Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 10 वृत्त (Circles) प्रश्नावली 10 (B)

 प्रश्नावली 10 (B)

प्रश्न 1(a) 

याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं, यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।

हल : 

दिया है : दो सर्वांगसम वृत्तों की जीवायें बराबर हैं, अर्थात् $A B=C D$

सिद्ध करना है : $\angle A O B=\angle C O D$

उपपत्ति : $\triangle A O B$ तथा $\triangle C O D$ में,

AO=CO (वृत्त की समान त्रिज्याएँ)

BO=DO (वृत्त की समान त्रिज्याएँ)

AB=CD (दिया है)

$\begin{aligned}&\triangle A O B \cong \triangle C O D \\&\angle A O B=\angle C O D\end{aligned}$

$[\therefore$ SSS प्रमेय से $]$

प्रश्न 1. (b) 

सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केन्द्रों पर बराबर कोण अंकित करें, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।

हल : 

दिया है : $A B$ तथा $C D$ दो इस प्रकार की जीवाएँ हैं कि इनके द्वारा वृत्त के केन्द्र पर अंतरित कोण बराबर

अर्थात्

$\angle A O B=\angle C O D$

सिद्ध करना है :

$A B=C D$

उपपत्ति : $\triangle A O B$ तथा $\triangle C O D$ में,

$\begin{aligned}&A O=C O \\&B O=D O\end{aligned}$

$\therefore$ SAS प्रगुण से,

$\begin{aligned}\triangle A O B & \cong \triangle C O D \\A B &=C D\end{aligned}$

(सवीगसम त्रिभुर्जों के संगत भाग)

प्रश्न 2. 

वृत्तों के कई जोड़े (युग्म) खींचिए। प्रत्येक जोड़े में कितने बिन्दु उभयनिष्ठ हैं, उभयनिष्ठ बिन्दुओं की अधिकतम संख्या क्या है ?

हल : 

प्रश्न के निर्देश के अनुसार नीचे विभिन्न वृत्तों के युग्म खींचे जा सकते हैं :

(i) दोनों युग्मों में से कोई बिन्दु उभयनिष्ठ नही है।

(ii) दोनों युग्मों में से केवल एक बिन्दु उभयनिष्ठ है।

(iii) प्रत्येक युग्म में दो बिन्दु उभयनिष्ठ हैं।

प्रश्न 3. (a) 

मान लीजिए आपको एक वृत्त दिया है। एक रचना इसके केन्द्र को ज्ञात करने के लिए दीजिए।

हल : 

रचना के पद :

1. तीन बिन्दु $A, B$ तथा $C$ (वृत्त की परिधि पर) लें।

2. AB तथा BC को मिलाएँ।

3. AB तथा BC  के लम्ब समद्विभाजक PQ तथा RS खीचें जो कि एक-दूसरे को O पर प्रतिच्छेद करते हैं, तब O वृत्त का केन्द्र है।

प्रश्न 3. (b) 

यदि दो वृत्त परस्पर दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि उनके केन्द्र उभयनिष्ठ जीवा के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित हैं।

हल : 

दिया है : चित्र में दो वृत्त जिनके केन्द्र क्रमशः $O$ तथा $O^{\prime}$ जो $A$ तथा $B$ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध करना है : $O O^{\prime}$ जीवा $A B$ का लम्ब समद्विभाजक है।

उपपत्ति : हम जानते हैं कि एक जीवा के मध्य बिन्दु तथा केन्द्र से जाने वाली रेखा जीवा पर लम्ब होती है।

$\begin{aligned} \angle O M A &=90^{\circ} \\ \angle O^{\prime} M A &=90^{\circ} \\ \angle O M A+\angle O^{\prime} M A &=180^{\circ} \end{aligned}$

लेकिन ये रैखिक युग्म बनाते हैं। 

अत: $O M O^{\prime}$ एक सरल रेखा है। 

अत: $O O^{\prime}$, जीवा $A B$ का लम्ब समद्विभाजक है।

प्रश्न 4. 

चित्र में, वृत्त $C(O, r)$ के दीर्घ चाप $P Q$ की अंश माप $=200^{\circ}$ है । लघु चाप का मान रेडियन में ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दीर्घ चाप PQ की अंश माप $=200^{\circ}$

लघु चाप की अंश माप

$\begin{aligned} &=360^{\circ}-200^{\circ}=160^{\circ} \\&=160 \times \frac{\pi}{180}\end{aligned}$

$=\frac{8}{9} \pi$ रेडियन ।

प्रश्न 5

चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है । वृत्त की त्रिज्या 17 सेमी है । यदि OC=8 सेमी, तो जीवा AB की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

हल : 

वृत्त की त्रिज्या $O A=17$ सेमी, $O C=8$ सेमी ।

अब समकोण $\triangle O C A$ में,

$\begin{aligned}O A^{2} &=A C^{2}+O C^{2} \\(17)^{2} &=A C^{2}+(8)^{2} \\289 &=A C^{2}+64 \\A C^{2} &=289-64=225\end{aligned}$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,

AC=15 सेमी

A B=2×AC=2×15=30 सेमी 

जीवा $A B$ की लम्बाई $=30$ सेमी ।

प्रश्न 6

चित्र में, $O M \perp A B$, त्रिज्या $O C=5$ सेमी तथा जीवा $A B=8$ सेमी । $O M$ की माप ज्ञात कीजिए ।

हल : 

दिया है :

वृत्त की त्रिज्या OA=OC=5 सेमी

तथा जीवा $A B$ की लम्बाई $=8$ सेमी ।

रचना : $O A$ को मिलाया ।

गणना : समकोण $\triangle O M A$ में,

$\begin{aligned}O A^{2} &=A M^{2}+O M^{2} \\&=\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}+O M^{2} \\(5)^{2} &=\left(\frac{8}{2}\right)^{2}+O M^{2} \\25 &=16+O M^{2}\end{aligned}$

$O M^{2}=25-16=9$

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर

$O M=3$ सेमी

अत:

$O M=3$ सेमी ।

प्रश्न 7

चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है । जीवा AB=10 सेमी तथा व्यास $A C=26$ सेमी है । जीवा $A B$ की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए ।

हल :

दिया है : वृत्त में जीवा $A B=10$ सेमी

OA = व्यास (A C) / 2

त्रिज्या $\begin{aligned} &=\frac{26}{2} \end{aligned}$

=13 सेमी । 

रचना : केन्द्र बिन्दु $O$ से $A B$ पर $O D$ लम्ब डाला ।

गणना : समकोण $\triangle O D A$ में,

$\begin{aligned}O A^{2} &=A D^{2}+O D^{2} \\&=\left(\frac{A B}{2}\right)^{2}+O D^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}(13)^{2} &=\left(\frac{10}{2}\right)^{2}+O D^{2} \\ 169 &=25+O D^{2} \\ O D^{2} &=169-25=144\end{aligned}$

OD=12 सेमी

अतः जीवा $A B$ की वृत्त के केन्द्र से दूरी $=12$ सेमी ।

प्रश्न 8. 

$A B$ और $C D$ एक वृत्त की दो जीवाएँ हैं जहाँ $A B=10$ सेमी, $C D=24$ सेमी और $A B \| C D$ है । $A B$ और $C D$ के बीच की दूरी 17 सेमी है । वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

$A B$ का लम्ब समद्विभाजक $O L$ तथा $C D$ का लम्ब समद्विभाजक $O M$ खींचा, जहाँ $O$ वृत्त का केन्द्र है ।

$A B \| C D$              (दिया है)

   $\therefore O, M, L$ सरेख होंगे ।            (देखिए आकृति)

$O B$ और $O D$ को मिलाया । माना $O M=x$ सेमी तथा वृत्त की त्रिज्या $O B=O D=r$ सेमी है, तब

$O L=(17-x)$ सेमी, $\quad[\because M L=17$ सेमी दिया है $]$

अब, समकोण $\triangle O L B$ तथा समक़ोण $\triangle O M D$ में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$\begin{aligned}O B^{2} &=O L^{2}+L B^{2} \\O D^{2} &=O M^{2}+M D^{2} \\r^{2} &=(17-x)^{2}+(5)^{2}\\.....(i)r^{2} &=x^{2}+(12)^{2}........(ii)\end{aligned}$

                             $\because \quad L B=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 10$ सेमी $=5$ सेमी 

                           और   $M D=\frac{1}{2} C D=\frac{1}{2} \times 24$ सेमी $=12$ सेमी $]$

इन दोनों समीकरणों की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$(17-x)^{2}+(5)^{2}=x^{2}+(12)^{2}$

$289-34 x+x^{2}+25=x^{2}+144$

$-34 x=144-314$

$\begin{aligned}-34 x &=-170 \\ x &=\frac{170}{34}=5 \end{aligned}$

$x$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{aligned}r^{2} &=(5)^{2}+(12)^{2} \\&=25+144=169 \\r &=\sqrt{169}=13\end{aligned}$

अतः वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है ।

प्रश्न 9

5 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त में $A B$ और $A C$ दो जीवाएँ हैं, जहाँ $A B=A C=6$ सेमी है । जीवा $B C$. की लम्बाई ज्ञात कीजिए ।

हल : वृत्त $C(O, r)$ में दो जीवाएँ $A B=A C=6$ सेमी, (दिया है)

वृत्त की त्रिज्याएँ

$O A=O C=5$ सेमी

माना $O P=x$, तब

$A P=O A-O P$

या

$A P=(5-x)$ सेमी

अब, समकोण $\triangle A P C$ तथा समकोण $\triangle O P C$ में,

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

$A C^{2}=A P^{2}+C P^{2}$

$O C^{2}=O P^{2}+C P^{2}$

$C P^{2}=A C^{2}-A P^{2}$.............(i)

$C P^{2}=O C^{2}-O P^{2}$...........(ii)

समीकरण (i) और (ii) से,

$\begin{aligned}A C^{2}-A P^{2} &=O C^{2}-O P^{2} \\(6)^{2}-(5-x)^{2} &=(5)^{2}-x^{2} \\36-\left(25+x^{2}-10 x\right) &=25-x^{2} \\11-x^{2}+10 x &=25-x^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 10 x &=14 \\ x &=\frac{14}{10}=1 \cdot 4\end{aligned}$

OP=1.4 सेमी 

$O P$ का मान समीकरण (ii) में रखने पर हम प्राप्त करते हैं,

$\begin{aligned}C P^{2} &=(5)^{2}-(1 \cdot 4)^{2} \\&=25-1.96=23-04\end{aligned}$

$CP=\sqrt{23 \cdot 04}$=4.8  सेमी

BC=2×CP=2×4.8=9.6 सेमी । 

प्रश्न 10. 

चित्र में, जीवा AB||CD, O केन्द्र के वृत्त का व्यास AD है, तो सिद्ध कीजिए कि $A B=C D$.

हल : 

दिया है : केन्द्र $O$ वाले वृत्त में जीवा $A B$ ॥ $C D$ तथा $A D$ वृत्त का व्यास है ।

सिद्ध करना है : $A B=C D$.

रचना : बिन्दु $O$ से $O P \perp A B$ पर तथा $O Q \perp C D$ पर खींची ।

उपपत्ति : $\triangle O A P$ तथा $\triangle O D Q$ में,

$\begin{aligned}&\angle O P A=\angle O Q D=90^{\circ} \\&\angle O A P=\angle O D Q\end{aligned}$

$\begin{aligned} O A &=O D \\ \triangle O A P & \sim \triangle O D Q \\ A P &=D Q \end{aligned}$....(1)

$A P=\frac{1}{2} A B$

$D Q=\frac{1}{2} C D$

सम्बन्ध (1) से $\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} C D$ या $A B=C D$

अत:  $A B=C D$

प्रश्न 11

चित्र में L तथा M समान जीवा AB तथा CD के मध्य बिन्दु हैं, O वृत्त का केन्द्र है, सिद्ध कीजिए कि

(i) $\angle O L M=\angle O M L$

(ii) $\angle A L M=\angle C M L$

हल : 

(i) $\because$ 

$\begin{aligned} A B &=C D \\ \frac{1}{2} A B &=\frac{1}{2} C D \end{aligned}$

$\left.\begin{array}{l}B L=M D \\ A L=M C\end{array}\right\}$..........(i)

अब $\triangle B O L$ और $\triangle D O M$ से,

$O B=O D$

$\angle O L B =\angle O M D$ $[\because O L \perp A B$ तथा $O M \perp C D]$

BL=MD  [सम्बन्ध (i) से]

ΔBOL⩭ΔDOM (भुजा कोण भुजा से)

OL=OM (ज्ञात किया)

∠OLM=∠OML इति सिद्धम्। 

(ii) मान लीजिए $\angle O L M=\angle O M L=x$

$\because O L \perp A B$ तथा $O M \perp C D$

$\begin{aligned} \therefore \quad \angle A L O &=\angle C M O=90^{\circ} \\ \angle A L M+\angle O L M &=\angle C M L+\angle O M L \\ \angle A L M+x &=\angle C M L+x \\ \text { अत: } \quad \angle A L M &=\angle C M L \end{aligned}$

प्रश्न 12

5 सेमी तथा 3 सेमी त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 4 सेमी है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

दिया है : दो वृत्त जिनकी त्रिज्यायें 5 सेमी तथा 3 सेमी हैं, एक-दूसरे को $A$ व $B$ बिन्दु पर प्रतिच्छेदित' करते हैं तथा $O O^{\prime}=\dot{4}$ सेमी है, जहाँ $O$ व $O^{\prime}$ उन वृत्तों के केन्द्र हैं।

ज्ञात करनी है : उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई AB

$\because \triangle O A O^{\prime}$ से

$\begin{aligned}\left(A O^{\prime}\right)^{2}+(O O)^{2} &=3^{2}+4^{2}=25 \\ O A^{2} &=\left(O^{\prime} A\right)^{2}+\left(O O^{\prime}\right)^{2} \end{aligned}$

अर्थात्

अतः $\triangle O A O^{\prime}$ समकोण त्रिभुज है।

$\therefore \quad \triangle O O^{\prime} A$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times O^{\prime} A \times O O^{\prime}$

$=\frac{1}{2} \times 3 \times 4=6$ वर्ग इकाई

$\triangle O O^{\prime} A$ का क्षेत्रफल $=\frac{1}{2} \times O O^{\prime} \times A M$

$\begin{aligned}6 &=\frac{1}{2} \times 4 \times A M \\A M &=3 \\A B &=2 A M \\&=2 \times 3\end{aligned}$

=6 सेमी 

उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई $=6$ सेमी।

प्रश्न 13.

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के दोनों खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।

हल : 

दिया है : $A B$ तथा $C D$ वृत्त की जीवाएँ हैं, $O$ वृत्त का केन्द्र है। $A B$ तथा $C D, P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं और $A B=C D$

सिद्ध करना है : (i) $A P=P D$ (ii) $P B=C P$

रचना : $O M \perp A B, O N \perp C D$ खीचें।

$O P$ को मिलाया।

उपपत्ति : $A M=M B=\frac{1}{2} A B$

  ( $\because$ केन्द्र से जीवा पर खीचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)

$C N=N D=\frac{1}{2} C D$

$(\because$ केन्द्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)

AM=ND तथा MB=CN...........(1) 

                       $[\because A B=C D($ दिया है) $]$

$\triangle O M P$ तथा $\triangle O N P$ में,

$O M=O N$

$(\because$ एक वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं

$\begin{gathered}\angle O M P=\angle O N P \\O P=O P\end{gathered}$

$\left(\because\right.$ प्रत्येक $\left.90^{\circ}\right)$

सवांगसम गुणधर्म RHS से,

$\begin{aligned}\Delta O M P & \cong \triangle O N P \\\qquad M P &=P N \quad \text { [सर्वांगसम' त्रिभुजों के संगत } &\text { भाग }]\end{aligned}$..........(2)

समीकरण (1) तथा (2) को जोड़ने पर,

$A M+M P=N D+P N \Rightarrow A P=P D$

"समीकरण' (1) में से समी (2) को घटाने पर,

$B M-M P=C N-P N \Rightarrow P B=C P$

अतः (i) $A P=P D$ और (ii) $P \dot{B}=C P$.

प्रश्न 14. 

यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है।

हल : 

दिया है : $A B$ तथा $C D$ वृत्त की जीवायें हैं, $O$ वृत्त का केन्द्र हैं। $A B$ तथा $C D, E$ पर प्रतिच्छेदित करती है और $A B=C D$.

सिद्ध करना है :

$\angle O E A=\angle O E C .$

रचना : $O P \perp A B$ तथा $O Q \perp C D$ खींचा।

उपपत्ति : $\triangle O P E$ तथा $\triangle O Q E$ में,

$O E=O E$ (उभयनिष्ठ)

$O P=O Q$

 (एक ही वृत्त की समाऩ जीवायें केन्द्र से समान दूरी पर स्थित होती हैं।) 

$\angle O P E=\angle O Q E$  (प्रत्येक . $90^{\circ}$ )

$\triangle O P E \cong \Delta O Q E$ (RHS सर्वांगसम नियम द्वारा)

 $\angle O E P=\angle O E Q$

$\angle O E A=\angle O E C$ (सवांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

इति सिद्धम्।

प्रश्न 15. 

यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र $O$ है ; $A, B, C$ और $D$ पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए $A B=C D$ है (देखिए आकृति)।

हल : 

दिया है : दो संकेन्द्री वृत्त जिनका केन्द्र $O$ है, एक रेखा इन वृत्तों को $A, B, C$ व $D$ बिन्दुओं पर काटती है। सिद्ध करना है :

$A B=C D \text {. }$

रचना : $O M \perp B C$ खींचा।

उपपत्ति : चूँकि $B C$ छोटे वृत्त क़ी जीवा है तथा $O M \perp B C$

$B M=C M$........(i)

( केन्द्र से खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।)

पुन: $A D$ बड़े वृत्त की जीवा है तथा $O M \perp A D$.

$A M=D M$............(ii)

समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,

A M-B M=D M-C M

A B=C D इति सिद्धम्।

प्रश्न 16. 

एक पार्क में बने 5 मीटर त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशम, तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी 6 मीटर हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है ?

हल : 

चित्रानुसार वृत्त खीचा।

माना रेशमा, सलमा तथा मनदीप की स्थिति $R, S$ तथा $M$ है। $O L \perp R S$ खींचा। अब $O S$ को मिलाया जो $R M$ को $K$ पर काटता है।

माना $K R=x$ मीटर।

क्षेत्रफल $(\triangle O R S)=\frac{1}{2} \times O S \times R K$

$=\frac{1}{2} \times 5 \times x$

क्षेत्रफल $(O R S)=\frac{1}{2} \times R S \times O L$

$=\frac{1}{2} \times 6 \times 4=12$

(समकोण $\triangle O L R$ में, $\left.O L=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4\right)$

$\frac{5}{2} x=12$

$x=\frac{24}{5}=4.8$ मीटर।

अत: रेशमा तथा मनदीप के बीच दूरी $=2 x=2 \times 4.8=9.6$ मीटर ।

प्रश्न 17. 

20 मी. त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कॉलोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैयद तथा डेविड इसकी परिसीमा" पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

हल : 

माना कि तीनों लड़कों अंकुर, सैयद तथा डेविड की स्थिति को बिन्दुओं $A, B$ और $C$ से.दर्शाया गया है। तीनों बिन्दु समान दूरी पर हैं।

$A B=B C=A C=a$ मीटर

$\because$ समबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ वृत्त की समान जीवाएँ हैं और वृत्त की समान जीवाएँ केन्द्र से समदूरस्थ होती हैं।

$O D=O E=O F=x$ मीटर

OA, OB और OC को मिलाइए।

अब, हमारे पास तीन 'सर्वंगसम' त्रिभुजें हैं। 

$\triangle O A B, \triangle O B C$ और $\triangle A O C$ की दशा,

$\operatorname{ar}(\Delta A O B)=\operatorname{ar}(\Delta B O C)=a r(\Delta A O C)$........(i)

अब, $a$ भुजा वाली समबाहु $\triangle \mathrm{ABC}$ का क्षेत्रफल

$=\operatorname{ar}(\triangle A O B)+\operatorname{ar}(\Delta B O C)+\operatorname{ar}(\Delta A O C)$.........(ii)

$\operatorname{ar}(\Delta A B C)=3 \operatorname{ar}(\Delta B O C)$[ समीकरण (i) व (ii) के अनुसार ]

$\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}=3\left(\frac{1}{2} B C \times O E\right)$

$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} &=3\left(\frac{1}{2} \times a \times x\right) \\ \frac{a^{2}}{a} &=3 \times \frac{1}{2} \times \frac{4}{\sqrt{3}} \times x \\ a &=2 \sqrt{3} x \end{aligned}$........(iii)

$\begin{aligned}&O E \perp B C \\&B E=E C=\frac{1}{2} B C\end{aligned}$

[क्योंकि केन्द्र से खीचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

$B E=E C=\frac{1}{2} a$

$B E=E C=\frac{1}{2}(2 \sqrt{3} x) \quad$ [समीीकरण (iii) के अनुसार]

$B E=E C=\sqrt{3} x$

अब, समकोण $\triangle B E O$ में,

$\begin{aligned}& O E^{2}+B E^{2} &=O B^{2} \\\Rightarrow \quad & x^{2}+(\sqrt{3} x)^{2} &=20^{2}\end{aligned}$

$\begin{aligned} 4 x^{2} &=400 \\ x^{2} &=\frac{400}{4} \\ x^{2} &=100 \\ x &=\sqrt{100} \\ x &=10 \mathrm{~m} \end{aligned}$........(iv)

समीकरण (iii) के आधार पर

$a=2 \sqrt{3} x$

 $a=2 \sqrt{3} \times 10$ मीटर $\quad[(\mathrm{iv})$ का प्रयोग करने पर $]$

$a=20 \sqrt{3}$ मी.

अत: किन्ही दो लड़कों के बीच की दूरी $20 \sqrt{3}$ मीटर है।