Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 13 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन [SURFACE AREAS AND VOLUMES] प्रश्नावली 13 (A)

 प्रश्नावली 13 (A)

प्रश्न 1. 

यदि एक घन की एक कोर 12 सेमी हो, तो घन के विकर्ण का मान ज्ञात कीजिए । 

हल : 

माना

घन की कोर a=12 सेमी.

तब

घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$ सेमी

$=12 \sqrt{3}$ सेमी

अतः घन का विकर्ण $=12 \sqrt{3}$ सेमी ।

प्रश्न 2. 

12 सेमी $\times 4$ सेमी $\times 3$ सेमी की आयता कार डिबिया में अधिक-से-अधिक कितनी लम्बाई की सुई रखी जा सकती है ?

हल : 

आयताकार डिबिया की कोरें $l=12$ सेमी, $b=4$ सेमी, $h=3$ सेमी हैं, तब अधिक-से-अधिक लम्बाई की सुई विकर्ण की ओर रखी जा सकती है, तब

 विकर्ण 

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(\overline{(2}+b^{2}+h^{2}\right)} \\&=\sqrt{(12)^{2}+(4)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{144+16+9} \\&=\sqrt{169}\end{aligned}$

=13 सेमी

अत :अभीष्ट सुई की लम्बाई =13 सेमी ।

प्रश्न 3. 

एक आयताकार ठोस की लम्बाई चौड़ाई से दुगुनी और ऊँचाई से तिगुनी है और उसका आयतन 36 घन सेमी है, तो चौड़ाई क्या होगी ?

हल : 

माना आयताकार ठोस की लम्बाई =l, चौड़ाई =b तथा ऊँचाई =h है, तब प्रश्नानुसार,

l=2b  या $b=\frac{i}{2}$

l=3 h या $h=\frac{l}{3}$ आयतन 

$\begin{aligned}&=l \times b \times h=36 \\l \times \frac{l}{2} \times \frac{l}{3} &=36 \\: l^{3} &=6 \times 36=6 \times 6 \times 6 \end{aligned}$

l =6 सेमी ।

चौड़ाई $=b=\frac{l}{2}=\frac{6}{2}=3$ सेमी

चौड़ाई =3 सेमी ।

प्रश्न 4 

धातु के तीन घनों की कोरें 2,12 और 16 डेसीमीटर हैं । इनको गलाकर एक घन में बदल लिया जाता है । नये घन का आयतन, इसकी प्रत्येक कोर तथा विकर्ण ज्ञात कीजिए ।

हल : माना धातु के तीन घनों की कोरें $a_{1}=2$ 'डेसी'मीटर, $a_{2}=12$ डेसीमीटर, $a_{3}=16$ 'डेसीमीटर, हैं । गलाने के बाद बने घन की कोर $a$ है, तब नये घन का आयतन तीनों घनों के आयतन के योग के बराबर होगा । अर्थात्

$\begin{aligned} V &=V_{1}+V_{2}+V_{3} \\ a^{3} &=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3} \\ \text { आयतन } &=a^{3} \\ &=(2)^{3}+(12)^{3}+(16)^{3} \\ &=8+1728+4096 \\ &=5832 \end{aligned}$

a=18 डेसीमीटर

विकर्ण =$a \sqrt{3}=18 \sqrt{3}$ डेसीमीटर 

आयतन =5832 घन डेसीमीटर 

घन की एक कोर =18 डेसीमीटर 

विकर्ण $=18 \sqrt{3}$ डेसीमीटर ।

प्रश्न 5. 

एक आयताकार जलाशाय की लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है । उसमें एक नल से 120 लीटर प्रति मिनट की रफ्तार से पानी भरा जाता है, जलाशय में पानी का तल कितने सेमी प्रति घण्टा से ऊपर उठेगा ?

हल :

माना आयताकार जलाशय की लम्बाई l=6 मीटर, चौड़ाई =5 मीटर तथा ऊँचाई =h मीटर ।

$\because$ ज़लाशय में 120 लीटर प्रति मिनट से पानी भरा जाता है अर्थात् 1 घण्टे में $60 \times 120$ लीटर पानी भरा जायेगा या

$\frac{60 \times 120 \times 1000}{100 \times 100 \times 100}=\frac{12 \times 6}{10}=\frac{36}{5}$ घन मीटर

पानी का आयतन $=\frac{36}{5}$ घन मीटर

आयतन=

$\begin{aligned}&=l \times b \times h=\frac{36}{5} \\6 \times 5 \times h &=\frac{36}{5} \\h &=\frac{36}{5 \times 6 \times 5}=\frac{6}{25} \end{aligned}$ मीटर 

$h=\frac{6}{25} \times 100=24$ सेमी

अतः पानी 24 सेमी प्रति घण्टा ऊपर उठेगा ।

प्रश्न 6. 

एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका सम्पूर्ण पृष्ठ 54 वर्ग मीटर है । 

हल : 

माना घन की कोर =a मीटर है, तब

सम्पूर्ण पृष्ठ 

$\begin{aligned}&=6 a^{2} \\6 a^{2} &=54 \\a^{2} &=9 \end{aligned}$

a=3 मीटर

आयतन $=a^{3}=(3)^{3}=27$ घन मीटर अभीष्ट आयतन =27 घन मीटर ।

प्रश्न 7. 

यदि किसी घन का सम्पूर्ण पृष्ठ 486 वर्ग मीटर है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए । '

हल : 

माना घन की एक कोर a मीटर है, तब

सम्पूर्ण पृष्ठ $=6 a^{2}=486$

$a^{2}=\frac{486}{6}=81$

a=9  मीटर

आयतन $=a^{3}=(9)^{3}=729$ घन मीटर अभीष्ट आयतन =729 घन मीटर ।

प्रश्न 8

निम्न सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :

घनाभ का :

हल :

क्रम संख्या	आयतन	पृष्ट	विकर्ण	लम्बाई	चौड़ाई	ऊँचाई
(i)	24			2 सेमी	4 सेमी
(ii)				10 सेमी	8 सेमी	4 सेमी

(i)

आयतन =24

लम्बाई l=2 सेमी

चौड़ाई b=4 सेमी

आयतन =लम्बाई × चौड़ाई  × ऊँचाई 

24=2 × 4 × ऊँचाई 

ऊँचाई(h) $=\frac{24}{2 \times 4}$ = 3 सेमी 

पृष्ठ 

$\begin{aligned}&=2(l \times b+b \times h+h \times l \\&=2[2 \times 4+4 \times 3+3 \times 2] \\&=2[8+12+6] \end{aligned}$

=52 वर्ग सेमी 

विकर्ण 

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[l^2+b^{2}+h^{2}\right]} \\&=\sqrt{4+16+9}\end{aligned}$ $=\sqrt{29}$  सेमी ।

(ii)

l =10 सेमी 

b=8 सेमी

h=4 सेमी

आयतन=l×b×h

=10×8×4

=320 घन सेमी

पृष्ठ 

$\begin{aligned}&=2(l \times b+b \times h+h \times l \\&=2[10 \times 8+8 \times 4+4 \times 10] \\&=2[80+32+40] \end{aligned}$

=304 वर्ग सेमी 

विकर्ण 

$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[l^2+b^{2}+h^{2}\right]} \\&=\sqrt{100+64+16}\end{aligned}$ $=\sqrt{180}$  

$=6\sqrt{5}$  सेमी ।

प्रश्न 9. 

एक घन के विकर्ण की लम्बाई $10 \sqrt{3}$ सेमी है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए । 

हल : 

माना घन की  एक कोर =a सेमी है, तब

विकर्ण$=a\sqrt{3}=10\sqrt{3}$

या a=10 सेमी

तब आयतन $=a^3=(10)^3$

=1000 घन सेमी

अभीष्ट आयतन = 1000 घन सेमी ।

प्रश्न 10.

यदि किसी घन का समपूर्ण पृष्ठ 1944 वर्ग मीटर है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना घन की  एक कोर =a मीटर

 

सम्पूर्ण पृष्ठ$=6 a^{2}$

$\begin{aligned} {6 a}^{2} &=1944 \\ a^{2} &=\frac{1944}{6}=324 \end{aligned}$

a=18 मीटर

घन का आयतन $=a^{3}=(18)^{3}$

=5832 घन मीटर

अभीष्ट घन का आयतन =5832 घन मीटर ।

प्रश्न 11. 

एक दीवार 10 मीटर लम्बी, 4 डेसीमीटर चौड़ी, 3 मीटर ऊँची बनाने में कितनी इटों की आवश्यकता होगी, जबकि एक इंट की विमाएँ 25 सेमी $\times 12$ सेमी $\times 8$ सेमी हैं ।

हल :

दीवार की लम्बाई=10 मीटर

=10×100 सेमी 

चौड़ाई = 4 डेसीमीटर 

=4×10 =40 सेमी 

एक दीवार का आयतन $=10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100$

एक ईंट का आयतन $=25 \times 12 \times 8$ सेमी

कुल ईंयें की संख्या $=\frac{10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100}{25 \times 12 \times 8}$

=5000 इटें

प्रश्न 12. 

एक घनाकार हॉल की लम्बाई 12 मीटर है । इस होल में कितमे विध्यार्यी रह सकते हैं जबकि प्रत्येक विद्यार्थी को $2.56$ घन मीटर स्थान की आवश्यकता होती है । हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ भी ज्ञात कीजिए ।

हल :

घनाकार हॉल की लम्बाई l=12 मीटर

हॉल का आयतन 

$\begin{aligned}&=(12)^{3} \\&=12 \times 12 \times 12 \end{aligned}$

एक विद्यार्थी को बैठने का स्थान =2.56 घन मीट्ट

कुल बैठने वाले विद्यार्थी
$=\frac{12 \times 12 \times 12 }{2.56}$

$=\frac{12 \times 12 \times 12 \times 100}{256}$
=675 विद्यार्थी

पुन: हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ

$\begin{aligned}=& 6 a^{2} \\ =& 6 \times(12)^{2} \\ =& 6 \times 144 \end{aligned}$

=864 वर्ग मीटर

अत: कुल विद्यार्थी=675

हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ =864 वर्ग मीटर ।

प्रश्न 13. 

यदि एक आयताकार 60 मीटर लम्बे और 5 मीटर चौसे मैदान में 5 सेमी पानी वर्षा हो, तो मैदान पर कुल कितने लीटर पानी गिरा ?

हल : 

आयताकार मैदान की लम्बाई

l=60 मीटर

चौड़ाई (b)=5 मीटर

ऊँचाई h=5 सेमी

लम्बाई l=60×100 सेमी

चौड़ाई b=5×100 सेमीं,

मैदान में पानी का आयतन $=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5$ घन सेमी

$\begin{aligned}&{=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5}{1000} \\&=6 \times 2500^{4}\end{aligned}$

=15000  लीटर

प्रश्न 14. 

एक घन का आयतन 8 डेसीमीटर 3 है । घन के विकर्ण की माप सेमी में ज्ञात कीजिए । 

हल : 

माना घन की एक कोर $a$ सेमी है तथा आयतन $=8$ डेसीकीटर $^{3}$

$=8 \times 190,10 \times 10$ घन सेमी

आयतन $=a^{3}$ is

=$a=2 \times 10=20$ सेमी

घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$

$=20 \mathrm{a} \mathrm{2}-\mathrm{m}+2$

विकर्ण की लम्बाई $=20 \sqrt{3}$ सेमी