प्रश्नावली 1 (C)
Question 1
सिद्ध कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।
Sol :कल्मना कीजिए कि $3 \sqrt{3}$ एक परिमेय संख्या है।
माना 3√3=r (जहाँं r एक परिमेय संख्या है।)
या $\sqrt{3}=\frac{r}{3}$
∵$\frac{r}{3}$ एक परिमेय संख्या है और $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।कभी भी अपरिमेय संख्या और परिमेय संख्या बराबर नहीं होती हें।
∴$\sqrt{3} \neq \frac{r}{3}$
या $3 \sqrt{3} \neq r$
या $3 \sqrt{3} \neq$ परिमेय संब्या
अतः $3 \sqrt{3}$ उक परिमेय संख्या नहीं है।
Question 2
सिब्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
माना $\sqrt{5}=\frac{p}{q}$ एक पर्मिय संख्या है।..(i)
p, q पूर्णांक है तथा q>1, p तथा q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
$(\sqrt{5})^{2}=\left(\frac{p}{q}\right)^{2}$
$5=\frac{p^{2}}{q^{2}}$
$5 q=\frac{p^{2}}{q}$...(ii)
चूँकि 5q एक पूर्णांक है लेकिन $\frac{p^{2}}{q}$ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है।
अतः $\frac{p^{2}}{q} \neq 5 q$ जो परिणाम (ii) के विपरीत है। इससे सिद्ध होता है कि हमारी कल्पना असत्य है।
अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय संख्या है।
Question 3
सिद्ध कीजिए कि $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
माना $3+2 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है जो x/y के बराबर है।
अतः $\frac{x}{y}=3+2 \sqrt{5}$
या $\frac{x}{y}-3=2 \sqrt{5}$
या $2 \sqrt{5}=\frac{x}{y}-3$ या $\sqrt{5}=\frac{x}{2 y}-\frac{3}{2}$
∵ यहाँ $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है जो हम प्रश्न 2 में सिद्ध कर चुके हें तथा $\frac{x}{2 y}-\frac{3}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
इसलिए हमारा विचार गलत है कि दी गयी संख्या परिमेय है।
अत: $3+2 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या होगी।
Question 4
सिब कीजिए कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
इसके विपरीत हम यह मान लें कि $\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
हम ऐसे दो पूर्णांक $a$ और $b(b \neq 0)$ प्राप्त कर सकते हें कि $\sqrt{7}=\frac{a}{b}$ है
यदि a और b में, 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड हो, तब उस उभयनिष्ठ गुणनखण्ड से भाग देकर a और b को सह अभाज्य बना सकते हें।
अत : $b \sqrt{7}=a$ है
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $7 b^{2}=a^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $a^{2}, 7$ से विभाजित है, तब 7, a को भी विभाजित करेगा।
अतः हम a=7c लिख सकते हैं, जहाँ c एक पूर्णांक़ है
a के इस मान को $7 b^{2}=a^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर
$7 b^{2}=49$ या $b^{2}=7 c^{2}$
इसका अर्थ है कि $b^{2}, 7$ से विभाजित हो जाता है। इसलिए b भी उससे विभाजित होगा।
अतः a और b में कम से कम एक उभयनिष्ठ गुणनखण्ड 7 है। परन्तु इससे इस तथ्य का विरोधाभास होता है। कि a और b सह अभाज्य हें।
अतः $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Question 5
यदि $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है। सिद्ध कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।
Sol :
कल्पना कीजिए कि $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है। तब,
माना $2+\sqrt{2}=r$ [जहाँ r एक परिमेय संख्या है
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$4+2+4 \sqrt{2}=r^{2}$
या $6+4 \sqrt{2}=r^{2}$
∵ r एक परिमेय संख्या है तब $r^{2}$ भी परिमेय संख्या है।
∴$\frac{r^{2}-6}{4}$ परिमेय संख्या है।
लेकिन $\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या नहीं है ( दिया है ) तब अपरिमेय संख्या किसी परिमेय संख्या के बराबर नही होती है।
∴कल्पना $2+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है, गलत हैं
अतः $(2+\sqrt{2})$ परिमेय संख्या नहीं है।
Question 6
सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्याएँ अपरिमेय हैं :
(i) $\frac{1}{\sqrt{2}}$
Sol :
माना कि $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक परिमेय संख्यां है जो $\frac{a}{b}$ के बराबर है।
∴ $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{a}{b}$, जहाँ $b \neq 0$
या $\sqrt{2}=\frac{b}{a}$
$\because \frac{b}{a}$ एक परिमेय संख्या है।
$\therefore \sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी।
परन्तु इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
$\therefore$ हमारा मानना अत्यन्त गलत है।
अतः $\frac{1}{\sqrt{2}}$ एक अपरिमेय संब्या है।
(ii) $7 \sqrt{5}$
Sol :
माना कि $7 \sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{x}{y}$ के बराबर है तथा $y \neq 0 .$
$\frac{x}{y}=7 \sqrt{5}$
या $x=7 y \sqrt{5}$...(i)
∵यहाँ x, y तथा 7 पूर्णाक हैं
समीकरण (i) से,
$\sqrt{5}=\frac{x}{7 y}$
अर्र्थात् $\frac{x}{7y}$ एक परिमेय संख्या है एवं $\sqrt{5}$ भी एक परिमेय संख्या है जो इस तथ्य का विरोधाभास है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
∴हमारा मानना गलत है।
अतः $7 \sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।
(iii) $6+\sqrt{2}$
Sol :
माना कि $6+\sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है जो $\frac{a}{b}$ के बराबर है तथा $b \neq 0 .$
अब $\frac{a}{b}=6+\sqrt{2}$
$\frac{a}{b}-6=\sqrt{2}$
$\sqrt{2}=\frac{a}{b}-6$
$\sqrt{2}=\frac{a-6 b}{b}$...(i)
जहाँ a, b तथा 6 पूर्णीक हैं।
यहाँ $\frac{a-6 b}{b}$ एक परिमेय संख्या है।
और समीकरण (i) से, $\sqrt{2}$ भी एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। परन्तु इस तथ्य के विरोधाभास के कारण $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
∴ हमारा दिचार कदापि सही नहीं है।
अतः $6+\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या होगी।
Question 7
सिद्ध कीजिए कि $(\sqrt{3}-1)$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
सिद्ध करना है,
$\sqrt{3}-1$ एक अपरिमेय संख्या है।
माना $\sqrt{3}-1$ एक परिमेय संख्या है।
तब $\sqrt{3}-1=r$ (जहाँ r एक परिमेय संख्या है)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,
$(\sqrt{3}-1)^{2}=r^{2}$
$3+1-2 \sqrt{3}=r^{2}$
$-2 \sqrt{3}=r^{2}-4$
$2 \sqrt{3}=4-r^{2}$
$\sqrt{3}=\frac{4-r^{2}}{2}$
अब $\frac{4-r^{2}}{2}$ एक परिमेय संख्या है तथा $\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
∵अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।
∴$\sqrt{3}-1$ एक अपरिमेय संख्या है।
Question 8
सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
सिद्ध करना है कि $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
∴$\sqrt{5}-\sqrt{3}=r$ (जहाँ r परिमेय संख्या है)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$5+3-2 \sqrt{3 \times 5}=r^{2}$
$8-2 \sqrt{15}=r^{2}$
$-2 \sqrt{15}=r^{2}-8$
$=-\left(8-r^{2}\right)$
$2 \sqrt{15}=8-r^{2}$
$\sqrt{15}=\frac{8-r^{2}}{2}$
अब $\frac{8-r^{2}}{2}$ परिमेय संख्या है लेकिन $\sqrt{15}$ अपरिमेय संख्या है।
∵अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।
अतः $(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ एक अपरिमेय संख्या है।
Question 9
सिद्ध कीजिए कि $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
सिद्ध करना है $(2+\sqrt{3})$ एक अपरिमेय संख्या है।
$(2+\sqrt{3})=r$ (जहाँ r परिमेय संख्या है।)
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर
$(2+\sqrt{3})^{2}=r^{2}$
$4+3+2 \times 2 \times \sqrt{3}=r^{2}$
$7+4 \sqrt{3}=r^{2}$
$4 \sqrt{3}=r^{2}-7$
$\sqrt{3}=\frac{r^{2}-7}{4}$
∵ r परिमेय संख्या है तब $\frac{r^{2}-7}{4}$ एक परिमेय संख्या होगी तथा $\sqrt{3}$ अपरिमेय संख्या है।
∵ अपरिमेय संख्या तथा परिमेय संख्या कभी बराबर नहीं होती हैं।
तब r एक अपरिमेय संख्या होगी।
अतः $2+\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Question 10
सिद्ध कीजिए कि $4-3 \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।
Sol :
इसकें विपरीत मान लीजिए कि $4-3 \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या है अर्थात सह अभाज्य ऐसी संख्याएँ a और $b(b \neq 0)$ ज्ञात कर सकते है कि
$4-3 \sqrt{2}=\frac{a}{b}$
$3 \sqrt{2}=4-\frac{a}{b}$
$\sqrt{2}=\frac{4 b-a}{3 b}$
∵ a तथा b पूणाक हैं,
∴ $\frac{4 b-a}{3 b}$ एक परिमेय संख्या है।
No comments:
Post a Comment