प्रश्नावली 8 (C)
प्रश्न 1.
एक चतुर्भुज के कोण $3: 5: 9.13$ के अनुपात में हैं। इस चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए। हल : मान लीजिए चतुर्भुज के चारों कोण $(3 x)^{\circ},(5 x)^{\circ},(9 x)^{\circ}$ और $(13 x)^{\circ}$ हैं।
तब
$3 x+5 x+9 x+13 x=360$
$\begin{aligned} 30 x &=360 \\ x &=\frac{360}{30}=12 \end{aligned}$
$\therefore$ कोण हैं $(3 \times 12)^{\circ},(5 \times 12)^{\circ},(9 \times 12)^{\circ}$ और $(13 \times 12)^{\circ}$ अर्थात् $36^{\circ}, 60^{\circ}, 108^{\circ}$ और $156^{\circ}$ हैं। उत्तर
प्रश्न 2.
यदि एक समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
हल :
दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ जिसमें $A C=B D$
सिद्ध करना है : $A B C D$ एक आयत है।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ तथा $\triangle D C B$ में,
$A B=D C$(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजायें)
$B C=B C$(उभयनिष्ठ).
$A C=D B$(दिया है)
$\Delta A B C \cong \triangle D C B$(SSS गुण द्वारा)
$\angle A B C=\angle B C D$(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
$\angle A B C+\angle B C D=180^{\circ}$(क्रमागत अन्तः कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है)
$2 \angle A B C=180^{\circ}$
$\angle A B C=90^{\circ}$
$\angle A B C=\angle D C B=90^{\circ}$
अर्थात् $A B C D$ एक आयत है।
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करें तो वह एक समचतुर्भुज होता है।
हल :
चतुर्भुज $A B C D$ में विकर्ण $A C$ और $B D$ बिन्दु $O$ पर काटते हैं, जिससे कि $A O=O C, B O=O D$ और $A C \perp B D$ प्राप्त होते हैं।
सिद्ध करना है : $A B C D$ एक समचतुर्भुज हैं।
उपपत्ति : चूँकि चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। $\therefore A C$, रेखाखण्ड $B D$ का लम्ब समद्विभाजक है
$\Rightarrow A$ और $C$ दोनों $B$ और $D$ से समान दूरी पर हैं।
$A B=A D$ और $C B=C D$...........(1 )
साथ ही, $B D$ रेखाखण्ड' $A C$ का लम्बीय समद्विभाजक है।
$\Rightarrow B$ और $D$ दोनों $A$ और $C$ से समान दूरी पर स्थित हैं
$A B=B C$ और $A D=D C$.........(2)
$A B=B C=C D=A D$
इस प्रकार $A B C D$ एक चतुर्भुज है, जिसके विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं और चारों भुजाएँ बराबर हैं।
अत:, $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
दूसरा प्रमाण : पहलले हम सिद्ध करेंगे कि $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
$\triangle A O D$ और $\triangle C O B$ में,
$\begin{aligned} A O &=O C \\ O D &=O B \\ \angle A O D &=\angle C O B \end{aligned}$
सर्वांगसम की $S A S$ रचना द्वारा,
$\triangle A O D \cong \triangle C O B$
$\angle O A D=\angle O C B$........(1)
(सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग समान होते हैं)
अब रेखा $A C, A D$ और $B C$ को बिन्दु $A$ तथा $C$ पर क्रमशः इस प्रकार काटती हैं कि
$\angle O A D=\angle O C B$ [समी. (1) से]
अर्थात् आंतरिक एकान्तर कोण बराबर होते हैं।
$A D \| B C$
$A B \| C D$
अत:, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
$\triangle A O D$ और $\triangle C O D$ में,
$O A=O C$
∠AOD=∠COD (दोनों समकोण हैं)
OD=OD (उभयनिष्ठ)
$\therefore$ सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा
$\begin{aligned} \triangle A O D & \cong \triangle C O D \\ A D &=C D \end{aligned}$...()
(सर्वांगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)
अंब $A B C D$ एक समचतुर्भुज हैं (ऊपर सिद्ध कर चुके हैं)
$A B=C D$ और $A D=B C$
(समचतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर हाते हैं)
$A B=C D=A D=B C$ (समीकरण (2) से)
अतः चतुर्भुज $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
प्रश्न 4.
दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं। हल : दिया है : एक वर्ग $A B C D$
सिद्ध करना है : $A C=B D$
$A C \perp B D$ और $O A=O C . O B=O D$
उपपत्ति : चूँकि $A B C D$ एक वर्ग है इसलिए $A B \| D C$ और $A D \| B C$.
अब, $A B \| D C$ और तिर्यक रेखा $A C$ उन्हें क्रमशः $A$ और $C$ पर काटती है।
$\angle B A C=\angle D C A$ (आतंरिक एकान्तर कोण बराबर होते है)
$\angle B A O=\angle D C O$.........(1)
पुन: $A B \| D C$ और $B D$ उन्हें क्रमश: $B$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करती हैं
$\angle A B D=\angle C D B \quad$ (आतंरिक एकांतर कोण बराबर होते हैं)
$\angle A B O=\angle C D O$.........(2)
अब $\triangle A O B$ और $\triangle C O D$ में,
$\begin{aligned}\angle B A O &=\angle D C O \\A B &=C D\end{aligned}$ [समी. (1) से]
(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$\angle A B O=\angle C D O$ [समी. (2) से]
$\therefore$ सर्वांगसम की $A S A$ रचना द्वारा
$\begin{aligned}\triangle A O B & \cong \triangle C O D \\O A &=O C \text { और } O\end{aligned}$
$O A=O C \text { और } O B=O D$
(सर्वांगसम त्रिभुजों के सृदश भाग बराबर होते हैं)
अत: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
$\triangle A D B$ और $\triangle B C A$ में,
$A D=B C$ (वर्ग की भुजाएँ बराबर होती हैं)
$\angle B A D=\angle A B C$ (प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ )
$A B=B A$ (उभयनिष्ठ)
$\therefore$ 'सवांगसम की SAS रचना द्वारा
$\begin{aligned}\triangle A D B & \cong \Delta B C A \\A C &=B D\end{aligned}$
$(\because$ सवीगसम त्रिभुज के संगत भाग बराबर होते हैं अतः विकर्ण बराबर होते हैं)
अतं: $\triangle A O B$ और $\triangle A O D$ में,
$O B=O D$
$(\because$ समान्तर चतुर्भुज में विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं) $A B=A D$ $A O=A O$ (वर्ग की भुजाएं बराबर होती हैं) (उभयनिष्ठ)
सर्वांगसम की SSS रचना द्वारा,
$\begin{aligned}&\triangle A O B & \cong \triangle A O D \\&\angle A O B=\angle A O D\end{aligned}$(सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होते हैं)
$\begin{aligned} \angle A O B+\angle A O D &=180^{\circ} \\ \angle A O B &=\angle A O D=90^{\circ} \\ A O & \perp B D \\ A C & \perp B D \end{aligned}$
अत: विकर्ण समकोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रश्न 5.
दर्शाइए कि यदि एक चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और परस्पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
हल :
दिया है : एक चतुर्भुज $A B C D$ में विकर्ण $A C=B D, A O=O C, B O=O D$ और $A C \perp B D$ है। सिद्ध करना है : चतुर्भुज $A B C D$ एक वर्ग है।
उपपत्ति : पहले हम सिद्ध करेंगे कि $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है। $\triangle A O D$ और $\triangle C O B$ में,
$A O=O C$(दिया है)
$O D=O B$ (दिया है)
$\angle A O D=\angle B O C$ ( शीर्षाभिमुख कोण)
सर्वांगसम की SAS रचना द्वारा
$\begin{aligned}& \triangle A O D & \cong \Delta C O B \\& \angle O A D &=\angle O C B\end{aligned}$.............(1)
(सर्वीगसम त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)
अब रेखा $A C$ रेखा $A D$ और रेखा $B C$ को क्रमशः $A$ और $C$ पर काटती है, जिससे कि
$\angle O A D=\angle O C B$ (समी. (1) से)
अर्थात् आन्तरिक एकान्तर कोण बराबर होते हैं।
$A D \| B C$
$A B \| C D$
इसी प्रकार,
अत: $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
अब हम सिद्ध करेंगे कि यह एक वर्ग है
$\triangle A O B$ और $\triangle A O D$ में,
$A O=A O$ (उभयनिष्ठ)
$\angle A O B=\angle A O D$ (प्रत्येक $=90^{\circ}$, दिया है)
$O B=O D$ (दिया है)
(समान्तर चतुर्भुजों के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं)
$\therefore$ सवांगसम की SAS रचना द्वारा
$\begin{aligned} \triangle A O B & \cong \triangle A O D \\ A B &=A D \end{aligned}$
(सर्वंगसम' त्रिभुजों के सदृश भाग बराबर होते हैं)
$A B=C D$ और $A D=B C$
(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$A B=B C=C D=A D$...........(1)
अब $\triangle A B D$ और $\triangle B A C$ में,
$\begin{aligned} A B &=B A \\ A D &=B C \end{aligned}$
(समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)
$B D=A C$
$\therefore$ सवीगसम' की $\mathrm{SSS}$ रचना द्वारा
$\begin{aligned}&\triangle A B D \cong \triangle B A C \\&\angle D A B=\angle C B A\end{aligned}$
(सर्वागसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होंगे)
$\angle D A B+\angle C B A=180^{\circ}$. (समान्तर चतुर्भुज के अन्तः कोणों के योग से)
$\begin{aligned}2 \angle D A B &=180^{\circ} \\\angle D A B &=90^{\circ} \\2 \angle C B A &=180^{\circ} \\\angle C B A &=90^{\circ}\end{aligned}$
अतः $A B C D$ एक वर्ग है।
प्रश्न 6.
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ का विकर्ण $A C$ कोण $A$ को समद्विभाजित करता है। (देख़िए आकृति)। दर्शाइए कि (i) यह $\angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।
(ii) $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
हल :
दिया है : एक समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ है जिसमें विकर्ण $A C, \angle A$ को समद्विभाजित करता है। सिद्ध करना है : दिया गया विकर्ण $A C, \angle C$ को भी समद्विभाजित करता है।
उपपत्ति : चित्रानुसार $A B \| D C$ तथा $A C$ एक तिर्यक रेखा इन्हें प्रतिच्छेदित करती है।
$\angle 1=\angle 3$ (एकान्तर कोण)...(i)
$\angle 2=\angle 4$ (एकान्तर कोण)...(ii)
$\angle 1=\angle 2$ [क्योंकि $A C, \angle A$ को समद्विभाजित करती है।]...(iii)
$\angle 3=\angle 4$
अतः $A C, \angle C$ को भी समद्विभाजित करती है।
प्रश्न 7.
$A B C D$ एक समचतुर्भुंज है। दर्शाइए कि विकर्ण $A C$ कोणों $A$ और $C$ दोनों को समद्विभाजित करता है तथा विकर्ण $B D$ कोणों $B$ और $D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
हल :
'प्रश्नानुसार $A B C D$ एक समचतुर्भुज है।
अत: $A B=B C=C D=A D$
माना कि विकर्ण $B D$ का समद्विभाजक बिन्दु $O$ है
अतः
$O B=O D$ होगा।
अब $\triangle A O B$ तथा $\triangle A O D$ से,
$O A=O A \quad$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ) $A B=A D$ (समचतुर्भुज की भुजाएँ)
$O B=O D$
क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
अतः
$\triangle A O B \cong \triangle A O D \quad$ (सर्वीगसमता' के $\mathrm{SSS}$ नियम के अनुसार) $\therefore$
$\angle O A D=\angle O A B$
(क्योंकि ये 'सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
अर्थात् $O A, \angle A$ को समद्विभाजित करता है।
इसी प्रकार.............(i)
$\triangle B O C \cong \triangle D O C$
$\angle O C B=\angle O C D$
$O C, \angle C$ को समद्विभाजित करता है।............(ii)
अतः समीकरण (i) व (ii) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि विकर्ण $A C, \angle A$ और $\angle C$ को समहिभाजित करता है। पुन: $\triangle A O B$ और $\triangle B O C$ में,
$O B=O B$
$A B=B C$
$O A=O C$
क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समद्विभाजित करते हैं अतः
$\triangle A O B \cong \triangle C O B \quad$ (सर्वांगसमता के नियम SSS के अनुसार) $\angle O B A=\angle O B C$ (क्योंकि ये सवंगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)......(iii)
अत: $O B, \angle \mathrm{B}$ को समद्विभाजित करता है।
$\triangle A O D \cong \triangle C O D$
$\angle O D A=\angle O D C$
$\Rightarrow O D, \angle D$ को समद्विभाजित करता है।...........(iv)
समीकरण (iii) व (iv) के आधार पर यह कहां जा सकता है कि विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $B$ तथा $D$ को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 8.
$A B C D$ एक आयत है जिसमें विकर्ण $A C$ दोनों कोणों $A$ और $C$ को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि (i) $A B C D$ एक वर्ग है (ii) विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $B$ और $D$ को समद्विभाजित करता है। हल : प्रश्नानुसार एक आयत $A B C D$ है जिसमें
$A B=D C$.............(1)
$B C=A D$
साथ ही प्रत्येक कोण अर्थात्
$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=90^{\circ}$
(i) त्रिभुज $A B C$ और $\triangle A D C$ में,
$\angle 1=\angle 2$
$\angle 3=\angle 4$
क्योंकि विकर्ण $A C$ दोनों कोणों को समद्विभाजित करता है।
तथा
$A C=A C$
(उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle A D C \quad$ (सवींगसमता के नियम $\mathrm{ASA}$ के अनुसार)
अतः $A B=A D$
'समीकरण (1) तथा (2) से $A B=B C=A D=D C$
अर्थात् आयत की सभी भुजाएँ समान हैं। अतः एक वर्ग है।
(ii) संलग्न चित्रानुसार
$\triangle A B D$ तथा $\triangle B D C$ में,
$A B=B C$ [आयत $A B C D$ एक वर्ग है।]
$A D=D C$ [आयत $A B C D$ एक वर्ग है।]
$B D=B D$ (उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\triangle A B D \cong B D C$ (सर्वंगसमता' के नियम SSS के अनुसार)
$\angle A B D=\angle C B D$.........(3)
(क्योंकि ये सर्वंगसम त्रिभुजों के संगत भाग है।)
$\angle A D B=\angle C D B$.............(4)
(क्योंकि ये सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
अंतः समीकरण (3) व (4) के आधार पर यह कहा जा सकता है कि विकर्ण $B D$ दोनों कोणों $\mathrm{B}$ तथा $\mathrm{D}$ को समद्विभाजित करता है।
प्रश्न 9.
समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $B D$ पर दो बिन्दु $P$ और $Q$ इस प्रकार स्थित हैं कि $D P=B Q$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) $\triangle A P D \cong \Delta C Q B$
(ii) $A P=C Q$
(iii) $\Delta A Q B \cong \triangle C P D$
(v) $A P C Q$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iv) $A Q=C P$
हल :
(i) प्रश्न के दिए चित्र के $\triangle A P D$ तथा $\triangle C Q B$ से,
$\begin{aligned}D P &=B Q \\\angle A D P &=\angle Q B C\end{aligned}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A D \| B C$ तथा $\cdot B D$ एक तिर्यक रेखा उन्हें काटती है।
$\begin{array}{ll}\therefore \quad & \angle A D B=\angle D B C \\\therefore \quad \angle A D P & =\angle Q B C \\& \cdot A D=C B\end{array}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
$\triangle A P D \cong \triangle C Q B$ (सवांगसमता' के नियम SAS के अनुसार)
(ii) $A P=C Q$(क्योंकि ये सवींगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
(iii) अब पुन :' $\triangle A Q B$ तथा $\triangle C P D$ से,
$\begin{aligned} B Q &=D P \\ \angle A B Q &=\angle P D C \end{aligned}$
क्योंकि समान्तर चुर्भुज $A B C D$ में $A B \| C D$ तथा $B D$ एक तिर्यक रेखा इकको काटती है।
$\begin{aligned} \angle A B D &=\angle B D C \\ \angle A B Q &=\angle P D C \\ A B &=C D \end{aligned}$
क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
$\Delta A Q B \cong \triangle C P D$ (सवौगसमता के नियम $\mathrm{SAS}$ के अनुसार)
(iv) $A Q=C P$
(क्योंकि ये सवीगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं।)
(v) अब चतुर्भुज $A P C Q$ से
$A P=C Q$ (भाग ii से)
$A Q=C P$ (भाग iy से)
अर्थात् चतुर्भुज $A P C Q$ की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं। हम जानते हैं कि एक समान्तर चतुर्भुज़ की सम्मुख भुजाएँ समान होती है। अतः $A P C Q$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
प्रश्न 10.
$A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $A P$ और $C Q$ शीर्षों $A$ और $C$ से विकर्ण $B D$ पर क्रमशः लम्ब हैं (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) $\triangle A P B \cong \Delta C Q D$
(ii) $A P=C Q$
हल :
प्रश्नानुसार $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है
जिसमें $A B \| D C$ तथा $B D$ एक तिर्यक रेखा है।
$\angle 1=\angle 2$ (एकान्तर कोण)...(i)
(i) अब आकृति में बनने वाले $\triangle A P B$ और $\triangle C Q D$ में
∠APB=∠CQD=90° ( दिया है)
∠1=∠2 [समीकरण (i) के अनुसार]
AB=CD
[क्योंकि समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
$\triangle A P B \cong \triangle C Q D$ (सवागसमता के नियम $\mathrm{AAS}$ के अनुसार)
(ii) $\therefore$ $A P=C Q$
(क्योंकि ये सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग हैं)
प्रश्न 11.
$\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में, $A B=D E, A B \| D E, B C=E F$ और $B C \| E F$ हैं। शीर्षों $A, B$ और $C$ को क्रमशः शीर्षों $D, E$ और $\mathrm{F}$ से जोड़ा जाता है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) चतुर्भुज $A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज. $B E F C$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) $A D \| C F$ और $A D=C F$ है।
(iv) चतुर्भुज $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) $A C=D F$ है।
(vi) $\triangle A B C \cong \Delta D E F$ है।
हल :
दिया है : दो $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ इस प्रकार हैं कि $A B=D E, A B \| D E$ साथ ही $B C=E F$ और $B C \| E F .$
सिद्ध करना है : (i) चतुर्भुज $A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) चतुर्भुज $B E F C$ एक सुमांतर चतुर्भुज है।
(iii) $A D \| C F$ और $A D=C F$.
(iv) चतुर्भुज $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) $A C=D F$.
(vi) $\triangle A B C \cong \triangle D E F$,
उपपत्ति : (i) चतुर्भुज $A B E D$ में,
$A B=D E$ और,$A B \| D E$
$\Rightarrow$ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता है।
$\Rightarrow A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(ii) अब चतुर्भुज $B E F C$ में,
$B C=F E$ और $B C \| E F$
$\Rightarrow$ सम्मुख भुज्जाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता है
$\Rightarrow B E F C$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(iii) अब, $A D=B E$ और $A D \| B E$....(1)
$(\because A B E D$ एक समान्तर चतुर्भुज है)
$C F=B E$ और $C F \| B E$.................(2)
$(\because B E F C$.एक समान्तर चतुर्भुज है)
समी. (1) और (2) से,
$A D=C F$ और $A D \| C F$.
(iv) चूँकि $A D=C F$ और $A D \| C F$
$\Rightarrow$ सम्मुख भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानान्तर होता हैं।
$\Rightarrow A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
(v) चूँकि $A C F D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore$$A C=D F$ और $A C \| D F$
(vi) $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में.
AB=DE (समांतर चतुर्भुज ABED की सम्मुख भुजाएँ)
BC=EF , (समांतर चतुर्भुज BECF की सम्मुख भुजाएँ)
CA=FD (समांतर चतुर्भुज ACFD की सम्मुख भुजाएँ)
$\therefore$ सर्वीगसम की SSS रचना से,
$\triangle A B C \cong \triangle D E F$
प्रश्न 12.
$A B C D$ एक समलम्ब है, जिसमें $A B \| D C$ और $A D=B C$ है (देखिए आकृति)। दर्शाइए कि
(i) $\angle A=\angle B$
(iii) $\triangle A B C \cong \triangle B A D$
(ii) $\angle C=\angle D$
(iv) विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$ है।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक समलम्ब है जिसमें $A B \| D C$ और $A D=B C$ है। सिद्ध करना है : (i) $\angle A=\angle B$
(ii) $\angle C=\angle D$
(iii) $\triangle A B C \cong \triangle B A D$
(iv) विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$
रचना : $A B$ रेखाखण्ड को आगे बढ़ाया और एक $C E \| A D$ रेखा खीची। रेखा $C E, A B$ के बढ़े हुए भाग को बिन्दु $E$ पर मिलती है। $A D C E$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$A D \| C E$ तथा $A D=C E$
उपपत्ति : (i) चतुर्भुज $A D C E$ में,
$\begin{aligned} A D & \| C E \\ A E & \| D C \\ A D &=E C \\ A D &=B C \\ B C &=E C \\ \angle C B E &=\angle B E C, \\ \angle A+\angle E &=180^{\circ} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle E &=\angle C B E \\ \angle A+\angle C B E &=180^{\circ} \\ \angle A B C+\angle C B E &=180^{\circ} \\ \angle A=\angle A B C &=\angle B \end{aligned}$
(ii) $\begin{aligned} \angle A &=\angle B C D \text { and } \angle B=\angle D \\ \angle B C D &=\angle D \\ \angle C &=\angle D \end{aligned}$
(iii) $\triangle A B C$ तथा $\triangle B A D$ में,
$\begin{aligned}B C &=A D \\A B &=B A \\\angle A &=\angle B \\\triangle A B C & \cong \triangle B A D\end{aligned}$ (SAS गुण)
(iv)विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$. (सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)
प्रश्न 13.
सिद्ध कीजिए कि एक वर्ग की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाकर बनाया गया चतुर्भुज एक वर्ग ही है ।
हल :
ज्ञात है : $A B C D$ एक वर्ग है जिसकी भुजाओं के मध्य बिन्दु $P, Q, R, S$ से एक चतुर्भुज $P Q R S$ बनता है । सिद्ध करना है : चतुर्भुज $P Q R S$ एक वर्ग है ।
उपपत्ति : $\triangle A P S$ और $\triangle B P Q$ में,
$A P=B P$ $[P, A B$ का मध्य बिन्दु है]
$A S=B Q, \quad[\because A D=B C$ और $Q$ तथा $S$ मध्य बिन्दु हैं]
$\angle P A S^{\circ}=\angle P B Q$[ प्रत्येक समकोण]
$\begin{aligned} \Delta A P S & \cong \triangle B P Q \\ P S &=P Q \end{aligned}$....(1)
इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle D S R$ में,
$P S=S R$
इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle D S R$ में,
$P S=S R$..................(2)
और $\triangle B P Q$ और $\triangle C Q R$ में,
$P Q=Q R$.............(3)
समीकरण (1), (2) व (3) से,
$P S=P Q=Q R=S R$
अतः $P Q R S$ एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ बराबर हैं
अब $\triangle A P S$ में,
$\begin{aligned} \angle A P S+\angle A S P+\angle P A S &=180^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ \angle A P S+\angle A S P &=90^{\circ} \\ A P &=A S \\ \angle A P S &=\angle A S P \\ &=45^{\circ} \\ \angle A P S &=45^{\circ} \end{aligned}$
इसी प्रकार $\triangle B P Q$ में,
$\begin{aligned}\angle B P Q &=45^{\circ} \\\because \quad \angle A P S+\angle S P Q+\angle B P Q &=180^{\circ}\\45^{\circ}+\angle S P Q+45^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle S P Q &=180^{\circ}-90^{\circ} \\\angle S P Q &=90^{\circ}\end{aligned}$
पुन: इसी प्रकार
$\begin{aligned}\angle P Q R &=90^{\circ} \\\angle Q R S &=90^{\circ} \\\angle R S P &=90^{\circ}\end{aligned}$
$\because$ चतुर्भुज $P Q R S$ ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर और प्रत्येक अन्तःकोण समकोंण है । $\therefore$ चतुर्भुज $P Q R S$ वर्ग है,।
यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 14.
एक चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण परस्पर लम्ब हैं । सिद्ध कीजिए कि इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने वाले रेखाखण्डों से एक आयत बनता है ।
हल :
ज्ञात है : चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ और $B D$ परस्पर लम्ब हैं तथा $P, Q, R, S$ चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दु हैं। $E, F, G, H$ क्रमशः $S P, P Q, Q R$ तथा $R S$ पर बिन्दु हैं।
सिद्ध करना है : $P Q R S$ एक आयत है ।
उपपत्ति : $\triangle A B D$ में, बिन्दु $S$ और $P$ क्रमशः $A D$ और $A B$ के मध्य बिन्दु हैं ।
$S P=\frac{1}{2} B D \text { और } S P, \| D B$............(1)
$\triangle B C D$ में, बिन्दु $R$ और $Q$ क्रमशः $D C$ और $B C$ के मध्य बिन्दु हैं ।
$\therefore$ $R Q=\frac{1}{2} B D \text { और } R Q \| B D$..........(2)
समीकरण (1) व (2) से,
$S P=R Q \text { और } S P \| R Q$
अतः $P Q R S$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
$R Q \| B D$ या $R G=H O$, [सभीकरण (2) से]
तथा GO तिर्यक् रेखा है ।
$\begin{aligned}\angle H O G+\angle O G R &=180^{\circ} \\90^{\circ}+\angle O G R &=180^{\circ} \\\angle O G R &=90^{\circ}\end{aligned}$
$S R \| A C$ तथा $R Q$ तिर्यक् रेखा है ।
$\begin{aligned}\therefore \quad \angle O G R+\angle G R H &=180^{\circ} \\90^{\circ}+\angle G R H_{.} &=180^{\circ} \\\angle G R H &=180^{\circ}-90^{\circ} \\\angle G R H &=90^{\circ}\end{aligned}$
$\because P Q R S$ एक ऐसा समान्तर चतुर्भुज है जिसका एक कोण $90^{\circ}$ है ।
अतः $P Q R S$ एक आयत है ।
प्रश्न 15.
सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में $A$ व $B$ पर बने कोणों के अन्तः तथा बाह्य समद्विभाजक द्वारा एक आयत बनता है ।
हल :
दिया है : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज में $\angle A$ तथा $\angle B$ के अन्तः अर्द्धक $A P$ तथा $B P$ और $A Q$ तथा $B Q$ हैं । ये $P$ तथा $Q$ पर मिलते हैं ।
सिद्ध करना है : $A P B Q$ आयत है ।
उपपत्ति : $\triangle A B P$ में,
$\begin{aligned} \angle A P B &=180^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right) \\ &=180^{\circ}-\frac{A+B}{2} \\ &=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2} \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} . \end{aligned}$
[:. समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में, $\angle A+\angle B=180^{\circ}$ ]
इसी प्रकार $\triangle A Q B$ में, तथा $\angle A Q B=90^{\circ}$
पुनः $\begin{aligned} \angle P A Q &=\angle P B Q=90^{\circ} \\ \angle P A B &=\angle A B Q \end{aligned}$
रेखा $A P$ तथा $B Q$ को $A B$ काटती है ।
$A P \quad \| B Q$ तथा $A P=B Q$
$A Q$ II $B P$ तथा $A Q=B P$
अत: $A P B Q$ आयत है ।
प्रश्न 16.
सिद्ध कीजिए आयत की संलगन भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से निर्मित चतुर्भुज समचतुर्भुज होता है ।
हल :
ज्ञात है : एक आयत $A B C D$ है जिसकी भुजाओं $A B, B C, C D$ और $D A$ के मध्य बिन्दु क्रमशः $P, Q, R$ और $s$ हैं।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज PQRS समचतुर्भुज है ।
उपपत्ति : $\triangle A P S$ और $\triangle B P Q$ में,
AP=BP [P, A B का मध्य बिन्दु है]
AS=BQ [AD=CB , तथा बिन्दु P और O इनके मध्य बिन्दु हैं] ]
∠PAS=∠PBQ [प्रत्येक समकोण ]
SP=PQ............(1)
इसी प्रकार $\triangle A P S$ और $\triangle S D R$ से,
SP=SR...........(2)
और ΔAPS और $\triangle C Q R$ से,
SP=QR...................(3)
समीकरण (1), (2) व (3) से,
SP=SR=QR=PQ
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