प्रश्नावली 4.2
प्रश्न 1
उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए जो रेखा 3x+4y=20 को y-अक्ष पर काटता
है।
हल :
रेखा का समीकरण
3x+4y=20
∵रेखा y-अक्ष पर कटे, तब x=0
∴3×0+4y=20
4y=20
y=5
अतः प्रतिच्छेदन बिन्दु (0,5) होगा।
प्रश्न 2
यदि 3x+y-12=0 तब y को x के पदों में लिखिए। जाँच कीजिए कि क्या बिन्दु
(3,3) समीकरण 3x+y-12=0 के आलेख पर स्थित है।
हल :
दिया है :
3x+y12=0
3x+y=12
y=12-3x
बिन्दु (3,3) का समीकरण 3x+y-12=0 के आलेख का सत्यापन,
∴3×3+3-12=0
⇒9+3-12=0
⇒12-12=0
⇒0
अतः दिया गया बिन्दु दिए गए समीकरण पर स्थित होगा।
प्रश्न 3
समीकरण 2x-3y=12 में y को x के पदों में लिखिए। वह बिन्दु ज्ञात कीजिए जहाँ दिए गए समीकरण का आलेख x-अक्ष तथा y-अक्ष को काटता है।
हल :
दिया गया समकरण है :
2x-3y=12
-3y=12-2x
3y=2x-12
$y=\frac{2 x-12}{3}$
यदि यह समीकरण x-अक्ष को काटता है, तब y=0
अर्थात्
2x-3×0=12
2x=12
x=6
अतः बिन्दु (6,0) र प्रतिच्छेद करेगा।और यदि समीकरण y-अक्ष को कारता है, तब
x=0
2×0-3y=12
-3y=12
y=-4
अतः बिन्दु (0,-4) पर प्रतिच्छेद करेगा।
प्रश्न 4
दो चरों वाले निम्नलिखित रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए।
(i) x+y=4
(ii) x-y=2
(iii) y=3x
(iv) 3=2x+y
हल :
(i) x+y=4
या y=4-x
x=0 के लिए, y=4
x=1 के लिए, y=4-1=3
x=2 के लिए, y=4-2=2
x के मानों के संगत y के मान निम्न सारणी में हैं-
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 3 | 2 |
(ii) x-y=2 या x=2+y
जब y=0, तब x=2
जब y=1, तब x=2+1=3
x=2 तब x=2+2=4
x के मानों के संगत y के मान निम्न हैं-
| P | Q | R | |
|---|---|---|---|
| x | 2 | 3 | 4 |
| y | 0 | 1 | 2 |
(iii) y=3 x
जब x=0, तब y=3×0=0
जब x=1, तब y=3×1=3
जब x=2, तब y=3×2=6
∴ x के मानों के संगत y के मान निम्न हैं-
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 0 | 3 | 6 |
(iv) 3=2x+y या y=3-2x
जब x=0, तब y=3-2×0=3
जब x=1, तब y=3-2×1=1
जब x=2, तब y=3-2×2=-1
x के मानों के संगत y के मान निम्न हैं-
| A | B | C | |
|---|---|---|---|
| x | 0 | 1 | 2 |
| y | 3 | 1 | -1 |
प्रश्न 5
बिन्दु (2,14) से होकर जाने वाली दो रेखाओं के समीकरण लिखिए। इस प्रकार की और
कितनी रेखाएँ हो सकती हैं और क्यों ?
हल :
चूँकि बिन्दु (2,14) रैखिक समीकरण का हल है।
अतः बिन्दु (2,14) से होकर जाने वाली रेखाएँ अनंत हो सकती हैं।
इस प्रकार बिन्दु (2,14) से सन्तुष्ट होने वाले अनंत रैखिक समीकरण हो सकते हैं;
जैसे, 7x-y=0, x+y=16 आदि।
प्रश्न 6
यदि बिन्दु (3,4) समीकरण 3y=ax+7 के आलेख पर स्थित है, तो a का मान ज्ञात
कीजिए।
हल :
दिया गया समीकरण है :
3y=ax+7........................(i)
चूँकि बिन्दु (3,4) उक्त समीकरण पर है, अतः
3×4=3×a+7
12=3a+7
12-7=3a
5=3a
a=5 / 3
a का मान समीकरण (i) में रखने पर,
$3y=\frac{5}{3} x+7$
बायाँ पक्ष =3y=3×4=12
दायाँ पक्ष $=\frac{5}{3} x+7$
$=\frac{5}{3} \times 3+7=12$
बायाँ पक्ष= दायाँ पक्ष
$3 y=\frac{5}{3} x+7$
प्रश्न 7
एक नगर में टैक्सी का किराया निम्नलिखित है-
पहले किलोमीटर का किराया 8 रु. है और उसके बाद की दूरी के लिए प्रति
'किलोमीटर का किराया 5 रु. है। यदि तय की गई दूरी x किलोमीटर हो और कुल
किराया y रु. हो, तो इसका एक रैखिक समीकरण लिखिए और उसका आलेख खींचिए।
हल :
पहले किमी के लिए टैक्सी का किराया =8 रुपए
अगले प्रति किमी के लिए टैक्सी का
किराया =5 रुपए
कुल किराया =y रुपए
कुल दूरी =x किमी
दी गई जानकारी के लिए दो चरों का रैखिक 'समीकरण है
⇒y=8×1+5(x-1)
⇒y=8+5x-5
⇒y=5x+3
जब x=0, तब y=5× 0+3=0+3=3
जब x=-1, तब y=5×(-1)+3=-5+3=-2
जब x=-2, तब y=5×(-2)+3=-10+3=-7
अतः हमारे पास निम्नलिखित सारणी है :
| x | 0 | -1 | -2 |
|---|---|---|---|
| y | 3 | -2 | -7 |
बिन्दुओं (0,3),(-1,-2) और (-2,-7) को ग्राफ पेपर पर निरूपित करने तथा उनको
जोड़ने वाली रेखा खींचने पर हमें अभीष्ट आलेख प्राप्त होता है।
प्रश्न 8
निम्नलिखित आलेखों में से प्रत्येक आलेख के लिए दिए गए विकल्पों से सही समीकरण का चयन कीजिए।
आकृति (I) के लिए
(i) y=x
(ii) x+y=0
(iii) y=2 x
(iv) 2+3y=7x
आकृति (II) के लिए
(i) y=x+2
(ii) y=x-2
(iii) y=-x+2
(iv) x+2y=6
हल :
(i) आकृति (I) से देखने पर बिन्दु (-1,1),(0,0) और (1,-1) रेखा पर
स्थित हैं।
अतः यह बिन्दु रैखिक समीकरण x+y=0 को सन्तुष्ट करते हैं।
(ii) आकृति (II) से देखने पर बिन्दु (-1,3),(0,2) तथा (2,0) एक सीधी रेखा
पर स्थित हैं।
अत: ये बिन्दु रैखिक समीकरण y=-x+2 को सन्तुष्ट करते हैं।
प्रश्न 9
एक अचर बल लगाने पर एक पिंड द्वारा किया गया कार्य पिंड द्वारा तय की
गई दूरी के अनुक्रमानुपाती होता है।इस कथन को दो चरों वाले एक समीकरण के रूप
में व्यक्त कीजिए और अचर बल 5 मात्रक लेकर इसका आलेख खीचिए। यदि पिंड द्वारा तय
की गई दूरी
(i) 2 मात्रक
(ii) 0 मात्रक
हो, तो आलेख से किया हुआ कार्य ज्ञात कीजिए।
हल :
माना अचर बल लगाने पर पिण्ड द्वारा किया गया कार्य =y
पिण्ड द्वारा तय की गई दूरी =x
प्रश्नानुसार, समीकरण y=5x
जब x=0 तब, y=5(0)=0
x=1 तब, y=5(1)=5
x=2 तब, y=5(2)=10
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | 0 | 5 | 10 |
(i) ग्राफ से स्पष्ट है जब पिण्ड द्वारा तय की दूरी 2 इकाई हो अर्थात्
जब x=2, तब ,y=10
∴किया गया कार्य =10 इकाई
पिण्ड द्वारा तय की गयी दूरी =0 इकाई अर्थात्
(ii) जब x=0, तब y=0
∴किया गया कार्य =0
प्रश्न 10
एक विद्यालय की कक्षा IX की छात्राएँ यामिनी और फातिमा ने मिलकर
भूकम्प पीड़ित व्यक्तियों की सहायता के लिए प्रधानमंत्री राहत कोष में 100 रु.
अंशदान दिया। एक रैखिक समीकरण लिखिए जो इन आंकड़ों को संतुष्ट करता हो। (आप उनका
अंशदान x रु. और y रु. मान सकते हैं)। इस समीकरण का आलेख खींचिए।
हल :
माना यामिनी तथा फातिमा का प्रधानमंत्री राहत कोष में दिया योगदान x तथा y रुपए है। कुल योगदान 100 रुपए है, तब रैखिक समीकरण हैं :
x+y=100
y=100-x
इसका ग्राफ खींचने के लिए-
जब x=0, तब
y=100-0=100
जब x=100, तब y=100-100=0
जब x=50, तब y=100-50=50
इन मानों के लिए सारणी निम्न है-
| x | 0 | 100 | 50 |
|---|---|---|---|
| y | 100 | 0 | 50 |
बिन्दुओं (0,100),(50,50) तथा (100,0) से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा
प्राप्त होती है, जो रैखिक समीकरण x+y=100 को सन्तुष्ट करती है।
प्रश्न 11
अमरीका और कनाडा जैसे देशों में तापमान फारेन हाइट में मापा जाता है,
जबकि भारत जैसे देशों में तापमान सेल्सियस में मापा जाता है। जैसे यहाँ फारे
नहाइट को सेल्सियस में रूपांतरित करने वाला एक रैखिक समीकरण दिया गया है।
$\mathbf{F}=\left(\frac{9}{5}\right) \mathbf{C}+32$
(i) सेल्सियस को x-अक्ष और फारेनहाइट को y-अक्ष मानकर ऊपर दिए गए रैखिक
समीकरण का आलेख खीचिए।
(ii) यदि तापमान 30°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या
होगा ?
(iii) यदि तापमान 95°C है, तो सेल्सियस में तापमान क्या
होगा ?
(iv) यदि तापमान 0°C है, तो फारेनहाइट में तापमान क्या होगा
? और यदि तापमान 0°C है, तो सेल्सियस में तापमान क्या होगा
?
(v) क्या ऐसा भी कोई तापमान है जो फारेनहाइट और सेल्सियस दोनों के लिए
संख्यात्मकतः समान है? यदि हाँ तो उसे ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया गया समीकरण है : $\mathrm{F}=\left(\frac{9}{5}\right)
\mathrm{C}+32$
हमने सेल्सियस को x-अक्ष तथा फारेनहाइट को y-अक्ष पर लिया।
माना C=x तथा F=y, तब $y=\frac{9}{5} x+32$
जब x=0, तब $y=\frac{9}{5} \times 0+32=32$
जब x=-5, तब $y=\frac{9}{5} \times(-5)+32=23$
जब x=5, तब $y=\frac{9}{5} \times 5+32=41$
जब x=10, तब $y=\frac{9}{5} \times 10+32=50$
जब x=15, तब $y=\frac{9}{5} \times 15+32 \div 59$
जब x=-20, तब $y=\frac{9}{5} \times(-20)+32=-4$
जब x=-40, तब $y=\frac{9}{5} \times(-40)+32=-40$
ग्राफ पेपर पर बिन्दु A(0,32), B(-5,23), C(5,41), D(10,50), E(15,59), F(-20,-4) और
ग्राफ पेपर पर बिन्दु A(0,32), B(-5,23), C(5,41), D(10,50), E(15,59), F(-20,-4) और
G(-40,-40) निरूपित किए।
इन बिन्दुओं को मिलाने पर हमें
$\mathrm{F}=\frac{9}{5} C+32$ का ग्राफ प्राप्त होता है।
(ii) जब C=30° C, तब $\mathrm{F}=\frac{9}{5}
\times 30+32=86^{\circ} \mathrm{F}$.
(iii) जब $\mathrm{F}=95^{\circ} \mathrm{F}$, तब
$\begin{aligned}& 95=\frac{9}{5} \times C+32 \\\Rightarrow &
95-32=\frac{9}{5} \times C \\\Rightarrow \quad & \quad \frac{9}{5} &
C=63 \\\Rightarrow \quad & C=\frac{63 \times 5}{9}=35^{\circ}
\mathrm{C}\end{aligned}$
(iv) जब $C=0^{\circ} C$, तब $F=\frac{9}{5} \times 0+32=32^{\circ}
\mathrm{F}$
पुनः जब $\mathrm{F}=0^{\circ} \mathrm{F}$, तब $0=\frac{9}{5} \times
\mathrm{C}+32$
$\Rightarrow \quad C=\frac{-32 \times 5}{9}=-17.8^{\circ} \mathrm{C}$
(v) जब $x^{\circ} \mathrm{C}=x^{\circ} \mathrm{F}$, तब $x=\frac{9}{5} x+32$
$\begin{aligned}\Rightarrow &-32 &=\frac{9}{5} x-x \\&=\frac{9
x-5 x}{5}=\frac{4 x}{5} \\\Rightarrow & x=\frac{-32 \times 5}{4}=-40
\\\Rightarrow & \quad-40^{\circ} \mathrm{F} &=-40^{\circ}
\mathrm{C}\end{aligned}$
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