प्रश्नावली 1 (I)
प्रश्न 1
$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ के अंश व हर को $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ से गुणा करने पर
$\begin{aligned} &=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \\&=\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}{\left(\sqrt{7)^{2}-\left(\sqrt{5)^{2}}\right.}\right.} \\ &=\frac{7+5-2 \sqrt{35}}{7-5} \\ &=\frac{12-2 \sqrt{35}}{2} \\ &=\frac{2(6-\sqrt{35)}}{2} \\ &=(6-\sqrt{35}\end{aligned}$
प्रश्न 2
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$ के अंश व हर को $2+\sqrt{3}$ से गुणा करने पर
$=\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} \times \frac{2+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$
$=\frac{(2+\sqrt{3})^{2}}{(2)^{2}-\left(\sqrt{3)^{2}}\right.}$
$=\frac{4+3+4 \sqrt{3}}{4-3}$
$=7+4 \sqrt{3}$
प्रश्न 3
$\frac{3-2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{3-2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$ के अंश व हर को $3-2 \sqrt{2}$ से गुणा करने पर
$=\frac{3-2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}} \times \frac{3-2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$
$=\frac{(3-2 \sqrt{2})^{2}}{(3)^{2}-(2 \sqrt{2})^{2}}$
$=\frac{9+8-12 \sqrt{2}}{9-8}$
$=(17-12 \sqrt{2})$
प्रश्न 4
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}$ के अंश व हर को $3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}$ से गुणा करने पर
$=\frac{(2 \sqrt{6}-\sqrt{5)}(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6)}}{(3 \sqrt{5-2 \sqrt{6)(3} \sqrt{5}+2 \sqrt{6)}}}$
$=\frac{6 \sqrt{30}+24-15-2 \sqrt{30}}{\left(3 \sqrt{5)^{2}-\left(2 \sqrt{6)^{2}}\right.}\right.}$
$=\frac{4 \sqrt{30}+9}{45-24}$
$=\frac{1}{21}(4 \sqrt{30}+9)$
प्रश्न 5
$\frac{\sqrt{18}+\sqrt{24}}{\sqrt{12}-\sqrt{8}}$.को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{\sqrt{18}+\sqrt{24}}{\sqrt{12-\sqrt{8}}=3 \sqrt{2}+2 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}$
अंश व हर को $2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}$ से गुणा करने पर
$\begin{aligned} &=\frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{6}}{2 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} \times \frac{2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}} \\&=\frac{6 \sqrt{6}+12+4 \sqrt{18}+4 \sqrt{12}}{12-8} \\ &=\frac{12+6 \sqrt{6}+12 \sqrt{2}+8 \sqrt{3}}{4} \\ &=\frac{12+12 \sqrt{2}+8 \sqrt{3}+6 \sqrt{6}}{4} \\ &=\frac{1}{2}[6+6 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+3 \sqrt{6}] \end{aligned}$
प्रश्न 6
$\frac{5}{\sqrt{2}+3 \sqrt{5}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{5}{\sqrt{2}+3 \sqrt{5}}=\frac{5}{3 \sqrt{5}+\sqrt{2}}$
अंश व हर में $3 \sqrt{5}-\sqrt{2}$ से गुणा करने पर
$\begin{aligned}&=\frac{5}{3 \sqrt{5}+\sqrt{2}}\times \frac{3 \sqrt{5}-\sqrt{2}}{3 \sqrt{5}-\sqrt{2}} \\&=\frac{5(3 \sqrt{5}\sqrt{2)}}{\left(3 \sqrt{5)^{2}}-\left(\sqrt{2)^{2}}\right.\right.} \\&=\frac{5(3 \sqrt{5}-\sqrt{2)}}{45-2} \\&=\frac{5(3 \sqrt{5}-\sqrt{2)}}{43} \\&=\frac{-5}{43}(\sqrt{2}-3 \sqrt{5)}\end{aligned}$
यदि a और b दो परिमेय संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित समताओं में a और b का मान ज्ञात कीजिए ( प्रश्न 7 से 11 तक
प्रश्न 7
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=a+b \sqrt{15}$
हल :
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{5+\sqrt{3}}}{\sqrt{5-\sqrt{3}}}&=a+b \sqrt{15} \\ \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5+} \sqrt{3)}}{\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3)}} &=a+b \sqrt{15} \\ \frac{5+3+2 \sqrt{15}}{5-3} &=a+b \sqrt{15} \\ \frac{2(4+\sqrt{15)}}{2} &=a+b \sqrt{15} \\ 4+\sqrt{15} &=a+b \sqrt{15} \end{aligned}$
तुलना से, a=4, b=1
प्रश्न 8
$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=a-b \sqrt{6}$.
हल :
$\begin{aligned} \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} &=a-b \sqrt{6} \\ \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2)}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2)}} &=a-b \sqrt{6} \\ \frac{3+2-2 \sqrt{6}}{3-2} &=a-b \sqrt{6} \\ 5-2 \sqrt{6} &=a-b \sqrt{6} \end{aligned}$
तुलना से, a=5, b=2
प्रश्न 9
$\frac{4+2 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}}=a+b \sqrt{5}$
हल :
$\begin{aligned} \frac{4+2 \sqrt{5}}{4-3 \sqrt{5}} &=a+b \sqrt{5} \\ \frac{(4+2 \sqrt{5)}(4+3 \sqrt{5)}}{(4-3 \sqrt{5)}(4+3 \sqrt{5)}} &=a+b \sqrt{5} \\ \frac{16+20 \sqrt{5}+30}{16-45} &=a+b \sqrt{5} \\ \frac{46+20 \sqrt{5}}{-29} &=a+b \sqrt{5} \\-\frac{46}{29}-\frac{20}{29} \sqrt{5} &=a+b \sqrt{5} \end{aligned}$
तुलना से, $a=-\frac{46}{29}, b=-\frac{20}{29}$.
प्रश्न 10
$\frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}}=a \sqrt{5-b}$
हल :
$\begin{aligned} \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} &=a \sqrt{5}-b \\ \frac{3-\sqrt{5}}{3+2 \sqrt{5}} \times \frac{3-2 \sqrt{5}}{3-2 \sqrt{5}} &=a \sqrt{5}-b \\ \frac{9-9 \sqrt{5}+10}{9-20} &=a \sqrt{5}-b \\-\frac{-9 \sqrt{5}+19}{-11} &=a \sqrt{5}-b \\ \frac{9 \sqrt{5}}{11}-\frac{19}{11} &=a \sqrt{5}-b \end{aligned}$
तुलना से, $a=\frac{9}{11}, b=\frac{19}{11}$.
प्रश्न 11
$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{6}$
हल :
$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{6}$
$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}}-\frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}=a-b \sqrt{6}$
$\begin{aligned} \frac{6+2 \sqrt{6}+3 \sqrt{6}+6}{18-12} &=a-b \sqrt{6} \\ \frac{12+5 \sqrt{6}}{6} &=a-b \sqrt{6} \\ 2+\frac{5}{6} \sqrt{6} &=a-b \sqrt{6} \end{aligned}$
प्रश्न 12
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}-\frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}^{-4} \sqrt{6}+\sqrt{3}^{-} \sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}(\sqrt{2}-\sqrt{3)}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{2}-\sqrt{3)}}$ $+\frac{3 \sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{3)}}{(\sqrt{6}+\sqrt{3)}(\sqrt{6}-\sqrt{3)}}-\frac{4 \sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2)}}{(\sqrt{6}+\sqrt{2)}(\sqrt{6}-\sqrt{2)}}$
$=\frac{\sqrt{12}-\sqrt{18}}{2-3}+\frac{3 \sqrt{12}-3 \sqrt{6}}{6-3}-\frac{4 \sqrt{18}-4 \sqrt{6}}{62}$
$=-\sqrt{12}+\sqrt{18}+\frac{3(\sqrt{12}-\sqrt{6)}}{3}-\sqrt{18}+\sqrt{6}$
$=-\sqrt{12}+\sqrt{18}+\sqrt{12}-\sqrt{6}-\sqrt{18}+\sqrt{6}$
=0
प्रश्न 13
$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+2}+\frac{1}{-\sqrt{5}+\sqrt{3}+2}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$\begin{aligned}&=\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}+2^{-}-\sqrt{5}+\sqrt{3}+2} \\&=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+2+\sqrt{5}+\sqrt{3}+2}{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+2)(-\sqrt{5}+\sqrt{3}+2)} \\&=\frac{4+2 \sqrt{3}}{-(\sqrt{5)^{2}}+(\sqrt{3}+2)} \\&=\frac{4+2 \sqrt{3}}{-5+3+4+4 \sqrt{3}} \\&=\frac{4+2 \sqrt{3}-2+\sqrt{3}}{2+4 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}}\end{aligned}$
$=\frac{2+\sqrt{3}}{1+2 \sqrt{3} \times 1-2 \sqrt{3}}{1-2 \sqrt{3}}$
$=\frac{2-4 \sqrt{3}+\sqrt{3}-6}{1-12}$
$=\frac{-4-3 \sqrt{3}^{-} 4+3 \sqrt{3}}{-11-} 11$
प्रश्न 14
$\frac{4 \sqrt{3}}{2-\sqrt{2}}-\frac{30}{4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}}-\frac{3 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{3}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$=\frac{4 \sqrt{3}(2+\sqrt{2)}}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2)}}-\frac{30(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2)}}{(4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2})(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})}-\frac{3 \sqrt{2}(3-2 \sqrt{3)}}{(3+2 \sqrt{3})(3-2 \sqrt{3)}}$
$=\frac{8 \sqrt{3}+4 \sqrt{6}}{4-2}-\frac{30(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2)}}{48-18}- \frac{9 \sqrt{2}-6 \sqrt{6}}{9-12}$
$=\frac{2(4 \sqrt{3}+2 \sqrt{6})}{2}-\frac{30(4 \sqrt{3}+3 \sqrt{2})}{30}-\frac{3(3 \sqrt{2}-2 \sqrt{6})}{-3}$
$=4 \sqrt{3}+2 \sqrt{6}-4 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{6}$
=0
प्रश्न 15
$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} +\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{ \sqrt{6}+\sqrt{7} }+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}+\frac{1}{\sqrt{8}+\sqrt{9}}$ को सरल कीजिए ।
हल :
$=\frac{(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3)}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}+\frac{(\sqrt{3}-\sqrt{4})}{(\sqrt{3}+\sqrt{4})(\sqrt{3}-\sqrt{4)}}+\frac{(\sqrt{4}-\sqrt{5})}{(\sqrt{4}+\sqrt{5)}(\sqrt{4}-\sqrt{5)}}+\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{6})}{(\sqrt{5}+\sqrt{6})(\sqrt{5}-\sqrt{6})}+\frac{(\sqrt{6}-\sqrt{7})}{(\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{6}-\sqrt{7})}+\frac{(\sqrt{7}-\sqrt{8})}{(\sqrt{7}+\sqrt{8})(\sqrt{7}-\sqrt{8})}+\frac{(\sqrt{8}-\sqrt{9})}{(\sqrt{8}+\sqrt{9})(\sqrt{8}-\sqrt{9}}$
$=\frac{1-\sqrt{2}}{1-2}+\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{4-5}+\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{5-6}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{7}}{6-7}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{8}}{7-8}+\frac{\sqrt{8}-\sqrt{9}}{8-9}$
$=-1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+\sqrt{4}-\sqrt{4}+\sqrt{5}-\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{7}+\sqrt{8}-\sqrt{8}+\sqrt{9}$
$=-1+\sqrt{9}$
=-1+3=2
यदि $\sqrt{2}=1.414, \sqrt{3}=1.732, \sqrt{5}=2.236, \sqrt{10}=3.162$ और $\sqrt{6}=2.449$ (लगभग), लेकर निम्नलिखित में से प्रत्येक का मान दशमलव के तीन स्थानों तक शुद्ध ज्ञात कीजिए :
प्रश्न 16
यदि $x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ तो $x+\frac{1}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :
$x=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ तब $\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$x+\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5-} \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$=\frac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3)^{2}}+\left(\sqrt{5}-\sqrt{3)^{2}}\right.\right.}{(\sqrt{5}-\sqrt{3)}(\sqrt{5}+\sqrt{3)}}$
$=\frac{5+3+2 \sqrt{15}+5+3-2 \sqrt{15}}{5-3}$
$=\frac{16}{2}=8$
प्रश्न 17
$\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}+\frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$ का मान बताओ ।
हल :
$\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}^{-}} \frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}=\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})+3(3\sqrt{3}-2 \sqrt{2)}}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}$
$=\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}+9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{27-8}$
$=\frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$=\frac{21 \times 1 \cdot 732+2 \times 1.414}{19}$
$=\frac{36 \cdot 372+2.828}{19}$
$=\frac{39 \cdot 2}{19}=2 \cdot 063$
प्रश्न 18
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{4+\sqrt{15}}$ का मान बताओ ।
हल :
$=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})}-\frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3)}}{(4+\sqrt{15)}} \times \frac{(4-\sqrt{15)}}{(4-\sqrt{15)}}$
$=\frac{3+2+2 \sqrt{6}}{3-2}-\frac{4 \sqrt{5}-\sqrt{75}+4 \sqrt{3}-\sqrt{45}}{16-15}$
$=5+2 \sqrt{6}-(4 \sqrt{5}-5 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{5})$
$=5+2 \sqrt{6}-\sqrt{5}+\sqrt{3}$
=5+2×2.449-2.236+1.732
=5+4.898-2.236+1.732
=11.63-2.236
=9.394
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