Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 10 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 10 (D)

 प्रश्नावली 10 (D)

प्रश्न 1. 

दी हुई आकृति में $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसकी भुजा $A B$ वृत्त का व्यास है । यदि $\angle A D C=$ $120^{\circ}$ हो, तो $\angle C A B$ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल :

चतुर्भुज ABCD चक्रीय चतुर्भुज है ।

$\begin{aligned}\angle A B C+\angle A D C &=180^{\circ} \\\angle A B C+120^{\circ} &=180^{\circ} \\\angle A B C &=180^{\circ}-120^{\circ} \\\angle A B C &=60^{\circ}\end{aligned}$

अब $\triangle A B C$ अर्द्धवृत्त में स्थित है अतः

$\triangle A B C$ में,

$\begin{aligned} \angle A C B &=90^{\circ} \\ \angle C A B &=180^{\circ}-(\angle A B C+\angle A C B) \\ &=180^{\circ}-\left(60^{\circ}+90^{\circ}\right) \\ &=180^{\circ}-150^{\circ} \\ &=30^{\circ} \\ \angle C A B &=30^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 2. 

चित्र में $O$ वृत्त का केन्द्र है $1 \angle B E C$ की माप ज्ञात कीजिए ।

हल :

$\begin{aligned}\angle B A C &=\frac{1}{2} \angle B O C \\&=\frac{1}{2} \times 150^{\circ} \\\angle B A C &=75^{\circ}\end{aligned}$

$\because{A B E C}$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।

$\begin{aligned} \angle B A C+\angle B E C &=180^{\circ} \\ 75^{\circ}+\angle B E C &=180^{\circ} \\ \angle B E C &=180^{\circ}-75^{\circ} \\ \angle B E C &=105^{\circ} \end{aligned}$

प्रश्न 3. 

मान लीजिए कि कोण $A B C$ का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त से बराबर जीवाएँ $A D$ और $C E$ काटती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle A B C$ जीवाओं $A C$ तथा $D E$ द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।

हल : 

∵ किसी त्रिभुज का बाह्य कोण सम्मुख अन्तः कोणों के योग के बराबर होता है।

$\therefore \triangle B D C$ के अनुसार,

$\angle A D C=\angle D B C+\angle D C B$...........(i)

∵ चाप द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण वृत्त के शेष भाग के किसी बिन्दु पर अंतरित कोण का दुगुना होता है।

$\angle D C E=\frac{1}{2} \angle D O E$

$\angle D C B=\frac{1}{2} \angle E O D \quad[\because \angle D C E=\angle D C B]$

$\angle A D C=\frac{1}{2} \angle A O C$

समीकरण' (i) से,

$\begin{gathered}\frac{1}{2} \angle A O C=\angle A B C+\frac{1}{2} \angle D O E \quad[\because \angle D B C=\angle A B C] \\\angle A B C=\frac{1}{2}[\angle A O C-\angle D O E] \end{gathered}$ 

इति सिद्धम्। 

प्रश्न 4.

 सिद्ध कीजिए कि किसी समचतुर्भुज की किसी भुजा को व्यास मानकर खींचा गया वृत्त उसके विकर्णों के प्रतिच्छेद बिन्दु से होकर जाता है।

हल : 

दिया है : $A B C D$ एक समचतुर्भुज है। $A C$ तथा $B D$ इसके दो विकर्ण हैं जो कि एक-दूसरे को समकोण पर काटते है।

सिद्ध करना है : $A B$ को व्यास लेते हुए बनाया गया वृत्त $O$ से होकर गुजरेगा। रचना : $O$ से $P Q \| A D$ तथा $E F \| A B$ खींची।

उपपत्ति :

$\begin{aligned}A B &=D C \\\frac{1}{2} A B &=\frac{1}{2} D C\end{aligned}$

$A Q=D P \quad[\because Q$ तथा $P, A B$ तथा $C D$ के मध्य बिन्दु है]

$\begin{aligned}&A E=O Q \\&A Q=O Q=Q B\end{aligned}$

$\Rightarrow Q$ को केन्द्र लेते हुए बनाया गया वृत्त $A, O$ तथा $B$ से होकर गुजरता है और इसकी त्रिज्या $A Q$ है। इसलिए प्राप्त किया गया वृत्त ही अभीष्ट वृत्त है।

प्रश्न 5. 

$A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है। $A, B$ और $C$ से जाने वाले वृत्त $C D$ (यदि अंवश्यक हो तो बढ़ाकर) को $E$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $A E=A D$ है।

हल : 

आकृति (a) में,

$A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\angle 1=\angle 3$.........(i)

$A B C E$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।

$\angle 1+\angle 6=180^{\circ}$ .........(ii) 

$\angle 5+\angle 6=180^{\circ}$ (रैखिक युग्म)...(iii)

(ii) और (iii) से

$\angle 1=\angle 5$........(iv)

अब, (i) और (iv) से

$\angle 3=\angle 5$

अब, $\triangle A E D$ में,

∠3=∠5

AE=AD (∵त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ)

आकृति (b) में,

$A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\Rightarrow$ $\begin{aligned}\angle 1 &=\angle 3 \\\angle 2 &=\angle 4\end{aligned}$

(समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

साथ ही AB||CD और BC इनको मिलती है।

$\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$............(1)

और AD||BC और EC इनको मिलती है।

∠5=∠2(संगत कोण)...(2)

ABCE एक चक्रीय चतुर्भुज है

∠1+∠6=180°...........(3)

(1) और (3) से हमें प्राप्त होता है :

$\begin{aligned} \angle 1+\angle 2 &=\angle 1+\angle 6 \\ \angle 2 &=\angle 6 \end{aligned}$

परन्तु (2) से,

$\begin{aligned}&\angle 2=\angle 5 \\&\angle 5=\angle 6\end{aligned}$

अब ΔAED में,

$\begin{aligned}&\angle 5=\angle 6 \\&A E=A D\end{aligned}$

अतः दोनों स्थितियों में,

AE=AD

प्रश्न 6

AC और BD एक वृत्त की जीवाएँ हैं जो परस्पर समद्विभाजित करती हैं। सिद्ध कीजिए (i) $A C$ और $B D$ व्यास हैं, (ii) $A B C D$ एक आयत है। .

हल : 

मान लीजिए वृत्त की जीवाएँ $A C$ और $B D$ परस्पर $O$ पर समद्दिभाजित करती हैं। 

तो $O A=O C$ और $O B=O D$

हमें सिद्ध करना है कि (i) $A C^{\prime}$ और $B D$ व्यास हैं, दूसरों शब्दों में, वृत्त का केन्द्र $O$ है।

$\triangle A O D$ और $\triangle B O C$ में,

AO=OC (दिया है)

$\angle A O D=\angle B O C$( शीर्षाभिमुख कोण)

$O D=O B$(दिया है)

$\triangle A O D \cong \triangle B O C \quad$ (सर्वांगसमता के नियम SAS के अनुसार)

$\begin{aligned} A D &=C B \\ \triangle A O B & \cong \triangle C O D \\ A B &=C D \\ \overparen{A B} & \cong \overparen{C D} \\ \overparen{A B}+\stackrel{\overparen{B C}}{\overparen{A B C}} &=\overparen{C D}+\overparen{B C} \\ A C &=B C D \\ &=B D \end{aligned}$

∴AC और BD व्यास हैं। क्योंकि केवल व्यास ही, वृत्त की जीवाओं के रूप में परस्पर समद्विभाजित करते हैं।

(ii) के लिए (i) में जैसा कि सिद्ध हुआ :

AC व्यास है। 

∴∠B=∠D=90°....(1)  [अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है]

इसी प्रकार BD व्यास है : 

$\therefore$ $\angle A=\angle C=90^{\circ}$........(2)

अब व्यास$A C=B D$

$\overparen{A C}=\overparen{B D}$

$\begin{aligned} \overparen{A C}-\overparen{D C} & \cong \overparen{B D}-\overparen{D C} \\ \overparen{A D} & \cong \widetilde{B C} \\ A D & \cong B C \end{aligned}$.......(3)

                            [बराबर जीवाओं की संगत-चाप बराबर होती हैं]

AB=DC..........(4)

(1), (2), (3) और (4) से हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ का है तथा सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

अत:, $A B C D$ एक आयत है।

इति सिद्धम्।

प्रश्न 7. 

एक त्रिभुज $A B C$ के कोणों $A, B$ और $C$ कें समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $D E F$ के कोण $90^{\circ}-\frac{1}{2} A, 90^{\circ}-\frac{1}{2} B$ तथा $90^{\circ}-\frac{1}{2} C$ हैं। 

हल : 

प्रश्न के अनुसार $A D, \angle A$ का समद्विभाजंक है।

$\angle 1=\angle 2=\frac{A}{2}$

$B E, \angle B$ का समद्विभाजक है।

$\because$$\angle 3=\angle 4=\frac{B}{2}$

$C F, \angle C$ का समद्विभाजक है।

$\angle 5=\angle 6=\frac{C}{2}$

हम जानते हैं कि एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं। 

$\therefore$ $\angle 9=\angle 3$$(\overparen{A E}$ द्वारा अंतरित कोण) $\angle 8=\angle 5$

$\angle 8=\angle 5$ $(\overparen{F A}$ द्वारा अंतरित कोण)

$\angle 9+\angle 8=\angle 3+\angle 5$

$\angle D=\frac{B}{2}+\frac{C}{2}$

$\angle E=\frac{A}{2}+\frac{C}{2}$

$\angle F=\frac{A}{2}+\frac{B}{2}$

$\triangle D E F$ में,

$\begin{aligned} \angle D+\angle E+\angle F &=180^{\circ} \\ \angle D &=180^{\circ}-\angle E-\angle F \\ \angle D &=180^{\circ}-(\angle E+\angle F) \\ \angle D &=180^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{C}{2}+\frac{A}{2}+\frac{B}{2}\right) \\ \angle D &=180^{\circ}-\left(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)-\frac{A}{2} \\ \angle D &=180^{\circ}-90^{\circ}-\frac{A}{2} \\ \angle D &=90^{\circ}-\frac{A}{2} \end{aligned}$

इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि

$\angle E=90^{\circ}-\frac{B}{2}$

$\angle F=90^{\circ}-\frac{C}{2}$

इति सिद्धम्।

प्रश्न 8. 

चित्र में $O$ वृत्त का केन्द्र है, जिसके दीर्घ चाप $P Q$ की अंश माप $200^{\circ}$ है। लघु चाप की अंश माप रेडियन में ज्ञात कीजिए।

हल :

लघु चाप की अंश माप $=360-200=160^{\circ}$

$=160^{\circ} \times \frac{\pi}{180}$ रेडियन 

$=\frac{8}{9} \pi$ रेडियन 

प्रश्न 9. 

4 सेमी की त्रिज्या के एक वृत्त के अन्तर्गत $\triangle A B C$ एक समबहुभुज है । दीर्घ चाप $A B C$ की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दीर्घ वृतखण्ड $A B$ की लम्बाई

$=\frac{2}{3} \times 2 \pi r, \quad(\because \overparen{A B}=\overparen{B C}=\overparen{C A}$

$=\frac{2}{3} \times 2 \times \pi \times 4=\frac{16}{3} \pi$ सेमी

दीर्घ चाप ABC की लम्बाई $=\frac{16}{3} \pi$ सेमी ।

प्रश्न 10.

चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। यदि $\angle B A D$ की माप $=30^{\circ}$, तो x, y और z की मापें ज्ञात कीजिए।

हल :

$\angle B E D=\angle B A D$(एक ही वृत्तखण्ड के कोणबराबर होते हैं)

$z^{\circ}=30^{\circ}$

$\angle B O D=2 \angle B A D$

(किसी चाप के द्वारा केन्द्र पर बना कोण शेष परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है)

y°=2×30

y°=60°

∠BCD$=\frac{1}{2}$ वृहत्तकोण BOD

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-y^{\circ}\right) \\x^{\circ} &=\frac{1}{2}\left(360^{\circ}-60^{\circ}\right)=\frac{300^{\circ}}{2}=150^{\circ} \\x^{\circ} &=150^{\circ}, y=60^{\circ}, z=30^{\circ} .\end{aligned}$

उत्तर

प्रश्न 11.

चित्र में, $O$ वृत्त का केन्द्र है । यदि $\angle A O B=150^{\circ}$ और $\angle B O C=100^{\circ}$ है, तो $\angle A B C$ की माप ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दिया है :

$\angle B O C=100^{\circ}$

$\angle B O A=150^{\circ}$

ज्ञात करना है : $\angle A B C$ का मान ।

गणना :

$\begin{aligned}\angle A O C &=360^{\circ}-\left(100^{\circ}+150^{\circ}\right) \\&=360^{\circ}-250^{\circ}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\angle A O C=110^{\circ} \\&\angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C\end{aligned}$

[किंसी चाप द्वारा केन्द्र पर बना.कोण शेष परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है]

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2} \times 110^{\circ} \\&=55^{\circ} \\\angle A B C &=55^{\circ}\end{aligned}$

प्रश्न 12. 

संलग्न चित्र में O वृत्त DAB का केन्द्र है । जीवा $A B$ वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, तो $\angle A D B$ का मान ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दिया है :जीवा AB=OA=OB (वृत्त की त्रिज्या)

तब $\triangle O A B$ समबाहु त्रिभुज है । अतः

$\angle A O B=\angle O A B=\angle O B A=60^{\circ}$

$\begin{aligned} \angle A D B &=\frac{1}{2} \cdot \angle A O B=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ} \\ \angle A D B &=30^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 13.

किसी चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण ज्ञात की. .ए उसमें एक कोण दूसरे कोण का

(i) $\frac{2}{7}$ गुना हो

(ii) $\frac{11}{4}$ गुना हो

हल :
(i) माना $\angle A=x^{\circ}$

$\begin{aligned} \angle C &=\frac{2}{7} x^{\circ} \\ \angle A+\angle C &=180^{\circ} \\ x+\frac{2}{7} x &=180 \\ \frac{9}{7} x &=180 \\ x &=\frac{7 \times 180}{9}=7 \times 20=140^{\circ} \\ \angle A &=140^{\circ} \\ \angle C &=\frac{2}{7} \times 140^{\circ}=2 \times 20^{\circ}=40^{\circ} . \end{aligned}$

(ii) माना $\angle B=y^{\circ}$

तब  $\angle D=\frac{11}{4} y^{\circ}$

"." $\angle B+\angle D=180^{\circ}$

$\begin{aligned} y^{\circ}+\frac{11}{4} y^{\circ} &=180^{\circ} \\ \frac{15}{4} y^{\circ} &=180^{\circ} \\ y^{\circ} &=\frac{4 \times 180}{15}=4 \times 12=48^{\circ} \\ \angle B &=48^{\circ} \\ \angle D &=\frac{11}{4} \times 48^{\circ}=11 \times 12=132^{\circ} \\ \angle A &=140^{\circ}, \angle C=40^{\circ} \\ \angle B &=48^{\circ}, \angle D=132^{\circ} . \end{aligned}$

प्रश्न 14. 

दो सर्वागसम वृत्त परस्पर बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद 'करते हैं। $A$ से होकर कोई रेखाखण्ड $P A Q$ इस प्रकार खींचा गया है कि $P$ और $Q$ दोनों वृत्तों पर स्थित हैं। सिद्ध कीजिए कि $B P=B Q$ है।

हल :

दिया है : दो सवांगसम' वृत्त बिन्दुओं $A$ और $B$ 'पर प्रतिच्छेद करते हैं।

$A$ से खीची गई रेखा वृत्तों को $P$ और $Q$ पर मिलती है।

सिद्ध करना है :

$B P=B Q$

रचना : $A$ और $B$ को मिलाइए

उपपत्ति :. $A B$ उभयनिष्ठ जीवा है और वृत्त बराबर हैं।

$\therefore$ उभयनिष्ठ जीवा 'के संगत चाप बराबर होते हैं। अर्थात्

$\widehat{A C B}=\widehat{A D B}$

क्योंकि दो सर्वीगसम वृत्तों के सवींगसम चाप वृत्त के शेष भाग पर बराबर कोण बनाते हैं। इसलिए,

$\angle 1=\angle 2$

$\triangle P B Q$ में

$\angle 1=\angle 2$

$\therefore$ त्रिभुज के बराबर कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं। इसलिए-

$B P=B Q \text {. }$

प्रश्न 15.

 किसी त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ में , यदि $\angle A$ का समद्विभाजक तथा $\mathrm{BC}$ का लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि वे $\triangle \mathrm{ABC}$ के परिवृत्त पर प्रतिच्छेद करेंगे।

हल : 

दिया है : $A B C$ एक त्रिभुज है और इसके शीर्षों से वृत्त गुजरता है। मान लीजिए कि कोण $A$ का समद्विभाजक तथा सम्मुख भुजा $B C$ का लम्ब समद्विभाजक (मान लीजिए) बिन्दु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

सिद्ध करना है : त्रिभुज $A B C$ का परिवृत्त कभी बिन्दु $P$ से होकर जाएगा।

उपपत्ति : हम जानते हैं कि किसी भुजा के लंब समद्विभाजक पर कोई भी बिन्दु इस संगत भुजा के अतःबिन्दुओं से समदूरस्थ होता है।

$\because$ B P=P C ............(i)

साथ ही प्राप्त है :

$\angle 1=\angle 2$.........(ii)

                             [क्योंकि, $A P, \angle A$, का समद्विभाजक है। (दिया है) ?

(i) और (ii) से हमें ज्ञात होता है कि बराबर रेखाखण्ड वृत्त के एक ही खण्ड (अर्थात् $\triangle A B C$ के परिवृत्त के बिन्दु $A$ पर) में बराबर कोण बनाते हैं।

इसलिए $B P$ और $P C, \triangle A B C$ के परिवृत्त की जीवाओं के रूप में हैं और उनकी संगत चापें; $\overparen{B P}$ और $\overparen{P C}$ परिवृत्त के ही भाग हैं।

अत: बिन्दु $P$ परिषृत्त पर ही है।.

दूसरे शब्दों में, बिन्दु $A, B, P$ और $C$ एक वृत्तीय हैं।

इति सिद्धम्।

प्रश्न 16. 

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाएँ, तो सिद्ध कीजिए कि इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा पर स्थित है।

हल : 

दिया है : दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दुओं $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $A P$ और $A Q$ उनके व्यास हैं।

सिद्ध करना है : बिन्दु $B$, तीसरी भुजा $P Q$ पर स्थित है।

 रचना : $A$ और $B$ को मिलाइए।

उपपत्ति : $A P$ व्यास है।

$\angle 1=90^{\circ}$  (अर्धवृत्त का कोण)

साथ ही, $A Q$ व्यास है।

$\therefore$ $\angle 2=90^{\circ}$   (अर्धवृत्त का कोण)

$\begin{aligned} \angle 1+\angle 2 &=90^{\circ}+90^{\circ} \\ \angle P B Q &=180^{\circ} \end{aligned}$

$\Rightarrow P B Q$ एक सरल रेखा है।

अत:, $B$ अर्थात् इन वृत्तों का प्रतिच्छेद बिन्दु तीसरी भुजा अर्थात् $P Q$ पर स्थित है।

प्रश्न 17. 

उभयनिष्ठ कर्ण $A C$ वाले दो समकोण' त्रिभुज $A B C$ और $A D C$ हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle C A D=\angle C B D$ है।

हल : 

दिया है कि दो समकोण त्रिभुज $A B C$ और $A D C$ जिनमें $B$ और $D$ क्रमशः समकोण हैं।

यदि हम $A C$ (उभयनिष्ठ कर्ण) व्यास लेकर एक वृत्त खीचे तो यह निश्चित रूप से बिन्दुओं $B$ और $D$ में से होकर जाएगा।

[ क्योंकि $B$ और $D$ वे बिन्दु हैं जो चाप $A C$ के एकान्तर खण्डों में हैं।].

अब, $\overparen{C D}$ एक ही वृत्तखेण्ड में $\angle C B D$ और $\angle C A D$ अंतरित करती है। $\therefore$

$\angle C A D=\angle C B D .$

इति सिद्धम।

प्रश्न 18.

सिद्ध कीजिए कि एक चक्रीय समान्तर चतुर्भुज आयत होता है।

हल : 

मान लीजिए $A B C D$ एके चक्रीय समान्तर चतुर्भुज है। यह सिद्ध करने के लिए यह एक आयत है इतना ही सिद्ध करना पर्याप्त है कि समान्तर चतुर्भज का एक कोण समकोण है। अब, $A B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।

$\angle B=\angle D$

(क्योंकि समान्तर चतुर्भुज ..........(i)

              (क्योंकि समान्तर चतुर्भुजके सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)

साथ ही, $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है।

$\angle B+\angle D=180^{\circ}$............(ii)

(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है :

$\begin{aligned}\angle B+\angle B &=180^{\circ} \\2 \angle B &=180^{\circ} \\\angle B &=90^{\circ}\end{aligned}$

अत:, $A B C D$ एक आयत है।

प्रश्न 19. 

सिद्ध कीजिए कि दो प्रतिच्छेद करते हुए वृत्तों की केन्द्रों की रेखा दोनों प्रतिच्छेद बिन्दुओं पर समान कोण अंतरित करती है।

हल : 

दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र $A$ तथा $B$ हैं एक दूसरे को $C$ तथा $D$ पर काटते हैं। सिद्ध करना है :

$\angle A C B=\angle A D B$

रचना : $C$ तथा $D$ को मिलाया जो $A B$ को $O$ पर काटती है।

उपपत्ति : $\triangle A B C$ और $\triangle A B D$ में,

 $A C=A \dot{D}$ (त्रिज्याएँ)

 $B C=B D$ (त्रिज्याएँ)

 $A B=A B$ (उभयनिष्ठ)

 $\triangle A B C \cong \triangle A B D$ (SSS नियम से)

 $\angle A C B=\angle A D B$ (CPCT से)

प्रश्न 20. 

एक वृत्त की 5 सेमी तथा 11 सेमी की लम्बी दो जीवाएँ $A B$ और $C D$ समांतर हैं और केन्द्र की विपरीत दिशा में स्थित हैं। यदि $A B$ और $C D$ के बीच की दूरी 6 सेमी हो, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। हल : एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है, में जीवा $A B=5$ सेमी तथा जीवा $C D=11$ सेमी.।

$O L \perp A B$ तथा $O M \perp C D$ खीं चा।

चूँक केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्भिभाजित करता है। अतः

$\begin{aligned}&A L=2.5 \text { सेमी } \\&C M=5.5 \text { सेमी }\end{aligned}$

माना वृत्त की त्रिज्यायें $r$ हैं।

$\triangle A L O$ में, $r^{2}=x^{2}+(2.5)^{2}$.........(i)

$\triangle C M O$ में, $r^{2}=(6-x)^{2}+(5.5)^{2}$............(ii)

समी (i) तथा (ii) से,

$\begin{aligned} x^{2}+(2.5)^{2} &=(6-x)^{2}+(5.5)^{2} \\ x^{2}+6.25 &=36+x^{2}-12 x+30.25 \\ 6.25 &=36-12 x+30.25 \\ \cdot 12 x &=66.25-6.25 \\ 12 x &=60 \\ x &=5 \\ r^{2} &=(5)^{2}+(2.5)^{2} \\ r^{2} &=25+\frac{25}{4} \end{aligned}$

$\begin{aligned} r^{2} &=\frac{125}{4} \end{aligned}$

$r=\frac{5 \sqrt{5}}{2}$सेमी। 

प्रश्न 21. 

किसी वृत्त की दो समांतर जीवाओं की लम्बाइयाँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। यदि छोटी जीवा केन्द्र से 4 सेमी की दूरी पर हो, तो दूसरी जीवा केन्द्र से कितनी दूर है?

हल : 

माना केन्द्र $O$ वाले वृत्त की $A B$ तथा $C D$ दो समांतर जीवाएँ इस प्रकार है कि $\mathrm{AB}=6$ सेमी तथा $C D=8$ सेमी।

माना वृत्त की त्रिज्या $O A=O C=r$ सेमी है।

$O P \perp A B$ तथा $O Q \perp C D$ डाला। चूँकि $A B \| C D$ तथा $O P \perp A B, O Q \perp C D$. इसलिए बिन्दु $O, Q$ तथा $P$ संरेखीय हैं। स्पष्ट रूप से $O P=4$ सेमी तथा $P, Q$ क्रमशः $A B$ तथा $C D$ के मध्य बिन्दु हैं।

$A P=PB=\frac{1}{2} A B$

=3 सेमी 

$CQ=QD=\frac{1}{2} C D$

=4 सेमी 

समकोण $\triangle O A P$ में ${ }_{r}$

$\begin{aligned} O A^{2} &=O P^{2}+A P^{2} \\ r^{2} &=4^{2}+3^{2} \\ &=16+9=25\end{aligned}$

r=5 सेमी 

समकोण $\triangle O C Q$ में,

$\begin{aligned} O C^{2} &=O Q^{2}+C Q^{2} \\ r^{2} &=O Q^{2}+4^{2} \\ 25 &=O Q^{2}+16 \\ O Q^{2} &=9 \\ O Q &=3 \end{aligned}$

अत: केन्द्र से जीवा की दूरी 3 सेमी है।