प्रश्नावली 6(D)
प्रश्न 1.
' कथन' एक त्रिभुज का एक कोण $180^{\circ}$ है, सत्य है अथवा असत्य ।
हल :
एक त्रिभुज का एके कोण्ं $180^{\circ}$ कथन असत्य है, क्योंकि एक त्रिभुज के तीनों कोणों को 'योंगफल $180^{\circ}$ होता है ।
अतः कथन असत्य है ।
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज के तीनों कोणों में $1: 2: 3$ का अनुपात है, तीनों कोणों की माप ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना तीन कोण $A, B$ तथा $C$ हैं ।
त्रिभुज में,
$\begin{gathered}\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ} \\\angle A: \angle B: \angle C=1: 2: 3\end{gathered}$
समानुपाती भागों का योग $=1+2+3=6$
तब
$\begin{aligned}&\angle A=\frac{1}{6} \times 180^{\circ}=30^{\circ} \\&\angle B=\frac{2}{6} \times 180^{\circ}=60^{\circ} \\&\angle C=\frac{3}{6} \times 180^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}$
अतः त्रिभुज कोण $30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ}$ हैं।
प्रश्न 3.
एक त्रिभुज के प्रथम दो कोणों का योगफल $108^{\circ}$ है और अन्तिम दो कोणों का 'योगफल $132^{\circ}$ है । त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना त्रिभुज के तीन कोण $A, B$ तथा $C$ हैं ।
प्रश्नानुसार, $A+B=108^{\circ}$..............(1)
$B+C=132^{\circ}$..............(2)
$A+B+C=180^{\circ}$.................(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
$C=72^{\circ}$
समीकरण' (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर,
$A=48^{\circ}$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned} B &=108^{\circ}-A \\ &=108^{\circ}-48^{\circ}=60^{\circ} \\ A &=48^{\circ}, B=60^{\circ}, C=72^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 4.
$\triangle A B C$ में यदि $\angle A-\angle B=15^{\circ}$ और $\angle B-\angle C=15^{\circ}$, तो $\angle A, \angle B$ तथा $\angle C$ का मान ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है,
$\angle A-\angle B=15^{\circ}$ ............(1)
$\angle B-\angle C=15^{\circ}$ ..............(2)
अब $\triangle A B C$ में,
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$..............(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
$2 \angle B+\angle C^{\circ}=165^{\circ}$.............(4)
समीकरण $(2)+$ समीकरण (4) से,
$\begin{aligned}3 \angle B &=180^{\circ} \\\angle B &=60^{\circ}\end{aligned}$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}\angle A &=15^{\circ}+\angle B \\&=15^{\circ}+60^{\circ}=75^{\circ}\end{aligned}$
समीकरण (2) से,
$\begin{aligned}\angle C &=\angle B-15^{\circ} \\&=60^{\circ}-15^{\circ}=45^{\circ}\end{aligned}$
अत:
$\begin{aligned}&\angle A=75^{\circ}, \angle B=60^{\circ} \\&\angle C=45^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज के दो कोणों का योग $100^{\circ}$ तथा अन्तर $30^{\circ}$ है । त्रिभुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना एक त्रिभुज के दो कोण $A$
तथा $B$ हैं ।
$A+B=100^{\circ}$...........(1)
$A-B=30^{\circ}$.........(2)
समीकरण (1) तथा (2) को हल करने पर,
A=65°, B=35°
तीसरा कोण =180°-(A+B)
=180°-(65+35)°
=180°-100°=80°
अतः तीनों कोण 65° , 35°, 80° हैं ।
प्रश्न 6.
एक त्रिभुज के तीनों कोण $60^{\circ}$ से अधिक नहीं हो सकते हैं । कारण स्पष्ट कीजिए ।
हल :
$\because$ किसी भी त्रिभुज के तीनों अन्तःकोणों का योगफल $180^{\circ}$ होता हैं । इसलिए तीनों कोण $60^{\circ}$ से कम नहीं हो सकते हैं।
प्रश्न 7.
एक समकोण त्रिभुज में सिद्ध कीजिए कि न्यूनकोणों के समद्विभाजकों के मध्य कोण $135^{\circ}$ है ।
हल :
माना $A C B$ समकोण त्रिभुज है, जिसमें $\angle C=90^{\circ}$.
न्यूनकोणों $A$ तथा $B$ के समदिभाजक बिन्दु $O$ पर मिलते हैं ।
सिद्ध करना है : $\angle A O B=135^{\circ}$
उपपत्ति : $\triangle A O B$ में,
$\begin{aligned} \angle A O B &=180^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right) \\ &=180^{\circ}-\frac{A+B}{2} \end{aligned}$.............(1)
अब $\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned} A+B+C &=180^{\circ} \\ A+B+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ A+B &=90^{\circ} \end{aligned}$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}\angle A O B &=180^{\circ}-\frac{\dot{9} 0^{\circ}}{2} \\&=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\end{aligned}$
प्रश्न 8.
चित्र में, $T R S$ का मान $x^{\circ}$ के पदों में ज्ञात कीजिए । साथ ही $\triangle P Q R$ के तीनों कोणों की माप ज्ञात कीजिए ।
हल :
∵ ∠QRS=180°
तब ∠QRP+∠P RT+∠TRS=180°
या 1.5 x+4.5 x+∠TRS=180°
6 x+∠TRS=180°
या ∠TRS=180°-6x
=9x-6x=3x°
$\triangle P Q R$ में,
$\begin{aligned} 4 x^{\circ}+3.5 x^{\circ}+1.5 x^{\circ} &=180^{\circ} \\ 9 x^{\circ} &=180^{\circ} \\ x^{\circ} &=\frac{180^{\circ}}{9}=20^{\circ} \\ \angle P &=4 x=4 \times 20=80^{\circ} \\ \angle Q &=3 \cdot 5 x=3.5 \times 20=70^{\circ} \\ \angle R &=1.5 x=1.5 \times 20=30^{\circ} \\ \angle T R S &=3 x, 80^{\circ}, 70^{\circ}, 30^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 9.
चित्र में, $\angle A B C$ और $\angle B C A$ के अर्द्धक परस्पर $O$ बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं, सिद्ध कीजिए कि $\angle B O C=90^{\circ}+\frac{1}{2} A$
हल :
ΔABC के कोण B तथा कोण C के समद्विभाजक OB तथा OC बिन्दु O पर मिलते हैं अब $\triangle O B C$ में,
$\begin{aligned}\angle B O C &=180^{\circ}-(\angle O B C+\angle O C B) \\&=180^{\circ}-\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right) \\&=180^{\circ}-\frac{B+C}{2}\end{aligned}$.......(1)
पुनः $\triangle A B C$ में,
$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$
$\angle B+\angle C=180^{\circ}-\angle A$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned} \angle B O C &=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}-A}{2} \\ &=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2}+\frac{A}{2} \\ &=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{A}{2} \\ &=90^{\circ}+\frac{A}{2} \\ \angle B O C &=90^{\circ}+\frac{A}{2} \end{aligned}$
प्रश्न 10.
चित्र में, $\triangle A B C$ की भुजाएँ $A B$ और $A C$ क्रमशः $P$ और $Q$ तक बराई गई हैं $1 \angle P B C$ तथ $\angle Q C B$ के अर्द्धक परस्पर $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं । सिद्ध कीजिए कि $\angle B O C=98^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B A C$.
हल :
$\angle C B P$ तथा $\angle B C Q$ के अर्ध्धक $B O$ तथा $C O$ एक-दूसरे को बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदित करते हैं
तब
$\begin{aligned}\angle B O C &=180^{\circ}-(\angle O B C+\angle O C B) \\&=180^{\circ}-\left(\frac{\angle P B C}{2}+\frac{\angle Q C B}{2}\right) \\\angle B O C &=180^{\circ}-\left(\frac{\angle P B C+\angle Q C B}{2}\right)\end{aligned}$.............(1)
अब $\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned}\angle A+\angle B+\angle C &=180^{\circ} \\\angle A+180^{\circ}-\angle P B C+180^{\circ}-\angle Q C B &=180^{\circ} \\\text { या } \angle P B C+\angle Q C B &=180^{\circ}+\angle A\end{aligned}$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}\angle B O C &=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}+A}{2} \\&=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}}{2}-\frac{A}{2}\end{aligned}$
$\begin{aligned} &=180^{\circ}-90^{\circ}-\frac{A}{2} \\ &=90^{\circ}-\frac{A}{2} \\ \angle B O C &=90^{\circ}-\frac{A}{2} \\ \angle B O C &=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B A C \end{aligned}$
प्रश्न 11.
चित्र में, $\angle A$ का समद्विभाजक $A M$ है । यदि $\angle B=\angle C$ तो सिद्ध कीजिए कि $\angle A M B=90^{\circ}=\angle A M C .$
हल :
$\angle A$ का समद्विभाजक $A M$ है तथा $\angle B=\angle C$.
सिद्ध करना है :
$\angle A M B=90^{\circ}=\angle A M C$
उपपत्ति : $\triangle A B C$ में,
$\begin{aligned} A+B+C &=180^{\circ} \\ A+B+B &=180^{\circ} \\ A+2 B &=180^{\circ} \end{aligned}$ $[\because \angle B=\angle C]$.............(1)
अब $\triangle A B M$ में,
$\begin{aligned} \angle B A M+\angle A B M+\angle A M B &=180^{\circ} \\ \frac{A}{2}+B+\angle A M B^{-} &=180^{\circ} \\ \frac{A+2 B}{2}+\angle A M B &=180^{\circ} \\ \frac{180^{\circ}}{2}+\angle A M B &=180^{\circ} \end{aligned}$..........[ समीकरण (1) से]
$\begin{aligned} 90^{\circ}+\angle A M B &=180^{\circ} \\ \angle A M B &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ &=90^{\circ} \\ \angle A M B &=90^{\circ} \\ \angle B M C &=180^{\circ} \end{aligned}$
$\begin{aligned} \angle B M A+\angle A M C &=180^{\circ} \\ 90^{\circ}+\angle A M C &=180^{\circ} \\ \angle A M C &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ &=90^{\circ} \\ \angle A M C &=90^{\circ} \end{aligned}$
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