प्रश्नावली 6(A)
प्रश्न 1
चित्र में OA और OB विपरीत किरणें हैं :
(i) यदि y=57° हो, तो x का मान ज्ञात कीजिए ।
(ii) यदि x=45.5° हो, तो y का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
(i) y=57° , x=?
∵ ∠AOB=180°
$\begin{aligned} x^{\circ}+y^{\circ} &=180^{\circ} \\ x^{0}+57^{\circ} &=180^{\circ} \end{aligned}$
(ii)
$\begin{aligned} x^{2} &=180^{\circ}-57^{\circ}=123^{\circ} \\ x &=45 \cdot 5^{\circ}, y=? \\ \angle A O B &=180^{\circ} \\ x^{\circ}+y^{\circ} &=180^{\circ} \\ 45 \cdot 5^{\circ}+y^{\circ} &=180^{\circ} \\ y^{\circ} &=180^{\circ}-45 \cdot 5^{\circ}=134.5^{\circ} \\ y^{\circ} &=134 \cdot 5^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 2
चित्र में यदि A, O, B समरेखीय हैं, तो x° का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\begin{array}{lrl}\because & \angle A O B & =180^{\circ} \\ \text { or} & \angle A O C+\angle C O B & =180^{\circ} \\ \text { or } & 2 x+3+x & =180^{\circ} \\ 3 x & =180-3=177 \\ \text { or } & =\frac{177}{3}=59^{\circ} \end{array}$
अत: =59°
प्रश्न 3.
चित्र में $\angle A O C$ तथा $\angle B O C$ रेखीय युग्म निरूपित करते हैं । यदि $x^{\circ}=\frac{y^{\circ}}{2}$ हो, तो $x^{\circ}$ तथा $y^{\circ}$ के मान ज्ञात कीजिए 1
$\angle A O B=180^{\circ}$
या $x^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ}$
दिया है, $x^{\circ}=\frac{y^{\circ}}{2}$
तब $\frac{y^{\circ}}{2}+y^{\circ}=180^{\circ}$
या $\frac{3}{2} y^{\circ}=180^{\circ}$
या $\begin{aligned} y^{\circ} &=\frac{2 \times 180^{\circ}}{3} \\ &=2 \times 60=120^{\circ} \\ x^{\circ} &=\frac{y^{\circ}}{2}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ} \end{aligned}$
तब
अतः $x=60^{\circ}, y=120^{\circ}$.
प्रश्न 4
चित्र में $\angle A O C$ तथा $\angle B O C$ रेखीय युग्म 'निरूपित करते हैं, तो $x^{\circ}$ तथा $y^{\circ}$ के मान ज्ञात कीजिए, यदि $x^{\circ}-y^{\circ}=44^{\circ} .$
हल :
दिया है, $x^{\circ}-y^{\circ}=44^{\circ}$........................(i)
$\angle A O B=180^{\circ}$
$x^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ}$.................(ii)
समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned} 2 x^{\circ} &=224 \\ x^{\circ} &=\frac{224}{2}=112^{\circ} \end{aligned}$
समीकरण (2) से,
$\begin{aligned} 112^{\circ}+y^{\circ} &=180^{\circ} \\ y^{\circ}
&=180^{\circ}-112^{\circ}=68^{\circ} \end{aligned}$
अतः $x^{\circ}=112^{\circ}, y^{\circ}=68^{\circ}$.
प्रश्न 5.
चित्र में किरण $O C$, रेखा $A B$ पर इस प्रकार खड़ी है कि $\angle A O C=\angle C O B$, तो दर्शाइए कि $\angle A O C=90^{\circ} .$
दिया है,
$\begin{array}{lrl} & \angle A O C & =\angle C O B \\ \because & \angle A O C+\angle C O B & =180^{\circ} \\ \text { तब } & \angle A O C+\angle A O C & =180^{\circ} \\ \text { or } & 2 \angle A O C & =180^{\circ} \\ \text { or } & \angle A O C & =\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ} \\ \text { अत: } & \angle A O C & =90^{\circ} .\end{array}$
प्रश्न 6.
चित्र में यदि $x^{\circ}=\frac{5}{4} y^{\circ}$, तो $x^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\because$
$\angle A O B=180^{\circ}$
या
$x^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ}$
दिया है,
$x^{\circ}=\frac{5}{4} y^{\circ}$
या
$y^{\circ}=\frac{4}{5} x^{\circ}$
$y^{\circ}$ के मान को समीकरण (1) में रखने पर,
$x^{\circ}+\frac{4}{5} x^{\circ}=180^{\circ}$
या
$\frac{5 x^{\circ}+4 x^{\circ}}{5}=180^{\circ}$
या
$\begin{aligned}9 x^{\circ} &=5 \times \cdot 180^{\circ} \\x^{\circ} &=\frac{5 \times 180}{9} \\&=5 \times 20=100^{\circ}\end{aligned}$
अतः
$x^{\circ}=100^{\circ}$
प्रश्न 7.
चित्र में यदि $O P$ और $O Q$ विपरीत किरणें हैं, तो $x^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\because \quad \angle P O Q=180^{\circ}$
तब $\frac{5 x^{\circ}}{18}+\frac{2 x^{\circ}}{9}+\frac{x^{\circ}}{3}+\frac{x^{\circ}}{6}=180^{\circ}$
$\frac{5 x^{\circ}+4 x^{\circ}+6 x^{\circ}+3 x^{\circ}}{18}=180^{\circ}$
$\frac{18 x^{\circ}}{18}=180^{\circ}$
या
$x^{\circ}=\cdot 180^{\circ}$
अत:
$x^{\circ}=180^{\circ} .$
प्रश्न 8
चित्र में OA और OB विपरीत किरणें हैं, यदि $x^{\circ}: y^{\circ}=2: 3$ है, तो $x^{\circ}$ तथा $y^{\circ}$ के मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$x^{0}: y^{\circ}=2: 3$
$\frac{x^{\circ}}{y^{\circ}}=\frac{2}{3}$
$x^{\circ}=\frac{2}{3} y^{\circ}$..........................(i)
$\angle A O B=180^{\circ}$
$x^{\circ}+y^{\circ}=180^{\circ}$.............(2)
समीकरण (2) में समीकरण (1) से $x^{\circ}$ का मान रखने पर,
$\frac{2}{3} y^{\circ}+y^{\circ}=\cdot 180^{\circ}$
या
$\frac{5}{3} y^{\circ}=180^{\circ}$
या
$\begin{aligned}y^{\circ} &=\frac{3 \times 180^{\circ}}{5} \\&=3 \times 36=108^{\circ}\end{aligned}$
समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}x^{\circ} &=\frac{2}{3} \times 108 \\&=2 \times 36=72^{\circ}\end{aligned}$
अत : $x^{\circ}=72^{\circ}$ तथा $y^{\circ}=108^{\circ}$.
प्रश्न 9
चित्र में OE किरण, ∠AOB की समद्विभाजक है तथा OF, OE की विपरीत किरण है । सिद्ध कीजिए कि ∠FOB=∠FOA
हल :
$\because O E$ किरण $\angle A O B$ की समद्विभाजक है, तब
$\angle A O E=\angle B O E$
$\angle F O B+\angle B O E=180^{\circ}$........................(1)
$\angle F O A+\angle A O E=180^{\circ}$...........(2)
समीकरण (1) तथा (2) से,
$\angle F O B+\angle B O E=\angle F O A+\angle A O E$
$\angle F O B+\angle A O E=\angle F O A+\angle A O E$$[\because \angle B O E=\angle A O E]$
इति सिद्धम् ।
प्रश्न 10
चित्र में $\angle A O C$ तथा $\angle A O B$ में प्रत्येक समकोण है । सिद्ध कीजिए कि $B O C$ एक रेखा है ।
$\begin{array}{ll}\text { हल : } \because & \angle B O C=\angle B O A+\angle A O C \\ \text { दिया है, } & \angle A O C=\angle A O B=90^{\circ} \\ \text { तब } & \angle B O C=90^{\circ}+90^{\circ} \\ \text { या } & \angle B O C=180^{\circ}\end{array}$
अतः $B O C$ एक रेखा है ।
प्रश्न 11. $O A, O B, O C, O D$ और $O E$ किरणों का एक ही सीमांत बिन्दु $O$ है । सिद्ध कीजिए कि
$\angle A O B+\angle B O C+\angle C O D+\angle D O E+\angle E O A=360^{\circ}$
हल : $O A$ की विपरीत दिशा में $O A^{\prime}$ किरण खींची ।
तब
$\begin{aligned}\angle A O A^{\prime}+\angle A^{\prime} O A &=180^{\circ}+180^{\circ} \\&=360^{\circ}\end{aligned}$
अब ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA'+∠A'OE+∠EOA=360°
या ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=360°
क्योंकि ∠DOA'+∠A'OE=∠DOE
अत: ∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOE+∠EOA=360°
प्रश्न 12.
चित्र में, रेखा $A B$ और $O C$ इस प्रकार है कि $\angle C O B: \angle C O A=4: 5$. दर्शाइये कि
$\angle A O C-\angle B O C=\frac{1}{9} \angle A O B$
हल :
या
$\frac{\angle C O B}{\angle C O A}=\frac{4}{5}$
$\angle C O B=\frac{4}{5} \angle C O A$ ...(1)
$\begin{aligned} \because & \angle A O C+\angle B O C &=\angle A O B \\ \text { or } & \angle A O C+\frac{4}{5} \angle C O A &=\angle A O B \\ \frac{9}{5} \angle A O C &=\angle A O B \\ \angle A O C &=\frac{5}{9} \angle A O B \end{aligned}$
तथा समीकरण (1) से,
$\begin{aligned}\angle C O B &=\angle B O C \\&=\frac{4}{5} \times \frac{5}{9} \angle A O B \\\angle B O C &=\frac{4}{9} \angle A O B\end{aligned}$...(3)
समीकरण (2) तथा (3) से,
$\begin{aligned}\angle A O C-\angle B O C &=\frac{5}{9} \angle A O B-\frac{4}{9} \angle A O B \\&=\frac{1}{9} \angle A O B \\\angle A O C-\angle B O C &=\frac{1}{9} \angle A O B\end{aligned}$
प्रश्न 13
चित्र में, $O E, \angle A O C$ की अर्द्धक है तथा $O F, \angle C O B$ की अर्धक है । सिद्ध कीजिए कि $A, O, B$ समरेख हैं ।
हल :
$\because$ $\angle E O F=90^{\circ}$, (दिया है)
$\begin{aligned} \angle A O B &=\angle A O E+\angle E O C+\angle C O F+\angle F O B \\ &=\angle E O C+\angle E O C+\angle C O F+\angle C O F \end{aligned}$ $[\because \angle A O E=\angle E O C$ तथा $\angle C O F=\angle F O B]$
$\begin{aligned} \angle A O B &=2 \angle E O C+2 \angle C O F \\ \angle A O B &=2[\angle E O C+\angle C O F] \\ &=2 \times 90^{\circ}=180^{\circ} \end{aligned}$
अतः $A, O$ तथा $B$ सरेख हैं ।
प्रश्न 14.
चित्र में, x के किस मान के लिए $A O B$ एक सरल रेखा होगी ।
हल :
जब AOB एक सरल रेखा है तब $\angle A O B=180^{\circ}$ होगा ।
$\therefore$ $\angle A O C+\angle C O B=180^{\circ}$
या
$(2 x-4)^{\circ}+(3 x-6)^{\circ}=180^{\circ}$
या
$5 x-10=180^{\circ}$
$\begin{aligned} 5 x &=180+10=190^{\circ} \\ x &=\frac{190^{\circ}}{5}=38^{\circ} \\ x &=38^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 15.
चित्र में, यदि $x^{\circ}+y^{\circ}+z^{\circ}=180^{\circ}, z^{\circ}-y^{\circ}=10^{\circ}$ और $\angle d=90^{\circ}$, तो $x^{\circ}, y^{\circ}$ तथा $z^{\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$\begin{aligned}x^{\circ}+y^{\circ}+z^{\circ} &=180^{\circ} \\z^{\circ}-y^{\circ} &=10^{\circ}\end{aligned}$
$\angle d=90^{\circ} \quad\left[\because y^{\circ}+d^{\circ}+z^{\circ}=180^{\circ}\right]$
$\begin{aligned} y^{\circ}+z^{\circ} \cdot &=90^{\circ} \\ x^{\circ}+y^{\circ}+z^{\circ} &=180^{\circ} \\ x^{\circ}+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ x^{\circ} &=180^{\circ}-90^{\circ} \\ &=90^{\circ} \\\left(x^{\circ}+y^{\circ}+z^{\circ}\right)+\left(z^{\circ}-y^{\circ}\right) &=180^{\circ}+10^{\circ} \\ 90^{\circ}+2 z^{\circ} &=190^{\circ} \\ 2 z^{\circ} &=190^{\circ}-90^{\circ}=100^{\circ} \\ z^{\circ} &=50^{\circ} \\ x^{\circ}+y^{\circ}+z^{\circ} &=180^{\circ} \\ 90^{\circ}+y^{\circ}+50^{\circ} &=180^{\circ} \\ y^{\circ} &=180^{\circ}-140^{\circ} \\ &=40^{\circ} \end{aligned}$
अतः $x^{\circ}=90^{\circ}, y^{\circ}=40^{\circ}$ तथा $z^{\circ}=50^{\circ}$.
प्रश्न 16.
चित्र में, $O P$ और $O Q$ क्रमशः $\angle C O A$ और $\angle B O C$ के अर्द्धक हैं । यदि $\angle A O D=90^{\circ}$, तब सिद्ध कीजिए कि $\angle P O Q=90^{\circ}$.
हल :
$\because$
$\begin{aligned}\angle C O A+\angle A O D &=180^{\circ} \\\angle C O A &=180^{\circ}-\angle A O D \\\angle C O A &=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}$ $\left[\because \angle A O D=90^{\circ}\right]$
$\begin{aligned} \angle C O P &=\frac{1}{2} \angle C O A \\ &=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ} \end{aligned}$
इसी प्रकार,
$\begin{aligned} \angle C O B &=90^{\circ} \quad\left[\because \angle A O B=180^{\circ} \text { तब } \angle C O B=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}\right] \\ \angle C O Q &=\frac{1}{2} \angle C O B \\ &=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ} \\ \angle P O Q &=\angle C O P+\angle C O Q \end{aligned}$
$\begin{aligned} &=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ} \\ \angle P O Q &=90^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 17
कौन-सा कोण अपने पूरक के समान होता है ?
हल :
माना कोणं $\theta$ है, तब इसका पूरक कोण $=90^{\circ}-\theta$
प्रश्नानुसार,
या
$\begin{aligned} \theta &=90^{\circ} 2 \\ 2 \theta &=90^{\circ} \\ \text { or } \theta &=\frac{90^{\circ}}{2}=45^{\circ} \end{aligned}$
अतः
अभीष्ट कोण $=45^{\circ}$
प्रश्न 18.
कौन-सा कोण अपने पूरक से दुगुना होता है ?
हल :
माना कोण $\theta$ है, तब इसका पूरक कोण $=90^{\circ}-\theta$.
$\theta=2(90-\theta)^{\circ}$
या
$\theta=180^{\circ}-2 \theta$
$3 \theta=180^{\circ}$
$\theta=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$
अतः
अभीष्ट कोण $=60^{\circ}$.
प्रश्न 19.
कौन-सा कोण अपने संपूरक के बराबर होता है ?
हल :
माना कोण $\theta$ है इसका संपूरक कोण $=(180-\theta)^{\circ}$
प्रश्नानुसार,
$\theta=180^{\circ}-\theta$
या
$2 \theta=180^{\circ}$
या
$\theta=\frac{180}{2}=90^{\circ}$
अतः
अभीष्ट कोण $=90^{\circ}$
प्रश्न 20.
कौन-सा कोण अपने संपूरक से दुगुना होता है ?
हल :
माना कोण $\theta$ है इसका संपूरक कोण $=180^{\circ}-\theta$
प्रश्नानुसार,
$\theta=2\left(180^{\circ}-\theta\right)$
या
$\theta=2 \times 180^{\circ}-2 \theta$
या
$3 \theta=2 \times 180^{\circ}$
या
$\begin{aligned}\theta &=\frac{2 \times 180^{\circ}}{3} \\&=2 \times 60^{\circ}=120^{\circ}\end{aligned}$
अत:
अभीष्ट कोण $=120^{\circ}$
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