प्रश्नवली 11.1
प्रश्न 1
एक दी हुई किरण के प्रारस्धिक बिन्दु पर $90^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
रचना के पद :
1. किरण OA खींचिए।
2. इसके आरंभिक बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप लगाया जो $O A$ को $C$ पर काटता है।
3. $C$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के अनुसार) का चाप खीचा जो पूर्व चाप को $D$ पर काटता है।
4. पुनः $D$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या का चाप खींचा जो उसी चाप को $E$ पर काटता है।
5. अब $D$ और $E$ को केन्द्र मानकर सुविधाजनक त्रिज्या $\left(\frac{1}{2} D E\right.$ से अधिक) भरें और दो चाप काटें जो एक-दूसरे को $P$ बिन्दु पर कारें।
6. $O P$ को मिलाएँ। इस प्रकार $\angle A O P=90^{\circ}$.
सत्यापन : रचना, $O C=C D=O D$ द्वारा
$\therefore \triangle O C D$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः $\angle C O D=60^{\circ}$.
पुन: $O D=D E=E O$.
$\therefore \triangle O D E$ भी एक समबाहु त्रिभुज है। अतः $\angle E O D=60^{\circ}$.
चूँकि $O P$ द्विभाजित करता है $\angle D O P$ को, अतः $\angle P O D=30^{\circ}$.
$\angle A O P=\angle C O D+\angle D O P=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$.
प्रश्न 2.
एक दी हुई किरण के प्रारस्भिक बिन्दु पर $45^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।
हल :
रचना के पद :
1. किरण $O A$ खीचिए।
2. $O$ का केन्द्र मानकर किसी भी सुविधाजनक भाग का एक चाप खीचा, जो $O A$ को $B$ बिन्दु पर काटता है।
3. $B$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या लेकर पहले चाप को $C$
और फिर $C$ केन्द्र से समान माप भरकर चाप को $D$ पर काटिए।
4. $C$ केन्द्र से $C D$ की आधी से अधिक त्रिज्या भरकर एक चाप खींचिए।
5. $D$ केन्द्र से समान त्रिज्या का दूसरा चाप खीचिए जो पिछ्ले चाप को $E$ पर काटता है।
6. $O E$ को मिलाइए। इस प्रकार $\angle A O E=90^{\circ}$.
7. $\angle A O E$ का द्विभाजक $O F$ खींचिए। इस प्रकार $\angle A O F=45^{\circ}$.
सत्यापन' :
रचना में $\angle A O E=90^{\circ}$ और $O F$ द्विभाजक है $\angle A O E$ का है।
$\therefore \quad \angle A O F=\frac{1}{2} \angle A O E=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}$
प्रश्न 3
निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :
(i) $30^{\circ}$
(ii) $60^{\circ}$
(iii) $22 \frac{1^{\circ}}{2}$
(iv) $\mathbf{4 5}$ ?
(v) $15^{\circ}$
हल : (i) रचना के पद :
1. किरण $O A$ खींचिए।
2. इसके आरंभिक बिन्दु $O$ को केन्द्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप खीचिए जो $C$ पर काटता है।
3. C को केन्द्र और समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के अनुसार से एक चाष स जो पूर्व वाले चाप को $D$ पर काटे।
4. $C$ और $D$ केन्द्र से किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या $\left(\frac{1}{2} C D\right.$ से अधिक) वाले दो चाप खींचिए जो परस्पर $B$ पर काटें।
5. $O B$ को मिलाइए। इस प्रकार $\angle A O B=30^{\circ}$.
(ii) रचना : (1) सर्वप्रथम एक रेखा $P Q$ किसी भी लम्बाई की खीची।
(2) बिन्दु $P$ को केन्द्र मानकर $P Q$ को आधी या आधी से कम दूरी लेकर एक चाप लगाया, जो $P Q$ को $R$ पर काटता है।
(3) $R$ को केन्द्र मानकर पुन: उसी चाप से एक और चाप लगाया, जो $T$ पर कारता है।
(4) अब $P T$ को मिलाते हुए $V$ तक आगे बढ़ाकर एक रेखा खीची।
(iii) रचना के पद :
1. एक कोण $A O B=90^{\circ}$ की रचना कीजिए।
2. $\angle A O B$ का द्विभाजक $O C$ खीचिए, इस प्रकार $\angle A O C=45^{\circ}$.
3. $\angle A O C$ का समद्विभाजक खींचिए, जैसे कि $\angle A O D=\angle C O D=22 \frac{1^{\circ}}{2}$.
इस प्रकार, $\angle A O D=22 \frac{1^{\circ}}{2}$
(iv) $45^{\circ}$ की रचना हेतु प्रश्न 1 में दिए गए कोण को समद्वियाजित कीजिए।
(v) रचना के पद :
1. $\angle A O B=60^{\circ}$ की रचना कीजिए।
2. समद्विभाजक $\angle A O B$, अतः $\angle A O C=\angle B O C=30^{\circ}$.
3. समद्विभाजक $\angle A O C$, अतः $\angle A O D=\angle C O D=15^{\circ}$.
इस प्रकार, $\angle A O D=15^{\circ}$.
प्रश्न 4.
निम्नलिखित' कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :
(i) $\mathbf{7 5}^{\circ}$
(ii) $105^{\circ}$
(iii) $135^{\circ}$.
हल :
(i) रचना करनी है : $75^{\circ}$ के कोण की।
विश्लेषण : $75^{\circ}=90^{\circ}-15^{\circ}$
=90°-(30° के कोण का $\frac{1}{2}$)
(2) $\angle B O Q\left(=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\right)$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा, जिससे $\angle Q O S=15^{\circ}$.
(3) स्पष्ट है कि
$\begin{aligned}\angle P O S &=\angle P O Q-\angle Q O S \\&=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}\end{aligned}$
अत: $\angle P O S=75^{\circ}$ अभीष्ट कोण है।
(ii) रचना करनी है : $105^{\circ}$ के कोण की
विश्लेषण : $\quad 60^{\circ}+30^{\circ}+\left(30^{\circ} \times \frac{1}{2}\right)=105^{\circ}$
अथवा $90^{\circ}+\left(30^{\circ} \times \frac{1}{2}\right)=105^{\circ}$
रचना : (1) सर्वप्रथम $\angle P O Q=90^{\circ}$ बनाया।
(2) किरण $\overrightarrow{O C}$ खीची। (स्पष्ट है कि $\angle Q O C=30^{\circ}$ )
(3) $\angle Q O C$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा जिससे $\angle Q O S=15^{\circ}$.
इस प्रकार, $\angle P O S=90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$ का अभीष्ट कोण है।
(iii) रचना करनी है : $135^{\circ}$ के कोण की।
विश्लेषण : $135^{\circ}=90^{\circ}+45^{\circ}$.
रचना : (1) रेखा $\overrightarrow{Q P}$ खींची और इस प्रकार एक बिन्दु $O$ लिया।
(2) $O$ से $O R \perp Q P$ खींची जिससे $\angle P O R=90^{\circ}$
(3) $\angle Q O R$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा।
तब $\angle P O S=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$ का कोण है।
प्रश्न 5
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए। हल : रचना के चरण :
(1) सबसे पहले किसी भी माप का रेखाखण्ड BC खींचा।
(2) अब परकार में उसी माप का चाप भरकर B बिन्दु से काटा।
(3) पुनः उसी चाप को भरकर बिन्दु C से चाप काटा।
(4) दोनों चापों के कटने के स्थान पर बिन्दु A लिख दिया।
(5) बिन्दु A को क्रमशः बिन्दु B तथा C से मिला दिया।
(6) इस प्रकार एक ऐसा समबाहु त्रिभुज प्राप्त हो गया जिसकी तीनों भुजाएँ समान हैं।
रचना की पुष्टि : भुजा $B C$ का समद्विभाग किया जो बिन्दु $A$ से गुजरता है। उसका नाम $A D$ लिखा। हम यह भी जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ का होता है।
अब समकोण $\triangle A D B$ तथा समकोण $\triangle A D C$ में
$A D=A D$(उभयनिष्ठ भुजाएँ)
$\angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$(रचना से)
$B D=C D$(रचना से)
$\triangle A D B \cong \triangle A D C \quad$ (सवीगसमता' के नियम $S A S$ के अनुसार)
$\therefore \quad \angle B=\angle C=60^{\circ}$
क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग हैं। $\therefore \triangle A B C$ में तीसरा कोण$\begin{aligned}\angle A &=180^{\circ}-(\angle B+\angle C) \\&=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+60^{\circ}\right) \\&=180^{\circ}-120^{\circ}
\\&=60^{\circ}\end{aligned}$
अतः बनाया गया त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।
प्रश्न 6.
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए जबकि इसकी प्रत्येक भुजा 5 सेमी हो।
हल :
माना $\triangle A B C$ की भुजाएँ $A B=B C=C A=5$ सेमी।
रचना करनी है : दी नाप से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना के पद : $1 . B C=5$ सेमी खीचा।
2. बिन्दु $B$ तथा $C$ से 5 सेमी त्रिज्या के चाप लगाये जो एक दूसरे को $A$ पर काटते हैं।
3. A को B तथा C से मिलाया।
5. इस प्रकार समबाहु त्रिभुज $A B C$ बना।
प्रश्न 7
एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जबकि इसकी प्रत्येक भुजा 6 सेमी हो तथा रचना भी कीजिए।
हल :
दिया है : $\triangle A B C$ में, $A B=B C=C A=6$ सेमी।
रचना करनी है : दी गई मापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।
रचना के पद : (i) सर्वप्रथम $B C=6$ सेमी खीचिए।
(ii) बिन्दु $B$ तथा $C$ से 6 सेमी त्रिज्या के चाप लगाए जो एक-दूसरे को एक बिन्दु $A$ पर काटते है।
(iii) बिन्दु $A$ को $B$ तथा $C$ से मिलाया।
(iv) इस प्रकार अभीष्ट $\triangle A B C$ बना।
प्रश्न 8
एक दी हुई किरण के प्रारम्थिक बिन्दु पर $135^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए तथा इस कोण को समद्विभाजित करते हुए रचना कीजिए।
हल :
दिया है : $135^{\circ}$ का कोण।
रचना के पद : (i) सर्वप्रथम परकार की सहायता से $\angle A O B=135^{\circ}$
बनाया।
(ii) $O$ को केन्द्र मानकर एक चाप लगाया जो $O A$ तथा $O B$ रेखाओं को $P$ तथा $Q$ पर क्रमशः काटता है।
(iii) $P$ तथा $Q$ से उचित त्रिज्या लेकर चाप लगाए जो एक-दूसरे को एक बिन्दु $R$ पर काटते हैं।
(iv) $O R$ को मिलाया। $O R$ रेखा, $\angle A O B$ की अभीष्ट अर्द्धक रेखा है।
(v) इस प्रकार $\angle A O B$ दो बराबर भागों $\angle A O R$ तथा $\angle B O R$ में समद्विभाजित है।
प्रश्न 9
एक 8 सेमी का रेखाखण्ड खींचिए तथा इसका लम्ब समद्विभाजक खींचकर रचना कीजिए।
हल :
रचना के पद : (i) सर्वप्रथम एक 8 सेमी का रेखाखण्ड $A B$ खीचिए।
(ii) $A$ तथा $B$ को केन्द्र मानकर $A B$ के आधे से अधिक त्रिण्या लेकर $A B$ के दोनों ओर चाप लगाइए।
(iii) ये चाप एक-दूसरे को $P$ और $Q$ पर काटते हैं।
(iv) $P Q$ को मिलाइए।
(v) $P Q$ रेखाख्खेण्ड' $A B$ को $M$ पर काटता है।
अत: रेखा $P M Q, A B$ का अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक है।
प्रश्न 10
एक रेखाखण्ड AB=6 सेमी खीचिए तथा $\angle A=60^{\circ}$ की रचना करके AB का लम्ब समद्विभाजक खीचिए।
हल :
रचना के पद : (i) सर्वप्रथम रेखाखण्ड $A B=6$ सेमी खीचा।
(ii) $A$ को केन्द्र मानकर $60^{\circ}$ के कोण की रचना की।
(iii) $A B$ का लम्बार्धक' खींचिए, जो $A B$ को $M$ पर काटता है।
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