प्रश्नावली 8 (A)
प्रश्न 1
चित्र में, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । यदि $\angle A B C=125^{\circ}$ और $\angle D C A=25^{\circ}$, तो $\angle D A C$ ज्ञात कीजिए।
हल :
चतुर्भुज $A B C D$ में $\angle A B C=125^{\circ}, \angle D C A=25^{\circ}$, तब $\angle D A C$ का मान ज्ञात करना है । $\because A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
$\therefore$ $\angle A D C=\angle A B C=125^{\circ}$
अब $\triangle A D C$ में,
$\begin{aligned}\angle D A C+\angle A D C+\angle D C A &=180^{\circ} \\\angle D A C+125^{\circ}+25^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle D A C &=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \\\angle D A C &=30^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 2. चतुर्भुज $A B C D$ में $\angle A=\angle C$ तथा $\angle B=\angle D$ है ।सिद्ध कीजिए $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
हल : दिया है : चतुर्भुज $A B C D$ में $\angle A=\angle C$ तथा $\angle B=\angle D$.
सिद्ध करना है : चतुर्भुज $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
उपपत्ति :
$\begin{array}{ll}\because & \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ} \\\therefore \quad & \angle A+\angle B+\angle A+\angle B=360^{\circ}\end{array}$
$\begin{aligned} 2(\angle A+\angle B) &=360^{\circ} \\ \angle A+\angle B &=180^{\circ}..........(1) \\ \angle A+\angle B &=180^{\circ} \end{aligned}$
परन्तु ये कोण $B C$ तथा $D A$ को $A B$ के काटने से बने क्रमागत अन्तः कोण हैं, तब BC=DA
$\begin{aligned} \angle B &=\angle D \\ \angle A+\angle B &=\angle D+\angle A \\ \angle A+\angle D &=180^{\circ} \end{aligned}$
परन्तु ये कोण AB तथा CD रेखाओं का AD द्वारा प्रतिच्छेदन करने से बने हैं ।
AB॥ CD
$B C$ II $D A$
अत: चतुर्भुज $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
प्रश्न 3. सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण सदैव बराबर नहीं होते हैं ।
हल : दिया है : $A B C D$ का समान्तर चतुर्भुज है ।
सिद्ध करना है : विकर्ण $A C \neq$ विकर्ण $B D$.
उपपत्ति : विकर्ण $A C$ तथा $B D$ एक-दूसरे को बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदित करते हैं ।
तथा
$\begin{aligned}&A O \neq O C \\&B O \neq O D\end{aligned}$
इस अवस्था में समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण सदैव बराबर नहीं होते हैं ।
प्रश्न $4 .$ चित्र में, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । यदि $\angle B A C=70^{\circ}$ और $\angle B=60^{\circ}$, तो $\angle D$ तथा $\angle C A D$ ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज में $\angle B A C=70^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$..
ज्ञात करना है : $\angle D$ तथा $\angle C A D$.
गणना : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज में
$\angle D=\angle B=60^{\circ}$
अब $\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned} \angle A C B &=180^{\circ}-\left(70^{\circ}+60^{\circ}\right) \\ &=180^{\circ}-130^{\circ} \\ \angle A C B &=50^{\circ} \end{aligned}$
$\because A D \| B C, A C$ इनको काटती है ।
$\begin{aligned}\angle C A D &=\angle A C B=50^{\circ} \\\angle D &=60^{\circ} \\\angle C A D &=50^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 5. सिद्ध कीजिए कि समान्तर चतुर्भुज के क्रमागत कोण सम्पूरक होते हैं।
हल : दिया है : $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है ।
सिद्ध करना है :
$\angle A+\angle B=180^{\circ}$
उपपत्ति : $\because$
$\begin{aligned} \angle B+\angle C &=180^{\circ} \\ A D & \| B C \end{aligned}$
इनको $A B$ रेखा काटती है ।
$\begin{aligned} \angle A+\angle B &=180^{\circ} \\ A B & \| D C \end{aligned}$
इनको $B C$ काटती है ।
तब
$\angle B+\angle C=180^{\circ}$(सम्पूरक कोण हैं)
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 6. यदि एक समान्तर चतुर्भुज का एक कोण अपने क्रमागत कोण का आधा है, तो समान्तर चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
$\angle A=\frac{\angle B}{2}$
गणना : $\because$ समान्तर चतुर्भुज में,
$\begin{aligned}&\angle A=\angle C=\frac{\angle B}{2} \\&\angle D=\angle B\end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle A+\angle B+\angle C+\angle D &=360^{\circ} \\ \frac{\angle B}{2}+\angle B+\frac{\angle B}{2}+\angle B &=360^{\circ} \\ 3 \angle B &=360^{\circ} \\ \angle B &=\frac{360^{\circ}}{3}=120^{\circ} \\ \angle A &=\frac{\angle B}{2}=\frac{120}{2}=60^{\circ} \\ \angle B &=120^{\circ} \\ \angle C &=\frac{\angle B}{2}=\frac{120}{2}=60^{\circ} \\ \angle D &=\angle B=120^{\circ} \end{aligned}$
अतः समान्तर चतुर्भुज के कोण क्रमानुसार $60^{\circ}, 120^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}$ हैं ।
प्रश्न 7. समान्तर चतुर्भुज के शेष तीन कोणों की माप ज्ञात कीजिए, यदि एक कोण की माप (i) $135^{\circ}$, (ii) $95^{\circ}$ है ।
हल : (i) माना $A B C D$ समान्तर चतुर्भुज है।
$\angle A=135^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle A+\angle B &=180^{\circ} \\ 135^{\circ}+\angle B &=180^{\circ} \\, \angle B &=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ} \\ \angle C &=\angle A=135^{\circ} \\ \angle D &=\angle B=45^{\circ} \end{aligned}$
तब शेष कोण $45^{\circ}, 135^{\circ}, 45^{\circ}$ ह ।
(ii) माना
$\begin{aligned} \angle A &=95^{\circ} \\ \angle A+\angle B &=180^{\circ} \\ 95^{\circ}+\angle B &=180^{\circ} \\ \angle B &=180^{\circ}-95^{\circ}=85^{\circ} \\ \angle C &=\angle A=95^{\circ} \\ \angle D &=\angle B=85^{\circ} \end{aligned}$
अत: शेष कोण $85^{\circ}, 95^{\circ}, 85^{\circ}$ हैं ।
प्रश्न 8. चित्र में, $A B C$ दिया गया त्रिभुज है जिसमें $A, B$ और $C$ से होती हुई रेखाएँ खींची गयी हैं जो क्रमशः $B C, C A$ और $A B$ के समान्तर हैं और जिनसे $\triangle P Q R$ प्राप्त होता है, दिखाइए कि :
$2(A B+B C+C A)=P Q+Q R+R P$
हल : $\because$ $B C \| Q R$ $B C \| Q A$ $C A \| B Q$
$\therefore B C A Q$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
$B C=Q A$...........(1)
$B C=A R$
$A B \| C R$
$\therefore B C R A$ एक समान्तर चतुर्भुज है ।
$B C=A R$................(2)
$2 B C=Q A+A R$ [समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर]
$2 B C=Q R$...........(3)
इसी प्रकार सिद्ध कंर सकते हैं
$2 C A=P Q$...............(4)
$2 A B=R P$................(5)
समीकरण $(3),(4)$ तथा $(5)$ को जोड़ने पर,
$$
\begin{aligned}2 B C+2 C A+2 A B &=Q R+P Q+R P \\2(B C+C A+A B) &=Q R+R P+P Q \\2(A B+B C+C A) &=P Q+Q R+R P\end{aligned}$
समीकरण $(3),(4)$ तथा $(5)$ को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}2 B C+2 C A+2 A B &=Q R+P Q+R P \\2(B C+C A+A B) &=Q R+R P+P Q \\2(A B+B C+C A) &=P Q+Q R+R P\end{aligned}$
प्रश्न 9. यदि समान्तर चतुर्भुज का एक विकर्णा जो उसके एक कोण को समद्विभाजित करता है, यदि दूसरे कोण को भी समद्विभाजित करे तो दोनों विकर्ण परस्पर लम्बवत् होंगे ।
हल : दिया है : $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है । विकर्ण $A C$ तथा $B D$ इस प्रकार हैं कि $A C, \angle A$ को समद्विभाजित करती है तब $\angle 1=\angle 2$.
सिद्ध करना है : विकर्ण $A C, \angle C$ को भी समहिभाजित करेगा तथा $A C \perp B D$.
उपपत्ति : $\because$ $\angle 1=\angle 2$...............(1)
$\because A B \| C D$ तथा $A C$ तिर्यक् रेखा है ।
$\angle 1=\angle 3$........(2)
तथा $A D \| B C$ तथा $A C$ तिर्यक् रेखा है, तब
$\angle 2=\angle 4$.............(3)
समीकरण $(1),(2)$ तथा (3) से,
$\angle 3=\angle 4$
अतः $A C, \angle C$ को समद्विभाजित करेगी
अब समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle 2=\angle 3$
$C D=D A$.........(4)
$\triangle A O D$ तथां $\triangle C O D$ में,
$\begin{aligned}A D &=C D \\A O &=O C \\D O &=D O \\\triangle A O D & \cong \triangle C O D\end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle A O D+\angle C O D=180^{\circ} \\ \angle A O D &=\angle C O D=90^{\circ} \\ A C \perp B D . \end{aligned}$
प्रश्न 10. चित्र में समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ पर $D N$ और $B P$ लम्ब डाले गये हैं । सिद्ध कीजिए कि :
(i) $\triangle D C N \cong \Delta B A P$
(ii) $\boldsymbol{A N}=\boldsymbol{C P}$.
हल : ज्ञात है : समान्तर चतुर्भुज $A B C D$ के विकर्ण $A C$ पर $D N$ और $B P$ लम्ब हैं ।
सिद्ध करना है : (i) $\triangle D C N \cong \triangle B A D$
(ii) $A N=C P$.
उपपत्ति : (i) $\triangle D N C$ तथा $\triangle B A P$ में,
$\angle D N C=\angle B P A$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ दिए हैं)
$A B \| D C$ तथा $A C$ तिर्यक् रेखा है ।
$\begin{aligned}\therefore \quad \angle D C N &=\angle B A P \\\therefore A B &=D C \\\therefore D N C & \cong \Delta B A P\end{aligned}$
(ii) $\triangle A N D$ तथा $\triangle C P B$ में,
$D N=B P$ [ भाग (i) से]
$D A=B C$ (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
$\angle A N D=\angle C P B$ (प्रत्येक $90^{\circ}$ के हैं)
$\triangle A N D \cong \Delta C P B$(S.A.S. सर्वांगसमता से)
AN=CP
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