प्रश्नावली 11.2
प्रश्न 1.
एक त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC=7 सेमी, $\angle B=75^{\circ}$ और AB+AC=13 सेमी है।
हल :
रचना के पद :
(i) एक रेखाखण्ड $B C=7$ सेमी खींचा।
(ii) किरण $\overrightarrow{B X}$ इस प्रकार खींची कि $\angle C B X=75^{\circ}$.
(iii) $B X$ से $B K=13$ सेमी काटी।
(iv) $C$ तथा $K$ को मिलाया।
(v) $C K$ का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो $B K$ को $A$ पर काटता है।
(vi) $A C$ को मिलाया।
$\triangle A B C$ अभीष्ट त्रिभुज है।
प्रश्न 2.
एक त्रिभुज $A B C$ की रचना कीजिये जिसमें $B C=8$ सेमी, $\angle B=45^{\circ}$ तथा $A B-A C=3.5$ सेमी हो।
हल :
रचना के पद :
(i) $B C=8$ सेमी खींची।
(ii) किरण $B Y$ इस प्रकार खींचा कि $\angle C B Y=45^{\circ}$.
(iii) $B Y$ से $B D=3.5$ सेमी. काटा तथा $D C$ को मिलाया। (iv) $D C$ का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो $B Y$ को $A$ पर काटता है।
(v) $A C$ को मिलाया।
इस प्रकार $\triangle A B C$ अभीष्ट त्रिभुज प्राप्त होता है।
प्रश्न 3.
एक त्रिभुज $P Q R$ की रचना कीजिए, जिसमें $Q R=6$ सेमी, $\angle Q=60^{\circ}$ तथा $P R-P Q=2$ सेमी हो।
हल :
रचना के पद :
1. एक किरण $Q X$ खींचिए जिसमें से एक रेखाखंड $Q R=6$ सेमी काटिए।
2. $60^{\circ}$ का कोण बनाते हुए $Q R$ के साथ किरण $Q Y$ खीचिए और $Y Q$ को $Y Q Y^{\prime}$ तक आगे बढ़ाइए।
3. $Q Y^{\prime}$ से एक रेखाखंड $Q S=2$ सेमी काटिएं।
4. $R S$ को मिलाइए।
5. $R S$ पर लम्ब खींचिए जो $S Y$ को $P$ बिन्दु पर काटे।
6. $P R$ को मिलाइए।
इस प्रकार $P Q R$ एक अभीष्ट त्रिभुज है। सेमी हो।
प्रश्न 4.
एक त्रिभुज $X Y Z$ की रचना कीजिए जिसमें $\angle \dot{Y}=30^{\circ}, \angle Z=90^{\circ}$ तथा $X Y+Y Z+Z X=11$ सेमी हो।
हल : रचना के पद :
1. रेखाखंड $P Q=11$ सेमी खीचिए।
2. $P$ पर एक किरण $P L$ खीचिए जिससे कि $\angle L P Q=\frac{1}{2} \times 30^{\circ}=15^{\circ}$.
3. $Q$ पर किरण $Q M$ खींचिए जिससे कि $\angle M Q P=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}, P L$ को $X$ पर काटे।
4. $X P$ और $X Q$ द्विभाजकों पर लम्ब खींचिए, जो $P Q$ को क्रमशः $Y$ और $Z$ पर काटें।
5. $Y$ तथा $Z$ को $X$ से मिलाइए।
इस प्रकार $\triangle X Y Z$ वांक्षित त्रिभुज है।
प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका आधार 12 सेमी और कर्ण तथा अन्य भुजा का योग 18 सेमी है।
हल :
प्रश्नानुसार दिया है कि आधार QR=12 सेमी., कर्ण व अन्य भुजा का योग अर्थात् $P Q+P R=18$ सेमी. तथा $\angle P Q R=90^{\circ}$ है। अब इनसे हमें समकोण $\triangle P Q R$ की रचना करनी है।
रचना के चरण : (1) सर्वप्रथम एक किरण $Q X$ खीची तथा इसमें से $Q R$ रेखाखण्ड' 12 सेमी. का काटा।
(2) $\angle Y Q X=90^{\circ}$ बनाया तथा $Q Y$ रेखा में से रेखाखण्ड $Q D=18$ सेमी. काटा।
(3) बिन्दु $D$ को $R$ से मिला दिया।
(4) अब रेखाखण्ड $D R$ का लम्ब समद्विभाजक खींचा जो $Q D$ को $P$ बिन्दु पर काटता है।
(5) अब $P R$ को मिलाया। इस प्रकार अभीष्ट $\triangle P Q R$ प्राप्त हुआ।
$\because$ बिन्दु $P, D R$ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
अतः PR = PD और तब PQ=QD-PD या PQ=QD-PR या PQ+PR=QD=18 सेमी
प्रश्न 6
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी प्रत्येक भुजा 5.5 सेमी हो।
हल :
दिया है :
$\triangle A B C$ में $A B=B C=C A=5.5$ सेमी।
रचना करनी है : दी गई मापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना के पद :
(i) सर्वप्रथम $B C=5.5$ सेमी खींचा।
(ii) बिन्दु $B$ तथा $C$ से $5.5$ सेमी त्रिज्या के चाप लगाए जो एक-दूसरे को बिन्दु $A$ पर काटते हैं।
(iii) बिन्दु $A$ को $B$ तथा $C$ से मिलाया।
(iv) इस प्रकार अभीष्ट $\triangle A B C$ बना।
प्रश्न 7
समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसका कर्ण 5 सेमी तथा अन्य एक भुजा 3 सेमी हो। हल : रचना के पद
(i) सर्वप्रथम एक मेखाखण्ड $A B=3$ सेमी खींचिए।
(ii) $A$ को केन्द्र मानकर $90^{\circ}$ का एक कोण बनाइए।
(iii) $B$ को केन्द्र मानकर परकार में 5 सेमी दूरी भरकर एक चाप लगाया जो $A X$ को $C$ पर काटता है।
(iv) $B C$ को मिलाया।
अत: यही समकोण $\triangle A B C$ की रचना है।
प्रश्न 8
त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसमें BC=7.7 सेमी; $\angle B=40^{\circ}$ और $A B-A C=2: 5$ सेमी।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में $B C=7.7$ सेमी, $\angle B=40^{\circ}$ तथा $A B-A C$ $=2.5$ सेमी।
रचना करनी है : दी नापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना : सर्वप्रथम आधार $B C=7.7$ सेमी खींचा। बिन्दु $B$ से $B C$ के साथ $40^{\circ}$ कोण बनाती हुई $B E$ रेखा खीची। बिन्दु $B$ से $2.5$ सेमी का चाप लगाया जो $B E$ को $D$ पर काटता है। $D C$ को मिलाया। $D C$ का लम्ब अर्द्धक ज्ञात किया जो $B E$ रेखा को $A$ पर काटता है। बिन्दु $A$ को $C$ से मिलाया।
यही रचना करनी थी।
प्रश्न 9
एक $\triangle A B C$ की रचना करो जिसमें $B C=7$ सेमी, $A B-A C=1$ सेमी और $\angle B=55^{\circ}$ दिये हुए हैं।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में. $B C=7$ सेमी, $\angle B=55^{\circ}$, तथा $A B-A C=1$ सेमी।
रचना करनी है : दी नापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना : सर्वप्रथम आधार $B C=7$ सेमी खीचा। बिन्दु $B$ से $B C$ के साथ $55^{\circ}$ कोण बनाती हुई $B E$ अपरिमित रेखा खीची। बिन्दु $B$ से 1 सेमी त्रिज्या का चाप लगाया जो $B E$ रेखा को $D$ पर काटता है। $D C$ को मिलाया। $D C$ रेखा का लम्ब अर्द्धक ज्ञात किया जो $B E$ रेखा को $A$ पर काटता है।. बिन्दु $A$ को $C$ से मिलाया। इस प्रकार अभीष्ट $\triangle A B C$. बना।
प्रश्न 10.
एक $\triangle A B C$ खींचिए जिसमें $B C=6.5$ सेमी, $A C+A B=10$ सेमी और $\angle B=60^{\circ}$ है।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में $B C=6.5$ सेमी, $\angle B=60^{\circ}$ तथा $\dot{A C}+A B$ $=10$ सेमी।
रचना करनी है : दी नापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना : सर्वप्रथम आधार $B C=6.5$ सेमी खीचा। बिन्दु $B$ से $B C$ के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती हुई $B E$ रेखा खींची.। बिन्दु $B$ से 10 सेमी त्रिज्या का चाप लगाया जो $B E$ को $D$ पर काटता है। $D$ को $C$ से मिलाया। $D C$ रेखा का लम्ब अर्द्धक ज्ञात किया। यह $B E$ रेखा को $A$ पर काटता है। बिन्दु $A$ को $C$ से मिलाया।
अतः अभीष्ट $\triangle A B C$ बना।
यही रचना करनी थी।
प्रश्न 11.
$\triangle A B C$ की रचना कीजिए जिसमें परिमाप 12 सेमी; $\angle \dot{B}=60^{\circ}$ और $\angle C=70^{\circ}$ दिये हुए हैं।
हल :
ज्ञात है : एक $\triangle A B C$, जिसमें तीनों भुजाओं का योग $=12$ सेमी, आधार $\angle B=60^{\circ}$ तथा $\angle C=70^{\circ}$ दिया है। रचना करनी है : उपर्युक्त नाप्पों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना : तीनों भुजाओं के योग के बराबर एक रेखाखण्ड $D E, 12$ सेमी का खीचा। $D$ पर $\angle B$ का आधा $30^{\circ}$ तथा $E$ पर $\angle C$ का आधा $35^{\circ}$ बनाती हुई अपरिमित रेखाएँ खींची जो एक-दूसरे को $A$ पर काटती हैं। $A D$ तथा $A E$ के लम्ब अर्द्धक किये जो क्रमशः $D E$ को $B$ तथा $C$ पर काटते हैं। $A B$ तथा $A C$ को मिलाया। यही अभीष्ट $\triangle A B C$ है।
यही रचना करनी थी।
प्रश्न 12.
एक 'समद्विबाहु त्रिभुज खीचिए जिसमें शीर्ष बिन्दु से आधार पर लम्ब 4 सेमी तथा आधार 6 सेमी है।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में $B C=6$ सेमी, $A B=B C$ तथा लम्ब $A D=4$ सेमी।
रचना करनी है : दी नापों से $\triangle A B C$ की रचना' करनी है।
रचना : सर्वप्रथम $B C=6$ सेमी खींचा। $B C$ का लम्ब अर्द्धक $P Q$ ज्ञात किया। यह $B C$ रेखा को $D$ पर काटता है। बिन्दु $D$ से 4 सेमी त्रिज्या का चाप लगाया जो $P Q$ को $A$ पर काटता है। बिन्दु $A$ को $B$ तथा $C$ से मिलाया।
यही करना करनी थी।
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