प्रश्नावली 8 (B)
प्रश्न 1.
$A B, C D$ दो समान्तर रेखाएँ हैं और एक तिर्यक् रेखा $l, A B$ और $C D$ को क्रमशः $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करती है । सिद्ध कीजिए कि अन्तःकोणों के समद्विभाजक एक समान्तर चतुर्भुज बनाते हैं जिनके सभी कोण समकोण हैं ।
हल :
दिया है : $A B \| C D$ और तिर्यक् रेखा $l$ है, जो $A B$ और $C D$ को क्रमशः $X$ तथा $Y$ पर काटती है तथा अन्तः कोणों के अर्द्धक $E$ व $F$ बिन्दु पर काटते हैं ।
सिद्ध करना है : चतुर्भुज XEYF समान्तर चतुर्भुज है तथा प्रत्येक अन्त:कोण समकोण हैं । उपपत्ति :
$\angle B X Y+\angle A X Y=180^{\circ}$, (रेखीय युग्म कोण)
$\frac{1}{2} \angle B X Y+\frac{1}{2} \angle A X Y=90^{\circ}$
$\angle E X Y+\angle F X Y=90^{\circ}$ $(\because X E$ और $X F$ अर्द्धक रेखा हैं)
$\angle E X F=90^{\circ}$ ...(1)
$\angle E Y F=90^{\circ}$ .......(2)
$\angle D Y X+\angle B X Y=180^{\circ}$, [समान्तर रेखाओं और तिर्यक् रेखा के अन्तःकोण] $\frac{1}{2} \angle D Y X+\frac{1}{2} \angle B X Y=90^{\circ}$
$\angle E Y X+\angle E X Y=90^{\circ}$ $[\because X E$ और $Y E$ अर्द्धक रेखा हैं]
$\therefore \Delta X E Y$ में,
$\begin{aligned} \angle X E Y+\angle E Y X+\angle E X Y &=180^{\circ} \\ \angle X E Y &=180^{\circ}-(\angle E Y X+\angle E X Y) \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ} \end{aligned}$....(3)
इसी प्रकार,
$\angle X F Y=90^{\circ}$.........(4)
समीकरण (1), (2), (3) तथा (4) से,
चतुर्भुज $X E Y F$ समान्तर चतुर्भुज है जिसका प्रत्येक कोण समकोण है ।
प्रश्न 2.
चित्र में, $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में $A B, B C$ क्रमशः $D E$ और $E F$ के बराबर और समान्तर हैं, दिखाइये कि $A C$ और $D F$ समान्तर और बराबर हैं ।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ तथा $\triangle D E F$ में $A B \| D E$ तथा $A B=D E$ और $B C \| E F$ तथा $B C=E F$.
सिद्ध करना है : $A C$ और $D F$ समान्तर तथा बराबर हैं ।
उपपत्ति : $\because A B \| D E$ तथा $A B=D E$ तथा $B C \| E F$ और $B C=E F$
तब $B Q F T$ तथा $F P C S$ समान्तर चतुर्भुज हैं ।
$F P \| S C$
$F P=S C$.......(i)
$F D \| A C$
$P D=A S$........(ii)
समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}F P+P D &=S C+A S \\F D &=A C \\A C & \| D F \\A C &=D F\end{aligned}$
प्रश्न 3.
चित्र में, $A B C D$ और $A P Q R$ दो समान्तर चतुर्भुज हैं । सिद्ध कीजिए कि $\angle C=\angle Q$ तथा $\angle B=\angle R$.
हल :
दिया है : $A B C D$ तथा $A P Q R$ समान्तर चतुर्भुज हैं, ।
$\begin{aligned}&\angle A=\angle C \\&\angle A=\angle \dot{Q} .\end{aligned}$
सिद्ध करना है :
(i) $\angle C=\angle Q$
(ii) $\angle B=\angle R$.
उपप्त्ति : (i) $\angle A=\angle C$ ........(1)
$\angle A=\angle Q$......(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle C=\angle Q .$
ii) समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ में,
$\angle A+\angle B=180^{\circ}$........(3)
तथा समान्तर चतुभुज $A P Q R$ में,
$\angle A+\angle P=180^{\circ}$.......(4)
समीकरण (3) व (4) से,
$\angle \dot{A}+$$\angle B=\angle A+\angle P$
$\angle B=\angle P$..........(5)
$\angle P=\angle R$.........(6)
[समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
समीकरण (5) तथा (6) से,
$\angle B=\angle R$
प्रश्न 4.
चित्र में, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है और $X, Y$ क्रमशः भुजाओं $A D$ और $B C$ पर इस प्रकार हैं कि $A X=\frac{1}{4} A D$ और $C Y=\frac{1}{4} B C$ । दिखाइए कि $\square X B Y D$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । $X$ तथा $Y, B C$ तथा $A D$ पर इस प्रकार हैं कि $A X=\frac{1}{4} A D$ और $C Y=\frac{1}{4} B C$.
सिद्ध करना है : $B Y D X$ समान्तर चतुर्भुज है । उपपत्ति : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$B C=A D$..........(1)
$B C \| A D$.............(2)
$\begin{aligned} A X &=\frac{1}{4} A D \\ X D &=A D-A X \\ &=A D-\frac{1}{4} A D \\ X D &=\frac{3}{4} A D \end{aligned}$
$A D=\frac{4}{3} X D$............(3)
$B C=\frac{4}{3} B Y$.........(4)
$\begin{aligned} B C &=A D \\ \frac{4}{3} B Y &=\frac{4}{3} X D \\ B Y &=X D \\ B Y & \| X D \\ B X & \| Y D \\ B X &=Y D \end{aligned}$
अत: $B Y D X$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
प्रश्न 5.
चित्र में, $A B C D E F$ एक समषट्भुज है । सिद्ध कीजिए कि $\square A B D E$ और $\square A C D F$ समान्तर चतुर्भुज हैं । साथ ही $\square A G D H$ भी एक समान्तर चतुर्भुज है, सिद्ध कीजिए ।
हल :
दिया है : $A B C D E F$ एक समषट्भुज है ।
सिद्ध करना है : $\square A B C D, \square A C D F$ तथा $\square A G D H$ समान्तर चतुर्भुज हैं ।
उपपत्ति :
$\begin{aligned} \angle B D E &=\angle A B D=90^{\circ} \\ A E & \| B D \end{aligned}$
$\begin{aligned} A E &=B D \\ \angle B A E &=\angle A E D=90^{\circ} \\ A E & \| B D \\ A E &=B D \end{aligned}$
अत: $\square A B D E$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$\angle F A C=\angle C D F$
$\angle A C D=\angle D F A$
$\triangle A B C$ तथा $\triangle F E D$ में,
$\begin{aligned} A B &=E D \\ B C &=E F \\ \angle A B C &=\angle F E D \\ \Delta A B C & \cong \Delta F E D \\ A C &=F D \end{aligned}$
अतः $\square A C D F$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$\angle H A G=\angle G D H$
$\angle A G D=\angle A H D$
$A C \| F D$
$A G \| H D$
$A E \| B D$
$A H \| G D$
अतः $\square A G D H$ समान्तर चतुर्भुज है ।
प्रश्न 6.
$\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ दो त्रिभुज इस प्रकार हैं कि $A B, B C$ क्रमशः $D E, E F$ के समान्तर और बराबर हैं । दिखाइए कि $A C, D F$ के बराबर और समान्तर है ।
हल :
ज्ञात है : $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ में,
तथा
$\begin{aligned}&A B=D E \text { और } A B \| D E \\&B C=E F \text { और } B C \| E F\end{aligned}$
सिद्ध करना है : $A C=D F$ और $A C \| D F$
रचना : $A D, B E$ और $C F$ को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle A B C$ और $\triangle D E F$ से,
$A B=D E$ और $A B \| D E,($ ज्ञात है $)$
$\therefore A B E D$ समान्तर चतुर्भुज है । '
अत: $B E=D A$ और $B E \| D A$............(1)
इसी प्रकार
$B C=E F$ और $B C \| E F$ (ज्ञात है)
: $B E F C$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$B E=C F$ और $B E \| C F$...........(2)
समीकरण (1) व (2) से,
$D A=C F$ और $D A \| C F$
: चतुर्भुज $D A C F$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$A C=D F$ और $A C \| D F$
प्रश्न 7.
चित्र में, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । यदि $D M$ म $A C$ और $B N \perp A C$, तो दर्शाइये कि $\square B N D M$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है तथा $D M \perp A C$ और $B N \perp A C$. सिद्ध करना है : $\square B N D M$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
उपपत्ति : $\triangle B M N$ तथा $\triangle D M N$ में,
$\begin{aligned}\dot{B N} &=D M \\\angle B N M &=\angle D M N=90^{\circ} \\\dot{M} N &=M N\end{aligned}$
$\begin{aligned} \Delta B M N & \cong \Delta D M N \\ B M &=D N \\ \angle M B N &=\angle M D N \end{aligned}$
अतः $\square B N D M$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
प्रश्न 8.
चित्र में, $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है और $M, N$ क्रमशः भुजाओं $B C, A D$ के मध्य बिन्दु हैं । सिद्ध कीजिए कि :
(i) $E A=A B=B F$ (ii) $\Delta C E B \cong \Delta D F A$.
हल :
दिया है : $\square A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । $M, N$ क्रमशः $B C$ तथा $A D$ के मध्य बिन्दु हैं अर्थात् $B M=$ $M C$ तथा $A N=N D$.
सिद्ध करना है : (i) $E A=A B=B F$
उपपत्ति : $\triangle N E A$ तथा $\triangle D N C$ में,
$\angle D N C=\angle E N A$(सम्मुख कोण)
$A N=N D$(दिया है)
$\angle E A N=\angle N D C$ $[\because A B \| D C, A D$ तिर्यक् रेखा है]
$\begin{aligned} \Delta N E A & \cong \triangle D N C \\ E A &=D C \end{aligned}$.......(1)
पुन: $\triangle D M C$ तथा $\triangle M B F$ में,
$\angle D M C=\angle B M F$ (सम्मुख कोण हैं)
$B M=M C$ (दिया है)
$\angle C D M=\angle B F M$(\because E F \| D C, D F$ तिर्यक् रेखा है )
$\begin{aligned} \triangle D M C & \cong . \Delta M B F \\ D C &=B F=A B \end{aligned}$..(2)
सभीकरण (1) तथा (2) से,
$E A=A B=B F$
(ii) सिद्ध करना है :
$\begin{aligned}\Delta C E B & \cong \Delta D F A \\E A &=B F\end{aligned}$
दोनों ओर $A B$ जोड़ने पर,
$\begin{aligned} A B+E A &=A B+B F \\ E B &=A F \\ \angle C E B &=\angle D F A \end{aligned}$
$\begin{aligned}&\angle E C B=\angle A D F \\&\Delta C E B \cong \triangle D F A,\end{aligned}$(A.A.S. की सर्वांगसमता से)
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