Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 1 Number System संख्या पद्धति प्रश्नावली 1 (J)

 प्रश्नावली 1 (J)

प्रश्न 1

निम्नलिखित में से परिमेय संख्याएँ छाँटकर लिखिए :

$\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}, 3 \sqrt{4}, \sqrt{4 \frac{1}{4}}$ और $2.33$

हल : 

$\sqrt{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}, 3 \sqrt{4}, \sqrt{4\frac{1}{4}}$ और 2.33 में परिमेय संख्या 

$=3 \sqrt{4,2 \cdot 33}, \frac{\pi}{3}, \frac{22}{7}$

प्रश्न 2

$\sqrt{4}, \sqrt{0.4},4, 5$ में अपरिमेय संख्या बताओ ।

हल : 

$\sqrt{4,} \sqrt{0.4}, 4,5$ में अपरिमेय संख्या

$=\sqrt{0.4}$

प्रश्न 3

निम्नलिखित संख्याओं में परिमेय संख्याएँ छाँटिए :

$\sqrt{3},14.03737 \ldots . ., \sqrt{1},(\pi+4)$

हल :

$\sqrt{3}, 14.03737 \ldots \ldots, \sqrt{1},(\pi+4)$ में परिमेय संख्या 

$=\sqrt{1},14.03737, \ldots, \pi+4$.

प्रश्न 4

निम्नलिखित में परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ छाँटिए :

$(4-\sqrt{3}), \frac{\sqrt{7}}{2},(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0 \cdot 01}$

हल : 

$(4-\sqrt{3}), \frac{\sqrt{7}}{2},(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0.01}$ में परिमेय संख्याएँ 

$=(5-\sqrt{4)}, \sqrt{0.01}$ 

अपरिमेय संख्याएँ $=\left(4-\sqrt{3)}, \frac{\sqrt{7}}{2}\right.$.

प्रश्न 5

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{9}, \sqrt{15}$ में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{9}, \sqrt{15}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{9}$

प्रश्न 6

$\sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{16}, \sqrt{19,} \sqrt{23}$ में परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए ।

हल : 

$\sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{16}, \sqrt{19,} \sqrt{23}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{16 .}$

प्रश्न 7

$\sqrt{4}, \sqrt{3,} \sqrt{5}, \sqrt{9,} \sqrt{16}$ में परिमेय संख्याएँ बताइए ।

हल : 

$\sqrt{4}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{4}, \sqrt{9}, \sqrt{16}$.

प्रश्न 8

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$, $\sqrt{\frac{4}{9}},\sqrt{7}, \sqrt{0.9}$ में से परिमेय संख्या छाँटकर लिखिए ।

हल : 

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{\frac{4}{9} } \sqrt{7} , \sqrt{0.9}$ में परिमेय संख्या $=\sqrt{\frac{4}{9}}$

प्रश्न 9

बताइये कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्यायें परिमेय और कौन-कौन संख्यायें अपरिमेय. हैं।

(i) $\sqrt{23}$

(ii) $\sqrt{225}$

(iii) 0-3796

(iv) 7.478478...

(v) 1.101001000100001

हल : 

(i) $\sqrt{23}$ अभाज्य संख्या होने के कारण अपरिमेय है क्योंकि अभाज्य संख्या एक पूर्ण की संख्या नहीं होती है।

(ii) $\sqrt{225}=\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5=} 3 \times 5=15$

अत: $\sqrt{225}=15$ एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796 एक सांत दशमलव संख्या है । अतः 0.3796 एक परिमेय संख्या है।

(iv) 7.478478... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति है । अत : यह एक परिमेय संख्या है।

(v) 1.101001000100001... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति नहीं है। अतः यह एक अपरिमेय संख्या है।

प्रश्न 10

$\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल : 

$\begin{aligned} \frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}} &=\frac{2 \sqrt{7}}{\sqrt{11}} \times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}} \\ &=\frac{2 \sqrt{77}}{11} \end{aligned}$

प्रश्न 11

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल : 

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

$=-\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3)^{2}}\right.}{\left(\sqrt{5)^{2}}-\left(\sqrt{3)^{2}}\right.\right.}$

$=\frac{5+3+2 \sqrt{15}}{5-3}$

$=\frac{8+2 \sqrt{15}}{2}$

$=4+\sqrt{15}$

प्रश्न 12

हल कीजिए : $\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$.

हल : 

$\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}=\frac{(\sqrt{5}-2)^{2}-(\sqrt{5}+2)^{2}}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)}$

$=\frac{(\sqrt{5}-2+\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2)}{5-4}$

$=2 \sqrt{5 \times-4}$

$=-8 \sqrt{5}$

प्रश्न 13

सरल कीजिए : $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2}$.

हल : 

$\begin{aligned}(\sqrt{3}+\sqrt{7})^{2} &=(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{7})^{2}+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{7} \\ &=3+7+2 \sqrt{21} \\ &=10+2 \sqrt{21} \end{aligned}$

प्रश्न 14

सरल कीजिए : $\left(\frac{62}{25}\right)^{-3 / 2}$

हल :

$\begin{aligned}\left(\frac{62}{25}\right)^{-3 / 2} &=(62)^{-3 / 2} \times\left(5^{-2}\right)^{-3 / 2} \\ &=(62)^{-3 / 2} \times 5^{3} \\ &=125(62)^{-3 / 2} \end{aligned}$

प्रश्न 15

ज्ञात कीजिए :

(i) $(64)^{1 / 2}$

(ii) $32^{1 / 5}$

(iii) $(\mathbf{1 2 5})^{1 / 3}$

हल : 

(i) $(64)^{1 / 2}=(8 \times 8)^{1 / 2}=\left(8^{2}\right)^{1 / 2}=8$

(ii)$(32)^{1 / 5}=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{1 / 5}=\left(2^{5}\right)^{1 / 5}=2$

(iii) $(125)^{1 / 3}=(5 \times 5 \times 5)^{1 / 3}=\left(5^{3}\right)^{1 / 3}=5$

प्रश्न 16

ज्ञात कीजिए :

(i) $9^{3 / 2}$

(ii) $(32)^{2 / 5}$

(iii) $(16)^{3 / 4}$

(iv) $(125)^{-1 / 3}$

हल : 

(i)

$\begin{aligned}(9)^{3 / 2} &=(3 \times 3)^{3 / 2} \\ &=\left(3^{2}\right)^{3 / 2}=(3)^{3}=27 \end{aligned}$

(ii)

$\begin{aligned} (32)^{2 / 5} &=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{2 / 5} \\&=\left(2^{5}\right)^{2 / 5}=(2)^{2}=4\end{aligned}$

(iii)

$\begin{aligned}(16)^{3 / 4} &=(2 \times 2 \times 2 \times 2)^{3 / 4}=\left(2^{4}\right)^{3 / 4} \\&=(2)^{3}=8 .\end{aligned}$

(iv)

$\begin{aligned}(125)^{-1 / 3} &=(5 \times 5 \times 5)^{-1 / 3} \\&=\left(5^{3}\right)^{-1 / 3}=(5)^{-1}=\frac{1}{5}\end{aligned}$

प्रश्न 17

सरल कीजिए-

(i) $2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}$

(ii) $\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}$

(iii) $\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}$

(iv) $7^{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}$

हल : 

(i) 

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}=2^{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}$ 

$2^{\frac{10+3}{15}}=2^{\frac{13}{15}}$   [सूत्र $a^{m} \cdot a^{n}=a^{m+n}$ के अनुसार]

(ii) 

$\left(\frac{1}{3^{3}}\right)^{7}=\left(3^{-3}\right)^{7}$  [सूत्र $\frac{1}{a^{m}}=a^{-m}$ के अनुसार]

$=(3)^{-3 \times 7}=3-21$

(iii) 

$\frac{11^{\frac{1}{2}}}{11^{\frac{1}{4}}}=11^{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}$

[सूत्र $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ के अनुसार]

$=11^{\frac{2-1}{4}}=11^{\frac{1}{4}}$

(iv)  

$7^{\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}=(7 \times 8)^{\frac{1}{2}}$

[सूत्र $a^{m} . b^{m}=(a b)^{m}$ के अनुसार]

$=(56)^{\frac{1}{2}}$

$=\sqrt{56}=2 \sqrt{14}$