Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 11 रचनाए (Constructions) प्रश्नवली 11A

  प्रश्नवली 11.1

प्रश्न 1

एक दी हुई किरण के प्रारस्धिक बिन्दु पर $90^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।

हल : 

रचना के पद :

1. किरण OA खींचिए।

2. इसके आरंभिक बिन्दु O को केन्द्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप लगाया जो $O A$ को $C$ पर काटता है।

3. $C$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के अनुसार) का चाप खीचा जो पूर्व चाप को $D$ पर काटता है।

4. पुनः $D$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या का चाप खींचा जो उसी चाप को $E$ पर काटता है।

5. अब $D$ और $E$ को केन्द्र मानकर सुविधाजनक त्रिज्या $\left(\frac{1}{2} D E\right.$ से अधिक) भरें और दो चाप काटें जो एक-दूसरे को $P$ बिन्दु पर कारें।

6. $O P$ को मिलाएँ। इस प्रकार $\angle A O P=90^{\circ}$.

सत्यापन : रचना, $O C=C D=O D$ द्वारा

$\therefore \triangle O C D$ एक समबाहु त्रिभुज है। अतः $\angle C O D=60^{\circ}$.

पुन: $O D=D E=E O$.

$\therefore \triangle O D E$ भी एक समबाहु त्रिभुज है। अतः $\angle E O D=60^{\circ}$.

चूँकि $O P$ द्विभाजित करता है $\angle D O P$ को, अतः $\angle P O D=30^{\circ}$.

$\angle A O P=\angle C O D+\angle D O P=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$.

प्रश्न 2. 

एक दी हुई किरण के प्रारस्भिक बिन्दु पर $45^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए और कारण सहित रचना की पुष्टि कीजिए।

हल : 

रचना के पद :

1. किरण $O A$ खीचिए।

2. $O$ का केन्द्र मानकर किसी भी सुविधाजनक भाग का एक चाप खीचा, जो $O A$ को $B$ बिन्दु पर काटता है।

3. $B$ को केन्द्र मानकर समान त्रिज्या लेकर पहले चाप को $C$

और फिर $C$ केन्द्र से समान माप भरकर चाप को $D$ पर काटिए।

4. $C$ केन्द्र से $C D$ की आधी से अधिक त्रिज्या भरकर एक चाप खींचिए।

5. $D$ केन्द्र से समान त्रिज्या का दूसरा चाप खीचिए जो पिछ्ले चाप को $E$ पर काटता है।

6. $O E$ को मिलाइए। इस प्रकार $\angle A O E=90^{\circ}$.

7. $\angle A O E$ का द्विभाजक $O F$ खींचिए। इस प्रकार $\angle A O F=45^{\circ}$.

सत्यापन' :

रचना में $\angle A O E=90^{\circ}$ और $O F$ द्विभाजक है $\angle A O E$ का है।

$\therefore \quad \angle A O F=\frac{1}{2} \angle A O E=\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=45^{\circ}$

प्रश्न 3

निम्न मापों के कोणों की रचना कीजिए :

(i) $30^{\circ}$

(ii) $60^{\circ}$

(iii) $22 \frac{1^{\circ}}{2}$

(iv) $\mathbf{4 5}$ ?

(v) $15^{\circ}$

हल : (i) रचना के पद :

1. किरण $O A$ खींचिए।

2. इसके आरंभिक बिन्दु $O$ को केन्द्र मानकर किसी भी त्रिज्या का एक चाप खीचिए जो $C$ पर काटता है।

3. C को केन्द्र और समान त्रिज्या (बिन्दु 2 के अनुसार से एक चाष स जो पूर्व वाले चाप को $D$ पर काटे।

4. $C$ और $D$ केन्द्र से किसी भी सुविधाजनक त्रिज्या $\left(\frac{1}{2} C D\right.$ से अधिक) वाले दो चाप खींचिए जो परस्पर $B$ पर काटें।

5. $O B$ को मिलाइए। इस प्रकार $\angle A O B=30^{\circ}$.

(ii) रचना : (1) सर्वप्रथम एक रेखा $P Q$ किसी भी लम्बाई की खीची।

(2) बिन्दु $P$ को केन्द्र मानकर $P Q$ को आधी या आधी से कम दूरी लेकर एक चाप लगाया, जो $P Q$ को $R$ पर काटता है।

(3) $R$ को केन्द्र मानकर पुन: उसी चाप से एक और चाप लगाया, जो $T$ पर कारता है।

(4) अब $P T$ को मिलाते हुए $V$ तक आगे बढ़ाकर एक रेखा खीची।

(iii) रचना के पद :

1. एक कोण $A O B=90^{\circ}$ की रचना कीजिए।

2. $\angle A O B$ का द्विभाजक $O C$ खीचिए, इस प्रकार $\angle A O C=45^{\circ}$.

3. $\angle A O C$ का समद्विभाजक खींचिए, जैसे कि $\angle A O D=\angle C O D=22 \frac{1^{\circ}}{2}$.

इस प्रकार, $\angle A O D=22 \frac{1^{\circ}}{2}$

(iv) $45^{\circ}$ की रचना हेतु प्रश्न 1 में दिए गए कोण को समद्वियाजित कीजिए।

(v) रचना के पद :

1. $\angle A O B=60^{\circ}$ की रचना कीजिए।

2. समद्विभाजक $\angle A O B$, अतः $\angle A O C=\angle B O C=30^{\circ}$.

3. समद्विभाजक $\angle A O C$, अतः $\angle A O D=\angle C O D=15^{\circ}$.

इस प्रकार, $\angle A O D=15^{\circ}$.

प्रश्न 4. 

निम्नलिखित' कोणों की रचना कीजिए और चाँदे द्वारा मापकर पुष्टि कीजिए :

(i) $\mathbf{7 5}^{\circ}$

(ii) $105^{\circ}$

(iii) $135^{\circ}$.

हल : 

(i) रचना करनी है : $75^{\circ}$ के कोण की।

विश्लेषण : $75^{\circ}=90^{\circ}-15^{\circ}$

=90°-(30° के कोण का $\frac{1}{2}$)

(2) $\angle B O Q\left(=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}\right)$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा, जिससे $\angle Q O S=15^{\circ}$.

(3) स्पष्ट है कि

$\begin{aligned}\angle P O S &=\angle P O Q-\angle Q O S \\&=90^{\circ}-15^{\circ}=75^{\circ}\end{aligned}$

अत: $\angle P O S=75^{\circ}$ अभीष्ट कोण है।

(ii) रचना करनी है : $105^{\circ}$ के कोण की

विश्लेषण : $\quad 60^{\circ}+30^{\circ}+\left(30^{\circ} \times \frac{1}{2}\right)=105^{\circ}$

अथवा $90^{\circ}+\left(30^{\circ} \times \frac{1}{2}\right)=105^{\circ}$

रचना : (1) सर्वप्रथम $\angle P O Q=90^{\circ}$ बनाया।

(2) किरण $\overrightarrow{O C}$ खीची। (स्पष्ट है कि $\angle Q O C=30^{\circ}$ )

(3) $\angle Q O C$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा जिससे $\angle Q O S=15^{\circ}$.

इस प्रकार, $\angle P O S=90^{\circ}+15^{\circ}=105^{\circ}$ का अभीष्ट कोण है।

(iii) रचना करनी है : $135^{\circ}$ के कोण की।

विश्लेषण : $135^{\circ}=90^{\circ}+45^{\circ}$.

रचना : (1) रेखा $\overrightarrow{Q P}$ खींची और इस प्रकार एक बिन्दु $O$ लिया।

(2) $O$ से $O R \perp Q P$ खींची जिससे $\angle P O R=90^{\circ}$

(3) $\angle Q O R$ का समद्विभाजक $O S$ खींचा।

तब $\angle P O S=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$ का कोण है।

प्रश्न 5

एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए। हल : रचना के चरण : 

(1) सबसे पहले किसी भी माप का रेखाखण्ड BC खींचा।

(2) अब परकार में उसी माप का चाप भरकर B बिन्दु से काटा।

(3) पुनः उसी चाप को भरकर बिन्दु C से चाप काटा।

(4) दोनों चापों के कटने के स्थान पर बिन्दु A लिख दिया।

(5) बिन्दु A को क्रमशः बिन्दु B तथा C से मिला दिया।

(6) इस प्रकार एक ऐसा समबाहु त्रिभुज प्राप्त हो गया जिसकी तीनों भुजाएँ समान हैं।

रचना की पुष्टि : भुजा $B C$ का समद्विभाग किया जो बिन्दु $A$ से गुजरता है। उसका नाम $A D$ लिखा। हम यह भी जानते हैं कि समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $60^{\circ}$ का होता है।

अब समकोण $\triangle A D B$ तथा समकोण $\triangle A D C$ में

$A D=A D$(उभयनिष्ठ भुजाएँ)

$\angle A D B=\angle A D C=90^{\circ}$(रचना से)

$B D=C D$(रचना से)

$\triangle A D B \cong \triangle A D C \quad$ (सवीगसमता' के नियम $S A S$ के अनुसार)

$\therefore \quad \angle B=\angle C=60^{\circ}$

क्योंकि ये सर्वांगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग हैं। $\therefore \triangle A B C$ में तीसरा कोण
$\begin{aligned}\angle A &=180^{\circ}-(\angle B+\angle C) \\&=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+60^{\circ}\right) \\&=180^{\circ}-120^{\circ} \\&=60^{\circ}\end{aligned}$
अतः बनाया गया त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

प्रश्न 6. 

एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए जबकि इसकी प्रत्येक भुजा 5 सेमी हो। 

हल : 

माना $\triangle A B C$ की भुजाएँ $A B=B C=C A=5$ सेमी।

रचना करनी है : दी नाप से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।

रचना के पद : $1 . B C=5$ सेमी खीचा।

2. बिन्दु $B$ तथा $C$ से 5 सेमी त्रिज्या के चाप लगाये जो एक दूसरे को $A$ पर काटते हैं।

3. A को B तथा C से मिलाया।

5. इस प्रकार समबाहु त्रिभुज $A B C$ बना।

प्रश्न 7

एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जबकि इसकी प्रत्येक भुजा 6 सेमी हो तथा रचना भी कीजिए।

हल : 

दिया है : $\triangle A B C$ में, $A B=B C=C A=6$ सेमी।

रचना करनी है : दी गई मापों से $\triangle A B C$ की रचना करनी है।

रचना के पद : (i) सर्वप्रथम $B C=6$ सेमी खीचिए।

(ii) बिन्दु $B$ तथा $C$ से 6 सेमी त्रिज्या के चाप लगाए जो एक-दूसरे को एक बिन्दु $A$ पर काटते है।

(iii) बिन्दु $A$ को $B$ तथा $C$ से मिलाया।

(iv) इस प्रकार अभीष्ट $\triangle A B C$ बना।

प्रश्न 8

एक दी हुई किरण के प्रारम्थिक बिन्दु पर $135^{\circ}$ के कोण की रचना कीजिए तथा इस कोण को समद्विभाजित करते हुए रचना कीजिए।

हल : 

दिया है : $135^{\circ}$ का कोण।

रचना के पद : (i) सर्वप्रथम परकार की सहायता से $\angle A O B=135^{\circ}$

बनाया।

(ii) $O$ को केन्द्र मानकर एक चाप लगाया जो $O A$ तथा $O B$ रेखाओं को $P$ तथा $Q$ पर क्रमशः काटता है।

(iii) $P$ तथा $Q$ से उचित त्रिज्या लेकर चाप लगाए जो एक-दूसरे को एक बिन्दु $R$ पर काटते हैं।

(iv) $O R$ को मिलाया। $O R$ रेखा, $\angle A O B$ की अभीष्ट अर्द्धक रेखा है।

(v) इस प्रकार $\angle A O B$ दो बराबर भागों $\angle A O R$ तथा $\angle B O R$ में समद्विभाजित है।

प्रश्न 9

एक 8 सेमी का रेखाखण्ड खींचिए तथा इसका लम्ब समद्विभाजक खींचकर रचना कीजिए।

 हल : 

रचना के पद : (i) सर्वप्रथम एक 8 सेमी का रेखाखण्ड $A B$ खीचिए।

(ii) $A$ तथा $B$ को केन्द्र मानकर $A B$ के आधे से अधिक त्रिण्या लेकर $A B$ के दोनों ओर चाप लगाइए।

(iii) ये चाप एक-दूसरे को $P$ और $Q$ पर काटते हैं।

(iv) $P Q$ को मिलाइए।

(v) $P Q$ रेखाख्खेण्ड' $A B$ को $M$ पर काटता है।

अत: रेखा $P M Q, A B$ का अभीष्ट लम्ब समद्विभाजक है।

प्रश्न 10

एक रेखाखण्ड AB=6 सेमी खीचिए तथा $\angle A=60^{\circ}$ की रचना करके AB का लम्ब समद्विभाजक खीचिए।

हल :

रचना के पद : (i) सर्वप्रथम रेखाखण्ड $A B=6$ सेमी खीचा।

(ii) $A$ को केन्द्र मानकर $60^{\circ}$ के कोण की रचना की।

(iii) $A B$ का लम्बार्धक' खींचिए, जो $A B$ को $M$ पर काटता है।