प्रश्नावली 1 (C)
प्रश्न 1
निम्नलिखित संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित कीजिए :
(i) $\frac{1}{5}$
(ii) $-\frac{2}{5}$
(iii) $3 \frac{2}{7}$
(iv) $\frac{8}{3}$
हल :
(i) $\frac{1}{5}=0.2 ; 0<\frac{1}{5}<1$
(ii) $-\frac{2}{5} ; 1<-\frac{2}{5}<0$
(iii) $3 \frac{2}{7} ; 3<3 \frac{2}{7}<4$
(iv)$\frac{8}{3}=2 \frac{2}{3} ; 2<2 \frac{2}{3}<3$
प्रश्न 2
निम्नलिखित परिमेय संख्यओं में से कौन-सी संख्या को सांत दशमलव के रूप में
निरूपित कर सकते हैं :
(i) $\frac{1}{20}$
(ii) $\frac{1}{27}$
(iii) $\frac{3}{5}$
(iv) $\frac{1}{15}$.
हल :
विशेष : यदि धन पूर्णांकों p और q का कोई सार्वभाजक नहीं है, तब $\dfrac{p}{q}$
का दशमलव निरूपण सांत होता है,
जहाँ q के अभाज्य गुणनखण्ड केवल 2 और 5 हों अर्थात् q=2m×5n ;$
जहाँ m, n=0,1,2,3,...
(i) $\dfrac{1}{20}$ में 20=22×5 ,
20 के गुणनखण्डों में 2 और 5 हैं अर्थात् सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर
सकते हैं ।
(ii) $\dfrac{1}{27}$ में 27=33
अर्थात् 27 के गुणनखण्डों में 2 अथवा 5 नहीं है ।
अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित नहीं कर सकते हैं ।
(iii) $\dfrac{3}{5}$ में 5=1×5 अर्थात् 5 के गुणनखण्ड में 5 है ।
अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते हैं ।
(iv) $\dfrac{1}{15}$ में 15=3×5 अर्थात् 15 के गुणनखण्ड में 5 है, 2
नहीं है ।
अतः सांत दशमलव के रूप में निरूपित नहीं कर सकते हैं ।
प्रश्न 3
निम्नलिखित दशमलव भिन्न को परिमेय संख्या $\dfrac{p}{q}$ के रूप में बदलिए :
(i) $0\cdot \overline{{2 3 4}}$
(ii) $0.12 \overline{54}$
हल :
(i) दशमलव भित्र
$\begin{aligned}0 \cdot \overline{234} &=0.234234 \ldots \\1000 \times
0 . \overline{234} &=234.234234 \ldots\end{aligned}$
समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर
$\begin{aligned}1000 \times 0 . \overline{234}-0 \cdot \overline{234}
&=234.234234-0.234234 \\999 \times 0 \cdot \overline{234} &=234
\\0 \cdot \overline{234} &=\frac{234}{999}\end{aligned}$
(ii) दशमलव भिन्न $0.12 \overline{54}$
$\begin{aligned} 0 \cdot 12 \overline{54} &=0.125454 \ldots \\ 100
\times 0.12 \overline{54}&=100\times 0.125454 \\ 100 \times 0.12
\overline{54} &=12.5454 \\10,000\times 0.12\overline{54}&=1254.5454
\end{aligned}$
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर
$\begin{aligned} 9900 \times 0 \cdot 12 \overline{54} &=1242 \\ 0 \cdot
12 \overline{54} &=\frac{1242}{9900}=\frac{69}{550} \end{aligned}$
प्रश्न 4
निम्नलिखित भिन्नों को दशमलव रूप में लिखिये और बताइये कि प्रत्येक का दशमलव
प्रसार किस प्रकार है :
(i) $\frac{36}{100}$
(ii) $\frac{1}{11}$
(iii) $4 \frac{1}{8}$
(iv) $\frac{3}{13}$
(v) $\frac{2}{11}$
(vi) $\frac{329}{400}$
हल :
(i) $\frac{36}{100}=0.36$
इसका दशमलव प्रसार सांत है।
(ii) $\frac{1}{11}$
भाग विधि द्वारा :
अर्थात् $\frac{1}{11}=0.09090909 \ldots .$
$=0 . \overline{09}$
इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पुनरावर्ती है।
(iii) $4 \frac{1}{8}=\frac{33}{8}$
भाग विधि द्वारा :
अर्थात् $4 \frac{1}{8}=\frac{33}{8}=4 \cdot 125$
इसका दशमलव प्रसार सांत है।
(iv) $\frac{3}{13}$
अर्थात् $\frac{3}{13}=0.230769230769 \ldots=0 . \overline{230769}$
इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पुनरावर्ती है।
(v) $\frac{2}{11}$
अर्थात $\frac{2}{11}=0.1818$ $\quad=0 . \overline{18}$
इसका दशमलव प्रसार अनवसानी पनरावर्ती है।
(vi) $\frac{329}{400}$
अर्थांत् $\frac{329}{400}=0.8225$
इसका दशमलव प्रसार सांत है।
प्रश्न 5
आप जानते हैं कि $\frac{1}{7}=0 . \overline{142857}$ है। वास्तव में
लम्बा भाग दिये बिना क्या आप यह बता सकते हैं कि $\frac{2}{7},
\frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ के दशमलव प्रसार क्या हैं
? यदि हाँ, तो कैसे ?
हल : हाँ, प्रश्न में दी गई सभी संख्याओं क्रमशः $\frac{1}{7}, \frac{2}{7},
\frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}$ का दशमलव प्रसार आवर्ती
दशमलव है जोकि 1,4,2,8,5,7 का ही प्रसार है।
अर्थात् $\frac{1}{7}=0 \cdot \overline{142857}$
$\frac{2}{7}$ का मान ज्ञात करने के लिये यह जानना आवश्यक होगा कि शेषफल 2 कब
आता है तथा उससे सम्बन्धित भागफल जोकि इस प्रश्न में 2 है, तब वहाँ से प्रारम्भ
होने वाला नया भागफल लिखना होगा, अर्थात्
इसी प्रकार
$\begin{aligned}&\frac{2}{7}=0 \cdot \overline{285714}
\\&\frac{3}{7}=0 . \overline{428571} \\&\frac{4}{7}=0 .
\overline{571428} \\&\frac{5}{7}=0 . \overline{714285}
\\&\frac{6}{7}=0 . \overline{857142}\end{aligned}$
प्रश्न 6
निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिये, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q≠0 है
(i) $0 \cdot \overline{6}$
(ii) $0.4 \overline{7}$
(iii) $0 \overline{001}$
हल :
(i) मान लीजिए $x=0 \cdot \overline{6}=0.6666$ --------(i)
दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर $10 x=6.666 \ldots$
$\begin{aligned} &=6+0.666 \\ 10 x &=6+x \\ 9 x &=6 \\ x
&=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} \\ 0 \overline{.6} &=\frac{2}{3}
\end{aligned}$
(ii) मान लीजिए $x=0.4 \overline{7}$
दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने पर $\begin{aligned} 10 x
&=10 \times 0.4 \overline{7}=4 \cdot \overline{7} \\ 10 x &=4+0
\cdot \overline{7}=4+\frac{7}{9}=\frac{43}{9} \\ x &=\frac{43}{90} \\
0.4 \overline{7} &=\frac{43}{90} \\ x &=0 \overline{001}
\end{aligned}$
(iii)मान लीजिए $x=0 \overline{001}$-----(i)
यहाँ दशमलव बिन्दु के बाद तीन आवती अंक हैं, अतः समी. (i) में $(10)^{3}=1000$
से गुणा करने पर,
$1000 x=1 \cdot 001001 \ldots$ -------(ii)
समी. (ii) में से समी. (i) को घटाने पर,
$\begin{aligned} 1000 x-x &=(1 \cdot 001001 \ldots)-(0.001001 \ldots) \\
999 x &=1 \\ x &=\frac{1}{999} \\ 0. \overline{001}
&=\frac{1}{999} \end{aligned}$
प्रश्न 7
0.9999... को $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त कीजिये। क्या आप अपने
उत्तर से आश्चर्यचकित हैं ? अपने अध्यापक और कक्षा के सहयोगियों के साथ उत्तर
की सार्थकता पर चर्ना कीजिये।
हल :
मान लीजिए x=0.99999...---------(i)
∵ यहाँ केवल एक आवर्ती अंक है। अतः दोनों पक्षों में 10 का गुणा करने
पर
10x=9.9999....
=9+0.9999....
10x=9+x
9x=9
x=1
0.9999....=1
प्रश्न 8
$\frac{1}{17}$ के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खण्ड में
अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है ? अपने उत्तर की जाँच के लिये विभाजन
क्रिया कीजिये।v
हल :
$\therefore \quad \frac{1}{17}=0 . \overline{0588235294117647}$
$\therefore \frac{1}{17}$ में भागफल में अंकों की अधिकतम संख्या 16 है।
प्रश्न 9
$\frac{\boldsymbol{p}}{q},(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्याओं के
अनेक उदाहरण लीजिये, जहाँ p व q पूर्णाक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य
कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण है। क्या आप यह
अनुमान लगा सकते हैं कि q को कौन-सा गुण अवश्य सन्तुष्ट करना चाहिये।
हल :
$\frac{p}{q},(q \neq 0)$ के रूप की परिमेय संख्यारें क्रमशः
$\frac{1}{2}, \frac{7}{8}, \frac{639}{250}, \frac{7}{16}, \frac{11}{25},
\ldots$ आदि हो सकती हैं जिनका सांत दशमलव निरूपण होता है।
सांत दशमलव की
परिभाषा के अनुसार जब किसी परिमेय संख्या का हर 2 या 5 या दोनों की घात में हो,
तो ऐसी परिमेय संख्याओं से सांत दशमलव प्राप्त होता है।
दूसरे शब्दों में, यह
भी कहा जा सकता है कि परिमेय संख्या $\frac{p}{q},(q \neq 0)$ को सांत दमशलव
रूप में निरूपित करने के लिये आवश्यक है कि प्रत्येक q ऐसा लिया जाये कि q के अभाण्य गुणनखण्ड में केवल 2 की घात या 5 की घात या दोनों ही हों।
प्रश्न 10
ऐसी तीन संख्यायें लिखिये जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती
हों।
हल :
हम जानते हैं कि सभी अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनषसानी आवर्ती
होता है। अत: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \ldots$ इत्यादि का दशमलव प्रसार
अनवसानी आवर्ती है। ऐसी संख्या को सीधे दशमलव प्रसार के रूप में भी लिख सकते है
:
a=0.04004000400004....
b=0.505005000500005...
c=0.007000700007...
प्रश्न 11
परिमेय संख्याओं $\frac{5}{7}$ और $\frac{9}{11}$ के बीच तीन
अलग-अलग अपरिमेय संख्यायें ज्ञात कीजिये।
हल :
परिमेय संख्या $\frac{5}{7}$ का दशमलव निरूपण इस प्रकार है :
इसके आगे हल करने की प्रक्रिया पूर्वानुसार है।
$\therefore \quad \frac{5}{7}=0 . \overline{714285}$
अब दूसरी संख्या $\frac{9}{11}$ का दशमलव निरूपण निम्नानुसार है :
इसको आगे हल करने की प्रक्रिया चरण $E$ के अनुसार है।
$\frac{9}{11}=0 . \overline{81}$
अब $\frac{5}{7}=0 . \overline{714285}$ तथा $=0 . \overline{81}$ के बीच
अनेक अपरिमित संख्याओं को ज्ञात किया जा सकता है। उनमें से
कोई तीन 0.75075007500075000075...., 0.767076700767000767.... तथा 0.808008000800008... भी हो सकती हैं।
प्रश्न 12
बताइये कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्यायें परिमेय और
कौन-कौन संख्यायें अपरिमेय हैं।
(i) $\sqrt{23}$
(ii) $\sqrt{225}$
(iii) 0.3796
(iv) 7.478478...
(v) 1.101001000100001
हल :
(i) $\sqrt{23}$ अभाण्य संख्या होने के कारण अंपरिमेय है क्योंकि अभाज्य
संख्या एक पूर्ण की संख्या नही होती है।
(ii) $\sqrt{225}=\sqrt{3 \times 3 \times 5 \times 5}=3 \times 5=15$
अतः $\sqrt{225}=15$ एक परिमेय संख्या है।
(iii) 0.3796 एक सांत दशमलव संख्या है।
अतः 0.3796 एक परिमेय संख्या है।
(iv) 7.478478... एक आवर्ती लेकिन पुनरावृत्ति है।
∴ यह एक परिमेय संख्या है।
(v) 1.101001000100001... यह एक आवर्ती है लेकिन पुनरावृत्ति
नहीं है।
अतः यह एक अपरिमेय संख्या है।
प्रश्न 13.
1 और 2 के बीच एक अपरिमेय संख्या बताइए ।
हल :
यदि a और b कोई दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तब इनके बीच एक
अपरिमेय संख्या $\sqrt{a b}$ होती है । तब,
1 और 2 के बीच एक अपरिमेय संख्या $=\sqrt{1 \times 2}=\sqrt{2}$.
अतः अभीष्ट अपरिमेय संख्या $=\sqrt{2}$.
प्रश्न 14
$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए ।
हल :
$\frac{1}{3}$ और $\frac{1}{2}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{12}$
$\frac{1}{3}<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$
अब $\frac{1}{3}$ और $\frac{5}{12}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}+\frac{5}{12}\right]$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left(\frac{4+5}{12}\right) \\
&=\frac{1}{2} \times \frac{9}{12}=\frac{9}{24}=\frac{3}{8} \\
\frac{1}{3}<\frac{3}{8} &<\frac{5}{12}<\frac{1}{2}
\end{aligned}$
अतः अभीष्ट तीन परिमेय संख्याएँ $\frac{3}{8}, \frac{5}{12}, \frac{11}{24}$
हैं।
प्रश्न 15
$-\frac{2}{5}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच तीन परिमेय संख्याएँ
ज्ञात कीजिए ।
हल : $\quad-\frac{2}{5}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\right]$
$\begin{aligned} &=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{5}\right] \\
&=-\frac{3}{10} \\-\frac{2}{5} &<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}
\end{aligned}$
पुन: $-\frac{2}{5}$ और $-\frac{3}{10}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[-\frac{2}{5}-\frac{3}{10}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[\frac{-4-3}{10}\right]$
$=\frac{1}{2}\left[-\frac{7}{10}\right]$
$=-\frac{7}{20} .$
$-\frac{2}{5}<-\frac{7}{20}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$
पुन: $\quad-\frac{3}{10}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{10}-\frac{1}{5}\right]$
पुन: $\quad-\frac{3}{10}$ और $-\frac{1}{5}$ के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[-\frac{3}{10}-\frac{1}{5}\right]$
$\begin{aligned}&=\frac{1}{2}\left[\frac{-3-2}{10}\right]
\\&=\frac{1}{2}\left[-\frac{5}{10}\right]
\\&=-\frac{1}{4}\end{aligned}$
$-\frac{2}{5}<-\frac{7}{10}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{2}<-\frac{1}{4}<-\frac{1}{5}$
अतः
अभीष्ट तीन परिमेय संख्याएँ $=-\frac{7}{20},-\frac{3}{10},-\frac{1}{4}$.
प्रश्न 16
2 और 3 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए ।
हल :
2 और 3 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[2+3]=\frac{5}{2}$.
$2<\frac{5}{2}<3$
पुन: $2 \text { और } \frac{5}{2} \text { के बीच परिमेय संख्या
}=\frac{1}{2}\left[2+\frac{5}{2}\right]$
$=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}=\frac{9}{4}$
$2<\frac{9}{4}<\frac{5}{2}<3$
पुन: $\frac{5}{2}$ और 3 के बीच परिमेय संख्या
$=\frac{1}{2}\left[\frac{5}{2}+3\right]$
$=\frac{1}{2} \times \frac{11}{2}=\frac{11}{4}$
$2<\frac{9}{4}<\frac{5}{2}<\frac{11}{4}<3$
अत: $\text { अभीष्ट परिमेय संख्याएँ }=\frac{9}{5}, \frac{5}{2},
\frac{11}{4} \text {. }$
प्रश्न 17
यदि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है । सिद्ध कीजिए
$2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ।
हल :
कल्पना कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है । तब,
माना $2+\sqrt{2}=r$ [जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है]
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$\begin{aligned} 4+2+4 \sqrt{2} &=r^{2} \\ 6+4 \sqrt{2} &=r^{2} \\ 4
\sqrt{2} &=r^{2}-6 \\ \sqrt{2} &=\frac{r^{2}-6}{4} \end{aligned}$
$\because r$ एक परिमेय संख्या है तब $r^{2}$ भी परिमेय संख्या है ।
$\therefore \frac{r^{2}-6}{4}$ परिमेय संख्या है ।
लेकिन $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है (दिया है) तब अपरिमेय संख्या किसी
परिमेय संख्या के बराबर नहीं होती है । $\therefore$ कल्पना $2+\sqrt{2}$ एक
परिमेय संख्या है, गलत है । अतः $(2+\sqrt{2})$ परिमेय संख्या नहीं है ।
प्रश्न 18
सिद्ध कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।
हल :
कल्पना कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है ।
माना$3 \sqrt{3}=r$ (जहाँ r एक परिमेय संख्या है)
या$\sqrt{3}=\frac{r}{3}$
$\because \frac{r}{3}$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या
है ।
कभी भी अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या बराबर नहीं होती हैं ।
$\therefore$ $\sqrt{3} \neq \frac{r}{3}$
$3 \sqrt{3} \neq r$
$3 \sqrt{3} \neq$ परिमेय संख्या
अतः $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ।
प्रश्न 19
-1 तथा 1 के बीच दो परिमेय संख्याएँ लिखिए । ऐसी कितनी और परिमेय
संख्याएँ ज्ञात की जा सकती हैं ।
हल :
-1 तथा 1 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[-1+1]=0$
-1<0<1
पुन: 0 और 1 के बीच परिमेय संख्या $=\frac{1}{2}[0+1]=\frac{1}{2}$
$-1<0<\frac{1}{2}<1$
अत: अभीष्ट दो परिमेय संख्याएँ $=0, \frac{1}{2}$.
∵ दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं ।
अतः -1 तथा 1 के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होंगी ।
प्रश्न 20
यदि a और b दो परिमेय संख्याएँ हों, तो सिद्ध कीजिए कि a+b,
a-b और ab परिमेय संख्याएँ हैं । यदि b≠0 तो सिद्ध कीजिए कि
$\frac{a}{b}$ भी एक परिमेय संख्या है ।
हल :
a और b दो परिमेय संख्याएँ हैं, तब, (a+b) परिमेय संख्या होगी,
क्योंकि क्रमविनिमेय नियम से,
$a, b \in Q \Rightarrow a+b \in Q$
अतः दोनों परिमेय संख्याओं का योग भी परिमेय होगा ।
पुन: (a-b) परिमेय संख्या होगी क्योंकि परिमेय संख्या के अन्तर के
क्रमविनिमेय नियम से
$a, b \in Q \Rightarrow(a-b) \in Q$
अतः (a-b) परिमेय संख्या होगी ।
पुन: ab परिमेय संख्या होगी क्योंकि गुणन के क्रमविनिमेय नियम से
$a, b \in Q \Rightarrow a b \in Q$
पुनः $\frac{a}{b}, b \neq 0$ परिमेय संख्या होगी क्गोंकि भाग के क्रमविनिमेय
नियम से
$a, b \in Q \Rightarrow \frac{a}{b} \in Q, b \neq 0$
अतः $\frac{a}{b}$ परिमेय संख्या होगी ।
प्रश्न 21
यदि a एक धन परिमेय संख्या हो और n एक धन पूर्णांक 1 से बड़ा
हो, तो सिद्ध कीजिए कि $a^{n}$ एक परिमेय संख्या है ।
हल :
माना कि $a=\frac{p}{q}$ जहाँ p और q दोनों धन पूर्णांक हैं तथा $q
\neq 0$.
पुन: n एक धन पूर्णांक है तथा n>1
∵ n=2,3,4, .... लेने पर
$a^{2}=\left(\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right)^{2}$ जो एक परिमेय
संख्या है ।
$a^{3}=\left(\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right)^{3}$ जो एक परिमेय
संख्या है ।
$a^{4}=\left(\frac{p}{q}\right)^{4}$ जो एक परिमेय संख्या है ।
...............................................................................................
...............................................................................................
$a^{n}=\left(\frac{p}{q}\right)^{n}$ जो एक परिमेय संख्या है ।
इससे प्रतीत होता है कि $a^{n}$ एक परिमेय संख्या है, जबकि n>1 हो ।
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