Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) प्रश्नावली 1 (D)

 प्रश्नावली 1 (D) 

Question 1

बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशंमलंव प्रसार सांत है या असांत आवर्ती है-

(i) $\frac{17}{8}$
Sol :
सर्वप्रथम दी हुई भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं अर्थात्
$8=2 \times 2 \times 2=2^{3}$
नियमानुसार यदि हर के अभाज्य गुणनखंण्ड $2^{n} 5^{n}$ के रूप के हैं तो दशमलव प्रसार सांत होगा। परन्तु दी हुई समस्या में $2^{n}$ का वर्णन मात्र है और $5^m$ के लिए हमें $5^{0}$ का प्रयोग करना उचित होगा। 

अतः $8=2^{3} .5^{0}$

∴$\frac{17}{8}$ का सांत दशमलव प्रसार है।

(ii) $\frac{15}{1600}$

Sol :

सर्वप्रथम दी हुई भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड प्राप्त करते है अर्थात्

$1600=2^{6} \times 5^{2}$

नियमानुसार दिए हुए हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप के हैं अर्थात् $\frac{15}{1600}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा।


(iii) $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$

Sol :

यहाँ इस प्रश्न में हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5 m$ के रूप में दिए गए है अर्थात् नियमानुसार,$\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(iv) $\frac{35}{50}$

Sol :

$\frac{35}{50}=\frac{5 \times 7}{2 \times 5 \times 5}=\frac{7}{2 \times 5}$

∵दी हुई भिन्न को हमने सर्वप्रथम रूप मे परिवर्तित किया जिससे हमे भिन्न के हर मे गुणनखण्ड के रूप मे $2^n 5^m$ का रूप मिला जो नियमानुसार उचित है अर्थात् $\frac{35}{50}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(v) $\frac{6}{15}$

Sol :

$\frac{6}{15}=\frac{2 \times 3}{5 \times 3}=\frac{2}{5}$

दी गई भिन्न को उचित ढंग से लिखने पर हमें न्यूनतभ रूप $\frac{2}{5}$ प्राप्त होता है जिसका हर 5 है। अतः इसके गुणनखण्ड

$=1 \times 5$ अर्थात् $2^{0} \times 5^{1}$

जो नियमानुसार $2^{n} 5^{m}$ का ही रूप है अर्थात् $\frac{6}{15}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा।

(vi) $\frac{129}{2^{2} 5^{7} 7^{5}}$

Sol :

दिए गए प्रश्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड में $2^{n} 5^{m}$ का रूप तो है परन्तु $7^{5}$ भी शामिल है

जो नियमानुसार उचित नहीं है अर्थात् $\frac{129}{2^{2} 5^{2} 7^{5}}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(vii) $\frac{77}{210}$

Sol :

$\frac{77}{210}=\frac{7 \times 11}{2 \times 3 \times 5 \times 7}=\frac{11}{2 \times 3 \times 5}$

$\because$ दी हुई भिन्न को न्यूनतम पदों में व्यक्त करने पर भी हमें $2^{n} 5^{m}$ का रूप नहीं प्राप्त हो सका, अर्थात् $\frac{77}{210}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

(viii) $\frac{13}{3125}$

Sol :

सर्वप्रथम दी हुई भिन्न के हर के अभाज्य गुंणनखण्ड प्राप्त करते हैं अर्थात्

$3125=5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{5}$

नियमानुसार यदि हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप के हैं तो दशमलव प्रसार सांत होगा। परन्तु दी हुई समस्या में केवल $5 \mathrm{~m}$ का वर्णन है अर्थात् $2^{n}$ के लिए हमें $2^{\circ}$ का प्रयोग करना उचित रहेगा। 

अतः $3125=2^{0} .5^{5}$

∵$\frac{13}{3125}$ का सांत दशमलव प्रसार है।

(ix) $\frac{64}{455}$

Sol :

सर्वप्रथम दी हुई भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड प्राप्त करते हैं अर्थात्

$455=5 \times 7 \times 13$

नियमानुसार दिए हुए हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप के नहीं हें अर्थात् $\frac{64}{455}$ का दशमलव प्रसार असांत आदर्ती होगा।

(x) $\frac{29}{343}$

Sol :

सर्वप्रथम दी हुई भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड प्राप्त करते है अर्थात्

$343=7 \times 7 \times 7=7^{3}$

नियमानुसार दिए हुए हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप के नहीं हें अर्थात् $\frac{29}{343}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।

Question 2

उपर दिये गये प्रश्न में उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिसिए जो सांत हैं।
(i) $\frac{17}{8}$

Sol :

∵प्रश्न 1 के हल में हम सिद्ध कर चुके हैं कि दी गयी सांत दशमलव' प्रसार में है।
अतः हर के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 2 \times 2=2^{3}$

∴ $\frac{17}{8}=\frac{17}{2^{3}}=\frac{17 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}} \cdot\left[\because\right.$ अंश व हर में $5^{3}$ का गुणा करने पर]

$=\frac{17 \times 125}{(2 \times 5)^{3}}$

$=\frac{17 \times 125}{(10)^{3}}=\frac{2125}{1000}=2.125$

(ii) $\frac{15}{1600}$
Sol :

∵प्रश्न 1 के हल में हमने सिद्ध किया था कि दी गई भिन्न सांत दशमलव प्रसार में है।।
अतः हर के अभाज्य गुणनखण्ड $=2^{6} \times 5^{2}$
∴ $\frac{15}{1600}=\frac{15}{2^{6} \times 5^{2}}$
$=\frac{15 \times 5^{4}}{2^{6} \times 5^{2} \times 5^{4}}$ [∵ अंश व हर में $5^{4}$ का गुणा करने पर]

$=\frac{15 \times 625}{2^{6} \times 5^{6}}$

$=\frac{9375}{(2 \times 5)^{6}}$

$=\frac{9375}{(10)^{6}}=\frac{9375}{1000000}$

=0.009375 

(iii) $\frac{23}{2^{3} 5^{2}}$

Sol :

∵ दी गई भिन्न के हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप में हैं अतः ये सांत दशमलव प्रसार में हैं।

∴$\frac{23}{2^{3} 5^{2}}=\frac{23 \times 5}{2^{3} \times 5^{2} \times 5}$ [∵ अंश व हर में 5 का गुणा करने पर]

$=\frac{115}{2^{3} \times 5^{3}}=\frac{115}{(2 \times 5)^{3}}$

$=\frac{115}{(10)^{3}}=\frac{115}{1000}=0.115$

(iv) $\frac{35}{50}=\frac{7}{10}=\frac{7}{2 \times 5}$

Sol :

∵ दी गई भिन्न में हर के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5 m$ के रूप में दिए गए हें, अतः दी गई भिन्न सांत दशमलव प्रसार मे है।

∴ $\frac{35}{50}=\frac{35 \times 2}{50 \times 2}$ [∵ अंश व हर में 2 का गुणा करने पर]

$=\frac{70}{100}=0.7$

(v) $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$
Sol :

∵ हर के अभाज्य गुणनखण्ड हम $2^{n} 5^{m}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं अतः इसका दशमलवं प्रसार सांत है।
∴ $\frac{2}{5}=\frac{2 \times 2}{5 \times 2}$ [∵ अंश व हर में 2 का गुणा करने पर]

$=\frac{4}{10}=0.4$

(viii) $\frac{13}{3125}$
Sol :

∵ प्रश्न 1 में हम सिद्ध कर चुके है कि दी हुई भिन्न सांत प्रसार में है।
अत: भिन्न के हर के अभाज्य गूण्नखण्ड = $2^{0} \times 5^{5}$
∴ $\frac{13}{3125}=\frac{13}{2^{0} \times 5^{5}}=\frac{13 \times 2^{5}}{2^{5} \times 5^{5}}$ [∵ अंश व हर में $2^{5}$ का गुणा करने पर]

$=\frac{13 \times 32}{(2 \times 5)^{5}}=\frac{13 \times 32}{(10)^{5}}$

$=\frac{416}{100000}=0.00416$

Question 3

निम्नलिखित परिमेय संख्याओं में से कौन-सी संख्या को सांत दशमलव के रूप में निरूपित कर सकते है

(i) $\frac{1}{20}$

Sol :

$\frac{1}{20}=\frac{1 \times 5}{20 \times 5}=\frac{5}{100}$

=0.05 (सांत)

(ii) $\frac{1}{27}$

Sol :

$\frac{1}{27}$ (असांत) 

(iii) $\frac{3}{5}$

Sol :

$\frac{3}{5}=\frac{3 \times 20}{5 \times 20}=\frac{60}{100}$

=0.6 ( सांत )

(iv) $\frac{1}{15}$

Sol :

$\frac{1}{15}$ (असांत)

Question 5

$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$ और $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ के गुणनफल की प्रकृति ज्ञात कीजिए।

Sol :

$(\sqrt{3}-\sqrt{5})$ और $(\sqrt{5}+\sqrt{3})$ का गुणनफल

$=(\sqrt{3}-\sqrt{5})(\sqrt{3}+\sqrt{5})$

$=(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}$

$=3-5=-2$

अतः -4 एक परिमेय संख्या है।

Question 6

बताइए कि $\sqrt{\frac{1029}{147}}$ परिमेय है या अपरिमेय है।

Sol :

$\sqrt{\frac{1029}{147}}=\sqrt{\frac{147 \times 7}{147}}=\sqrt{7}$

यह एक अपरिमेय संख्या है।

Question 7

$\frac{3}{8}$ की दशामलव रूप में गणना कीजिए।

Sol :

$\frac{3}{8}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{3 \times 5^{3}}{2^{3} \times 5^{3}}$

$=\frac{3 \times 125}{10^{3}}=\frac{375}{1000}$

=0.375

Question 8

दशमलव के कितने स्थानों के बाद $\frac{6}{1250}$ का दशमलव प्रसार सांत होगा?

Sol :

$\frac{6}{1250}=\frac{6}{2 \times 5^{4}}=\frac{6 \times 2^{3}}{2 \times 2^{3} \times 5^{4}}$

$=\frac{6 \times 8}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{48}{10^{4}}$

$=\frac{48}{10000}=0.0048$

अतः $\frac{6}{1250}$ का दशमलव प्रसार 4 स्थानों तक सांत होगा

Question 9

बिना भाग विधि के $\left(\frac{15}{4}+\frac{5}{40}\right)$ को दशमलव रूप में व्यक्त करें।

Sol :

$\frac{15}{4}+\frac{5}{40}=\frac{15}{4} \times \frac{25}{25}+\frac{5}{40} \times \frac{25}{25}$

$=\frac{375}{100}+\frac{125}{1000}$

=3.75+0.125=3.875

Question 10

परिमेय संख्या $\frac{257}{5000}$ के हर को $2^{m} \times 5^{n}$ के रूप में लिखिए, जहाँ m तथा n ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसके बाद बिना वास्तविक विभाजक के इसका दशमलव प्रसार लिखिए।

Sol :

$\frac{257}{5000}=\frac{257}{2^{3} \times 5^{4}}$

अत: $\frac{257}{5000}$ का हर $2^{3} \times 5^{4}$ के रूप का है।

∴$\frac{257}{2^{3} \times 5^{4}}=\frac{257 \times 2}{2 \times 2^{3} \times 5^{4}}=\frac{514}{2^{4} \times 5^{4}}=\frac{514}{10^{4}}$

$=\frac{514}{10000}=0.0514$

Question 11

कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलवं प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं। प्रत्येक स्थिति के लिए निर्धारित कीजिए कि यह संख्या परिमेय संख्या है या नहीं। यदि यह परिमेय संख्या है और $\frac{p}{q}$ के रूप की है तो q के अभाज्य गुणनखण्डों के बारे में आप क्या कह सकते है?

(i) 43.123456789

Sol :

$43.123456789=\frac{43123456789}{1000000000}$

$=\frac{43123456789}{(10)^{9}}$

$=\frac{43123456789}{(2 \times 5)^{9}}$

सर्वप्रथम हमने दी गई दशमलव संख्या कों $\frac{p}{q}$ के रूप में परिवर्तित किया तथा q के अभाज्य गुणनखण्डों को प्राप्त किया। हमने पाया कि q के अभाज्य गुणनखण्ड $2^{n} 5^{m}$ के रूप में है। अतः इसका दशमलव प्रसार सांत होगा।

(ii) 0.120120012000120000, ....

Sol :

उपर्युक्त संख्या से स्पष्ट है कि यह एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) $43 . \overline{123456789}$

Sol :

उपर्युक्त संख्या से स्पष्ट है कि यह परिमेय संख्या है जिसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।