Dr Manohar Re Solution CLASS 9 CHAPTER 1 (Number System) संख्या पद्धति प्रश्नावली 1 (C)

 प्रश्नावली 1 (C)

प्रश्न 1

निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए :

(i) $\frac{1}{5}$

(ii) $-\frac{2}{5}$

(iii) $3 \frac{2}{7}$

(iv) $\frac{8}{3}$

हल :

(i) $\frac{1}{5}=0.2 ; 0<\frac{1}{5}<1$

(ii) $-\frac{2}{5} ; 1<-\frac{2}{5}<0$

(iii) $3 \frac{2}{7} ; 3<3 \frac{2}{7}<4$

(iv)$\frac{8}{3}=2 \frac{2}{3} ; 2<2 \frac{2}{3}<3$

प्रश्न 2

निम्नलिखित परिमेय संख्यओं में से कौन-सी संख्या को सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते हैं :

(i) $\frac{1}{20}$

(ii) $\frac{1}{27}$

(iii) $\frac{3}{5}$

(iv) $\frac{1}{15}$.

हल : 

विशेष : यदि धन पूर्णांकों p और q का कोई सार्वभाजक नहीं है, तब $\dfrac{p}{q}$ का दशमलव निरूपण सांत होता है,

जहाँ q के अभाज्य गुणनखण्ड केवल 2 और 5 हों अर्थात् q=2^m×5ⁿ ;$ जहाँ m, n=0,1,2,3,...

(i) $\dfrac{1}{20}$ में 20=2²×5 ,

20 के गुणनखण्डों में 2 और 5 हैं अर्थात् सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते हैं ।

(ii) $\dfrac{1}{27}$ में 27=3³

अर्थात् 27 के गुणनखण्डों में 2 अथवा 5 नहीं है ।

अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित नहीं कर सकते हैं ।

(iii) $\dfrac{3}{5}$ में 5=1×5 अर्थात् 5 के गुणनखण्ड में 5 है ।

अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते हैं ।

(iv) $\dfrac{1}{15}$ में 15=3×5 अर्थात् 15 के गुणनखण्ड में 5 है, 2 नहीं है । 

अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित नहीं कर सकते हैं ।

प्रश्न 3

निम्नलिखित दशमलव भिन्न को परिमेय संख्या $\dfrac{p}{q}$ के रूप में बदलिए :

(i) $0\cdot \overline{{2 3 4}}$

(ii) $0.12 \overline{54}$

हल : 

(i) दशमलव भित्र

$\begin{aligned}0 \cdot \overline{234} &=0.234234 \ldots \\1000 \times 0 . \overline{234} &=234.234234 \ldots\end{aligned}$

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर

$\begin{aligned}1000 \times 0 . \overline{234}-0 \cdot \overline{234} &=234.234234-0.234234 \\999 \times 0 \cdot \overline{234} &=234 \\0 \cdot \overline{234} &=\frac{234}{999}\end{aligned}$

(ii) दशमलव भिन्न $0.12 \overline{54}$

$\begin{aligned} 0 \cdot 12 \overline{54} &=0.125454 \ldots \\ 100 \times 0.12 \overline{54}&=100\times 0.125454 \\ 100 \times 0.12 \overline{54} &=12.5454 \\10,000\times 0.12\overline{54}&=1254.5454 \end{aligned}$

समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर

$\begin{aligned} 9900 \times 0 \cdot 12 \overline{54} &=1242 \\ 0 \cdot 12 \overline{54} &=\frac{1242}{9900}=\frac{69}{550} \end{aligned}$

प्रश्न 4

निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिये और बताइये कि प्रत्येक का दशमलव प्रसार किस प्रकार है :

(i) $\frac{36}{100}$

(ii) $\frac{1}{11}$

(iii) $4 \frac{1}{8}$

(iv) $\frac{3}{13}$

(v) $\frac{2}{11}$

(vi) $\frac{329}{400}$

हल : 

(i) $\frac{36}{100}=0.36$

इसका दशमलव प्रसार सांत है।

(ii) $\frac{1}{11}$

भाग विधि द्वारा :

अर्थात् $\frac{1}{11}=0.09090909 \ldots .$

$=0 . \overline{09}$

इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पुनरावर्ती है।

(iii) $4 \frac{1}{8}=\frac{33}{8}$

भाग विधि द्वारा :

अर्थात् $4 \frac{1}{8}=\frac{33}{8}=4 \cdot 125$

इसका दशमलव प्रसार सांत है।

(iv) $\frac{3}{13}$

अर्थात् $\frac{3}{13}=0.230769230769 \ldots=0 . \overline{230769}$

इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पुनरावर्ती है।

(v) $\frac{2}{11}$

अर्थात $\frac{2}{11}=0.1818$ $\quad=0 . \overline{18}$

इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पनरावर्ती है।

(vi) $\frac{329}{400}$

अर्थांत् $\frac{329}{400}=0.8225$

इसका दशमलव प्रसार सांत है।

प्रश्न 5

आप जानते हैं कि $\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$ है। वास्तव में लम्बा भाग दिये बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि $\frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ के दशमलव प्रसार क्या हैं ? यदि हाँ, तो कैसे ?

हल : हाँ, प्रश्न में दी गई सभी संख्याओं क्रमशः $\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ का दशमलव प्रसार आवर्ती दशमलव है जोकि 1,4,2,8,5,7 का ही प्रसार है।

अर्थात् $\frac{1}{7}=0 \cdot \overline{142857}$

$\frac{2}{7}$ का मान ज्ञात करने के लिये यह जानना आवश्यक होगा कि शेषफल 2 कब आता है तथा उससे सम्बन्धित भागफल जोकि इस प्रश्न में 2 है, तब वहाँ से प्रारम्भ होने वाला नया भागफल लिखना होगा, अर्थात्

इसी प्रकार

$\begin{aligned}&\frac{2}{7}=0 \cdot \overline{285714} \\&\frac{3}{7}=0 . \overline{428571} \\&\frac{4}{7}=0 . \overline{571428} \\&\frac{5}{7}=0 . \overline{714285} \\&\frac{6}{7}=0 . \overline{857142}\end{aligned}$

प्रश्न 6

निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिये, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q≠0 है

(i) $0 \cdot \overline{6}$

(ii) $0.4 \overline{7}$

(iii) $0 \overline{001}$

हल : 

(i) मान लीजिए $x=0 \cdot \overline{6}=0.6666$ --------(i)

दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर  $10 x=6.666 \ldots$

$\begin{aligned} &=6+0.666 \\ 10 x &=6+x \\ 9 x &=6 \\ x &=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \\ 0 \overline{.6} &=\frac{2}{3} \end{aligned}$

(ii) मान लीजिए $x=0.4 \overline{7}$

दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर  $\begin{aligned} 10 x &=10 \times 0.4 \overline{7}=4 \cdot \overline{7} \\ 10 x &=4+0 \cdot \overline{7}=4+\frac{7}{9}=\frac{43}{9} \\ x &=\frac{43}{90} \\ 0.4 \overline{7} &=\frac{43}{90} \\ x &=0 \overline{001} \end{aligned}$

 (iii)मान लीजिए  $x=0 \overline{001}$-----(i)

यहाँ दशमलव बिन्दु के बाद तीन आवती अंक हैं, अतः समी. (i) में $(10)^{3}=1000$ से गुणा करने पर,

$1000 x=1 \cdot 001001 \ldots$ -------(ii) 

समी. (ii) में से समी. (i) को घटाने पर,

$\begin{aligned} 1000 x-x &=(1 \cdot 001001 \ldots)-(0.001001 \ldots) \\ 999 x &=1 \\ x &=\frac{1}{999} \\ 0. \overline{001} &=\frac{1}{999} \end{aligned}$

प्रश्न 7

0.9999... को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिये। क्या आप अपने उत्तर से आश्चर्यचकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर की सार्थकता पर चर्ना कीजिये।

हल : 

मान लीजिए x=0.99999...---------(i)

∵ यहाँ केवल एक आवर्ती अंक है। अतः दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर

10x=9.9999....

=9+0.9999....

10x=9+x

9x=9

x=1

0.9999....=1

प्रश्न 8

$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खण्ड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच के लिये विभाजन क्रिया कीजिये।v

हल : 

$\therefore \quad \frac{1}{17}=0 . \overline{0588235294117647}$

$\therefore \frac{1}{17}$ में भागफल में अंकों की अधिकतम संख्या 16 है।

प्रश्न 9

$\frac{\boldsymbol{p}}{q},(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिये, जहाँ p व q पूर्णाक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण है। क्या आप यह अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिये।

हल : 

$\frac{p}{q},(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्यारें क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{639}{250}, \frac{7}{16}, \frac{11}{25}, \ldots$ आदि हो सकती हैं जिनका सांत दशमलव निरूपण होता है।

सांत दशमलव की परिभाषा के अनुसार जब किसी परिमेय संख्या का हर 2 या 5 या दोनों की घात में हो, तो ऐसी परिमेय संख्याओं से सांत दशमलव प्राप्त होता है। 

दूसरे शब्दों में, यह भी कहा जा सकता है कि परिमेय संख्या $\frac{p}{q},(q \neq 0)$ को सांत दमशलव रूप में निरूपित करने के लिये आवश्यक है कि प्रत्येक q ऐसा लिया जाये कि q के अभाण्य गुणनखण्ड में केवल 2 की घात या 5 की घात या दोनों ही हों।

प्रश्न 10

ऐसी तीन संख्यायें लिखिये जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों। 

हल : 

हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनषसानी आवर्ती होता है। अत: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots$ इत्यादि का दशमलव प्रसार अनवसानी आवर्ती है। ऐसी संख्या को सीधे दशमलव प्रसार के रूप में भी लिख सकते है :

a=0.04004000400004....

b=0.505005000500005...

c=0.007000700007...

प्रश्न 11

परिमेय संख्याओं $\frac{5}{7}$ और $\frac{9}{11}$ के बीच तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्यायें ज्ञात कीजिये।

हल : 

परिमेय संख्या $\frac{5}{7}$ का दशमलव निरूपण इस प्रकार है :

इसके आगे हल करने की प्रक्रिया पूर्वानुसार है।

$\therefore \quad \frac{5}{7}=0 . \overline{714285}$

अब दूसरी संख्या $\frac{9}{11}$ का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है :

इसको आगे हल करने की प्रक्रिया चरण $E$ के अनुसार है।

$\frac{9}{11}=0 . \overline{81}$

अब $\frac{5}{7}=0 . \overline{714285}$ तथा $=0 . \overline{81}$ के बीच अनेक अपरिमित संख्याओं को ज्ञात किया जा सकता है। उनमें से

कोई तीन 0.75075007500075000075...., 0.767076700767000767.... तथा 0.808008000800008... भी हो सकती हैं।

प्रश्न 12

बताइये कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्यायें परिमेय और कौन-कौन संख्यायें अपरिमेय हैं।

(i) $\sqrt{23}$

(ii) $\sqrt{225}$

(iii) 0.3796

(iv) 7.478478...

(v) 1.101001000100001

हल : 

(i) $\sqrt{23}$ अभाण्य संख्या होने के कारण अंपरिमेय है क्योंकि अभाज्य संख्या एक पूर्ण की संख्या नही होती है।

(ii) $\sqrt{225}=\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5}=3 \times 5=15$

अतः $\sqrt{225}=15$ एक परिमेय संख्या है।

(iii) 0.3796 एक सांत दशमलव संख्या है। 

अतः 0.3796 एक परिमेय संख्या है।

(iv) 7.478478... एक आवर्ती लेकिन पुनरावृत्ति है।

∴ यह एक परिमेय संख्या है।

(v) 1.101001000100001... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति नहीं है। 

अतः यह एक अपरिमेय संख्या  है।

प्रश्न 13. 

1 और 2 के बीच एक अपरिमेय संख्या बताइए ।

हल : 

यदि a और b कोई दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब इनके बीच एक अपरिमेय संख्या $\sqrt{a b}$ होती है । तब,

1 और 2 के बीच एक अपरिमेय संख्या $=\sqrt{1 \times 2}=\sqrt{2}$.

अतः अभीष्ट अपरिमेय संख्या $=\sqrt{2}$.

प्रश्न 14

$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए ।

हल : 

$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{12}$

$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

अब $\frac{1}{3}$ और $\frac{5}{12}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}+\frac{5}{12}\right]$

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left(\frac{4+5}{12}\right) \\ &=\frac{1}{2} \times \frac{9}{12}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8} \\ \frac{1}{3}<\frac{3}{8} &<\frac{5}{12}<\frac{1}{2} \end{aligned}$

अतः अभीष्ट तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{8}, \frac{5}{12}, \frac{11}{24}$ हैं।

प्रश्न 15

$-\frac{2}{5}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल : $\quad-\frac{2}{5}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right]$

$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{5}\right] \\ &=-\frac{3}{10} \\-\frac{2}{5} &<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5} \end{aligned}$

पुन: $-\frac{2}{5}$ और $-\frac{3}{10}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{5}-\frac{3}{10}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{-4-3}{10}\right]$

$=\frac{1}{2}\left[-\frac{7}{10}\right]$

$=-\frac{7}{20} .$

$-\frac{2}{5}<-\frac{7}{20}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$

पुन: $\quad-\frac{3}{10}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{10}-\frac{1}{5}\right]$

पुन: $\quad-\frac{3}{10}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{10}-\frac{1}{5}\right]$

$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[\frac{-3-2}{10}\right] \\&=\frac{1}{2}\left[-\frac{5}{10}\right] \\&=-\frac{1}{4}\end{aligned}$

$-\frac{2}{5}<-\frac{7}{10}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{2}<-\frac{1}{4}<-\frac{1}{5}$

अतः

अभीष्ट तीन परिमेय संख्याएँ $=-\frac{7}{20},-\frac{3}{10},-\frac{1}{4}$.

प्रश्न 16

2 और 3 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए ।

हल :

2 और 3 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[2+3]=\frac{5}{2}$.

$2<\frac{5}{2}<3$

पुन: $2 \text { और } \frac{5}{2} \text { के बीच परिमेय संख्या }=\frac{1}{2}\left[2+\frac{5}{2}\right]$

$=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{9}{4}$

$2<\frac{9}{4}<\frac{5}{2}<3$

पुन: $\frac{5}{2}$ और 3 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}\left[\frac{5}{2}+3\right]$

$=\frac{1}{2} \times \frac{11}{2}=\frac{11}{4}$

$2<\frac{9}{4}<\frac{5}{2}<\frac{11}{4}<3$

अत: $\text { अभीष्ट परिमेय संख्याएँ }=\frac{9}{5}, \frac{5}{2}, \frac{11}{4} \text {. }$

प्रश्न 17

यदि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है । सिद्ध कीजिए $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ।

हल : 

कल्पना कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है । तब,

माना  $2+\sqrt{2}=r$  [जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है]

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$\begin{aligned} 4+2+4 \sqrt{2} &=r^{2} \\ 6+4 \sqrt{2} &=r^{2} \\ 4 \sqrt{2} &=r^{2}-6 \\ \sqrt{2} &=\frac{r^{2}-6}{4} \end{aligned}$

$\because r$ एक परिमेय संख्या है तब $r^{2}$ भी परिमेय संख्या है । $\therefore \frac{r^{2}-6}{4}$ परिमेय संख्या है ।

लेकिन $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है (दिया है) तब अपरिमेय संख्या किसी परिमेय संख्या के बराबर नहीं होती है । $\therefore$ कल्पना $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है, गलत है । अतः $(2+\sqrt{2})$ परिमेय संख्या नहीं है ।

प्रश्न 18

सिद्ध कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है। 

हल : 

कल्पना कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है ।

माना$3 \sqrt{3}=r$  (जहाँ r एक परिमेय संख्या है)

या$\sqrt{3}=\frac{r}{3}$

$\because \frac{r}{3}$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है ।

कभी भी अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या बराबर नहीं होती हैं ।

$\therefore$  $\sqrt{3} \neq \frac{r}{3}$

$3 \sqrt{3} \neq r$

$3 \sqrt{3} \neq$ परिमेय संख्या

अतः $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ।

प्रश्न 19

-1 तथा 1 के बीच दो परिमेय संख्याएँ लिखिए । ऐसी कितनी और परिमेय संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं ।

हल :

-1 तथा 1 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[-1+1]=0$

-1<0<1

पुन: 0 और 1 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[0+1]=\frac{1}{2}$

$-1<0<\frac{1}{2}<1$

अत: अभीष्ट दो परिमेय संख्याएँ $=0, \frac{1}{2}$.

∵ दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं । 

अतः -1 तथा 1 के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होंगी ।

प्रश्न 20

यदि a और b दो परिमेय संख्याएँ हों, तो सिद्ध कीजिए कि a+b, a-b और ab परिमेय संख्याएँ हैं । यदि b≠0 तो सिद्ध कीजिए कि $\frac{a}{b}$ भी एक परिमेय संख्या है ।

हल : 

a और b दो परिमेय संख्याएँ हैं, तब, (a+b) परिमेय संख्या होगी, क्योंकि क्रमविनिमेय नियम से,

$a, b \in Q \Rightarrow a+b \in Q$

अतः दोनों परिमेय संख्याओं का योग भी परिमेय होगा ।

पुन: (a-b) परिमेय संख्या होगी क्योंकि परिमेय संख्या के अन्तर के क्रमविनिमेय नियम से

$a, b \in Q \Rightarrow(a-b) \in Q$

अतः (a-b) परिमेय संख्या होगी ।

पुन: ab परिमेय संख्या होगी क्योंकि गुणन के क्रमविनिमेय नियम से

$a, b \in Q \Rightarrow a b \in Q$

पुनः $\frac{a}{b}, b \neq 0$ परिमेय संख्या होगी क्गोंकि भाग के क्रमविनिमेय नियम से

$a, b \in Q \Rightarrow \frac{a}{b} \in Q, b \neq 0$

अतः $\frac{a}{b}$ परिमेय संख्या होगी ।

प्रश्न 21

यदि a एक धन परिमेय संख्या हो और n एक धन पूर्णांक 1 से बड़ा हो, तो सिद्ध कीजिए कि $a^{n}$ एक परिमेय संख्या है ।

हल : 

माना कि $a=\frac{p}{q}$ जहाँ p और q दोनों धन पूर्णांक हैं तथा $q \neq 0$.

पुन: n एक धन पूर्णांक है तथा n>1

∵ n=2,3,4, .... लेने पर  

$a^{2}=\left(\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right)^{2}$ जो एक परिमेय संख्या है ।

$a^{3}=\left(\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right)^{3}$ जो एक परिमेय संख्या है ।

$a^{4}=\left(\frac{p}{q}\right)^{4}$ जो एक परिमेय संख्या है ।

...............................................................................................

...............................................................................................

$a^{n}=\left(\frac{p}{q}\right)^{n}$ जो एक परिमेय संख्या है ।

इससे प्रतीत होता है कि $a^{n}$ एक परिमेय संख्या है, जबकि n>1 हो ।