प्रश्नावली 6(E)
प्रश्न, 1.
चित्र में, त्रिभुज का एक बहिष्कोण $110^{\circ}$ और एक सुदूर अन्तःकोण $30^{\circ}$ है । त्रिभुज के अन्य कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
बहिष्कोण,
$\begin{aligned} \angle A C D &=30^{\circ}+x^{\circ} \\ 110^{\circ} &=30^{\circ}+x^{\circ} \\ x^{\circ} &=110^{\circ}-30^{\circ}=80^{\circ} \\ x^{\circ} &=80^{\circ} \\ \angle B C D &=180^{\circ} \\ y^{\circ}+110^{\circ} &=180^{\circ} \\ y^{\circ} &=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} \\ x^{\circ} &=80^{\circ}, y^{\circ}=70^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 2
चित्र में, $\angle A C D=140^{\circ}, \angle B A C=65^{\circ}$ तो $\angle A B C$ और $\angle A C B$ ज्ञात कीजिए ।
हल : $\angle A C D=140^{\circ}, \angle C A B=65^{\circ}, \angle A B C$ तथा $\angle A C B$ ज्ञात करने है ।
तब
$\begin{aligned}\angle A C D &=\angle B A C+\angle A B C \\140^{\circ} &=65^{\circ}+\angle A B C\end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle A B C &=140^{\circ}-65^{\circ}=75^{\circ} \\ \angle B C D &=180^{\circ} \\ \angle A C B+\angle A C D &=180^{\circ} \\ \angle A C B+140^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle A C B &=180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ} \end{aligned}$
अतः $\angle A B C=75^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}$.
प्रश्न 3.
चित्र में, $A B \cap C D$, बहिध्कीण $B=120^{\circ}$ और $\angle A=30^{\circ}$ हो, तो $\angle A C D$ और $\angle D C E$ ज्ञात कीजिए ।
हल :
$A B \| C D$
बहिष्कोण $B=120^{\circ}$,
$\angle A=30^{\circ}$
तब $\angle A C D$ और $\angle D C E$ का मान ज्ञात करना है ।
∠ABC=180°- बहिष्कोण B
=180°-120°=60°
∠ABC=60°
AB||CD
∠DCE=∠ABC=60°
बहिष्कोण ACE=∠C A B+∠A B C
∠E C D+∠A C D &=30°+60°
=90°
∠0°+∠ACD=90°
∠ACD=90°-60°
=30°
∠ACD=30°
∠DCE=60°
प्रश्न 4.
चित्र में, $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}+\angle A$, सिद्ध कीजिए ।
हल :
$\angle A B C=180^{\circ}$ $\angle 1$
$\angle A C B=180^{\circ}-\angle 2$
अब $\triangle A B C$ में,
∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠A+180°-∠1+180°-∠2=180°
∠A+360°-∠1-∠2=180°
∠1+∠2=∠A+360°-180°
∠A+180°
∠1+∠2=180°+∠A
प्रश्न 5.
सिद्ध कीजिए कि समबाहु त्रिभुज के सभी छ: बहिष्कोण' बराबर होते हैं ।
हल :
एक समबाहु त्रिभुज के तीनों अन्तःकोण $60^{\circ}$ के होते हैं ।
कोण $A$ का बहिष्कोण $=180^{\circ}-\angle B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
या कोण A का बहिष्कोण $=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
इसी प्रकार कोण $B$ तथा कोण $C$ के बैहिष्कोण $120^{\circ}, 120^{\circ}$ तथा $120^{\circ}, 120^{\circ}$ होंगे ।
अत: किसी त्रिभुज के छ: बहिष्कोण बराबर हैं ।
प्रश्न 6.
चित्र में, $\triangle A B C$ की भुजा $B C$ को बढ़ाकर एक किरण $B D$ बनायी गई है । यदि $\angle A B C$ और $\angle A C D$ के अर्द्धक क्रमशः $B E$ और $C E$ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle A=2 \angle E$.
हल :
$\because B E$ और $C E$ क्रमशः $\angle A B C$ तथा $\angle A C D$ के अर्द्धक हैं ।
$\therefore$ $\angle A B E=\angle E B C=\frac{1}{2} \angle B$
$\begin{aligned} \angle B &=2 \angle A B C=2 \angle E B C \\ \angle A C E &=\angle E C D \\ \angle A C D &=2 \angle A C E=2 \angle E C D \end{aligned}$
बहिष्कोण' $A C D=\angle B+\angle A$..............(1)
बहिष्कोण $E C D=\angle E B C+\angle E$
बहिष्कोण $2 \angle E C D=2 \angle E B C+2 \angle E$
बहिष्कोण $\angle A C D=\angle B+2 \angle E$..............(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle B+\angle A=\angle B+2 \angle E$
या$\angle A=2 \angle E$
प्रश्न 7.
चित्र में, सिद्ध कीजिए $D P \| E R$.
हल :
दिया है :
$\begin{aligned} \angle Q P R &=40^{\circ} \\ \angle Q R P &=30^{\circ} \\ \angle E R S &=70^{\circ} . \\ D P & \| E R . \end{aligned}$ सिद्ध करना है :
उपपत्ति : $\triangle P Q R$ में,
$\begin{aligned} \angle P+\angle Q+\angle R &=180^{\circ} \\ 40^{\circ}+\angle Q+30^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle Q+70^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle Q &=180^{\circ}-70^{\circ} \\ &=110^{\circ} \\ \angle D Q R &=180^{\circ}-\angle P Q R \\ &=180^{\circ}-110^{\circ} \\ \angle D Q R &=70^{\circ} \\ \angle D Q R &=\angle E R S=70^{\circ} \\ D P & \| E R \end{aligned}$
प्रश्न 8.
संलग्न आकृति में, $\triangle P Q R$ की भुजाओं $Q P$ और $R Q$ को क्रमशः बिन्दुओं $S$ और $T$ तक बढ़ाया "गया है। यदि $\angle S P R=135^{\circ}$ और $\angle P Q T=110^{\circ}$ है, तो $\angle P R Q$ ज्ञात कीजिए।
हल :
चित्रानुसार,
$\begin{aligned} \angle Q P R+\angle S P R &=180^{\circ} \\ \angle Q P R+135^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle Q P R &=180^{\circ}-135^{\circ} \\ &=45^{\circ} \\ \angle T Q P &=\angle Q P R+\angle P R Q \\ 110^{\circ} &=45^{\circ}+\angle P R Q \\ \angle P R Q &=110^{\circ}-45^{\circ} \\ &=65^{\circ} \\ \angle P R Q &=65^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 9.
संलग्न आकृति में, $\angle X=62^{\circ}$ और $\angle X Y Z=54^{\circ}$ है। यदि $Y O$ और $Z O$ क्रमशः $\Delta X Y Z$ के $\angle X Y Z$ और $\angle X Z Y$ के समद्विभाजक हैं, तो $\angle O Z Y$ और $\angle Y O Z$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\Delta X Y Z$ में,
∠YXZ+∠XYZ+∠XZY=180°
लेकिन ∠YXZ=62°
तथा ∠XYZ=54°
∴ 62°+54°+∠XZY=180°
या ∠XZY=180°-116°=64°
अब $Z O, \angle X Z Y$ की समद्विभाजक है।
$\angle O Z Y=\frac{1}{2} \angle X Z Y=\frac{1}{2} \times 64^{\circ}=32^{\circ}$
तथा YO, $\angle X Y Z$ की समद्विभाजक है।
$\angle O Y Z=\frac{1}{2} \angle X Y Z=\frac{1}{2} \times 54^{\circ}=27^{\circ}$
अब $\triangle O Y Z$ से,
$\begin{aligned} \angle O Y Z+\angle Y O Z+\angle O Z Y &=180^{\circ} \\ 27^{\circ}+\angle Y O Z+32^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle Y O Z &=180^{\circ}-59^{\circ} \\ \angle Y O Z &=121^{\circ} \\ \angle O Z Y &=32^{\circ} \\ \angle Y O Z &=121^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 10.
संलग्न आकृति में, यदि $A B \| D E, \angle B A C=35^{\circ}$ और $\angle C D E=53^{\circ}$ है, तो $\angle D C E$ ज्ञात कीजिए।
हल :
चूंकि $A B \| D E$ तथा तिर्यक् रेखा $A E$ को क्रमशः $A$ तथा $E$ पर काटती है।
$\angle D E A=\angle B A E$(एकान्तर कोण)
$\angle D E C=35^{\circ} \quad\left(\because \angle D E A=\angle D E C\right.$ तथा $\left.\angle B A E=35^{\circ}\right)$
$\triangle D E C$ में,
$\begin{aligned} \angle D C E+\angle D E C+\angle C D E &=180^{\circ} \\ \angle D C E+35^{\circ}+53^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle D C E &=180^{\circ}-35^{\circ}-53^{\circ} \div 92^{\circ} \\ \angle D C E &=92^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 11.
संलग्न आकृति में, यदि रेखाएँ $P Q$ और $R S$ बिन्दु $T$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि $\angle P R T$ $=40^{\circ}, \angle R P T=95^{\circ}$ और $\angle T S Q=75^{\circ}$ है, तो $\angle S Q T$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\triangle P R T$ में,
$\begin{aligned} \angle P R T+\angle R T P+\angle T P R &=180^{\circ} \\ 40^{\circ}+\angle R T P+95^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle R T P &=180^{\circ}-40^{\circ}-95^{\circ}=45^{\circ} \\ \angle S T Q &=\angle R T P \\ \angle S T Q &=45^{\circ} \end{aligned}$ $\left[\because \angle R T P=45^{\circ}\right.$ (सिद्ध हुआ $\left.)\right]$
$\Delta T Q S$.में,
$\begin{aligned} \angle S Q T+\angle S T Q+\angle T S Q &=180^{\circ} \\ \angle S Q T+45^{\circ}+75^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle S Q T &=60^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 12.
संलग्न आकृति में यदि $P Q \perp P S, P Q \| S R, \angle S Q R=28^{\circ}$ और $\angle Q R T=65^{\circ}$ है, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है :
PQ || SR तथा $PQ \perp PS$
$\angle P=90^{\circ}$
$\angle P+\angle P S R=180^{\circ}$ (एक ही ओर के अंतःकोणों का योग $180^{\circ}$ होता है) $90^{\circ}+\angle P S R=180^{\circ}$
$\angle P S R=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$...........(1)
$\begin{aligned} \angle P S R &=\angle P S Q+\angle Q S R \\ \angle 90^{\circ} &=y+\angle Q S R \end{aligned}$.............(2)
$\Delta Q S R$ में,
$\begin{aligned} \angle R Q S+\angle Q S R &=\angle Q R T \\ 28^{\circ}+\angle Q S R &=65^{\circ} \\ \angle Q S R &=65^{\circ}-28^{\circ}=37^{\circ} \end{aligned}$............(3)
समी. (ii) व (iii) से,
$\begin{aligned} 90^{\circ} &=y+37^{\circ} \\ y &=90^{\circ}-37^{\circ}=53^{\circ} \end{aligned}$
$\triangle P Q S$ में,
$\begin{aligned} x+y+\angle P &=180^{\circ} \\ x+53^{\circ}+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ x &=180^{\circ}-53^{\circ}-90^{\circ} \\ x &=37^{\circ} \\ x &=37^{\circ}, y=53^{\circ} . \end{aligned}$
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