प्रश्नावली 13 (A)
प्रश्न 1.
यदि एक घन की एक कोर 12 सेमी हो, तो घन के विकर्ण का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना
घन की कोर a=12 सेमी.
तब
घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$ सेमी
$=12 \sqrt{3}$ सेमी
अतः घन का विकर्ण $=12 \sqrt{3}$ सेमी ।
प्रश्न 2.
12 सेमी $\times 4$ सेमी $\times 3$ सेमी की आयता कार डिबिया में अधिक-से-अधिक कितनी लम्बाई की सुई रखी जा सकती है ?
हल :
आयताकार डिबिया की कोरें $l=12$ सेमी, $b=4$ सेमी, $h=3$ सेमी हैं, तब अधिक-से-अधिक लम्बाई की सुई विकर्ण की ओर रखी जा सकती है, तब
विकर्ण
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(\overline{(2}+b^{2}+h^{2}\right)} \\&=\sqrt{(12)^{2}+(4)^{2}+(3)^{2}} \\&=\sqrt{144+16+9} \\&=\sqrt{169}\end{aligned}$
=13 सेमी
अत :अभीष्ट सुई की लम्बाई =13 सेमी ।
प्रश्न 3.
एक आयताकार ठोस की लम्बाई चौड़ाई से दुगुनी और ऊँचाई से तिगुनी है और उसका आयतन 36 घन सेमी है, तो चौड़ाई क्या होगी ?
हल :
माना आयताकार ठोस की लम्बाई =l, चौड़ाई =b तथा ऊँचाई =h है, तब प्रश्नानुसार,
l=2b या $b=\frac{i}{2}$
l=3 h या $h=\frac{l}{3}$ आयतन
$\begin{aligned}&=l \times b \times h=36 \\l \times \frac{l}{2} \times \frac{l}{3} &=36 \\: l^{3} &=6 \times 36=6 \times 6 \times 6 \end{aligned}$
l =6 सेमी ।
चौड़ाई $=b=\frac{l}{2}=\frac{6}{2}=3$ सेमी
चौड़ाई =3 सेमी ।
प्रश्न 4
धातु के तीन घनों की कोरें 2,12 और 16 डेसीमीटर हैं । इनको गलाकर एक घन में बदल लिया जाता है । नये घन का आयतन, इसकी प्रत्येक कोर तथा विकर्ण ज्ञात कीजिए ।
हल : माना धातु के तीन घनों की कोरें $a_{1}=2$ 'डेसी'मीटर, $a_{2}=12$ डेसीमीटर, $a_{3}=16$ 'डेसीमीटर, हैं । गलाने के बाद बने घन की कोर $a$ है, तब नये घन का आयतन तीनों घनों के आयतन के योग के बराबर होगा । अर्थात्
$\begin{aligned} V &=V_{1}+V_{2}+V_{3} \\ a^{3} &=a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3} \\ \text { आयतन } &=a^{3} \\ &=(2)^{3}+(12)^{3}+(16)^{3} \\ &=8+1728+4096 \\ &=5832 \end{aligned}$
a=18 डेसीमीटर
विकर्ण =$a \sqrt{3}=18 \sqrt{3}$ डेसीमीटर
आयतन =5832 घन डेसीमीटर
घन की एक कोर =18 डेसीमीटर
विकर्ण $=18 \sqrt{3}$ डेसीमीटर ।
प्रश्न 5.
एक आयताकार जलाशाय की लम्बाई 6 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है । उसमें एक नल से 120 लीटर प्रति मिनट की रफ्तार से पानी भरा जाता है, जलाशय में पानी का तल कितने सेमी प्रति घण्टा से ऊपर उठेगा ?
हल :
माना आयताकार जलाशय की लम्बाई l=6 मीटर, चौड़ाई =5 मीटर तथा ऊँचाई =h मीटर ।
$\because$ ज़लाशय में 120 लीटर प्रति मिनट से पानी भरा जाता है अर्थात् 1 घण्टे में $60 \times 120$ लीटर पानी भरा जायेगा या
$\frac{60 \times 120 \times 1000}{100 \times 100 \times 100}=\frac{12 \times 6}{10}=\frac{36}{5}$ घन मीटर
पानी का आयतन $=\frac{36}{5}$ घन मीटर
आयतन=
$\begin{aligned}&=l \times b \times h=\frac{36}{5} \\6 \times 5 \times h &=\frac{36}{5} \\h &=\frac{36}{5 \times 6 \times 5}=\frac{6}{25} \end{aligned}$ मीटर
$h=\frac{6}{25} \times 100=24$ सेमी
अतः पानी 24 सेमी प्रति घण्टा ऊपर उठेगा ।
प्रश्न 6.
एक घन का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका सम्पूर्ण पृष्ठ 54 वर्ग मीटर है ।
हल :
माना घन की कोर =a मीटर है, तब
सम्पूर्ण पृष्ठ
$\begin{aligned}&=6 a^{2} \\6 a^{2} &=54 \\a^{2} &=9 \end{aligned}$
a=3 मीटर
आयतन $=a^{3}=(3)^{3}=27$ घन मीटर अभीष्ट आयतन =27 घन मीटर ।
प्रश्न 7.
यदि किसी घन का सम्पूर्ण पृष्ठ 486 वर्ग मीटर है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए । '
हल :
माना घन की एक कोर a मीटर है, तब
सम्पूर्ण पृष्ठ $=6 a^{2}=486$
$a^{2}=\frac{486}{6}=81$
a=9 मीटर
आयतन $=a^{3}=(9)^{3}=729$ घन मीटर अभीष्ट आयतन =729 घन मीटर ।
प्रश्न 8
निम्न सारणी में रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए :
घनाभ का :
हल :
| क्रम संख्या | आयतन | पृष्ट | विकर्ण | लम्बाई | चौड़ाई | ऊँचाई |
|---|---|---|---|---|---|---|
| (i) | 24 | 2 सेमी | 4 सेमी | |||
| (ii) | 10 सेमी | 8 सेमी | 4 सेमी |
(i)
आयतन =24
लम्बाई l=2 सेमी
चौड़ाई b=4 सेमी
आयतन =लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई
24=2 × 4 × ऊँचाई
ऊँचाई(h) $=\frac{24}{2 \times 4}$ = 3 सेमी
पृष्ठ
$\begin{aligned}&=2(l \times b+b \times h+h \times l \\&=2[2 \times 4+4 \times 3+3 \times 2] \\&=2[8+12+6] \end{aligned}$
=52 वर्ग सेमी
विकर्ण
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[l^2+b^{2}+h^{2}\right]} \\&=\sqrt{4+16+9}\end{aligned}$ $=\sqrt{29}$ सेमी ।
(ii)
l =10 सेमी
b=8 सेमी
h=4 सेमी
आयतन=l×b×h
=10×8×4
=320 घन सेमी
पृष्ठ
$\begin{aligned}&=2(l \times b+b \times h+h \times l \\&=2[10 \times 8+8 \times 4+4 \times 10] \\&=2[80+32+40] \end{aligned}$
=304 वर्ग सेमी
विकर्ण
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left[l^2+b^{2}+h^{2}\right]} \\&=\sqrt{100+64+16}\end{aligned}$ $=\sqrt{180}$
$=6\sqrt{5}$ सेमी ।
प्रश्न 9.
एक घन के विकर्ण की लम्बाई $10 \sqrt{3}$ सेमी है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना घन की एक कोर =a सेमी है, तब
विकर्ण$=a\sqrt{3}=10\sqrt{3}$
या a=10 सेमी
तब आयतन $=a^3=(10)^3$
=1000 घन सेमी
अभीष्ट आयतन = 1000 घन सेमी ।
प्रश्न 10.
यदि किसी घन का समपूर्ण पृष्ठ 1944 वर्ग मीटर है, तो उस घन का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल :
माना घन की एक कोर =a मीटर
सम्पूर्ण पृष्ठ$=6 a^{2}$
$\begin{aligned} {6 a}^{2} &=1944 \\ a^{2} &=\frac{1944}{6}=324 \end{aligned}$
a=18 मीटर
घन का आयतन $=a^{3}=(18)^{3}$
=5832 घन मीटर
अभीष्ट घन का आयतन =5832 घन मीटर ।
प्रश्न 11.
एक दीवार 10 मीटर लम्बी, 4 डेसीमीटर चौड़ी, 3 मीटर ऊँची बनाने में कितनी इटों की आवश्यकता होगी, जबकि एक इंट की विमाएँ 25 सेमी $\times 12$ सेमी $\times 8$ सेमी हैं ।
हल :
दीवार की लम्बाई=10 मीटर
=10×100 सेमी
चौड़ाई = 4 डेसीमीटर
=4×10 =40 सेमी
एक दीवार का आयतन $=10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100$
एक ईंट का आयतन $=25 \times 12 \times 8$ सेमी
कुल ईंयें की संख्या $=\frac{10 \times 100 \times 4 \times 10 \times 3 \times 100}{25 \times 12 \times 8}$
=5000 इटें
प्रश्न 12.
एक घनाकार हॉल की लम्बाई 12 मीटर है । इस होल में कितमे विध्यार्यी रह सकते हैं जबकि प्रत्येक विद्यार्थी को $2.56$ घन मीटर स्थान की आवश्यकता होती है । हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ भी ज्ञात कीजिए ।
हल :
घनाकार हॉल की लम्बाई l=12 मीटर
हॉल का आयतन
$\begin{aligned}&=(12)^{3} \\&=12 \times 12 \times 12 \end{aligned}$
एक विद्यार्थी को बैठने का स्थान =2.56 घन मीट्ट
कुल बैठने वाले विद्यार्थी
$=\frac{12 \times 12 \times 12 }{2.56}$
$ =\frac{12 \times 12 \times 12 \times 100}{256}$
=675 विद्यार्थी
=675 विद्यार्थी
पुन: हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ
$\begin{aligned}=& 6 a^{2} \\ =& 6 \times(12)^{2} \\ =& 6 \times 144 \end{aligned}$
=864 वर्ग मीटर
अत: कुल विद्यार्थी=675
हॉल का सम्पूर्ण पृष्ठ =864 वर्ग मीटर ।
प्रश्न 13.
यदि एक आयताकार 60 मीटर लम्बे और 5 मीटर चौसे मैदान में 5 सेमी पानी वर्षा हो, तो मैदान पर कुल कितने लीटर पानी गिरा ?
हल :
आयताकार मैदान की लम्बाई
l=60 मीटर
चौड़ाई (b)=5 मीटर
ऊँचाई h=5 सेमी
लम्बाई l=60×100 सेमी
चौड़ाई b=5×100 सेमीं,
मैदान में पानी का आयतन $=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5$ घन सेमी
$\begin{aligned}&{=60 \times 100 \times 5 \times 100 \times 5}{1000} \\&=6 \times 2500^{4}\end{aligned}$
=15000 लीटर
प्रश्न 14.
एक घन का आयतन 8 डेसीमीटर 3 है । घन के विकर्ण की माप सेमी में ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना घन की एक कोर $a$ सेमी है तथा आयतन $=8$ डेसीकीटर $^{3}$
$=8 \times 190,10 \times 10$ घन सेमी
आयतन $=a^{3}$ is
=$a=2 \times 10=20$ सेमी
घन का विकर्ण $=a \sqrt{3}$
$=20 \mathrm{a} \mathrm{2}-\mathrm{m}+2$
विकर्ण की लम्बाई $=20 \sqrt{3}$ सेमी
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