Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 15 प्रायिकता (Probability) प्रश्नावली 15

 प्रश्नावली 15.1

प्रश्न 1

एक सिक्के को उछालने पर ऊपर शीर्ष आने की क्या प्रायिकता है ?

हल : 

कुल परिणामों अर्थात् चित और पट आने की संख्या =2

सिक्के को उछालने पर शीर्ष आंने की घटना = 1

P(शीर्ष आने की संख्या )$=\frac{1}{2} .$  उत्तर

प्रश्न 2

एक साधारण पासे को फेंका जाता है। उसके ऊपरी फलक पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

पासे पर उपस्थित कुल संख्याएँ 1,2,3,4,5,6 हैं।

अर्थात्कु ल परिणामों की संख्या =6

पासे पर आने वाली सम संख्याएँ 2,4,6 हैं।

अर्थात्स म संख्याएँ प्राप्त होने वाली घटनाएँ =3

∴ ऊपरी फलक पर सम संख्या आने की प्रायिकता $=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$ उत्तर

प्रश्न 3

एक पासे को उछालने पर उसके ऊपरी भाग पर विषम अंक आने की क्या प्रायिकता है ? 

हल :

कुल परिणामों की संख्या =6

कुल विषम संख्याएँ =1,3,5

परिणामों की अनुकूल संख्या =3

विषम संख्या आने की प्रायिकता $=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$ उत्तर

प्रश्न 4

एक पासे को फेंकने पर ऊपरी फलक पर 3 से बड़े अंक आने की क्या प्रायिकता है ?

हल : 

कुल परिणामों की संख्या =6

3 से बड़े अंक प्राप्त होने वाली संख्याएँ =4,5,6

अर्थात्प रिणामों की अनुकूल संख्या =3

$\therefore$ 3 से बड़े अंक आने की प्रायिकता 

$\begin{aligned}&=\frac{3}{6} \\&=\frac{1}{2} \end{aligned}$

प्रश्न 5

दो पासों को एक साथ उछाला जाता है। इस घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि उनके

(i) ऊपर आने वाले अंकों का गुणनफल 6 है। 

(ii) ऊपर आने वाले अंकों का योग 11 तथा पहले पासे पर ऊपर 5 आये।

हल : 

परिणामों की कुल संख्या $=6 \times 6=36$

(i) ऊपर आने वाले अंकों का गुणनफल 6 वाले युग्मों की संख्या

=(1,6),(6,1),(2,3),(3,2)

अनुकूल परिणामों की संख्या =4

∴ अभीष्ट प्रांयिकता $=\frac{4}{36}$

$=\frac{1}{9}$उत्तर

(ii) ऊपर आने वाले अंकों का योग 11 तथा पहले पासे पर ऊपर 5 आने की घटना =(5,6) अर्थात्

अनुकूल परिणामों की संख्या =1

∴ अभीष्ट प्रायिकता $=\frac{1}{36}$, उत्तर

प्रश्न 6

दो सिक्कों को एक साथ उछाला जाता है। दोनों पर शीर्ष या दोनों पर पुच्छ आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना शीर्ष को H तथा पुच्छ को T से व्यक्त करें; तब दोनों को एक साथ उछालने पर कुल परिणामों की संख्या  =H H, H T, T H, H H अर्थात् 4

अब दोनों सिक्कों पर शीर्ष या पुच्छ आने वाले अनुकूल परिणामों की संख्या =H H, T T अर्थात् 2

∴ अभीष्ट. प्रायिकंता $=\frac{2}{4}$

$=\frac{1}{2}$

उत्तर

प्रश्न 7

एक क्रिकेट मैच में एक महिला बल्लेबाज खेली गई 30 गेंदों में 6 बार चौका मारती है। चौका न मारे जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

चौका मारे जाने की कुल सम्भावना 30 है। महिला बल्लेबाज द्वारा 30 गेर्दे खेली गर्यी जिनमें चौका लगने के अनुकूल परिणाम 6 हैं। 

अतः चौका मारे जाने की प्रायिकता

P(E)=घटना (E )  के अनुकूल परिणामों की संख्या / सम्भावित कुल परिणामों की संख्या

$=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$

तब चौका न मारे जाने की प्रायिकता $=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$. उत्तर

प्रश्न 8

2 बच्चों वाले 1500 परिवारों का यदृच्छया चयन किया गया है और निम्नलिखित आँकड़ें लिख लिए गए हैं :

परिवार में लड़कियों की संख्या	2	1	0
परिवारों की संख्या	475	814	211

यदुच्छया चुने गए उस परिवार की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, जिसमें

(i) दो लड़कियाँ हों, 

(ii) एक लड़की हो, 

(iii) कोई लड़की न हो।

साथ ही, यह भी जाँच कीजिए कि इन प्रायिकताओं का योगफल 1 है या नहीं।

हल : 

माना $E_{0}, E_{1}$ तथा $E_{2}$ क्रमशः न लड़की, एक लड़की तथा 2 लड़कियों की घटना हो, तब

(i)  $P\left(E_{2}\right)$ =एक परिवार में दो लड़कियाँ होने की प्रायिकता 

=दो लड़कियों वाले परिवारों.की संख्या /  कुल परिणामों की संख्या 

$=\frac{475}{1500}=\frac{19}{60}$

(ii) ∴ $P\left(E_{1}\right)$= एक परिवार में 1 लड़की होने की प्रायिकता

= एक लड़की वाले परिवारों की संख्या  / कुल परिवारों की संख्या

$=\frac{814}{1500}=\frac{407}{750}$

(iii) $P\left(E_{0}\right)$= बिना लड़की वाले परिवारों की प्रायिकता

=बिना लड़की वाले परिवारों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या

$=\frac{211}{1500}$

∴ सभी प्रायिकताओं का योग $=P\left(E_{0}\right)+P\left(E_{1}\right)+P\left(E_{2}\right)$

$\begin{aligned}&=\frac{211}{1500}+\frac{407}{750}+\frac{19}{60} \\&=\frac{211+814+475}{1500}=\frac{1500}{1500}=1\end{aligned}$

प्रश्न 9

IX वीं कक्षा के एक विशेष संकलन के 40 विद्यार्थियों द्वारा उनके जन्म माह के बारे में पूछा गया। इस प्रकार प्राप्त आँकड़ों द्वारा निम्न आलेख तैयार किया गया :

कक्षा के किसी एक विद्यार्थी का जन्म अगस्त में होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

वर्ष भर में कुल विद्यार्थी पैदा हुए =40

परिणामों की कुल संख्या =40

क्योंकि अगस्त में 6 विद्यार्थी पैदा हुए।

अतः अनुकूल प़रिणामों की संख्या =6

अतः प्रायिकता = घटनाओं की अनुकूल संख्या  / घटनाओं की कुल संख्या

$=\frac{6}{40}=\frac{3}{20}$

उत्तर

प्रश्न 10

तीन सिक्कों को एक साथ 200 बार उछाला गया है तथा इनमें विभिन्न 'परिणामों की बारंबारताएँ ये हैं :

परिणाम	3 चित	2 चित	1 चित	कोई भी चित नही
बारम्बारता	23	72	77	28

यदि तीनों सिक्कों को पुन: एक साथ उछाला जाए, तो दो चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

चूँकि 3 सिक्के एक साथ 200 बार उछाले जाते हैं, तो कुल सम्भावित परिणामों की संख्या =200

2 चित आने की प्रायिकता = 2 चित आने की संख्या / कुल संख्या 

$=\frac{72}{200}=\frac{9}{25}$

उत्तर

प्रश्न 11

एक कृम्पनी ने यादृच्छया 2400 परिवार चुनकर एक घर के आय स्तर और  वाहनों की संख्या के बीच संबंध स्थापित करने के लिए उनका सर्वेक्षण किया। एकत्रित किए गए आँकड़े नीचे सारणी में दिए गए हैं :

मांसिक आय (₹ में)	प्रति परिवार वाहनों की संख्या  0   1     2   2 से अधिक
7000 से कम 7000-10000 10000-13000 13000-16000 16000 या अधिक	10 160 25 0                0 305 27 2 1 535 29 1 2 469 59 25 1 579 82 88

मान लीजिए एक परिवार को चुना गया है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि चुने गए परिवारः 

 (i) की आय 10000-13000 रु. प्रति माह है और उसके पास ठीक-ठीक दो वाहन हैं।

(ii) की आय प्रति माह 16000 रु. या इससे अधिक है और उसके पास ठीक 1 वाहन है।

(iii) की आय 7000 रु. प्रति माह से कम और उसके पास कोई वाहन नहीं है।

(iv) की आय $13000-16000$ रु. प्रति माह है और उसके पास 2 से अधिक वाहन है।

(v) जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं।

हल : 

परिवारों की कुल संख्या =2400

(i) 10000 से 13000 रुपये कमाने वाले परिवारों की संख्या जिनके पास 2 वाहन हैं $=29$. $\therefore P($ एक परिवार $10000-13000$ रुपये प्रति माह कमाता है तब जिसके पास 2 वाहन हैं)

$=\frac{29}{2400}$

(ii) 16000 या अधिक रुपये प्रति माह कमाने वाले परिवारों की संख्या जिनके पास 1 वाहन है $=579$. $\therefore P($ एक परिवार जो 16000 या अधिक रुपये प्रतिं माह कमाता है तथा जिसके पास 1 वाहन है।)

$=\frac{579}{2400}$

(iii) 7000 से कम रुपये प्रति माह कमाने वालों की संख्या जिनके पास 1 भी वाहन नहीं है $=10$. $\therefore P($ एक परिवार जिसके पास एक भी वाहन नहीं है तथा 7000 से कम रुपये प्रति माह कमाता है।)

$=\frac{10}{2400}=\frac{1}{240}$

(iv) $13000-16000$ रुपये प्रति माह कमाने वाले परिवारों की संख्या जिनके पास 2 से अधिक वाहन हैं

=25

$\therefore P($ एक परिव्नार जो कि $13000-16000$ रुपये प्रति माह कमाता है जिसके पास 2 से अधिक वाहन

$=\frac{25}{2400}=\frac{1}{96}$

(v) एक से अधिक वाहन न होने वाले परिवारों की संख्या = एक भी न वाहन वाले परिवार + एक वाहन वाले परिवार

$\begin{aligned}&=(10+0+1+2+1)+(160+305+535+469+579) \\&=14+2048=2062\end{aligned}$

$\therefore \mathrm{P}$ (परिवार जिसके पास 1 से अधिक वाहन नहीं हैं)

$=\frac{2062}{2400}=\frac{1031}{1200} .$

प्रश्न 12

अंक	विद्यार्थियों की संख्या
0-20	7
20-30	10
30-40	10
40-50	20
50-60	20
60-70	15
70 और उससे अधिक	8
कुल योग	90

(i) गणित की परीक्षा में एक विद्यार्थी द्वारा $20 \%$ कम अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

(ii) एक विद्यार्थी द्वारा 60 या इससे अधिक अंक प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : गणित में कुल विद्यार्थियों की संख्या $=90$.

(i) स्पष्ट रूप से दी गई सारणी से, 20% अंकों से कम अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या $=7$.

$P($ एक विद्यार्थी के 20% से कम अंक प्राप्त करना $)=\frac{7}{90}$.

उत्तर

(ii) स्पष्ट रूप से, दी गई सारणी से 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करने वाले विद्यार्थियों की संख्या

=(60-70 के बीच विद्यार्थी ) + (70 से अधिक)

=15+8=23

$\therefore P$ (एक विद्यार्थी द्वारा 60 या उससे अधिक अंक प्राप्त करना)

$=\frac{23}{90}$ उत्तर

प्रश्न 13

संख्यिकी के बारे में विद्यार्थियों का मत जानने के लिए 200 'विद्यार्थियों का सर्वेक्षण किया गया। प्राप्त आँकड़ों को नीचे दी गई सारणी में लिख लिया गया है :

मत	विद्यार्थियों की संख्या
पसन्द करते हैं	135
पसन्द नहीं करते हैं	65

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छया चुना गया विद्यार्थी

(i) सांख्यिकी पसन्द करता है।

(ii) संख्यिकी पसन्द नहीं करता है।

हल : 

कुल विद्धार्थियों की संख्या =200

(i) P (विद्यार्थी सांखियकी को पसन्द करता है)

=  सांखि्यकी को पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या  / कुल विद्यार्थियों की संख्या

$=\frac{135}{200}=\frac{27}{40}$

(ii) P( विद्यार्थी सांख्यिकी को पसन्द नहीं करता है)

= सांख्यिकी को न पसन्द करने वाले विद्यार्थियों की संख्या / कुल विद्यार्थी 

$=\frac{65}{200}=\frac{13}{40}$

प्रश्न 14

40 इंजीनियरों की उनके आवास से कार्य-स्थल की (किलोमीटर में) दूरियाँ ये हैं :

5	3	10	20	25	11	13	7	12	31
19	10	12	17	18	11	32	17	16	2
7	9	7	8	3	5	12	15	18	3
12	14	2	9	6	15	15	7	6	12

इसकी आनुभविक प्रायिकता क्या होगी कि इंजीनियर

(i) अपने कार्यस्थल से 7 km से कम दूरी पर रहती है?

(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहती है?

(iii) अपने कार्यस्थल से $\frac{1}{2} \mathrm{~km}$ या इससे कम दूरी पर रहती है?

हल : 

प्रश्नानुसार, इंजीनियरों की कुल संख्या =40

(i) अपने कार्यस्थल से 7 km दूर रहने वाले इंजीनियरों कि संख्या =9

∴ इनकी प्रायिकता (P) = 7 km से कम दूरी पररहने वाले इजीनियर / कुल इंजीनियर 

$=\frac{9}{40}$

(ii) अपने कार्यस्थल से 7 km या इससे अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या =31

∴  इनकी प्रायिकता (P)= 7 km या अधिक दूरी पर रहने वाले इंजीनियर / कुल इंजीनियर 

$=\frac{31}{40}$

(iii) अपने कार्यस्थल से $\frac{1}{2} \mathrm{~km}$ या इससे कम दूरी पर रहने वाले इंजीनियरों की संख्या =0

∴  इनकी प्रायिकता (P) = $\frac{1}{2}$ km या कम दूरी पररहने वाले इंजीनियर / कुल इंजीनियर

$=\frac{0}{40}$=0

प्रश्न 15

आटे की उन ग्यारह थैलियों में, जिन पर 5 kg अंकित है, वास्तव में आटे के निम्नलिखित भार kg में) हैं :

4.97   5.05   5.08   5.03   5.00   5.06   5.08   4.98   5.04   5.07   5.00

यदूच्छया चुनी गई एक थैली में 5 kg से अधिक आटा होने की प्रायिकता क्या होगी?

हल : 

अटे की कुल थैलियों की संख्या =11

5 kg से अधिक आटे वाली थैलियों की संख्या =7

∴ इसकी प्रायिकता (P)=5 kg से अधिक आटे की थैलियाँ / कुल थैलियाँ $=\frac{7}{11}$ उत्तर

प्रश्न 16

एक नगर में वायु में सल्फर डाई-ऑक्साइड का सांद्रण भाग प्रति मिलियन [parts per million (ppm)] में ज्ञात करने के लिये एक अध्ययन किया गया। 30 दिनों के प्राप्त किए गए आँकड़ें ये हैं :

0.03	0.08	0.08	0.09	0.04	0.17
0.16	0.05	0.02	0.06	0.18	0.20
0.11	0.08	0.12	0.13	0.22	0.07
0.08	0.01	0.10	0.06	0.09	0.18
0.11	0.07	0.05	0.07	0.01	0.04

उपरोक्त सारणी की सहायता से इनमें से किसी एक दिन अंतराल $(0.12-0.16)$ में सल्फर डाई-ऑक्साइड  सांद्रण होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार, एक दिन अन्तराल (0.12-0.16) की बारम्बारता =2

प्रश्नानुसार दिनों की कुल संख्या =30

 

∴ सान्द्रण होने की प्रायिकता (P)=अन्तराल (0.12-0.16) की बारम्बारता / कुल-दिन

$=\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$उत्तर

प्रश्न 17

आठवीं कक्षा के 30 विद्यार्थियों के रक्त समूह ये हैं :

A, B, O, O, A B, O, A, O, B, A, O, B, A, O, O

A, A B, O, A, A, O, O, A B, B, A, O, B, A, B, O

उपरोक्त सारणी की सहायता से इस कक्षा से यदूच्छयां चुने गए एक विद्यार्थी का रक्त समूह $\mathrm{AB}$ होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्नानुसार, विद्यार्थियों की कुल संख्या =30

तथा रक्त समूह AB वाले विद्यार्थियों की संख्या =3

अतः कक्षा से यदृच्छया चुने गए विद्यार्थी का AB रक्त समूह होने की प्रायिकता

(P)=रक्त समूह AB के कुल विद्यार्थी / कुल विद्यार्थी

$=\frac{3}{30}=\frac{1}{10}$

उत्तर

प्रश्न 18

एक पासे के फेंकने पर सम अंक आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

प्रश्न 2 का हल देखिए।

प्रश्न 19

एक पासे को एक बार उछाला जाता है। 5 से छोटी या उसके बराबर संख्या प्राप्त होने की प्रायिकता क्या है ?

हल : 

कुल परिणामों की संख्या =6

अनुकूल परिणामों की संख्या =5

∴ अभीष्ट प्रायिकता $=\frac{5}{6}$

उत्तर

प्रश्न 20

अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की एक गड्डी में से एक पत्ता निकाला जाता है। इस पत्ते के 'बादशाह' होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल :

कुल परिणामों की संख्या =52

अनुकूल परिणामों की संख्या= बादशाहों की संख्या

=4

अभीष्ट प्रायिकता $=\frac{4}{5^{2}}$

$=\frac{1}{13}$

प्रश्न 21

एक सिक्के को दो बार उछाला जाता है। कम-से कम एक चित की 'प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल : 

मान लीजिए शीर्ष को H तथा पुच्छ को T से व्यक्त करें, तब एक सिक्के को दो बार उछालने पर कुर परिणामों की संख्या $=H H, H T, T H, T T$ अर्थात् 4 . 

अनुकूल परिणामों की संख्या = कम से कम एक चित आने की घटनाएँ

$=\mathrm{HH}, \mathrm{HT}, \mathrm{TH}$ अर्थात् 3

$\therefore \quad$ अभीष्ट प्रायिकता $=\frac{3}{4}$.

उत्तर

प्रश्न 22

किसी कारण 12 खराब पैन 132 अंच्छे पैनों में मिल गए हैं। यदि एक पैन यदुच्छया चुना जाता है तो इसके अच्छे होने की प्रायिकता क्या है ?

हल :

कुल परिणामों की संख्या = कुल पैनों की संख्या

=12+132=144

अनुकूल परिणामों की संख्या = अच्छे पैनों की संख्या

=132

∴अभीष्ट प्रायिकता $=\frac{132}{144}=\frac{11}{12}$