प्रश्नावली 1 (E)
प्रश्न 1
पूर्ण ( शुद्ध) करणी के रूप में लिखिए :
(i) $\frac{2}{3} \sqrt{40}$
(ii) $\frac{3}{4} \sqrt{96}$
(iii) $3 \sqrt[3]{2}$
(iv) $5 \sqrt{2}$
हल :
(i) $\frac{2}{3} \sqrt{40}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times 40} \\ &=\sqrt{\frac{4 \times 40}{9}} \\ &=\sqrt{\frac{160}{9}} \end{aligned}$
(ii) $\frac{3}{4} \sqrt{96}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned} &=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2^{2}} \times 96} \\ &=\sqrt{\frac{9 \times 96}{16}} \\ &=\sqrt{9 \times 6} \\ &=\sqrt{54 .} \end{aligned}$
(iii) $3 \sqrt[3]{2}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{(3)^{3} \times 2} \\ &=\sqrt[3]{27 \times 2} \\ &=\sqrt[3]{54} \end{aligned}$
(iv) $5 \sqrt{2}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned} &=\sqrt{(5)^{2} \times 2} \\ &=\sqrt{25 \times 2} \\ &=\sqrt{50 .} \end{aligned}$
प्रश्न 2
पूर्ण ( शुद्ध) करणी के रूप में लिखिए :
(i) $\frac{2}{3} \sqrt{32}$
(ii) $3 \sqrt{5}] \overline{5}$
(iii) $\frac{3}{4} \sqrt{8}$
(iv) $m^{3} \sqrt[6]{n^{3}}$
हल :
(i) $\frac{2}{3} \sqrt{32}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times 32} \\&=\sqrt{\frac{4}{9} \times 32} \\&=\sqrt{\frac{128}{9}}\end{aligned}$
(ii) $3 \sqrt[4]{5}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{(3)^{4} \times 5} \\&=\sqrt{81 \times 5} \\&=\sqrt{405} .\end{aligned}$
(iii) $\frac{3}{4} \sqrt{8}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \times 8} \\&=\sqrt{\frac{9 \times 8}{16}} \\&=\sqrt{\frac{9}{2}}\end{aligned}$
(iv) $m^{3} \sqrt[6]{n^{3}}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[6]{\left(m^{3}\right)^{6} \times n^{3}} \\&=\sqrt[6]{m^{18} n^{3}}\end{aligned}$
प्रश्न 3
पूर्ण ( शुद्ध) करणी के रूप में लिखिए :
(i) $x \sqrt{x-y}$
(ii) $5 \sqrt{1-62}$
(iii) $(x+y) \sqrt{(x-y)}$
(iv) $p^{4} \sqrt{q}$
हल :
(i) $x \sqrt{x-y}$
शुद्ध करणी रूप
$=\sqrt{x^{2}(x-y)}$.
(ii) $5 \sqrt{1 \cdot 62}$
शुद्ध करणी रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{(5)^{2} \times 1.62} \\&=\sqrt{25 \times 1.62} \\&=\sqrt{40 \cdot 5}\end{aligned}$
(iii) $(x+y) \sqrt{(x-y)}$
शुद्ध करणी रूप $=\sqrt{(x+y)^{2}(x-y)}$
(iv) $p \sqrt{4}{q}$
शुद्ध करणी रूप
$=\sqrt[4]{p^{4} q} \text {. }$
प्रश्न 4
मिश्र करणी को सरलतम रूप में लिखिए :
(i) $\sqrt[3]{768}$
(ii) $\sqrt{\frac{175}{63}}$
(iii) $\sqrt[3]{256}$
(iv) $5 \sqrt[3]{135}$
हल :
(i) $\sqrt[3]{768}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4 \times 12} \\&=4 \sqrt[3]{12}\end{aligned}$
(ii) $\sqrt{\frac{175}{63}}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{\frac{5 \times 5 \times 7}{9 \times 7}} \\&=\sqrt{\frac{5 \times 5}{3 \times 3}} \\&=\frac{5}{3}\end{aligned}$
(iii) $\sqrt[3]{256}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{4 \times 4 \times 4 \times 4} \\&=\sqrt[3]{(4)^{3} \times 4} \\&=4 \sqrt[3]{4}\end{aligned}$
(iv) $5 \sqrt[3]{135}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=5 \sqrt[3]{3 \times 3 \times 3 \times 5} \\&=5 \sqrt[3]{(3)^{3} \times 5} \\&=5 \times 3 \sqrt{5} \\&=15 \sqrt{3} \sqrt{5}\end{aligned}$
प्रश्न 5
निम्न को सरलतम रूप में लिखिए :
(i) $\sqrt{80}$
(ii) $\sqrt[3]{72}$
(iii) $\sqrt[8]{\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{21}}}$
(iv) $\sqrt[3]{756}$
हल :
(i)
$\sqrt{80}=\sqrt{4 \times 4 \times 5}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{4 \times 4 \times 5} \\&=\sqrt{(4)^{2} \times 5} \\&=4 \sqrt{5 .}\end{aligned}$
(ii) $\sqrt[3]{72}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3} \\&=\sqrt[3]{(2)^{3} \times 9} \\&=2 \sqrt{9 .}\end{aligned}$
(iii) $\sqrt[8]{\frac{x^{13}}{y^{21}}}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[8]{\frac{x^{8+5}}{y^{16+5}}} \\&=\sqrt[8]{\frac{x^{8} x^{5}}{\left(y^{2}\right)^{8} \cdot y^{5}}} \\&=\frac{x}{y^{2}} \sqrt{\frac{x^{5}}{y^{5}}}\end{aligned}$
(iv) $\sqrt[3]{756}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{3 \times 3 \times 3 \times 28} \\&=\sqrt[3]{(3)^{3} \times 28} \\&=3 \sqrt[3]{28 .}\end{aligned}$
प्रश्न 6
निम्न को सरलतम रूप में लिखिए :
(i) $\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$
(ii) $\sqrt{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)}$
(iii) $(x-y) \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$
(iv) $\frac{x}{y^{2}} \sqrt[3]{\frac{y^{7}}{x^{2}}}$
हल :
(i) $\sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{\frac{(x+y)(x-y)}{(x-y)^{2}}} \\&=\sqrt{\frac{x^{2}-y^{2}}{(x-y)^{2}}} \\&=\frac{1}{x-y} \sqrt{x^{2}-y^{2}}\end{aligned}$
(ii) $\sqrt{\left(x^{3}+y^{3}\right)\left(x^{2}-y^{2}\right)}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)(x+y)(x-y)} \\&=\sqrt{(x+y)^{2}(x-y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)} \\&=(x+y) \sqrt{(x-y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)}\end{aligned}$
(iii) $(x-y) \sqrt{\frac{x+y}{x-y}}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt{\frac{(x-y)^{2}(x+y)}{(x-y)}} \\&=\sqrt{(x-y)(x+y)} \\&=\sqrt{x^{2}-y^{2}}\end{aligned}$
(iv) $\frac{x}{y^{2}} \sqrt[3]{\frac{y^{7}}{x^{2}}}$
सरलतम रूप
$\begin{aligned}&=\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{y^{6}} \times \frac{y^{7}}{x^{2}}} \\&=\sqrt[3]{x y}\end{aligned}$
प्रश्न 7
ज्ञात कीजिए :
(i) $9^{3 / 2}$
हल :
(i)
$\begin{aligned}(9)^{3 / 2} &=(3 \times 3)^{3 / 2} \\ &=\left(3^{2}\right)^{3 / 2}=(3)^{3}=27 \end{aligned}$
(ii) $(32)^{2 / 5}$.
$\begin{aligned}(32)^{2 / 5} &=(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)^{2 / 5} \\&=\left(2^{5}\right)^{2 / 5}=(2)^{2}=4\end{aligned}$
प्रश्न 8
$8 \sqrt{15}$ को $2 \sqrt{3}$ से भाग दीजिए।
हल :
$=\frac{8 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3}}$
$=\frac{2 \times 4 \sqrt{3} \times \sqrt{5}}{2 \sqrt{3}}$
$=4 \sqrt{5}$
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