प्रश्नावली 6(B)
प्रश्न 1
चित्र में रेखाएँ l और m बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं । यदि $x=30^{\circ}$, तो y, z और u के मान ज्ञात कीजिए ।.
हल :
$\angle z^{\circ}=\angle x^{\circ}$ $(\because$ सम्मुख कोण हैं)
तब $\angle z^{\circ}=30^{\circ}$
$\because$ $\angle z^{\circ}+\angle u^{\circ}=180^{\circ}$
$\begin{aligned}30^{\circ}+\angle u^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle u^{\circ} &=180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ} \\\dot{\angle} y^{\circ} &=\angle u^{\circ}, \\\angle y^{\circ} &=150^{\circ}\end{aligned}$(सम्मुख कोण हैं)
अत: $\angle y^{\circ}=150^{\circ}, \angle z^{\circ}=30^{\circ}, \angle u^{\circ}=150^{\circ}$.
प्रश्न 2
चित्र में $y^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
अब :
$\angle C O B=\angle E O F=4 y^{\circ}$ $\angle A O D=180^{\circ}$
तब
$\begin{aligned}2 y^{\circ}+4 y^{\circ}+3 y^{\circ} &=180^{\circ} \\9 y^{\circ} &=180^{\circ}\end{aligned}$
$y^{\circ}=\frac{180^{\circ}}{9}=20^{\circ}$
$y^{\circ}=20^{\circ}$
प्रश्न 3.
चित्र में एक ही समतल में स्थित तीन सरल रेखाएँ $b m$ तथा $n$ एक बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेदित करती हैं । यदि $a^{\circ}-b^{\circ}=70^{\circ}$, तो $a^{\circ}$ और $b^{\circ}$ के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$a^{\circ}-b^{\circ}=70^{\circ}$....................(1)
चित्रानुसार,
$\begin{aligned} a^{\circ}+20^{\circ}+b^{\circ} &=180^{\circ} \\ a^{\circ}+b^{\circ} &=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ} \\ a^{\circ}+b^{\circ} &=160^{\circ} \end{aligned}$.....(2)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned} 2 a^{\circ} &=230^{\circ} \\ a^{\circ} &=\frac{230^{\circ}}{2}=115^{\circ} \end{aligned}$
समीकरण (2) से,
$\begin{aligned} 115^{\circ}+b^{\circ} &=160^{\circ} \\ b^{\circ} &=160^{\circ}-115^{\circ}=45^{\circ} \end{aligned}$
अत : $a^{\circ}=115^{\circ}, b^{\circ}=45^{\circ}$.
प्रश्न 4.
चित्र में $x^{\circ}, y^{\circ}$ तथा $z^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
∠y=110°
∴x°+y°=180°
या x°+110°=180°
या x°=180°-110°=70°
∵y°+z°=180°
110°+z°=180°
या z°=180°-110°=70°
अत: x°=70°, y°=110°, z°=70°
प्रश्न 5 .
चित्र में यंदि $\angle a=50^{\circ}, \angle b=60^{\circ}$, तो $\angle c, \angle d, \angle e$ तथा $\angle f$ के मान बताइए।
हल :
$\angle a=50^{\circ}, \angle b=60^{\circ}$, तब $\angle c, \angle d, \angle e$ तथा $\angle f$ निकालने हैं ।
चित्रानुसार, $\angle d=\angle a=50^{\circ}$ $(\because$ सम्मुख कोण हैं)
तथा $\angle e=\angle b=60^{\circ}$ ( $:$ सम्मुख कोण हैं)
$\because$ $\angle b+\angle c+\angle d=180^{\circ}$
$\begin{aligned} 60^{\circ}+\angle c+50^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle c &=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ} \\ \angle f &=\angle c=70^{\circ} \end{aligned}$ $(\because$ सम्मुख कोण हैं)
अत: $\angle c=70^{\circ}, \angle d=50^{\circ}, \angle e=60^{\circ}, \angle f=70^{\circ}$.
प्रश्न 6.
चित्र में $\angle B O D$ तथा $\angle A O C$ की अर्द्धक $O P$ और $O Q$ हैं । सिद्ध कीजिए कि किरणें OP और OQ एक ही रेखा में हैं ।
हल :
दिया है, $O Q$ तथा $O P$ क्रमशः $\angle A O C$ तथा $\angle B O D$ के अर्द्धक हैं ।
$\therefore$
$\begin{aligned}\angle A O Q &=\frac{1}{2} \angle A O C \\\angle C O Q &=\frac{1}{2} \angle A O C \\&=\frac{1}{2} \angle B O D, \quad[\because \angle A O C=\angle B O D \text { शीर्षाभिमुख कोण हैं] }\\\angle C O Q &=\angle P O D, \quad\left[\because \angle P O D=\frac{1}{2} \angle B O D\right]\end{aligned}$
$C D$ एक सरल़ रेखा है, अतः
$\begin{aligned}\angle C O Q+\angle A O Q+\angle A O D &=180^{\circ} \\(\angle P O D+\angle A O D)+\angle A O Q &=180^{\circ} \\\angle P O A+\angle A O Q &=180^{\circ}\end{aligned}$
$\because O A$ दोनों कोणों की उभयनिष्ठ किरण है
और $\angle P O A+\angle A O Q$ एक रेखीय युग्म बनाते हैं ।
$\therefore P O Q$ एक सरल रेखा होगी ।
अतः $O P$ तथा $O Q$ एक रेखा में हैं ।
प्रश्न 7
चित्र में रेखाएँ $l$ तथा $m$ परस्पर एक बिन्दु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेदित होती हैं कि $a=30^{\circ}$, सिद्ध कीजिए $5 a-b=0$.
हल :
$\because l$ एक सरल रेखा है ।
$b^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ}$
$b^{\circ}=180^{\circ}-30^{\circ}$
$b^{\circ}=150^{\circ}$
अब
$\begin{aligned}5 a-b &=5 \times 30^{\circ}-150^{\circ} \\&=150^{\circ}-150^{\circ}=0\end{aligned}$
अतः $5 a-b=0$
प्रश्न 8.
दो समान्तर ऋजु रेखाओं द्वारा बने शीषांभियुख कोणों का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\because$ दो समान्तर रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद्तित नहीं करती हैं तब शीर्षाभिमुख कोण नहीं बनेंगे । अतः शीर्षाभिमुख कोणों का मान शून्य होगा ।
प्रश्न 9.
आकृति में, रेखाएँ $A B$ और $C D$ बिन्दु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle A O C+\angle B O E=70^{\circ}$ है और $\angle B O D=40^{\circ}$ है, तो $\angle B O E$ और प्रतिवर्ती $\angle C O E$ ज्ञात कीजिए।
हल :
∵OA तथा OB विपरीत किरणें हैं। इसलिए AB एक सरल रेखा है।
चूँकि किरण OC, AB पर आधारित है। इसलिए,
$\angle A O C+\angle C O B=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)
$\angle A O C+\angle C O E+\angle B O E=180^{\circ} \quad[\because \angle C O B=\angle C O E+\angle B O E]$
$(\angle A O C+\angle B O E)+\angle C O E=180^{\circ}$
$70^{\circ}+\angle C O E=180^{\circ} \quad\left[\because \angle A O C+\angle B O E=70^{\circ}\right.$ (दिया है। $\left.)\right]$
$\begin{aligned} \angle C O E &=180^{\circ}-70^{\circ} \\ &=110^{\circ} \\ \text { प्रतिवर्ती } \angle C O E &=360^{\circ}-110^{\circ} \\ &=250^{\circ} \end{aligned}$
चूँकि $O C$ तथा $O D$ विपरीत किरणें हैं। इसलिए,
$\begin{array}{rr}\angle C O E+\angle E O D=180^{\circ} \\\Rightarrow \quad \angle C O E+\angle BO E+\angle B O D=180^{\circ} \\\Rightarrow \quad 110^{\circ}+\angle B OE+40^{\circ}=180^{\circ}\end{array}$
[:: $\angle C O E=110^{\circ}$ (ऊपर सिद्ध किया गया है), $\angle B O D=40^{\circ}$ (दिया है)] $\angle B O E=180^{\circ}-110^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$ $\angle B O E=30^{\circ}$ तथा प्रतिवर्ती $\angle C O E=250^{\circ} .$ उत्तर'
प्रश्न 10
आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि $\angle P O Y=90^{\circ}$ और a: b=2: 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : $\angle P O Y=90^{\circ}$
तथा $a: b=2: 3$
$\frac{a}{b}=\frac{2}{3} \Rightarrow a=\frac{2}{3} b$
$\begin{aligned} \angle P O Y &=90^{\circ} \\ \angle P O X+\angle P O Y &=180^{\circ}, \\ \angle P O X &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ &=90^{\circ} \\ a+b &=90^{\circ} \\ \frac{2}{3} b+b &=90^{\circ} \\ 2 b+3 b &=270^{\circ} \\ 5 b &=270^{\circ} \\ b &=54^{\circ} \\ a &=\frac{2}{3} \times b=\frac{2}{3} \times 54=36^{\circ} \end{aligned}$
लेकिन $M O N$ एक सरल रेखा है। अतः
$\begin{aligned} b+c &=180^{\circ} \\ 54^{\circ}+c &=180^{\circ} \\ c &=180^{\circ}-54^{\circ} \\ c &=126^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 11.
निम्न आकृति में, यदि $\angle P Q R=\angle P R Q$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle P Q S=\angle P R T$ है।
हल :
$\angle P Q R+\angle P Q S=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म से) ...(i)
तथा $\angle P R Q+\angle P R T=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म से ) ...(ii)
समीकरण (i) व, (ii) से,
$\angle P Q R+\angle P Q S=\angle P R Q+\angle P R T$
लेकिन
$\angle P Q R=\angle P R Q$ (दिया है)
$\angle P Q S=\angle P R T$
प्रश्न 12.
निम्न आकृति में, यदि $x+y=w+z$ है, तो सिद्ध कीजिए कि $A O B$ एक रेखा है।
हल :
दिया है :
x+y=w+z
सिद्ध करना है : $A O B$ एक रेखा है।
उपपत्ति :
$x+y+w+z=360^{\circ}$ [एक बिन्दु के चारों ओर के कोणों का योग $360^{\circ}$ होता है]
$(x+y)+(w+z)=360^{\circ}$
$2 x+2 y=360^{\circ}$
$x+y=180^{\circ}$
लेकिन $x$ तथा $y$ रैखिक युग्म बनाते हैं।
$\therefore A O B$ एक सरल रेखा है।
प्रश्न 13.
संलग्न आकृति में, $P O Q$ एक रेखा है । किरण $O R$ रेखा $P Q$ पर लम्ब है। किरणों $O P$ और $O R$ के बीच में $O S$ एक अन्य किरण है। सिद्ध कीजिए :
$\angle R O S=\frac{1}{2}(\angle Q O S-\angle P O S)$
हल :
दिया है : दिए चित्र में $P O Q$ एक रेखा है।
एक अन्य रेखा $P Q$ पर बिन्दु $O$ पर मिलती है।
सिद्ध करना है : $\angle R O S=\frac{1}{2}(\angle Q O S-\angle P O S)$
उपपत्ति : $\angle Q O S=\angle S O R+\angle R O Q$ ....(i)
और $\angle P O S=\angle P O R-\angle S O R$.......(ii)
समी. (i) में से समी. (ii) घटाने पर,
$\begin{aligned} \angle Q O S-\angle P O S &=\angle S O R+\angle R O Q-\angle P O R+\angle S O R \\ \angle Q O S-\angle P O S &=2 \angle S O R \quad\left[\because \angle R O Q=\angle P O R=90^{\circ}\right] \\ 2 \angle R O S &=\angle Q O S-\angle P O S \\ \angle S O R &=\frac{1}{2}[\angle Q O S-\angle P O S] \end{aligned}$
प्रश्न 14.
यह दिया है कि $\angle X Y Z=64^{\circ}$ है और $X Y$ को बिन्दु $P$ तक बढ़ाया गया है। दी हुई सूचना से एक आकृति खींचिए। यदि किरण $Y Q, \angle Z Y P$ को समद्विभाजित करती है, तो $\angle X Y Q$ और प्रतिवर्ती $\angle Q Y P$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल $: \because X Y$ को बिन्दु $P$ तक बढ़ाया गया है। अतः $X P$ एक सीधी रेखा है। चूँकि $Y Z, X P$ पर स्थित है।
$\angle X Y Z+\angle Z Y P=180^{\circ}$(रैख्रिक युग्म से)
$64^{\circ}+\angle Z Y P=180^{\circ} \quad\left(\because \angle X Y Z=64^{\circ}\right)$
$\angle Z Y P=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$
किरण $Y Q, \angle Z Y P$ को समद्विभाजित करती है।
$\begin{aligned}\angle Q Y P &=\angle Z Y Q \\&=\frac{116^{\circ}}{2}=58^{\circ} \\\angle X Y Q &=\angle X Y Z+\angle Z Y Q \\\angle X Y Q &=64^{\circ}+58^{\circ}=122^{\circ}\end{aligned}$
प्रतिवर्ती $\angle Q Y P=360^{\circ}-\angle Q Y P$ $=360^{\circ}-58^{\circ}=302^{\circ}$
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