Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 3 निर्देशांक ज्य।मिति (Coordinate Geometry) प्रश्नावली 3

  प्रश्नावली 3

प्रश्न 1

निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक प्रश्न का उत्तर दीजिए :

(i) कातीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के क्या नाम है?

(ii) इन दो रेखाओं से बने तल के प्रत्येक भाग के नाम बताइए।

(iii) उस बिन्दु का नाम बताइए जहाँ घे दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं।

हल : 

(i) कार्तीय तल में किसी बिन्दु की स्थिति निर्धारित करने वाली क्षैतिज और ऊध्ध्वाधर रेखाओं को अक्ष कहते हैं। प्रायः क्षैतिज रेखाओं को x-अक्ष तथा ऊध्ध्वाधर रेखाओं को y-अक्ष कहा जाता है।

(ii) इन दो रेखाओं अर्थात् क्षैतिज तथा ऊध्वाधध के द्वारा बनाए गए प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहा जाता है।

(iii) वह बिन्दु जहाँ क्षैतिज तथा ऊध्ध्वाधर रेखायें प्रतिच्छेदित होती हैं, मूलमिन्दु कहलाता है।

प्रश्न 2

दी गई आकृति देखकर निम्नलिखित को लिखिए :

(i) B के निर्देशांक

(ii) C के निर्देशांक

(iii) निर्देशांक (-3,-5) द्वारा पहचाना गया बिन्दु

(iv) निर्देशांक (2,-4) द्वारा पहचाना गया बिन्दु

(v) D का भुंज

(vi) बिन्दु H की कोटि

(vii) बिन्दु L के निर्देशांक

(viii) बिन्दु M के निर्देशांक

हल : 

चित्र से स्पष्ट है कि

(i) B के निर्देशांक (-5,2) हैं।

(ii) C के निर्देशांक (5,-5) हैं।

(iii) निर्देशांक (-3,-5) बिन्दु E को दर्शाता है।

(iv) निर्देशांक (2,-4) बिन्दु G को दर्शाता है।

(v) बिन्दु D का भुज 6 है।

(vi) बिन्दु H की कोटि -3 है।

(vii) बिन्दु L के निर्देशांक (0,5) हैं।

(viii) बिन्दु M के निर्देशांक (-3,0) हैं।

प्रश्न 3

निम्न बिन्दुओं में भुज और कोटि बताइए :

(0,0),(-3,5),(4,-6),(-2,-3)

हल : 

बिन्दु	भुज	कोटि
(0,0)	0	0
(-3,5)	-3	5
(4,-6)	4	-6
(-2,-3)	-2	-3

प्रश्न 4

निम्न बिन्दुओं के निर्देशांक लिखिये :

भुज =0, कोटि =5; भुज=-3; कोटि=1 ;भुज=-5 ;कोटि=0

हल : 

भुज	कोटि	निर्देशांक
0	5	(0,5)
-3	1	(-3,1)
-5	0	(-5,0)

 प्रश्न 5

पाश्व चित्र में अंकित बिन्दुओं के निर्देशांक बताइए :

हल :

बिन्दु	निर्देशांक
O	(0,0)
A	(2,2)
B	(-2,4)
C	(-2,-3)
D	(4,-3)
E	(0,-2)
F	(-3,0)
G	(0,5)

प्रश्न 6

कार्तीय तल में निम्नलिखित बिन्दु किस चतुर्थाश में हैं :

(3,4),(-2,-3),(-2,0),(2,-5),(3,0),(0,5),(-5,3),(0,0)

हल :

बिन्दु	चिन्ह	चतुर्थांश
(3,4)	+,+	प्रथम
(-2,-3)	-,-	तृतीय
(-2,0)	-,0	द्वितीय
(2,-5)	+,-	चतुर्थ
(3,0)	+,0	प्रथम
(0,5)	0,+	प्रथम
(-5,3)	-,+	द्वितीय
(0,0)	0,0	मूलबिन्दु

प्रश्न 7

बिन्दु (5,7) की y-अक्ष से दूरी क्या है?

हल : 

बिन्दु (5,7), y-अक्ष से 5 मात्रक दूरी पर है।

प्रश्न 8

बिन्दु (-8,6) की x-अक्ष से दूरी क्या है?

हल : 

बिन्दु (-8,6) की x-अक्ष से दूरी 6 मात्रक है।

प्रश्न 9

एक वर्ग के दो शीर्ष बिन्दु (-3,0) और (2,0) पर हैं। उसके अन्य शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

∵ वर्ग ABCD में,

AB=BC=CD=DA=5 मात्रक

तब बिन्दु C के निर्देशांक =(2,5)

बिन्दु D के निर्देशांक =(-3,5)

पुन: वर्ग $A B C_{1} D_{1}$ के लिए,

बिन्दु $C_{1}$ के निर्देशांक (2,-5)

बिन्दु $D_{1}$ के निर्देशांक (-3,-5)

प्रश्न 10

एक आयत के दो सम्मुख शीर्ष (5,0) और (0,7) हैं। अन्य शीर्ष ज्ञात कीजिए। 

हल : 

आयत OABC के दो सम्मुख शीर्ष A(5,0) तथा C(0,7) हैं।

OA=CB=5, OC=AB=7

तब शीर्ष O के निर्देशांक (0,0) तथा शीर्ष $B$ के निर्देशांक (OA, AB)=(5,7) हैं। 

अतः अन्य शीर्ष (0,0) तथा (5,7) हैं।

प्रश्न 11

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 5 है। शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

यदि आधार x-अक्ष पर हो और 

(i) एक शीर्ष मूलबिन्दु पर हो, 

(ii) आधार का मध्य बिन्दु मूलबिन्दु हो।

हल : 

(i) OA=5

तब बिन्दु A के निर्देशांक =(5,0)

अब B से OA पर BC लम्ब डाला।

$OC=\frac{5}{2}$, OB=5

तब समकोण ΔBOC में,

$O B^{2}=O C^{2}+B C^{2}$

$25=\frac{25}{4}+B C^{2}$

$B C^{2}=25-\frac{25}{4}=\frac{75}{4}$

$B C=\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

बिन्दु B के निर्देशांक =(OC, OB)$=\left(\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ 

अत: शीषों के निर्देशांक (0,0),(5,0) तथा $\left(-\frac{5}{2}, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ हैं। 

$OB=OC=\frac{B C}{2}=\frac{5}{2}$

तब बिन्दु C के निर्देशांक (OC, 0)$=\left(\frac{5}{2}, 0\right)$'

अब ΔABO में, 

$\begin{aligned} A O &=\sqrt{A B^{2}-B O^{2}} \\ &=\sqrt{25-\frac{25}{4}} \\ &=\sqrt{\frac{75}{4}} \\ &=\frac{5 \sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

बिन्दु A के निर्देशांक (0, AO)$=\left(0, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$ 

अत : शीषों के निर्देशांक है:

$\left(0, \frac{5 \sqrt{3}}{2}\right),\left(-\frac{5}{2}, 0\right),\left(\frac{5}{2}, 0\right)$

प्रश्न 12

किसी वर्ग की एक भुजा के सिरे (0,0) और (a, 0) हैं, तो अन्य शीर्षों के निर्देशांक निकालिए। हल : वर्ग में OA=AB=BC=OC=a

तब B के निर्देशांक (OA, A B)=(a, a)

तथा बिन्दु C के निर्देशांक (0, OC)=(0, a)

पुन: वर्ग $O A B_{1} C_{1}$ के लिए

बिन्दु $B_{1}$ के निर्देशांक =(a,-a)

तथा बिन्दु $C_{1}$ के निर्देशांक =(0,-a)

अतः अन्य शीर्षों के निर्देशांक (a, a),(0, a)(a,-a) तथा (0,-a) हैं।

प्रश्न 13

यदि a, b पूर्ण धनांक हैं, तो बिन्दु (a,-b) किस चतुर्थाश में स्थित होगा?

हल : 

बिन्दु (a,-b) चतुर्थ चतुर्थांश में स्थित होगा।

प्रश्न 14

एक बिन्दु तृतीय चतुर्थांश में स्थित है। उसकी $x$-अक्ष तथा $y$-अक्ष से दूरी क्रमशः 4 तथा 5 मात्रक है। उसके निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

हल : 

बिन्दु Q तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, तब Q के निर्देशांक (-OQ,-QQ) अर्थात् (-4,-5) होंगे।

प्रश्न 15

अक्षों पर दूरी का उपयुक्त एकक लेकर नीचे सारणी में दिए गए बिन्दुओं को तल पर आलेखित कीजिए :

x	-2	-1	0	1	3
y	8	7	-1.25	3	-1

हल :

X'OX तथा Y'OY निर्देशांक अक्ष खींचो और दोनों कटान बिन्दु को मूलबिन्दु O(0,0) रखो। 

बिन्दु (-2,8) को दर्शनि के लिए OX अक्ष पर 2 इकाई तथा OY के समान्तर 8 इकाई तो बिन्दु A(-2,8) मिलता है।

इसी प्रकार बिन्दु B(-1,7) को दर्शाओ।

C(0,-1.25) को दर्शाने के लिए x-अक्ष के नीचे OY' पर 1.25 इकाई लेने पर C(0,-1.25) मिलता है। 

बिन्दु (1,3) के लिए 1 इकाई OX अक्ष पर तथा 3 इकाई OY के समान्तर लेने पर बिन्दु D(1,3) मिलता है। 

बिन्दु (3,-1) के लिए OX अक्ष पर 3 इकाई लेकर OY के समान्तर 1 इकाई लेने पर बिन्दु E(3,-1) मिलता है।

प्रश्न 16

किस चतुर्थाश में या किस अक्ष पर बिन्दु (-2,4),(3,-1),(-1,0),(1,2) और (-3,-5) स्थित हैं।  कार्तीय तल पर इनका स्थान निर्धारण करके अपने उत्तर को सत्यापित कीजिए।

हल : 

(i) बिन्दु (-2,4) में भुज ऋणात्मक तथा कोटि धनात्मक है। 

अतः यह द्वितीय चतुर्थांश में है।

(ii) बिन्दु (3,-1) में भुज धनात्मक तथा कोटि ऋणात्मक है। 

अतः यह चतुर्थ चतुर्थांश में है।

(iii) (-1,0) में भुज ऋणात्मक x-अक्ष पर है।

(iv) बिन्दु (1,2) में भुज व कोटि धनात्मक हैं। प्रथम चतुर्थांश में है।

(v) बिन्दु (-3,-5) में भुज व कोटि दोनों ही ऋणात्मक हैं। 

अतः यह तृतीय चतुर्थांश में है। 

इन बिन्दुओं का कार्तीय तल पर निर्धारण करने के लिए ग्राफ में बिन्दु A(-2,4), B(3,-1), C(-1,0), D(1,2) तथा E(-3,-5) को दर्शाया गया है।