Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) प्रश्नावली 1 (C)

 प्रश्नावली 1 (C) 

Question 1

सिद्ध कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

Sol :

कल्मना कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।

माना 3√3=r  (जहाँं r एक परिमेय संख्या है।)

या $\sqrt{3}=\frac{r}{3}$

∵$\frac{r}{3}$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।कभी भी अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या बराबर नहीं होती हें।

∴$\sqrt{3} \neq \frac{r}{3}$

या $3 \sqrt{3} \neq r$

या $3 \sqrt{3} \neq$ परिमेय संब्या

अतः $3 \sqrt{3}$ उक परिमेय संख्या नहीं है।

Question 2

सिब्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

माना $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ एक पर्मिय संख्या है।..(i)

p, q पूर्णांक है तथा q>1, p तथा q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

$(\sqrt{5})^{2}=\left(\frac{p}{q}\right)^{2}$

$5=\frac{p^{2}}{q^{2}}$

$5 q=\frac{p^{2}}{q}$...(ii)

चूँकि 5q एक पूर्णांक है लेकिन $\frac{p^{2}}{q}$ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।

अतः $\frac{p^{2}}{q} \neq 5 q$ जो परिणाम (ii) के विपरीत है। इससे सिद्ध होता है कि हमारी कल्पना असत्य है।

अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है।

Question 3

सिद्ध कीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

माना $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है जो x/y के बराबर है।

अतः $\frac{x}{y}=3+2 \sqrt{5}$

या $\frac{x}{y}-3=2 \sqrt{5}$

या $2 \sqrt{5}=\frac{x}{y}-3$ या $\sqrt{5}=\frac{x}{2 y}-\frac{3}{2}$

∵ यहाँ $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है जो हम प्रश्न 2 में सिद्ध कर चुके हें तथा $\frac{x}{2 y}-\frac{3}{2}$ एक परिमेय संख्या है।

इसलिए हमारा विचार गलत है कि दी गयी संख्या परिमेय है।

अत: $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या होगी।

Question 4

सिब कीजिए कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

इसके विपरीत हम यह मान लें कि $\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।

हम ऐसे दो पूर्णांक $a$ और $b(b \neq 0)$ प्राप्त कर सकते हें कि $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ है

यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो, तब उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सह अभाज्य बना सकते हें।

अत : $b \sqrt{7}=a$ है

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $7 b^{2}=a^{2}$ प्राप्त होता है।

अतः $a^{2}, 7$ से विभाजित है, तब 7, a को भी विभाजित करेगा।

अतः हम a=7c लिख सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक़ है

a के इस मान को $7 b^{2}=a^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर

$7 b^{2}=49$ या $b^{2}=7 c^{2}$

इसका अर्थ है कि $b^{2}, 7$ से विभाजित हो जाता है। इसलिए b भी उससे विभाजित होगा।

अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 7 है। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता है। कि a और b सह अभाज्य हें।

अतः $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Question 5

यदि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है। सिद्ध कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

Sol :

कल्पना कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। तब,

माना $2+\sqrt{2}=r$ [जहाँ r एक परिमेय संख्या है

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$4+2+4 \sqrt{2}=r^{2}$

या $6+4 \sqrt{2}=r^{2}$

∵ r एक परिमेय संख्या है तब $r^{2}$ भी परिमेय संख्या है।

∴$\frac{r^{2}-6}{4}$ परिमेय संख्या है।

लेकिन $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ( दिया है ) तब अपरिमेय संख्या किसी परिमेय संख्या के बराबर नही होती है।

∴कल्पना $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है, गलत हैं

अतः $(2+\sqrt{2})$ परिमेय संख्या नहीं है।

Question 6

सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं :

(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Sol :

माना कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्यां है जो $\frac{a}{b}$ के बराबर है।

∴ $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$, जहाँ $b \neq 0$

या $\sqrt{2}=\frac{b}{a}$

$\because \frac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या है। 

$\therefore \sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।

परन्तु इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

$\therefore$ हमारा मानना अत्यन्त गलत है।

अतः $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संब्या है।

(ii) $7 \sqrt{5}$

Sol :

माना कि $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{x}{y}$ के बराबर है तथा $y \neq 0 .$

$\frac{x}{y}=7 \sqrt{5}$

या $x=7 y \sqrt{5}$...(i)

∵यहाँ x, y तथा 7 पूर्णाक हैं

समीकरण (i) से,

$\sqrt{5}=\frac{x}{7 y}$

अर्र्थात् $\frac{x}{7y}$ एक परिमेय संख्या है एवं $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या है जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

∴हमारा मानना गलत है।

अतः $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(iii) $6+\sqrt{2}$

Sol :

माना कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{a}{b}$ के बराबर है तथा $b \neq 0 .$

अब $\frac{a}{b}=6+\sqrt{2}$

$\frac{a}{b}-6=\sqrt{2}$

$\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$

$\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}$...(i)

जहाँ a, b तथा 6 पूर्णीक हैं।

यहाँ $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।

और समीकरण (i) से, $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। परन्तु इस तथ्य के विरोधाभास के कारण $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

∴ हमारा दिचार कदापि सही नहीं है।

अतः $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या होगी।

Question 7

सिद्ध कीजिए कि $(\sqrt{3}-1)$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

सिद्ध करना है,

$\sqrt{3}-1$ एक अपरिमेय संख्या है।

माना $\sqrt{3}-1$ एक परिमेय संख्या है।

तब $\sqrt{3}-1=r$ (जहाँ r एक परिमेय संख्या है)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$(\sqrt{3}-1)^{2}=r^{2}$

$3+1-2 \sqrt{3}=r^{2}$

$-2 \sqrt{3}=r^{2}-4$

$2 \sqrt{3}=4-r^{2}$

$\sqrt{3}=\frac{4-r^{2}}{2}$

अब $\frac{4-r^{2}}{2}$ एक परिमेय संख्या है तथा $\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।

∵अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।

∴$\sqrt{3}-1$ एक अपरिमेय संख्या है।

Question 8

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

सिद्ध करना है कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

∴$\sqrt{5}-\sqrt{3}=r$ (जहाँ  r परिमेय संख्या है)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$5+3-2 \sqrt{3 \times 5}=r^{2}$

$8-2 \sqrt{15}=r^{2}$

$-2 \sqrt{15}=r^{2}-8$

$=-\left(8-r^{2}\right)$

$2 \sqrt{15}=8-r^{2}$

$\sqrt{15}=\frac{8-r^{2}}{2}$

अब $\frac{8-r^{2}}{2}$ परिमेय संख्या है लेकिन $\sqrt{15}$ अपरिमेय संख्या है।

∵अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।

अतः $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ एक अपरिमेय संख्या है।

Question 9

सिद्ध कीजिए कि $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol :

सिद्ध करना है $(2+\sqrt{3})$ एक अपरिमेय संख्या है।

$(2+\sqrt{3})=r$ (जहाँ r परिमेय संख्या है।)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर

$(2+\sqrt{3})^{2}=r^{2}$

$4+3+2 \times 2 \times \sqrt{3}=r^{2}$

$7+4 \sqrt{3}=r^{2}$

$4 \sqrt{3}=r^{2}-7$

$\sqrt{3}=\frac{r^{2}-7}{4}$

∵ r परिमेय संख्या है तब $\frac{r^{2}-7}{4}$ एक परिमेय संख्या होगी तथा $\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।

∵ अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।

तब r एक अपरिमेय संख्या होगी। 

अतः $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Question 10

सिद्ध कीजिए कि $4-3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Sol : 

इसकें विपरीत मान लीजिए कि $4-3 \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है अर्थात सह अभाज्य ऐसी संख्याएँ a और $b(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते है कि

$4-3 \sqrt{2}=\frac{a}{b}$

$3 \sqrt{2}=4-\frac{a}{b}$

$\sqrt{2}=\frac{4 b-a}{3 b}$

∵ a तथा b पूणाक हैं,

∴ $\frac{4 b-a}{3 b}$ एक परिमेय संख्या है।