \\ A Q &=Q B \end{aligned}$
$\begin{aligned} P Q &=P Q \\ \Delta A Q P & \cong \Delta B Q P \\ P A &=P B \end{aligned}$...(1)
बिन्दु $P, A C$ का मध्य बिन्दु है, तब
$P A=\frac{1}{2} A C$........(2)
'समीकरण (1) तथा (2) से,
$P B=P A=\frac{1}{2} A C$
प्रश्न 3.
सिद्ध कीजिए कि एक आयत की क्रमागत भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से प्राप्त चतुर्भुज एक समवतुर्भुज है ।
हल :
दिया है : $\square A B C D$ एक आयत है जिसकी भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य बिन्दु क्रमशः $P, Q, R$ तथा $S$ हैं । क्रमागत मिलाने पर $P Q R S$ एक चतुर्भुज बनता है ।
उपपत्ति : $\triangle A P S$ तथा $\triangle S D R$ में,
$A S=S D$ $[\because S, A D$ का मध्य बिन्दु है]
$A P=D R$ [P, $A B$ का तथा $R, C D$ का मध्य बिन्दु है ]
$\angle A=\angle D$ [ : प्रत्येक $90^{\circ}$ ]
$\begin{aligned} \triangle A P S & \cong \Delta S D R \\ S P &=R S \end{aligned}$........(1)
पुन: $\triangle A P S$ तथा $\triangle P B Q$ में,
$\angle A=\angle B$ [प्रत्येक $90^{\circ}$ ]
$A P=B P$[P,AB का मध्य बिन्दु है ]
$\dot{A S}=B Q$$[A D=B C$ तथा $S$ और $Q$ इनके मध्य बिन्दु हैं ]
$\begin{aligned} \Delta A P S & \cong \triangle P B Q \\ S P &=P Q \end{aligned}$........(2)
पुनः $\triangle A P S$ और $\triangle Q C R$ में,
$A P=R C$ $\left[\because A P=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} C D=R C\right]$
$A S=Q C$$\left[\because A S=\frac{1}{2} A D=\frac{1}{2} B C=Q C\right]$
$\angle A=\angle C$ $\left[\because\right.$ प्रत्येक $\left.90^{\circ}\right]$
$\begin{aligned} \triangle A P S & \cong \Delta Q C R \\ S P &=Q R \end{aligned}$ ..........(3)
अब समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
$S P=R S=P Q=Q R$
$\therefore \square P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ समान हैं ।
$\because A B C D$ एक आयत है ।
$\begin{aligned} A D & \neq A B \\ A S & \neq A P \end{aligned}$
$\triangle A P S$ समद्विबाहु समकोण त्रिभुज नहीं है ।
$\begin{aligned}&\angle A S P \neq 45^{\circ} \\&\angle D S R \neq 45^{\circ}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle A S P+\angle D S P & \neq 90^{\circ} \\ \angle A S P+\angle P S R+\angle D S R &=180^{\circ} \\(\angle A S P+\angle D S R)+\angle P S R &=180^{\circ} \\ \angle P S R &=180^{\circ}-(\angle A S P+\angle D S R) \\ \angle P S R & \neq 180^{\circ}-90^{\circ} \\ \angle P S R & \neq 90^{\circ} \end{aligned}$
: $\square P Q R S$ एक समान भुजाओं का समान्तर चतुर्भुज है जिसके कोण $90^{\circ}$ के नहीं हैं ।
अत: चतुर्भुज $P Q R S$ एक समचतुर्भुज है ।
प्रश्न 4.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की चारों भुजाओं के क्रमागत मध्य बिन्दुओं को मिलाने पर प्राप्त चार सर्वागसम त्रिभुज प्राप्त होते हैं।
हल :
दिया है : $\square A B C D$ एक वर्ग है । $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमशः $A B, B C, C D$ तथा $D A$ भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं । मध्य बिन्दुओं को क्रमशः मिलाने पर $\square P Q R S$ बनता है ।
सिद्ध करना है : $\triangle A P S \cong \triangle P B Q \cong \triangle Q C R \cong \triangle R S D$. उपपत्ति : $\triangle A P S$ तथा $\triangle P B Q$ में,
$\begin{aligned}A P &=P B \\\angle A &=\angle B \\A S &=B Q \\\triangle A P S & \cong \triangle P B Q\end{aligned}$..........(1)
पुन: $\triangle P B Q$ तथा $\triangle Q C R$ में,
$\begin{aligned}P B &=R C \\\angle P B Q &=\angle Q C R \\B Q &=Q C \\\therefore \quad \triangle P B Q & \cong \Delta Q C R\end{aligned}$.............(2)
इसी प्रकार सिद्ध किया जा सकता है कि
$\begin{aligned}&\Delta Q C R \cong \triangle R D S \\&\triangle R D S \cong \triangle S A P\end{aligned}$...........(4)
समीकरण (1), (2), (3) तथा (4) से,
$\Delta A P S \cong \triangle P B Q \cong \Delta Q C R \cong \triangle R S D$
प्रश्न 5.
$\square P Q R S$ एक आयत है । यदि $A, B$ और $C$ क्रमशः भुजाओं $P Q, P S$ और $Q R$ के मध्य बिन्दु हैं, तो सिद्ध कीजिए कि :
$[A B+A C]=\frac{1}{2}[P R+S Q]$
हल :
दिया है : $\square P Q R S$ एक आयत है । $A, B$ और $C$ क्रमशः भुजाओं $P Q, P S$ और $Q R$ के मध्य बिन्दु हैं ।
सिद्ध करना है :
$A B+A C=\frac{1}{2}(P R+S Q)$
रचना : $A B$ और $A C$ को मिलाया तथा $P R$ और $Q S$ को मिलाया । उपपत्ति : $\triangle P S Q$ तथा $\triangle P B A$ में,
$\begin{aligned}&\angle P A B=\angle P Q S \\&\angle P B A=\angle P S Q\end{aligned}$
$\angle P$ उभयनिष्ठ है ।
$\begin{aligned}& \therefore \quad \triangle P S Q & \cong \Delta P B A \\\therefore & A B &=\frac{1}{2} S Q\end{aligned}$...............(1)
[ $A, B$ क्रमशः $P Q$ तथा $P S$ के मध्य बिन्दु हैं]
पुन: $\triangle Q P R$ तथा $\triangle Q A C$ में,
$\begin{aligned}&\angle Q A C=\angle Q P R \\&\angle Q C A=\angle Q R P\end{aligned}$
$\angle Q$ उभयनिष्ठ है
$\begin{aligned}\Delta Q P R & \cong \Delta Q A C \\A C &=\frac{1}{2} P R\end{aligned}$...(2)
$[A$ तथा $C$ क्रमशः भुजाओं $Q P, Q R$ के मध्य बिन्दु हैं]
'समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$A B+A C=\frac{1}{2}(P R+S Q)$
प्रश्न 6.
चित्र में, $\triangle A B C$ समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $A B=B C ; D, E$ तथा $F$ क्रमशः भुजाओं $B C, A B$ तथा $A C$ के मध्य बिन्दु हैं । सिद्ध कीजिए कि $A D$ रेखाखण्ड, $E F$ रेखाखण्ड पर लम्ब है तथा उसके द्वारा समद्विभाजित होता है ।
हल :
ज्ञात है : समद्विबाहु $\triangle A B C$ में $A B=A C$ और $D, E, F$ क्रमशः भुजाओं $B C, A B, A C$ के मध्य बिन्दु हैं । सिद्ध करना है : $A B \perp E F$ और $E D=F O$.
उपपत्ति : $\triangle A B D$ और $\triangle A C D$ में,
AB=AC, ज्ञात है]
$B D=D C$ [ज्ञात है]
$A D$ उभयनिष्ठ है ।
$\begin{aligned} \triangle A B D & \cong \triangle A C D \\ \angle 1 &=\angle 2 \text { और } \angle 5=\angle 6 \\ \angle 5+\angle 6 &=180^{\circ} \\ \angle 5=\angle 6 &=90^{\circ} \\ A D & \perp B C \end{aligned}$.............(1)
बिन्दु $E$ व $F$ भुजा $A B$ और $A C$ के मध्य बिन्दु हैं ।
$E F \| B C$................(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$A D \perp E F$
अब $\triangle A O E$ तथा $\triangle A O F$ में,
$\begin{aligned}\angle 1 &=\angle 2 \\\angle 5 &=\angle 6\end{aligned}$
$A O$ उभयनिष्ठ है ।
$\begin{aligned} \Delta A O E & \cong \triangle A O F \\ \angle A O E &=\angle A O F \\ \angle 3 &=\angle 4 \\ \angle A O E+\angle A O F &=180^{\circ} \\ \angle 3+\angle 4 &=180^{\circ} \\ \angle 3 &=\angle 4=90^{\circ} \end{aligned}$
$A O \perp E F$............(3)
$E \dot{O}=F O$.............(4)
समीकरण (3) व (4) से,
$A D \perp E F \text { और } E O=F O$ यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 7.
$A B C D$ एक चतुर्भुज है जिसमें $P, Q R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति)। $A C$ असका एक विकर्ण है। दर्शाइए कि
(i) $S R \| A C$ और $S R=\frac{1}{2} A C$ है।
(ii) $P Q=S R$ है।
(iii) $P Q R S$ एक 'समान्तर त्रिभुज है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ जिसमें $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य-बिन्दु हैं, साथ ही $A C$ इसका विकर्ण है।
सिद्ध करना है : (i) $S R \| A C$ और $S R=\frac{1}{2} A C$
(ii) $P Q=S R$
(iii) $P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
उपपत्ति : (i) $\triangle A C D$ में,
$A D$ का मध्य-बिन्दु $S$ है और $C D$ का मध्य बिन्दु $R$ है।
$S R \mid A C$ और $S R=\frac{1}{2} A C$ ( मध्य-बिन्दु प्रमेय)
(ii) $\triangle A B C$ में, भुजा $A B$ का $P$ मध्य-बिन्दु है और भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु $Q$ है। तब
$P Q \| A C$
और
$P Q=\frac{1}{2} A C$
इस प्रकार, हमने सिद्ध किया कि :
$P Q \| A C$
$S R \| A C$
$P Q \| S R$
$P Q=\frac{1}{2} A C$
$S R=\frac{1}{2} A C$
$P Q=S R$
(iii) चूँकि $P Q=S R$ और $P Q \| S R$
$\Rightarrow$ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता है।
$\Rightarrow P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 8.
$A B C D$ एक समचतुर्भुज है और $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $P Q R S$ एक आयत है।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक समचतुर्भुज है जिसमें $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य-बिन्दु हैं। चतुर्भुज $P Q R S$ बनाने के लिए $P Q, Q R, R S$ और $S P$ को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : $P Q R S$ एक आयत है।
रचना : $A C$ को मिलाएँ।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में $P$ और $Q$ रेखा $A B$ और $B C$ के मध्य-बिन्दु हैं।
$P Q \| A C$ और $P Q=\frac{1}{2} A C$.............(1)
इसी प्रकार, $\triangle A D C$ में $R$ और $S$ रेखा $C D$ और $A D$ के मध्य-बिन्दु हैं।
$\therefore$$S R \| A C$ और $S R=\frac{1}{2} A C$..............(2)
समी. (1) और (2) से, $P Q \| R S$ और $P Q=S R$
अब, चतुर्भुज $P Q R S$ में इसकी सम्मुख भुजाओं $P Q$ और $S R$ व एक युग्म बराबर और समानान्तर हैं। $\therefore P Q R S$ एक समानान्तर चतुर्भुज है।
$\begin{aligned} A B &=B C \\ \frac{1}{2} A B &=\frac{1}{2} B C \\ P B &=B Q \\ \angle 3 &=\angle 4 \end{aligned}$
(एक त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण)
अब, $\triangle A P S$ और $\triangle C Q R$ में,
AP=CQ (समान भुजाओं AB, BC के आधे)
AS=CR (समान भुजाओं AD, CD के आधे)
PS=QR (समान्तर चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाएँ)
ΔAPS⩭ΔCQR (SSS सर्यांगसम प्रमेय)
∠1=∠2 (सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
∠1+∠SPQ+∠3=180° (रेखिक युग्म स्वतः सिद्ध)
∠1+∠SPQ+∠3=∠2+∠PQR+∠4...........(3)
SP||RQ उन्हें काटते हैं,
∴ ∠SPQ+∠PQR=180°.....(3)
समी. (3) व (4) से, ∠SPQ=∠PQR=90°.............(4)
इस प्रकार, PQRS एक समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $S P Q=90^{\circ}$
अत : PQRS एक आयत है।
प्रश्न 9.
$A B C D$ एक आयत है, जिसमें $P, Q, R$ और $S$ क्रमशः भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य-बिन्दु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज $P Q R S$ एक समचतुर्भुज है।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक आयत है जिसमें $P, Q, R$ तथा $S$ क्रमश: भुजाओं $A B, B C, C D$ तथा $D A$ के मध्य बिन्दु हैं। $P Q, Q R, R S$ तथा $S P$ को मिलाया जिससे चतुर्भुज $P Q R S$ प्राप्त होता है।
सिद्ध करना है : $P Q R S$ एक समचतुर्भुज है।
रचना : $A C$ को मिलाया
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में, भुजा $A B$ तथा $B C$ के मध्य-बिन्दु $P$ तथा $Q$ हैं।
$P Q \| A C$ तथा $P Q=\frac{1}{2} A C$..............(1)
इसी प्रकार, $\triangle A D C$ में, भुजा $C D$ तथा $A D$ के मध्य-बिन्दु $R$ तथा $S$ हैं। $\therefore$
$S R \| A C$ तथा $S R=\frac{1}{2} A C$.............(2)
समी. (1) तथा (2) से, $P Q \| S R$ तथा $P Q=S R$..........(3)
अब चतुर्भुज $P Q R S$ में इसकी सम्मुख भुजाओं $P Q$ तथा $S R$ का एक युग्म समान्तर तथा समान है।
[सनीकरण (3) से]
$\therefore P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$A D=B C^{\circ}$
(आयत $A B C D$ की सम्मुख भुजार्यें)
$\frac{1}{2} A D=\frac{1}{2} B C \Rightarrow A S=B Q$...........(4)
$\triangle A P S$ तथा $B P Q$ से,
$\begin{aligned} A P &=B P \\ \angle P A S &=\angle P B Q \\ A S &=B Q \\ \Delta A P S & \cong \triangle B P Q \\ P S &=P Q \end{aligned}$
समी. (4) व (5) से, $P Q R S$ एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 10.
$A B C D$ एक समलम्ब है, जिसमें $A B \| D C$ है। साथ ही, $B D$ एक विकर्ण है और $E$ भुजा $A D$ का मध्य-बिन्दु है। $E$ से होकर एक रेखा $A B$ के समान्तर खींची गई है, जो कि $B C$ को $F$ पर प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि $F$ भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु है।
हल :
दिया है : समलम्ब चतुर्भुज $A B C D$ में,
$A B \| D C$
$E$ भुजा $A D$ का मध्य-बिन्दु है, $E F \| A B$. सिद्ध करना है : $F, B C$ का मध्य- बिन्दु है।
रचना : $D B$ को मिलाया। यह $E F$ को $G$ पर काटती है।
उपपत्ति : $\triangle D A B$ में, $E$ भुजा $A D$ का मध्य-बिन्दु है। (दिया है)
$E G \| A B$ $[\because E F \| A B]$ $[\because E F \| A B]$
$\therefore$ विलोमतः मध्य-बिन्दु 'प्रमेय द्वारा $G$ भुजा $D B$ का मध्य-बिन्दु है। $\triangle B C D$ में $\mathrm{G}$ भुजा $B D$ का मध्य बिन्दु है। (सिद्ध है)
$G F \| D C \quad[\because A B\|D C, E F\| A B \Rightarrow D C \| E F]$
$\therefore$ विलोमत: मध्य-बिन्दु प्रमेय द्वारा $F$, भुजा $B C$ का मध्य-बिन्दु है।
प्रश्न 11.
एक समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $E$ और $F$ क्रमशः भुजाओं $A B$ और $C D$ के मध्य-बिन्दु हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि रेखाखण्ड $A F$ और $E C$ विकर्ण $B D$ को समत्रिभाजित करते हैं।
हल :
प्रश्नानुसार दिया गया है कि $A B$ तथा $C D$ भुजाओं के मध्य-बिन्दु क्रमशः $E$ तथा $F$ हैं। अत
$A E=\frac{1}{2} A B \text { और } C F=\frac{1}{2} C D$................(i)
लेकिनं $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है अत:
$\begin{aligned}A B &=C D \text { और } A B \| D C \\\frac{1}{2} A B &=\frac{1}{2} C D \text { और } A B \| D C \\A E &=F C \text { और } A E \| F C\end{aligned}$ [समीकरण (i) से]
अर्थात् $A E F C$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$F A \| C E$
$F P \| C Q$
क्योंकि $F P, F A$ का ही एक भाग है और $C Q, C E$ का एक भाग है।..............(ii)
हम जानते हैं कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से खीची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
अब $\triangle D C Q$ में भुजा $C D$ का मध्य-बिन्दु $F$ है तथा $P F \| C Q$[समीकरण (ii) से]
अतः भुजा $D Q$ का मध्य-बिन्दु $P$ है।
$D P=P Q$............(iii)
इसी प्रकार $\triangle A B P$ में, $A B$ भुजा का मध्य-बिन्दु $E$ है तथा $E Q \| \mathrm{AP}$ अत: $B P$ भुजा का मध्य-बिन्दु $Q$ है।
अर्थात् $B Q=P Q$..............(iv)
अब समीकरण' (iii) व (iv) से,
$D P=P Q=B Q$ .................(v)
$B D=B Q+P Q+D P$
$\begin{aligned} &=B Q+B Q+B Q \\ B D &=3 B Q \\ 3 B Q &=B D \\ B Q &=\frac{1}{3} B D \end{aligned}$...............(vi)
अब समीकरण (v) व (vi) से
$D P=P Q=B Q=\frac{1}{3} B D$
अर्थात् भुजा $B D$ को बिन्दु $P$ और $Q$ तीन भागों में विभाजित करते हैं। या यह भी कहा जा सकता है कि $B D$ भुजा को $A F$ और $C F$ तीन भागों में विभाजित करते हैं।
इति सिद्धम्।
प्रश्न 12.
दर्शाइए कि किसी चतुर्भुज की सम्युख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ है जिसमें सम्मुख भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने से प्राप्त रेखाखण्ड क्रमश: $E G$ और $F H$ हैं।
सिद्ध करना है : रेखाखण्ड $E G$ और $F H$ परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
रचना : बिन्दुओं $A$ वं $C, E$ व $F, F$ व $G, G$ व $H$ तथा $H$ व $E$ को मिलाया।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में भुजाओं $A B$ तथा $B C$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $E$ व $F$ हैं। अतः
$E F \| A C$ तथा $E F=\frac{1}{2} A C$.................(i)
इसी प्रकार $\triangle A D C$ में भुजाओं $C D$ और $A D$ के मध्य-बिन्दु क्रमशः $G$ व $H$ हैं। अतः
$H G \| A C \text { तथा } H G=\frac{1}{2} A C$.............(ii)
अब 'समीक़रण (i) व-(ii) से
$E F \| H G \text { तथा } E F=H G$
अत: $E F G H$ एक समान्तर चतुर्भुज है क्योंकि हम जानते हैं कि यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समान्तर हो तो वह समान्तर चतुर्भुज होता है। साथ ही समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजक होते हैं। अतः समान्तर चतुर्भुज $E F G H$ के विकर्ण अर्थात् रेखाखण्ड $E G$ और $F H$ परस्पर समद्विभाजित होते हैं।
प्रश्न 13.
$A B C$ एक त्रिभुज है जिसका कोण $C$ समकोण है। कर्ण $A B$ के मध्य-बिन्दु $M$ से होकर $B C$ के समान्तर खींची गई रेखा $A C$ को $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। दर्शाइए कि
(i) D भुजा AC का मध्य-बिन्दु है।
(ii) $M D \perp A C$ है।
(iii) $C M=M A=\frac{1}{2} A B$ है।
हल :
(i) $\triangle A B C$ में भुजा $A B$ का मध्य-बिन्दु $M$ है, प्रश्नानुसार यह दिया है।
$\begin{aligned}&M D \| B C \\&A D=D C\end{aligned}$
(मध्य-बिन्दु प्रमेय के विलोम के अनुसार)
अतः $A C$ भुजा का मध्य बिन्दु $D$ है।
(ii) माना कि भुजा $B C$ के समान्तर खींची गई रेखा $m$ है।
तथा तिर्यक रेखा $A C$ है।
∠1=∠C (संगत कोण)
∠1=90° [∵∠C=90°] (दिया है)
MD⟂AC इति सिद्धम्।
(iii) आकृति में बने $\triangle A M D$ तथा $\triangle C M D$ में
$\angle 1=\angle 2=90^{\circ}$ (सिद्ध कर चुके हैं)
$A D=D C$ (सिद्ध कर चुके हैं)
MD=MD (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\Delta A M D \cong \triangle C M D$, (सर्वंगसमता' के नियम SAS के अनुसार)
$A M=C M$,............(1)
(क्योंकि ये सवांगसम' त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
दिया है कि $A B$ भुंजा का मध्य-बिन्दु $M$ है।
$\therefore$$A M=\frac{1}{2} A B$.............(2)
समीकरण (1) व (2) से
$C M=A M=\frac{1}{2} A B$
प्रश्न 14.
दिखाइये कि चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्ड परस्पर समद्विभाजित करते हैं ।
हल :
दिया है : $\square A B C D$ की भुजाओं $A B, B C, C D$ तथा $D A$ के मध्य बिन्दु $P, Q, R$ तथा S हैं । PR तथा SQ को मिलाया ।
सिद्ध करना है : $P R$ तथा $Q S$ परस्पर समद्विभाजित करते हैं ।
रचना : $P Q, Q R, R S$ तथा $S P$ को मिलाया तथा $A C$ और $B D$ को मिलाया । उपपत्ति : $\triangle A B C$ में,
$\because P, A B$ का मध्य बिन्दु है तथा $Q, B C$ का मध्य बिन्दु है ।
$P Q=\frac{1}{2} A C \text { तथा } P Q \| A C$............(1)
इसी प्रकार $\triangle A C D$ में,
$R S=\frac{1}{2} A C \text { and} R S \| A C$...........(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$P Q=R S \text { and } P Q \| R S$
$\therefore P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
अतः विकर्ण $P R$ तथा $S Q$ परस्पर सम-द्विभाजित करते हैं ।
प्रश्न 15.
चित्र में, $\triangle P Q R$ की एक माध्यिका $P S$ है और $M N \| Q R$ । सिद्ध कीजिए कि
$M L=L N$
हल :
दिया है : $\triangle P Q R$ की माध्यिका $P S$ है अतः $Q S=S R$ तथा $M N \| Q R$.
सिद्ध करना है : $M L=L N$.
उपपत्ति : समलम्ब चतुर्भुज $Q R N M$ में,
$Q R$ II $M N$
LS ऊँचाई है ।
QS=SR , दिया है
∠PSQ=∠PLM
∠PSR=∠PLN
∠PML=∠PQR
∠PNL=∠PRS
ML=LN
प्रश्न 16.
चित्र में, $\triangle A B C$ और $\triangle C A D$ की 'माध्यिकाएँ कमशः $A D$ और $C E$ हैं । यदि $E M \| B C$ और $E M$; $A B$ को $N$ पर मिलती है, तो सिद्ध कीजिए कि $A N=B N .$
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ और $\triangle C A D$ की माध्यिकाएँ क्रमशः $A D$ और $C E$ हैं । $E M \| B C$ तथा $E M, A B$ को $N$ पर मिलती है ।
सिद्ध करना है :
$A N=B N .$
उपपत्ति : $\triangle A N E$ तथा $\triangle B N M$ में,
$N E=B M=M N$ [D, BC का मध्य बिन्दु है तथा $B D\|N E\| M N$ ]
$\begin{aligned} \angle A N E &=\angle M N B \\ D E &=B M=A E, \\ \triangle A N E & \cong \triangle B N M \\ A N &=B N \end{aligned}$
प्रश्न 17.
दिए चित्र में, l रेखा के एक ही ओर A और B दो बिन्दु हैं $I A D \perp l$ तथा $B E \perp l$ रेखा l से क्रमश: D और $E$ पर मिलते हैं $1 A B$ का मध्य बिन्दु $C$ है । सिद्ध कीजिए कि $C D=C E$.
हल :
दिया है : रेखा l के एक तरफ दो बिन्दु $A$ और $B$ हैं और $C$ इनका मध्य बिन्दु है तथा $A D \perp l$ और $B E \perp l .$ सिद्ध करना है : $C D=C E$,
रचना : बिन्दु $C$ से रेखा $l$ पर लम्ब $C O$ खींचा ।
उपपत्ति : $\because A D \perp l$ तथा $B E \perp l$, (दिया है)
$C O \perp l$, (रचना से $)$
$A D\|B E\| C O$
$A C=B C$ [ $C, A B$ का मध्य बिन्दु है]
$\because A D, C O$ और $B E$ समान्तर रेखाएँ हैं तथा रेखा $l$ पर लम्ब हैं । अत:
$D O=E O$
$\triangle C D O$ और $\triangle C E O$ में,
$\begin{aligned}\angle C O D &=\angle C O E \\D O &=E O\end{aligned}$(प्रत्येक $90^{\circ}$ के)
$C O$ उभयनिष्ठ है ।
$\therefore$
$\triangle C O D \cong \Delta C O E$
$C D=C E .$
प्रश्न 18.
त्रिभुज $P Q R$ में $P Q=P R$ तथा $S, P Q$ का मध्य बिन्दु है । $S$ से $Q R$ के समान्तर एक रेखा खींची गई है; जो $P R$ को $T$ पर काटती है । सिद्ध कीजिए कि $P S=P T$ है ।
हल :
दिया है : $\triangle P Q R$ में, $P Q=P R$ तथा $S, P Q$ का मध्य बिन्दु है, $S T \| Q R$.
सिद्ध करना है : PS=PT
उपपत्ति : $\triangle P S T$ तथा $\triangle P Q R$ में,
$\therefore \quad S T$ ॥QR
$P Q$ तथा $P R$ इनको काटती है ।
$\begin{aligned}&\angle P S T=\angle P Q R \\&\angle P T S=\angle P R Q\end{aligned}$
$\angle P$ उभयनिष्ठ है ।
ΔPST ΔPQR
PS=PR (∵ S, PQ का मध्य बिन्दु है तथा T , PR का मध्य बिन्दु होगा)
PS=PT
PS=PT. इति सिद्धम् ।
प्रश्न 19.
दिये गये चित्र में, $\triangle A B C$ की माध्यिकाएँ $A D$ और $B E$ हैं । यदि $B E \| D F$, तो सिद्ध कीजिए कि
$C F=\frac{1}{4} A C$
हल :
$\triangle B E C$ में,
$\because B E \| D F$ और $B C$ का मध्य बिन्दु $D$ है ।
$\therefore C E$ का मध्य बिन्दु $F$ है ।
$C F=\frac{1}{2} C E$............(1)
$\triangle A B C$.की माध्यिका $B E$ है ।
$\begin{aligned}&C E=E A \\&C E=\frac{1}{2} A C\end{aligned}$............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
या
$\begin{aligned}&C F=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2} A C\right] \\&C F=\frac{1}{4} A C\end{aligned}$
प्रश्न 20.
$\triangle A B C$ की भुजा $A B$ को बिन्दु $M$ और $N$ समत्रिभाजित करते हैं । दो रेखाखण्ड $M P$ और $N Q, B C$ के समान्तर हैं जो $A C$ से $P$ और $Q$ बिन्दुओं पर मिलते हैं । सिद्ध कीजिए कि $P$ और $Q$ भुजा $A C$ को समत्रिथाग करते हैं ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned}&A M=M N=N B \\&N Q \text { II } B C \\&M P \text { II } B C\end{aligned}$
सिद्ध करना है : AP=PQ=QC
उपपत्ति :
$\quad \therefore \quad M P \| B C$, (दिया है)
$N Q \| B C$, (दिया है)
$\therefore \quad M P\|N Q\| B C$
$\because N Q \| M P$ और $M, A N$ का मध्य बिन्दु है ।
$\therefore P, A Q$ का मध्य बिन्दु होगा ।
$A P=P Q$...........(1)
$M P\|N Q\| B C$
$\begin{aligned}&M N=B N \\&P Q=Q C\end{aligned}$.............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$A P=P Q=Q C$
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