प्रश्नावली 10 (C)
प्रश्न 1.
दी हुई आकृति में $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक-दूसरे को $P$ पर प्रतिच्छेद करतेहैं।यदि $\angle D B C=60^{\circ}$ और $\angle B A C=40^{\circ}$ हो, तो $\angle B C D$ ज्ञात कीजिए ।
हल :
∴$\angle C A D=\angle C B D, \quad(\because$ एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं ।)
$\angle C B D=60^{\circ}$(दिया है)
$\begin{aligned} \angle C A D &=60^{\circ}........(i) \\ \angle B A C &=40^{\circ}, \end{aligned}$...(ii)
समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\angle B A C+\angle C A D &=40^{\circ}+60^{\circ} \\&=100^{\circ} \\\angle B A D &=100^{\circ}\end{aligned}$ $(\because \angle B A C+\angle C A D=\angle B A D)$
$\because$ चतुर्भुज $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
$\therefore \quad \angle B A D+\angle B C D=180^{\circ}$
$(\because$ एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं ।)
$100^{\circ}+\angle B C D=180^{\circ}$
$\angle B C D=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ} .$
प्रश्न 2.
दी हुई आकृति में $\triangle A B C$ समबाहु त्रिभुज है । $\angle B D C$ तथां $\angle B E C$ ज्ञात कीजिए ।
हल :
(i) $\because A B C$ एक समबाहु त्रिभुज है ।
$\therefore$ $\angle B A C=60^{\circ}, \quad\left(\because\right.$ समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $=60^{\circ}$ )
$\angle B D C=\angle B A C$, (एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण बराबर होते हैं) $\angle B D C=60^{\circ} .$
उत्तर
(ii) $\because$ चतुर्भुज $A B E C$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
$\therefore \quad \angle B A C+\angle B E C=\cdot 180^{\circ}$
$(\because$ एक चक्रीय चतुर्भुज के सम्पुख कोण संपूरक होते हैं)
$\begin{aligned}60^{\circ}+\angle B E C &=180^{\circ} \\\angle B E C &=180^{\circ}-60^{\circ} \\&=120^{\circ} .\end{aligned}$
प्रश्न 3.
चित्र में, $\angle P Q B$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
AB वृत का व्यास है ।
$\therefore$
$\angle A P B=90^{\circ}$
$\begin{aligned} \angle P A B &=180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ} \\ &=50^{\circ} \end{aligned}$
लेकिन $\angle P A B$ तथा $\angle P Q B$ एक ही जीवा पर बने कोण हैं ।
$\therefore$$\angle P Q B=\angle P A B=50^{\circ}$
अतः$\angle P Q B=50^{\circ} .$
प्रश्न 4.
यदि किसी वृत्त का केन्द्र $O$ हो, तो निम्न चित्रों से $x$ का मान ज्ञात कीजिए तथा समान लम्बाइयाँ समान चिन्हों से प्रदर्शित हैं ।
हल :
(a) $\angle B A C=\angle B D C, \quad[\because$ एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं ] $x^{\circ}=50^{\circ} .$
(b)
$\begin{aligned} \angle Q P R &=\angle P Q O+\angle P R O \\ \angle Q P R &=20^{\circ}+60^{\circ}=80^{\circ} \\ \angle Q O R &=2 \angle Q P R \\ x^{\circ} &=2 \times 80^{\circ}=160^{\circ} . \end{aligned}$
(c)
$\begin{aligned} \text { चाप } P Q &=\text { चाप } Q R \\ 80^{\circ} &=\angle Q O R \\ x^{\circ} &=\frac{1}{2} \angle Q O R \\ &=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ} \\ x^{\circ} &=40^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 5.
किसी चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण इस प्रकार से हैं कि एक कोण दूसरे कोण का तिगुना हो, तो बड़े कोण का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
माना चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण $x^{\circ}$ है । तब प्रश्नानुसार, दूसरा कोण $3 x^{\circ}$ होगा ।
$\because$ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं ।
$\begin{aligned} x^{\circ}+3 x^{\circ} &=180^{\circ} \\ 4 x^{\circ} &=180^{\circ} \\ x^{\circ} &=\frac{180^{\circ}}{4}=45^{\circ} \\ \text { बड़ा कोण } &=3 x^{\circ} \\ &=3 \times 45^{\circ}=135^{\circ} \end{aligned}$
अत: बड़े कोण का मान $135^{\circ}$ है ।
प्रश्न 6.
किसी चक्रीय चतुर्भुज के कोणों के समद्विभाजकों से बना चतुर्भुज भी चक्रीय होता है, सिद्ध कीजिए ।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है । इसके कोणों के समद्विभाजक $A P, B P$ तथा $C Q, D Q$ एक चतुर्भुज $P Q R S$ बनाते हैं ।
सिद्ध करना है : $P S Q R$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
उपपत्ति : $\because A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है तब
$\begin{aligned}\angle A+\angle C &=180^{\circ} \\\frac{1}{2} \angle A+\frac{1}{2} \angle C &=90^{\circ}\end{aligned}$'
$\angle 1+\angle 3=90^{\circ}$..........(1)
इसी प्रकार$\angle 2+\angle 4=90^{\circ}$..........(2)
अब $\triangle A P B$ में
$\begin{aligned} \angle 1+\angle 2+\angle P &=180^{\circ} \\ \angle P &=180^{\circ}-\angle 1-\angle 2 \end{aligned}$............(3)
इसी प्रकार,
$\begin{aligned}\angle 3+\angle 4+\angle Q &=180^{\circ} \\\angle Q &=180^{\circ}-\angle 3-\angle 4\end{aligned}$............(4)
अब समीकरण $(1),(2),(3)$ तथा (4) से,
$\begin{aligned}\angle P+\angle Q &=360^{\circ}-(\angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4) \\&=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=180^{\circ}\end{aligned}$
तब चतुर्भुज $P S Q R$ से सम्पुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है । अतः यह चक्रीय चतुर्भुज है । इति सिद्धम्।
प्रश्न 7.
चित्र में, $A O B$ वृत्त का एक व्यास है और त्रिज्या $O D$, व्यास $A B$ पर लम्ब है । यदि $D B$ पर कोई बिन्दु $C$ हो, तो $\angle A C D$ ज्ञात कीजिए ।
हल :
समकोण $\triangle A O D$ में,
∵OA=OD , (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
∴∠OAD=∠ODA (समद्विबाहु त्रिभुज प्रमेय)
परन्तु $\angle O A D+\angle O D A+\angle A O D=180^{\circ}$,
(एक त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)
$\begin{aligned} \angle O A D+\angle O A D+90^{\circ} &=180^{\circ} \\ 2 \angle O A D &=90^{\circ} \\ \angle O A D &=45^{\circ} \\ \angle B A D &=45^{\circ} \end{aligned}$
इसी प्रकार हम सिद्ध कर सकते हैं कि
$\angle A B D=45^{\circ}$ $\angle A C D=\angle A B D, \quad$ (एक ही वृत्तखण्ड में बने कोण) $\angle A C D=45^{\circ} . \quad$ उत्तर
प्रश्न 8.
दी हुईं आकृति में $P Q$ वृत्त $C(O, r)$ का एक व्यास है । जीवा $R S$ त्रिज्या $O R$ के बराबर है । बक़ाने पर $P R$ और $Q S$ बिन्दु $T$ पर '्रतिच्छेद करती हैं । सिद्ध कीजिए कि $\angle P T Q=60^{\circ}$, जो अचर है ।
हल :
दिया है : एक वृत्त $C(O, r)$ जिसमें $P Q$ वृत्त का एक व्यास है । जीवा $R S=$ त्रिज्या $O R$ और $P R$ तथा $Q S$ को बढ़ाने पर वे एक-दूसरे को बिन्दु $T$ पर काटते हैं ।
सिद्ध करना है : $\angle P T Q=60^{\circ}$, जो अचर है ।
रचना : $O S$ तथा $P S$ को मिलाया ।
उपपत्ति : $\triangle R O S$ में,
$R S=O R=O S=r$ (दिया है)
$\therefore \triangle R O S$ एक समबाहु त्रिभुज है ।
$\angle R O S=60^{\circ}$, जो अचर है । (समबाहु $\Delta$ का प्रत्येक कोण $=60^{\circ}$ )
$R S$ केन्द्र पर $\angle R O S$ तथा एकान्तर खण्ड में $\angle R O S$ बनाता है ।
$\angle R O S=2 \times \angle R P S$
$(\because$ किसी वृत्त के चाप द्वारा केन्द्र पर बना कोण एकान्तर वृत्तखण्ड में बने
कोण का दुगुना होता है ।)
$\begin{aligned} \angle R P S &=\frac{1}{2} \times \angle R O S \\ &=\frac{1}{2} \times 60^{\circ} \\ &=30^{\circ} \\ \angle T P S &=30^{\circ} \end{aligned}$..........(i)
अब, $\because P Q$ वृत्त $C(O, r)$ का एक व्यास है ।(दिया है)
$\therefore \angle P S Q=90^{\circ}$, जो अचर है ।
$(\because$ अर्द्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है ।)
$\begin{aligned} \angle P S Q+\angle P S T &=180^{\circ} \\ 90^{\circ}+\angle P S T &=180^{\circ} \\ \angle P S T &=180^{\circ}-90^{\circ} \end{aligned}$
=90°, जो अचर है
अब $\triangle P T S$ में, $\angle T P S$ और $\angle P S T$ अचर हैं ।
तीसरा ∠PTS=180°-(∠TPS+∠PST)
=180°-(30°+90°),
(∵∠TPS=30° और ∠PST=90°)
=180°-120°=60°, जो अचर है ।
अत: ∠PTQ=∠PTS=60°, जो अचर है ।
प्रश्न 9.
चक्रीय समलम्ब $A B C D$ में भुजा $A B$; भुजा $D C$ के समान्तर है । सिद्ध कीजिए :
भुजा $A D=$ भुजा $B C$.
हल :
दिया है : $A B C D$ एक चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज है ।
भुजा $A B$ ॥ भुजा $D C$.
सिद्ध करना है : भुजा $A D=$ भुजा $B C$.
रचना :
बिन्दु $C$ से $D A$ के समान्तर $C E$ रेखा खींची ।
उपपत्ति : $\because A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
$\angle A B C+\angle C D A=180^{\circ}$.........(i)
परन्तु $A B \| C D$ और $A D$ उन्हें मिलाती है ।
$\therefore \quad \angle C D A+\angle D A B=180^{\circ}$..........(ii)
सम्बन्ध (i) व (ii) से, $\angle A B C=\angle D A B$
परन्तु $D A \| C E$
$\angle D A B=\angle C E B$
$\therefore \triangle C E B$ में, $C E=B C$
$C E=A D, \quad$ (समान्तर चतुर्भुज $A E C D$ की सम्मुख भुजाएँ हैं )
$A D=B C .$ यही सिद्ध करना था ।
प्रश्न 10.
एक चक्रीय चतुर्भुज $A B C D$ की दो भुजाएँ $A B$ और $C D$ समान्तर हैं । सिद्ध कीजिए कि भुजाएँ $A D$ और $B C$ आपस में बराबर हैं और विकर्ण $A C$ और $B D$ भी बराबर हैं ।
हल :
भुजा $A B$ II भुजा $C D$
सिद्ध करना है : भुजा $A D=$ भुजा $B C$
तथा विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$
रचना : बिन्दु $A$ को $C$ से तथा.बिन्दु $B$ को $D$ से मिलाया ।
उपपत्ति : $\because A B \| C D$ और $B D$ उनको मिलाती है।
$\angle C D B=\angle A B D$(एकान्तर कोण हैं)
$\angle C D B=\angle C A B$ (एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
$\angle A B D=\angle C A B$
अब $\triangle A B C$ तथा $\triangle A B D$ में,
$\begin{aligned}\angle C A B &=\angle A B D \\\angle A C B &=\angle A D B\end{aligned}$(एक ही वृत्तखण्ड के कोण हैं)
और $A B$ उभयनिष्ठ है।
∴ ΔABC⩭ΔABD
∴AD=BC
AC=BD
प्रश्न 11.
$A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है । बढ़ाने पर $A B$ और $D C$ बिन्दु $P$ पर मिलते हैं । सिद्ध कीजिए कि $\triangle P B C$ और $\triangle P D A$ 'समकोणिक (equiangular) हैं ।
हल :
दिया है : एक चक्रीय चतुर्भुज $A B C D$ जिसकी दो सम्पुख भुजाओं $A B$ और $D C$ को बढ़ाने पर एक-दूसरे को बिन्दु $P$ पर प्रतिच्छेद करती हैं ।
सिद्ध करना हैं : $\triangle P A D \sim \triangle P C B$.
उपपत्ति : $\because$ चक्रीय चतुर्भुज $A B C D$ की एक भुजा $A B$ बिन्दु $P$ तक बढ़ाई गई है । $\therefore$
$\angle 1=\angle 2$.............(i)
( $\because$ चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण सुदूर अन्त:कोण के बराबर होता है ।)
इसी प्रकार, चक्रीय चतुर्भुज $A B C D$ की भुजा $D C$ बिन्दु $P$ तक बढ़ाई गई है ।
$\therefore$ $\angle 3=\angle 4$............(ii)
अब $\triangle P A D$ तथा $\triangle P C B$ में,
$\angle P=\angle P$(उभयनिष्ठ)
$\angle 2=\angle 1$[समीकरण (i) द्वारा]
$\angle 4=\angle 3$[समाकरण (ii) द्वारा]
$\triangle P A D \sim \triangle P C B$ (A.A.A. समरूपता)
प्रश्न 12.
किसी वृत्त के परिगत चतुर्भुज $A B C D$ के कोण इस प्रकार हैं कि $\angle A=70^{\circ}, \angle B=80^{\circ}, \angle C=$ $120^{\circ}$ । स्पर्श बिन्दुओं को मिलाकर अन्तर्गत चतुर्भुज खींचा जाता है । अन्तर्गत चतुर्भुज का प्रत्येक कोण ज्ञात कीजिए ।
हल :
दिया है : वृत्त के परिगत $A B C D$ एक चतुर्भुज है जिसमें $\angle A=70^{\circ}, \angle B=80^{\circ}, \angle C=120^{\circ}$ है, तब $\angle D=$ $90^{\circ} .$
ज्ञात करना है : स्पर्श बिन्दुओं $P, Q, R, S$ को मिलाने पर अन्तर्गत चतुर्भुज का प्रत्येक कोण ।
गणना : :
$A P=A Q$ ( बिन्दु $A$ से स्पर्श रेखा है)
$\begin{aligned} \angle A P Q &=\angle A Q P \\ &=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-70^{\circ}\right)=55^{\circ} \end{aligned}$
इसी प्रकार, $B P=B S$
तब $\angle B P S=\angle B S P$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-80^{\circ}\right)=50^{\circ} \\ \angle C S R &=\angle C R S \\ &=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ} \\ \angle D R Q &=\angle D Q R \\ &=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-90^{\circ}\right)=45^{\circ} \\ \angle P &=180^{\circ}-\angle A P Q-\angle B P S \\ &=180^{\circ}-55^{\circ}-50^{\circ} \\ \angle Q &=180^{\circ}-\angle A Q P-\angle D Q R \\ &=180^{\circ}-55^{\circ}-45^{\circ} \\ &=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ} \\ \angle R &=180^{\circ}-\angle P \\ &=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}, \\ \angle S &=180^{\circ}-\angle Q \\ &=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ} \end{aligned}$
तब अभीष्ट कोण $75^{\circ}, 80^{\circ}, 105^{\circ}, 100^{\circ}$ हैं।
प्रश्न 13.
किसी चक्रीय समलम्ब चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि उनके विकर्ण भी बराबर होंगे ।
हल :
दिया है : $A B C D$ एक चक्रीय समलम्ब है जिसके शीर्ष $A, B, C$ तथा $D$ वृत्त पर स्थित हैं तथा $A B=C D$ भी दिया है ।
सिद्ध करना है : विकर्ण $A C=$ विकर्ण $B D$.
उपपत्ति : $\because$ $A B=C D$
$ \overparen{A B}=\overparen{C D}$ (समान जीवाएँ बराबर चाप काटती हैं)
दोनों पक्षों में $\overparen{A D}$ जोड़ने पर,
$\begin{aligned}\overparen{A B}+\overparen{A D} &=\overparen{C D}+\overparen{A D} \\\overparen{B A D} &=\overparen{C D A}^{\circ} \\B D &=A C\end{aligned}$ ( : समान चाप $=$ समान जीवाएँ)
अतः विकर्ण बराबर होंगे । इति सिद्धम् ।
प्रश्न 14
यदि समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के समान्तर कोई रेखा खीचकर त्रिभुज से संमलम्ब काट लिया जाये, तो सिद्ध करों कि वह चक्रीय चतुर्भुज होगा।
हल :
दिया है : ΔADE में AE=DE, BC||AD खींची । यह AE को B पर तथा Ed को C पर प्रतिच्छेदित करती है।
सिद्ध करना है : ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है।
उपपत्ति :
ΔADE में,
$\begin{aligned}&\therefore \quad & A E=D E \\&\angle A=\angle D \\&B C \cdot \| A D \\&\therefore \quad \angle 1=\angle D\end{aligned}$
$\begin{aligned}\angle 1+\angle 2 &=180^{\circ} \\\angle D+\angle 2 &=180^{\circ}\end{aligned}$
(एक रेखीय कोण हैं)
$\angle A+\angle 2=180^{\circ} \quad(\angle A$ तथा $\angle 2$ चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं)
अतः $A B C D$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
प्रश्न 15.
किसी $\triangle A B C$ में $D, E$ तथा $F$ भुजाओं के मध्य बिन्दु तथा शीर्ष $A$ से सम्मुख भुजा $B C$ पर खींचा गया लम्ब $A P$ है । सिद्ध कीजिए कि $D, E, F, P$ 'एकवृत्तीय हैं ।
हल :
$D$ को $F$ से तथा $E$ को $P$ से मिलाया 1
समकोण $\triangle A P C$
$E A=E C=E P$(कर्ण का मध्य बिन्दु शीर्ष से समान दूरी पर होता है)
$\because \triangle E P C$ एक समद्विबाहु $\Delta$ है ।
$\therefore$ $\angle E P C=\angle E C P$
$\angle E P C+\angle F P E=180^{\circ}$
$\angle E C P+\angle F D E=180^{\circ}, \quad[\because \angle E P C=\angle E C P]$
$\angle E C P=\angle E D F$[समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण हैं]
$\angle E D F+\angle F P E=180^{\circ}$
$\because$ चतुर्भुज $D E P F$ के अन्तः सम्मुख कोणों का योग $180^{\circ}$ है ।
$\therefore D E P F$ एक चक्रीय चतुर्भुज है ।
अत: $D, E, F, P$ एक वृत्तीय हैं।
प्रश्न 16.
किसी त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित किसी बिन्दु से त्रिभुज की तीनों भुजाओं पर खींचे गये लम्बों के पाद संरेख (collinear) होते हैं ।
हल : दिया है : $\triangle A B C$ के परिवृत्त पर कोई बिन्दु $P$ है । $P D \perp B C, P E \perp A C$ तथा $P F \perp A B$.
सिद्ध करना है : $D, E$ तथा $F$ समरेखीय हैं ।
रचना : $P A$ तथा $P C$ को मिलाया ।
उपपत्ति : $\angle P E A+\angle P F A=90^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$
$\therefore$ बिन्दु $A, E, P$ तथा $F$ चक्रीय हैं ।
जीवा $P E, \angle P E F$ तथा $\angle P A F$ एक ही वृत्त के कोण हैं ।
$\begin{array}{ll}\therefore & \angle P E F=\angle P A F...........(1) \\\text { पुन: } & \angle P E C=\angle P D C=90^{\circ},\end{array}$
$\therefore$ बिन्दु $P, \dot{E}, D$ तथा $C$ चक्रीय हैं ।
$\angle P E D+\angle P C D=180^{\circ}$....(2)
$\angle P A B+\angle P C B=180^{\circ}$ (सम्पुख कोण हैं)
$\angle P A F+\angle P A B=180^{\circ}$ ( एक रेखीय कोण)
$\angle P A F=\angle P C B+\angle P C D$..........(3)
समीकरण (1), (2) तथा (3) से,
$\begin{aligned}\angle P E D+\angle P C D &=\angle P E D+\angle P A F \\&=\angle P E D+\angle P E F \\&=180^{\circ}\end{aligned}$
अतः $D, E, F$ संरेख हैं ।
प्रश्न 17.
0 , त्रिभुज $A B C$ का परिकेन्द्र है और $O D$, भुजा $B C$ पर लम्ब है । सिद्ध कीजिए कि
$\angle B O D=\angle A$.
हल :
सिद्ध करना है : बिन्दु $D$, भुजा $B C$ पर स्थित है ।
रचना : $O D$ को मिलाया ।
उपपत्ति : दिया है :
कर्ण $O B=$ कर्ण $O C$,(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)
भुजा $O D=$ भुजा $O D$,
$\angle O D B=\angle O D C=90^{\circ}$
$\triangle O D B \cong \triangle O D C$ (R.H.S)
$\angle B O D=\angle C O D$(C.P.C.T.C)
$\because \overparen{B C}$ केन्द्र $O$ पर $\angle B O C$ तथा परिधि पर स्थित बिन्दु $A$ पर $\angle A$ बनाती है 1
∠BOC=2×∠A (∵ किसी चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है । )
∠BOD+∠COD=2∠A
∠BOD+∠BOD=2∠A [∵∠BOD=∠COD (सिद्ध किया है ।)]
2×∠BOD=2×∠A
∠BOD=∠A इति सिद्धम् ।
प्रश्न 18.
आकृति में, केन्द्र $O$ वाले एक वृत्त पर तीन बिन्दु $A, B$ और $C$ इस प्रकार हैं कि $\angle B O C=30^{\circ}$ तथा $\angle A O B=60^{\circ}$ है। यदि चाप $A B C$ के अतिरिक्त वृत्त पर $D$ एक बिन्दु है, तो $\angle A D C$ ज्ञात कीजिए।
हल :
$\because$ एक वृत्त के केन्द्र पर चाप $A B C$ द्वारा $\angle A O C=\angle A O B+\angle B O C=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$ तथा $\angle A D C$ वृत्त के बचे हुये भाग के एक बिन्दु पर बनता है।
$\begin{aligned} \angle A D C &=\frac{1}{2}(\angle A O C)=\frac{1}{2} \times 90^{\circ} \\ &=45^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 19.
किसी वृत्त की एक जीवा वृत्त की त्रिज्या के बराबर है। जीवा द्वारा लघु चाप के किसी बिन्दु परं अंतरित कोण ज्ञात कीजिए तथा दीर्घ चाप के किसी बिन्दु पर भी अंतरित कोण ज्ञात कीजिए।
हल :
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र $O$ है तथा जीवा $A B=$ त्रिज्या।
ज्ञात करना है : $\angle A P B$ तथा $\angle A Q B$.
$\triangle A O B$ में,
O A=O B=A B
$\therefore \triangle A O B$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$\therefore$$\angle A O B=60^{\circ}$
वृहत् चाप $A Q B$ के लिये जीवा $A B$ केन्द्र पर $\angle A O B=60^{\circ}$ का कोण बनाती है तथा $\angle A Q B$ परिधि का दूसरा भाग है, तब
$\therefore$
$\begin{aligned}\angle A Q B &=\frac{1}{2} \times \angle A O B \\&=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}\end{aligned}$
∠APB$=\frac{1}{2} \times$ वृहत् ∠AOB
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2} \times\left(360^{\circ}-60^{\circ}\right) \\ &=\frac{1}{2} \times 300^{\circ}=150^{\circ} \\ \angle A P B &=150^{\circ} \\ \angle A Q B &=30^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 20.
आकृति में, $\angle P Q R=100^{\circ}$ है, जहाँ $P, Q$ तथा $R$, केन्द्र $O$ वाले एक वृत्त पर स्थित बिन्दु हैं। $\angle O P R$ ज्ञात कीज़िए।
हल :
एक चाप द्वारा वृत्त के केन्द्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा बनाई गई परिधि के किसी बिन्दु पर बने कोण का दोगुना होता है।
वृहत ∠POR=2∠PQR
=2×100=200°
लघु ∠POR=360°-200°=160°
OP=OR, ∠OPR=∠ORP, (बराबर भजाओं के सम्मख कोण बराबर होते हैं)
(बराबर भजाओं के सम्मख कोण बराबर होते हैं)
$\begin{aligned} \angle O P R+\angle O P R+\angle P O R &=180^{\circ} \\ 2 \angle O P R+160^{\circ} &=180^{\circ} \\ 2 \angle O P R &=20^{\circ} \\ \angle O P R &=10^{\circ} . \end{aligned}$
प्रश्न 21.
आकृति में, $\angle \mathrm{ABC}=69^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{ACB}=31^{\circ}$ हो, तो $\angle \mathrm{BDC}$ ज्ञात कीजिये।
हल : $\triangle A B C$ में,
$\begin{array}{r}\angle A+\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ} \\\angle A B C=69^{\circ}\end{array}$
$\begin{aligned} \angle A C B &=31^{\circ} \\ \angle A+69^{\circ}+31^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle A+100^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle A &=80^{\circ} \\ \angle A &=\angle D \end{aligned}$(एक ही वृत्तखण्ड के कोण बराबर होते हैं)
अतः $\angle D=80^{\circ}$
प्रश्न 22.
आकृति में, एक वृत्त पर $A, B, C$ और $D$ चार बिन्दु हैं। $A C$ और $B D$ एक बिन्दु $E$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $\angle B E C=130^{\circ}$ तथा $\angle E C D=20^{\circ}$ हैं। $\angle B A C$ ज्ञात कीजिए।
हल :
आकृति के अनुसार
$\angle C E D+\angle B E C=180^{\circ}$
$\angle C E D=180^{\circ}-130^{\circ}$
$\angle C E D=50^{\circ}$........(i)
$\angle A E B=\angle C E D$ (शीर्षांभिमुख कोण)
$\angle A E B=50^{\circ}$ [(i) का प्रयोग करने पर]
$\angle A B D=\angle A C D$
[क्योंकि चाप $A D$ द्वारा एक ही वृत्तखण्ड में अंतरित कोण बराबर होते हैं।]
$\angle A B D=20^{\circ} \quad\left[\because \angle A C D=20^{\circ}\right.$(दिया है)]
अब $\triangle A E B$ में,
$\angle B A E+\angle A B E+\angle A E B=180^{\circ}$ [ त्रिभुज का कोण योग गुण]
$\begin{aligned} \angle B A E+20^{\circ}+50^{\circ} &=180^{\circ} \\ \angle B A E &=180^{\circ}-20^{\circ}-50^{\circ} \end{aligned}$
$\angle B A E=110^{\circ}$
$\angle B A C=110^{\circ}$
प्रश्न 23.
$A B C D$ एक वक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिन्दु $\mathrm{E}$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle D B C=$ $70^{\circ}$ और $\angle B A C=30^{\circ}$ हो, तो $\angle B C D$ ज्ञात कीजिए। पुन: यदि $A B=B C$ हो, तो $\angle E C D$ ज्ञात कीजिए।
हल:
$\angle B D C=\angle B A C$[ एक ही वृत्तखण्ड' के कोण]
$\Rightarrow$$\left(\because \angle B A C=30^{\circ}\right)$
$\triangle B C D$ में,
$\begin{array}{rrr} & \angle B C D+\angle D B C+\angle B D C=180^{\circ} \\\Rightarrow & \angle B C D+70^{\circ}+30^{\circ}=180^{\circ} & \quad\left[\because \angle D BC=70^{\circ}\right]\end{array}$
$\begin{aligned} \angle B C D &=180^{\circ}-70^{\circ}-30^{\circ} \\ \angle B C D &=80^{\circ}...(i) \\ A B &=B C \end{aligned}$
तो $\triangle A B C$ में,
$\angle A C B=\angle B A C$
(क्योंकि त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।)
$\angle A C B=30^{\circ}$............(ii)
$ \angle B C D=\angle A C B+\angle A C D $
$ 80^{\circ} =30^{\circ}+\angle A C D$ [समीकरण (i) और (ii) के अनुसार]
$\begin{aligned}80^{\circ}-30^{\circ} &=\angle A C D \\ 50^{\circ} &=\angle A C D \\ \angle A C D &=50^{\circ} \\ \angle E C D &=50^{\circ} \end{aligned}$
प्रश्न 24.
यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण उसके शीर्षों से जाने वाले वृत्त के व्यास हों, तो सिद्ध कीजिए कि वह एक आयत है।
हल :
$A C$ एक व्यास है।
$\angle B=\angle D=90^{\circ}$...........(i)
(क्योंकि अर्धवृत्त में कोण समकोण होता है)
इसी प्रकार $\mathrm{BD}$ व्यास है।
$\angle A=\angle C=90^{\circ}$.........(ii)
अब, व्यास $A C=B D$
$\overparen{A C} \cong \widehat{B D}$ (बराबर जीवाओं की सम्मुख चारें)
$\begin{aligned}\overparen{A C}-\widehat{D C} & \cong \widehat{B D}-\widehat{D C} \\\overparen{A D} & \cong \widehat{B C}\end{aligned}$
AD=BC बराबर जीवाओं की सम्मुख जीवाएँ) ...(iii)
AB=DC....(iv)
समीकरण (i), (ii), (iii) व (iv) के आधार पर हम देखते हैं कि चतुर्भुज का प्रत्येक कोण $90^{\circ}$ का है और सम्मुख भुजाएँ बराबर है।
अत : $A B C D$ एक आयत है।
इति सिद्धम्।
प्रश्न 25.
यदि एक समलम्ब की असमान्तर भुजाएँ बराबर हैं, तो सिद्ध कीजिए कि वह चक्रीय है।
हल :
दिया है : एक समलम्ब $A B C D$ जिसमें $A B \| C D$ और $A D=B C$ है।
सिद्ध करना है : बिन्दु $A, B, C, D$ चक्रीय है। (अर्थात् $A B C D$ चक्रीय समलय्ब है)
रचना : $D E \| C B$ खींचिए।
उपपत्ति : $D E \| C B$ और $E B \| D C$.
$\therefore E B C D$ एक समान्तर चतुर्भुज है।
$\therefore \quad D E=C B$ और $\angle D E B=\angle D C B$.
$\therefore$ समान्तर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
अब,
$\begin{array}{cl} & \because & A D=B C \text { और } B C=D E \\ \therefore & D A=D E \Rightarrow \angle D A E=\angle D E A\end{array}$
[ क्योंकि त्रिभुज की बराबर भुजार्ओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]
$\angle D E A+\angle D E B=180^{\circ}$(रैखिक युग्म)
$\angle D A E+\angle D C B=180^{\circ}$
$\qquad \because \angle D E A=\angle D A E$ और $\angle D E B=\angle D C B]$
$\angle D A B+\angle D C B=180^{\circ}$
$\angle A+\angle C=180^{\circ}$
अतः, $A B C D$.एक चक्रीय चतुर्भुज है।
[ $\because$ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण सम्पूरक होते हैं जैसा कि परिणाम (i) है।]
प्रश्न 26.
दो वृत्त बिन्दुओं $B$ और $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। $B$ से जाने वाले दो रेखाखण्ड $A B D$ और $P B Q$ वृत्तों को $A, D$ और $P, Q$ पर क्रमशः प्रतिच्छेद करते हुए खींचे गए हैं (देखिए आकृति)। सिद्ध कीजिए कि $\angle A C P$ $=\angle Q C D$ हैं।
हल :
वृत्त I की चाप एक ही वृत्तखण्ड में $\angle 1$ और $\angle 2$ अतंरित करती है।
$\therefore$ $\angle 1=\angle 2$
(क्योंकि एक ही वृत्तखण्ड के कोण़ बराबर होते हैं।)
चाप BC वृत्त II के एक ही वृत्तखण्ड में $\angle 3$ और $\angle 4$ अंतरित करती है।
$\angle 3=\angle 4$
अब $\triangle A C D$ में,
$\therefore \quad \angle A+\angle C+\angle D=180^{\circ} \quad$ (त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार)
$\angle 1+\angle 5+\angle 6+\angle 3=180^{\circ}$..............(i)
$\angle P C Q$ में,
$\quad \angle \mathrm{P}+\angle \mathrm{C}+\angle \mathrm{Q}=180^{\circ} ; \quad$ (त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म के अनुसार $)$ $\Rightarrow \quad \angle 2+\angle 5+\angle 7+\angle 4=180^{\circ}$...........(ii)
(i) और (ii) से,
$\begin{aligned}\angle 1+\angle 5+\angle 6+\angle 3 &=\angle 2+\angle 5+\angle 7+\angle 4 ....(iii)\\\angle 1 &=\angle 2 \text { and } \angle 3=\angle 4\end{aligned}$ (हम सिद्ध कर चुके हैं)
$\therefore$ (iii) के आधार पर
$\angle 1+\angle 5+\angle 6+\angle 3=\angle 1+\angle 5+\angle 7+\angle 3$
$\begin{aligned} \angle 6 &=\angle 7 \\ \angle A C P &=\angle Q C D \end{aligned}$
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