Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 8 चतुभुज (QUADRILATERAL) प्रश्नावली 8 (C)

 प्रश्नावली 8 (C)

प्रश्न 1. 

एक चतुर्भुज के कोण $3: 5: 9.13$ के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। हल : मान लीजिए चतुर्भुज के चारों कोण $(3 x)^{\circ},(5 x)^{\circ},(9 x)^{\circ}$ और $(13 x)^{\circ}$ हैं।

तब

$3 x+5 x+9 x+13 x=360$

$\begin{aligned} 30 x &=360 \\ x &=\frac{360}{30}=12 \end{aligned}$

$\therefore$ कोण हैं $(3 \times 12)^{\circ},(5 \times 12)^{\circ},(9 \times 12)^{\circ}$ और $(13 \times 12)^{\circ}$ अर्थात् $36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}$ और $156^{\circ}$ हैं। उत्तर

प्रश्न 2. 

यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।

हल : 

दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ जिसमें $A C=B D$

सिद्ध करना है : $A B C D$ एक आयत है।

उपपत्ति : $\triangle A B C$ तथा $\triangle D C B$ में,

$A B=D C$(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजायें)

$B C=B C$(उभयनिष्ठ).

$A C=D B$(दिया है)

$\Delta A B C \cong \triangle D C B$(SSS गुण द्वारा)

$\angle A B C=\angle B C D$(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

$\angle A B C+\angle B C D=180^{\circ}$(क्रमागत अन्तः कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)

$2 \angle A B C=180^{\circ}$

$\angle A B C=90^{\circ}$

$\angle A B C=\angle D C B=90^{\circ}$

अर्थात् $A B C D$ एक आयत है।

प्रश्न 3. 

दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें तो वह एक समचतुर्भुज होता है।

हल : 

चतुर्भुज $A B C D$ में विकर्ण $A C$ और $B D$ बिन्दु $O$ पर काटते हैं, जिससे कि $A O=O C, B O=O D$ और $A C \perp B D$ प्राप्त होते हैं।

सिद्ध करना है : $A B C D$ एक समचतुर्भुज हैं।

उपपत्ति : चूँकि चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। $\therefore A C$, रेखाखण्ड $B D$ का लम्ब समद्विभाजक है

$\Rightarrow A$ और $C$ दोनों $B$ और $D$ से समान दूरी पर हैं।

$A B=A D$ और $C B=C D$...........(1 )

साथ ही, $B D$ रेखाखण्ड' $A C$ का लम्बीय समद्विभाजक है।

$\Rightarrow B$ और $D$ दोनों $A$ और $C$ से समान दूरी पर स्थित हैं

$A B=B C$ और $A D=D C$.........(2)

$A B=B C=C D=A D$

इस प्रकार $A B C D$ एक चतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और चारों भुजाएँ बराबर हैं।

अत:, $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।

दूसरा प्रमाण : पहलले हम सिद्ध करेंगे कि $A B C D$ एक समचतुर्भुज है। 

$\triangle A O D$ और $\triangle C O B$ में,

$\begin{aligned} A O &=O C \\ O D &=O B \\ \angle A O D &=\angle C O B \end{aligned}$

सर्वांगसम की $S A S$ रचना द्वारा,

$\triangle A O D \cong \triangle C O B$

$\angle O A D=\angle O C B$........(1)

                         (सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग समान होते हैं)

अब रेखा $A C, A D$ और $B C$ को बिन्दु $A$ तथा $C$ पर क्रमशः इस प्रकार काटती हैं कि

 $\angle O A D=\angle O C B$  [समी. (1) से]

अर्थात् आंतरिक एकान्तर कोण बराबर होते हैं।

$A D \| B C$

$A B \| C D$

अत:, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

अब हम सिद्ध करेंगे कि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।

 $\triangle A O D$ और $\triangle C O D$ में,

$O A=O C$

∠AOD=∠COD (दोनों समकोण हैं) 

OD=OD (उभयनिष्ठ)

$\therefore$ सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा

$\begin{aligned} \triangle A O D & \cong \triangle C O D \\ A D &=C D \end{aligned}$...()

                 (सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)

अंब $A B C D$ एक समचतुर्भुज हैं (ऊपर सिद्ध कर चुके हैं)

$A B=C D$ और $A D=B C$

(समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हाते हैं)

 $A B=C D=A D=B C$  (समीकरण (2) से)

अतः चतुर्भुज $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।

प्रश्न 4. 

दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। हल : दिया है : एक वर्ग $A B C D$

सिद्ध करना है :  $A C=B D$

$A C \perp B D$ और $O A=O C . O B=O D$

उपपत्ति : चूँकि $A B C D$ एक वर्ग है इसलिए $A B \| D C$ और $A D \| B C$. 

अब, $A B \| D C$ और तिर्यक रेखा $A C$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर काटती है।

$\angle B A C=\angle D C A$ (आतंरिक एकान्तर कोण बराबर होते है)

$\angle B A O=\angle D C O$.........(1)

पुन: $A B \| D C$ और $B D$ उन्हें क्रमश: $B$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती हैं

$\angle A B D=\angle C D B \quad$ (आतंरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं)

$\angle A B O=\angle C D O$.........(2)

अब $\triangle A O B$ और $\triangle C O D$ में,

$\begin{aligned}\angle B A O &=\angle D C O \\A B &=C D\end{aligned}$ [समी. (1) से]

(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) 

$\angle A B O=\angle C D O$ [समी. (2) से]

$\therefore$ सर्वांगसम की $A S A$ रचना द्वारा

$\begin{aligned}\triangle A O B & \cong \triangle C O D \\O A &=O C \text { और } O\end{aligned}$

$O A=O C \text { और } O B=O D$

                        (सर्वांगसम त्रिभुजों के सृदश भाग बराबर होते हैं)

अत: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

$\triangle A D B$ और $\triangle B C A$ में,

 $A D=B C$ (वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं)

$\angle B A D=\angle A B C$ (प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ )

 $A B=B A$ (उभयनिष्ठ)

$\therefore$ 'सवांगसम की SAS रचना द्वारा

$\begin{aligned}\triangle A D B & \cong \Delta B C A \\A C &=B D\end{aligned}$

                  $(\because$ सवीगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं अतः विकर्ण बराबर होते हैं)

अतं: $\triangle A O B$ और $\triangle A O D$ में,

$O B=O D$

$(\because$ समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं) $A B=A D$ $A O=A O$ (वर्ग की भुजाएं बराबर होती हैं) (उभयनिष्ठ)

सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा,

$\begin{aligned}&\triangle A O B & \cong \triangle A O D \\&\angle A O B=\angle A O D\end{aligned}$(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)

$\begin{aligned} \angle A O B+\angle A O D &=180^{\circ} \\ \angle A O B &=\angle A O D=90^{\circ} \\ A O & \perp B D \\ A C & \perp B D \end{aligned}$

अत: विकर्ण समकोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं।

प्रश्न 5. 

दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।

हल : 

दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ में विकर्ण $A C=B D, A O=O C, B O=O D$ और $A C \perp B D$ है। सिद्ध करना है : चतुर्भुज $A B C D$ एक वर्ग है।

उपपत्ति : पहले हम सिद्ध करेंगे कि $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है। $\triangle A O D$ और $\triangle C O B$ में,

 $A O=O C$(दिया है)

$O D=O B$ (दिया है)

 $\angle A O D=\angle B O C$ ( शीर्षाभिमुख कोण)

सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा

$\begin{aligned}& \triangle A O D & \cong \Delta C O B \\& \angle O A D &=\angle O C B\end{aligned}$.............(1)

                (सर्वीगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)

अब रेखा $A C$ रेखा $A D$ और रेखा $B C$ को क्रमशः $A$ और $C$ पर काटती है, जिससे कि

$\angle O A D=\angle O C B$   (समी. (1) से)

अर्थात् आन्तरिक एकान्तर कोण बराबर होते हैं।

$A D \| B C$

$A B \| C D$

इसी प्रकार,

अत: $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है। 

अब हम सिद्ध करेंगे कि यह एक वर्ग है

 $\triangle A O B$ और $\triangle A O D$ में,

$A O=A O$ (उभयनिष्ठ)

$\angle A O B=\angle A O D$ (प्रत्येक $=90^{\circ}$, दिया है)

$O B=O D$ (दिया है)

    (समान्तर चतुर्भुजों के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)

$\therefore$ सवांगसम की SAS रचना द्वारा

$\begin{aligned} \triangle A O B & \cong \triangle A O D \\ A B &=A D \end{aligned}$

(सर्वंगसम' त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)

$A B=C D$ और $A D=B C$

(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

$A B=B C=C D=A D$...........(1)

अब $\triangle A B D$ और $\triangle B A C$ में,

$\begin{aligned} A B &=B A \\ A D &=B C \end{aligned}$

(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) 

$B D=A C$

$\therefore$ सवीगसम' की $\mathrm{SSS}$ रचना द्वारा

$\begin{aligned}&\triangle A B D \cong \triangle B A C \\&\angle D A B=\angle C B A\end{aligned}$

                                                                     (सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होंगे)

$\angle D A B+\angle C B A=180^{\circ}$. (समान्तर चतुर्भुज के अन्तः कोणों के योग से)

$\begin{aligned}2 \angle D A B &=180^{\circ} \\\angle D A B &=90^{\circ} \\2 \angle C B A &=180^{\circ} \\\angle C B A &=90^{\circ}\end{aligned}$

अतः $A B C D$ एक वर्ग है।

प्रश्न 6. 

समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का विकर्ण $A C$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है। (देख़िए आकृति)। दर्शाइए कि (i) यह $\angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।

(ii) $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।

हल : 

दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ है जिसमें विकर्ण $A C, \angle A$ को समद्विभाजित करता है। सिद्ध करना है : दिया गया विकर्ण $A C, \angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।

उपपत्ति : चित्रानुसार $A B \| D C$ तथा $A C$ एक तिर्यक रेखा इन्हें प्रतिच्छेदित करती है।

$\angle 1=\angle 3$ (एकान्तर कोण)...(i)

 $\angle 2=\angle 4$ (एकान्तर कोण)...(ii)

 $\angle 1=\angle 2$ [क्योंकि $A C, \angle A$ को समद्विभाजित करती है।]...(iii)

$\angle 3=\angle 4$

अतः $A C, \angle C$ को भी समद्विभाजित करती है।

प्रश्न 7. 

$A B C D$ एक समचतुर्भुंज है। दर्शाइए कि विकर्ण $A C$ कोणों $A$ और $C$ दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण $B D$ कोणों $B$ और $D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।

हल :

 'प्रश्नानुसार $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।

अत: $A B=B C=C D=A D$

माना कि विकर्ण $B D$ का समद्विभाजक बिन्दु $O$ है

अतः

$O B=O D$ होगा।

अब $\triangle A O B$ तथा $\triangle A O D$ से,

$O A=O A \quad$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ) $A B=A D$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)

$O B=O D$

क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

अतः

$\triangle A O B \cong \triangle A O D \quad$ (सर्वीगसमता' के $\mathrm{SSS}$ नियम के अनुसार) $\therefore$

$\angle O A D=\angle O A B$

(क्योंकि ये 'सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)

अर्थात् $O A, \angle A$ को समद्विभाजित करता है।

इसी प्रकार.............(i)

$\triangle B O C \cong \triangle D O C$

$\angle O C B=\angle O C D$

$O C, \angle C$ को समद्विभाजित करता है।............(ii)

अतः समीकरण (i) व (ii) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि विकर्ण $A C, \angle A$ और $\angle C$ को समहिभाजित करता है। पुन: $\triangle A O B$ और $\triangle B O C$ में,

$O B=O B$

$A B=B C$

$O A=O C$

क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं अतः

$\triangle A O B \cong \triangle C O B \quad$ (सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार) $\angle O B A=\angle O B C$ (क्योंकि ये सवंगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)......(iii)

अत: $O B, \angle \mathrm{B}$ को समद्विभाजित करता है।

$\triangle A O D \cong \triangle C O D$

$\angle O D A=\angle O D C$

$\Rightarrow O D, \angle D$ को समद्विभाजित करता है।...........(iv)

समीकरण (iii) व (iv) के आधार पर यह कहां जा सकता है कि विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $B$ तथा $D$ को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 8. 

$A B C D$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $A C$ दोनों कोणों $A$ और $C$ को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) $A B C D$ एक वर्ग है (ii) विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $B$ और $D$ को समद्विभाजित करता है। हल : प्रश्नानुसार एक आयत $A B C D$ है जिसमें

$A B=D C$.............(1)

$B C=A D$

साथ ही प्रत्येक कोण अर्थात्

$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$

(i) त्रिभुज $A B C$ और $\triangle A D C$ में,

$\angle 1=\angle 2$

$\angle 3=\angle 4$

क्योंकि विकर्ण $A C$ दोनों कोणों को समद्विभाजित करता है।

तथा

$A C=A C$

(उभयनिष्ठ भुजाएँ)

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle A D C \quad$ (सवींगसमता के नियम $\mathrm{ASA}$ के अनुसार)

 अतः $A B=A D$

'समीकरण (1) तथा (2) से $A B=B C=A D=D C$

अर्थात् आयत की सभी भुजाएँ समान हैं। अतः एक वर्ग है।

(ii) संलग्न चित्रानुसार

$\triangle A B D$ तथा $\triangle B D C$ में,

$A B=B C$ [आयत $A B C D$ एक वर्ग है।]

$A D=D C$  [आयत $A B C D$ एक वर्ग है।] 

$B D=B D$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)

 $\triangle A B D \cong B D C$ (सर्वंगसमता' के नियम SSS के अनुसार)

$\angle A B D=\angle C B D$.........(3)

                                      (क्योंकि ये सर्वंगसम त्रिभुजों के संगत भाग है।)

$\angle A D B=\angle C D B$.............(4)

                     (क्योंकि ये सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

अंतः समीकरण (3) व (4) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $\mathrm{B}$ तथा $\mathrm{D}$ को समद्विभाजित करता है।

प्रश्न 9. 

समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $B D$ पर दो बिन्दु $P$ और $Q$ इस प्रकार स्थित हैं कि $D P=B Q$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) $\triangle A P D \cong \Delta C Q B$

(ii) $A P=C Q$

(iii) $\Delta A Q B \cong \triangle C P D$

(v) $A P C Q$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(iv) $A Q=C P$

हल : 

(i) प्रश्न के दिए चित्र के $\triangle A P D$ तथा $\triangle C Q B$ से,

$\begin{aligned}D P &=B Q \\\angle A D P &=\angle Q B C\end{aligned}$

क्योंकि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A D \| B C$ तथा $\cdot B D$ एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है।

$\begin{array}{ll}\therefore \quad & \angle A D B=\angle D B C \\\therefore \quad \angle A D P & =\angle Q B C \\& \cdot A D=C B\end{array}$

क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

$\triangle A P D \cong \triangle C Q B$ (सवांगसमता' के नियम SAS के अनुसार)

(ii)  $A P=C Q$(क्योंकि ये सवींगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

(iii) अब पुन :' $\triangle A Q B$ तथा $\triangle C P D$ से,

$\begin{aligned} B Q &=D P \\ \angle A B Q &=\angle P D C \end{aligned}$

क्योंकि समान्तर चुर्भुज $A B C D$ में $A B \| C D$ तथा $B D$ एक तिर्यक रेखा इकको काटती है।

$\begin{aligned} \angle A B D &=\angle B D C \\ \angle A B Q &=\angle P D C \\ A B &=C D \end{aligned}$

क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।

$\Delta A Q B \cong \triangle C P D$ (सवौगसमता के नियम $\mathrm{SAS}$ के अनुसार)

(iv)  $A Q=C P$

                      (क्योंकि ये सवीगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)

(v) अब चतुर्भुज $A P C Q$ से

$A P=C Q$ (भाग ii से)

$A Q=C P$ (भाग iy से)

अर्थात् चतुर्भुज $A P C Q$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज़ की सम्मुख भुजाएँ समान होती है। अतः $A P C Q$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

प्रश्न 10. 

$A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $A P$ और $C Q$ शीर्षों $A$ और $C$ से विकर्ण $B D$ पर क्रमशः लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) $\triangle A P B \cong \Delta C Q D$

(ii) $A P=C Q$

हल : 

प्रश्नानुसार $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है

 जिसमें $A B \| D C$ तथा $B D$ एक तिर्यक रेखा है।

$\angle 1=\angle 2$  (एकान्तर कोण)...(i)

(i) अब आकृति में बनने वाले $\triangle A P B$ और $\triangle C Q D$ में

∠APB=∠CQD=90° ( दिया है) 

∠1=∠2 [समीकरण (i) के अनुसार]

AB=CD

     [क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

$\triangle A P B \cong \triangle C Q D$ (सवागसमता के नियम $\mathrm{AAS}$ के अनुसार)

(ii) $\therefore$  $A P=C Q$

                                        (क्योंकि ये सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)

प्रश्न 11. 

$\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में, $A B=D E, A B \| D E, B C=E F$ और $B C \| E F$ हैं। शीर्षों $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्षों $D, E$ और $\mathrm{F}$ से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) चतुर्भुज $A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज. $B E F C$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(iii) $A D \| C F$ और $A D=C F$ है।

(iv) चतुर्भुज $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(v) $A C=D F$ है।

(vi) $\triangle A B C \cong \Delta D E F$ है।

हल : 

दिया है : दो $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ इस प्रकार हैं कि $A B=D E, A B \| D E$ साथ ही $B C=E F$ और $B C \| E F .$

सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज $A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(ii) चतुर्भुज $B E F C$ एक सुमांतर चतुर्भुज है।

(iii) $A D \| C F$ और $A D=C F$.

(iv) चतुर्भुज $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(v) $A C=D F$.

(vi) $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,

उपपत्ति : (i) चतुर्भुज $A B E D$ में,

$A B=D E$ और,$A B \| D E$

$\Rightarrow$ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता है। 

$\Rightarrow A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(ii) अब चतुर्भुज $B E F C$ में,

$B C=F E$ और $B C \| E F$

$\Rightarrow$ सम्मुख भुज्जाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता है 

$\Rightarrow B E F C$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(iii) अब, $A D=B E$ और $A D \| B E$....(1)

                                           $(\because A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है)

$C F=B E$ और $C F \| B E$.................(2)

                                    $(\because B E F C$.एक समान्तर चतुर्भुज है)

समी. (1) और (2) से,

$A D=C F$ और $A D \| C F$.

(iv) चूँकि $A D=C F$ और $A D \| C F$

$\Rightarrow$ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता हैं।

 $\Rightarrow A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

(v) चूँकि $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\therefore$$A C=D F$ और $A C \| D F$

(vi) $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में.

AB=DE (समांतर चतुर्भुज ABED की सम्मुख भुजाएँ) 

BC=EF , (समांतर चतुर्भुज BECF की सम्मुख भुजाएँ)

CA=FD (समांतर चतुर्भुज ACFD की सम्मुख भुजाएँ)

$\therefore$ सर्वीगसम की SSS रचना से,

$\triangle A B C \cong \triangle D E F$

प्रश्न 12. 

$A B C D$ एक समलम्ब है, जिसमें $A B \| D C$ और $A D=B C$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि

(i) $\angle A=\angle B$

(iii) $\triangle A B C \cong \triangle B A D$

(ii) $\angle C=\angle D$

(iv) विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$ है।

हल : 

दिया है : $A B C D$ एक समलम्ब है जिसमें $A B \| D C$ और $A D=B C$ है। सिद्ध करना है : (i) $\angle A=\angle B$

(ii) $\angle C=\angle D$

(iii) $\triangle A B C \cong \triangle B A D$

(iv) विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$

रचना : $A B$ रेखाखण्ड को आगे बढ़ाया और एक $C E \| A D$ रेखा खीची। रेखा $C E, A B$ के बढ़े हुए भाग को बिन्दु $E$ पर मिलती है। $A D C E$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$A D \| C E$ तथा $A D=C E$

उपपत्ति : (i) चतुर्भुज $A D C E$ में,

$\begin{aligned} A D & \| C E \\ A E & \| D C \\ A D &=E C \\ A D &=B C \\ B C &=E C \\ \angle C B E &=\angle B E C, \\ \angle A+\angle E &=180^{\circ} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \angle E &=\angle C B E \\ \angle A+\angle C B E &=180^{\circ} \\ \angle A B C+\angle C B E &=180^{\circ} \\ \angle A=\angle A B C &=\angle B \end{aligned}$

(ii) $\begin{aligned} \angle A &=\angle B C D \text { and } \angle B=\angle D \\ \angle B C D &=\angle D \\ \angle C &=\angle D \end{aligned}$

(iii) $\triangle A B C$ तथा $\triangle B A D$ में,

$\begin{aligned}B C &=A D \\A B &=B A \\\angle A &=\angle B \\\triangle A B C & \cong \triangle B A D\end{aligned}$ (SAS गुण)

(iv)विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$. (सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

प्रश्न 13. 

सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनाया गया चतुर्भुज एक वर्ग ही है ।

हल : 

ज्ञात है : $A B C D$ एक वर्ग है जिसकी भुजाओं के मध्य बिन्दु $P, Q, R, S$ से एक चतुर्भुज $P Q R S$ बनता है । सिद्ध करना है : चतुर्भुज $P Q R S$ एक वर्ग है ।

उपपत्ति : $\triangle A P S$ और $\triangle B P Q$ में,

$A P=B P$ $[P, A B$ का मध्य बिन्दु है]

$A S=B Q, \quad[\because A D=B C$ और $Q$ तथा $S$ मध्य बिन्दु हैं]

$\angle P A S^{\circ}=\angle P B Q$[ प्रत्येक समकोण]

$\begin{aligned} \Delta A P S & \cong \triangle B P Q \\ P S &=P Q \end{aligned}$....(1)

इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle D S R$ में,

$P S=S R$

इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle D S R$ में,

$P S=S R$..................(2)

और $\triangle B P Q$ और $\triangle C Q R$ में,

$P Q=Q R$.............(3)

समीकरण (1), (2) व (3) से,

$P S=P Q=Q R=S R$

अतः $P Q R S$ एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ बराबर हैं 

अब $\triangle A P S$ में,

$\begin{aligned} \angle A P S+\angle A S P+\angle P A S &=180^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P &=90^{\circ} \\ A P &=A S \\ \angle A P S &=\angle A S P \\ &=45^{\circ} \\ \angle A P S &=45^{\circ} \end{aligned}$

इसी प्रकार $\triangle B P Q$ में,

$\begin{aligned}\angle B P Q &=45^{\circ} \\\because \quad \angle A P S+\angle S P Q+\angle B P Q &=180^{\circ}\\45^{\circ}+\angle S P Q+45^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle S P Q &=180^{\circ}-90^{\circ} \\\angle S P Q &=90^{\circ}\end{aligned}$

पुन: इसी प्रकार

$\begin{aligned}\angle P Q R &=90^{\circ} \\\angle Q R S &=90^{\circ} \\\angle R S P &=90^{\circ}\end{aligned}$

$\because$ चतुर्भुज $P Q R S$ ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर और प्रत्येक अन्तःकोण समकोंण है । $\therefore$ चतुर्भुज $P Q R S$ वर्ग है,।

यही सिद्ध करना था ।

प्रश्न 14. 

एक चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं । सिद्ध कीजिए कि इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्डों से एक आयत बनता है ।

हल :

ज्ञात है : चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर लम्ब हैं तथा $P, Q, R, S$ चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं। $E, F, G, H$ क्रमशः $S P, P Q, Q R$ तथा $R S$ पर बिन्दु हैं।

सिद्ध करना है : $P Q R S$ एक आयत है ।

उपपत्ति : $\triangle A B D$ में, बिन्दु $S$ और $P$ क्रमशः $A D$ और $A B$ के मध्य बिन्दु हैं ।

$S P=\frac{1}{2} B D \text { और } S P, \| D B$............(1)

$\triangle B C D$ में, बिन्दु $R$ और $Q$ क्रमशः $D C$ और $B C$ के मध्य बिन्दु हैं ।

$\therefore$ $R Q=\frac{1}{2} B D \text { और } R Q \| B D$..........(2)

समीकरण (1) व (2) से,

$S P=R Q \text { और } S P \| R Q$

अतः $P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।

$R Q \| B D$ या $R G=H O$, [सभीकरण (2) से]

तथा GO तिर्यक् रेखा है ।

$\begin{aligned}\angle H O G+\angle O G R &=180^{\circ} \\90^{\circ}+\angle O G R &=180^{\circ} \\\angle O G R &=90^{\circ}\end{aligned}$

$S R \| A C$ तथा $R Q$ तिर्यक् रेखा है ।

$\begin{aligned}\therefore \quad \angle O G R+\angle G R H &=180^{\circ} \\90^{\circ}+\angle G R H_{.} &=180^{\circ} \\\angle G R H &=180^{\circ}-90^{\circ} \\\angle G R H &=90^{\circ}\end{aligned}$

$\because P Q R S$ एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है । 

अतः $P Q R S$ एक आयत है ।

प्रश्न 15. 

सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A$ व $B$ पर बने कोणों के अन्तः तथा बाह्य समद्विभाजक द्वारा एक आयत बनता है ।

हल : 

दिया है : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज में $\angle A$ तथा $\angle B$ के अन्तः अर्द्धक $A P$ तथा $B P$ और $A Q$ तथा $B Q$ हैं । ये $P$ तथा $Q$ पर मिलते हैं ।

सिद्ध करना है : $A P B Q$ आयत है ।

उपपत्ति : $\triangle A B P$ में,

$\begin{aligned} \angle A P B &=180^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right) \\ &=180^{\circ}-\frac{A+B}{2} \\ &=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2} \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} . \end{aligned}$ 

                       [:. समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में, $\angle A+\angle B=180^{\circ}$ ]

इसी प्रकार $\triangle A Q B$ में, तथा $\angle A Q B=90^{\circ}$

पुनः $\begin{aligned} \angle P A Q &=\angle P B Q=90^{\circ} \\ \angle P A B &=\angle A B Q \end{aligned}$

रेखा $A P$ तथा $B Q$ को $A B$ काटती है ।

$A P \quad \| B Q$ तथा $A P=B Q$

$A Q$ II $B P$ तथा $A Q=B P$

अत: $A P B Q$ आयत है ।

प्रश्न 16. 

सिद्ध कीजिए आयत की संलगन भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से निर्मित चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है ।

हल : 

ज्ञात है : एक आयत $A B C D$ है जिसकी भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य बिन्दु क्रमशः $P, Q, R$ और $s$ हैं।

सिद्ध करना है : चतुर्भुज PQRS समचतुर्भुज है ।

उपपत्ति : $\triangle A P S$ और $\triangle B P Q$ में,

AP=BP [P, A B का मध्य बिन्दु है] 

AS=BQ [AD=CB , तथा बिन्दु P और O इनके मध्य बिन्दु हैं] ]

∠PAS=∠PBQ [प्रत्येक समकोण ]

SP=PQ............(1)

इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle S D R$ से,

SP=SR...........(2)

और ΔAPS और $\triangle C Q R$ से,

SP=QR...................(3)

समीकरण (1), (2) व (3) से,

SP=SR=QR=PQ