Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) प्रश्नावली 1 (B)

 प्रश्नावली 1 (B) 

Question 1

निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-

(i) 140

(ii) 156

(iii) 3825

(iv) 5005

(v) 7429

Sol :

(i) $\begin{aligned} 140 &=2 \times 2 \times 5 \times 7 \\ &=2^{2} \times 5 \times 7 \end{aligned}$

(ii) $\begin{aligned} 156 &=2 \times 2 \times 3 \times 13 \\ &=2^{2} \times 3 \times 13 \end{aligned}$

(iii) $\begin{aligned} 3825 &=3 \times 3 \times 5 \times 5 \times 17 \\ &=3^{2} \times 5^{2} \times 17 \end{aligned}$

(iv) $5005=5 \times 7 \times 11 \times 13$

(v) $7429=17 \times 19 \times 23$

Question 2

पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्यांं का गणनफल =HCF×LCM है-

(i) 26 और 91

(ii) 510 और 92

(iii) 336 और 54

Sol :

(i)

26 के अभाज्य गुणनखण्ड =2×13

91 के अभाज्य गुणनखण्ड = 7×13 

अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 13

∴HCF=13

अब LCM=2×7×13=182

सिब करना हे : 

दोनों संख्याओं का गुणनफल = H.C.F. × L.C.M.

बायाँ पक्ष :

दोनों संख्याओं का गुणनफल HCF × LCM

दायाँ पक्ष :

दोनों संख्याओं का गुणनफल =26×91=2366

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

(ii)

510 के अभाज्य गुणनखण्ड =2×3×5×17

और 92 के अभाज्य गुणनखण्ड =2×2×23

अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 2

HCF=2

अब L.C.M. $=2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 17 \times 23$

=23460

सिद्ध करना हैः

दोनो संख्याओ का गुणनफल= HCF×LCM

बायाँ पक्ष :

दोनों संख्याओं का गुणनफल =510×92=46920

दायाँ पक्ष :

H.C.F.×L.C.M. =2×23460=46920

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

(iii)

336 के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 7$

और 54 के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 3 \times 3 \times 3$ 

अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड $-2 \times 3=6$

∵ HCF=6

अब LCM=2×2×2×2×3×3×3×7

=3024

सिद्व करना है :

दोनों संख्याओं का गुणनफल= H.C.F.× L.C.M.

बायाँ पक्ष :

दोनों संख्याओं का गुणनफल =336×54=18144

दायाँ पक्ष :

HCF×LCM=6×3024=18144

अतः बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

Question 3

अभाज्य गुणनखण्ड विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के H.C.F. और L.C.M ज्ञात कीजिए:

(i) 12,15 और 21

(ii) 17, 23 और 29

(iii) 8,9 और 25

Sol :

(i)

12 के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 2 \times 3$

15 के अभाज्य गुणनखण्ड $=3 \times 5$

21 के अभाज्य गुणनखण्ड $=3 \times 7$ 

अत: उभयनिष्ठ गुणनखण्ड=3

HCF=3

LCM=2×2×3×5×7

=420

(ii)

17 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 17$

23 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 23$

29 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 29$ 

अत: उभयनिष्ठ गुणनखण्ड= 1

∴HCF=1

अब LCM=1×17×23×29

=11339

(iii) 

8 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 2 \times 2 \times 2$

9 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 3 \times 3$

25 के अभाज्य गुणनखण्ड $=1 \times 5 \times 5$ 

अतः उभयनिष्ठ गुणनखण्ड = 1

∴HCF=1

अब LCM=1×2×2×2×3×3×5×5

=1800

Question 4

यदि HCF(306,657)=9 दिया है। L.C.M. (306, 657) ज्ञात कीजिए।

Sol :

दी गयी संख्याएँ = 306 तथा 657

दोनों संख्याओं का गुणनफल $=306 \times 657$ 

दिया गया H.C.F. (306, 657) =9

अतः L.C.M. (306,657)=दोनों संख्याओं का गुणनफल / H.C.F. (306,657.

$=\frac{306 \times 657}{9}$

=34×657=22338

Question 5

यदि HCF(225 , 60)=225×5-10x, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

$225=3 \times 3 \times 5 \times 5$

$60=2 \times 2 \times 3 \times 5$

$\mathrm{HCF}(225,60)=3 \times 5=15$

चूँकि दिया है :

$\mathrm{HCF}(225,60)=225 \times 5-10 x$

$15=225 \times 5-10 x$

या $10 x=1125-15=1110$

या x=11

Question 6

यदि HCF(120,225)=15, तो L.C.M. (120, 225) ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया हैः

HCF(120 , 225)=15

सूत्रानुसार,

$\operatorname{LCM}(120,225)=\frac{120 \times 225}{\mathrm{HCF}(120,225)}$

$=\frac{120 \times 225}{15}$

=1800

Question 7

नीचे दी गई आकृति में x तथा y के मान ज्ञात कीजिए :

Sol :

हल ∵ $x=3 \times 7=21$

और $y=4 \times x$

$=4 \times 21=84$

अतः x=21 और y=84

Question 8

18 और 117 के H.C.F. को 18m-117 के रूप में दर्शाया गया है। m का मान ज्ञात कीजिए। साथ ही 18 और 117 का LCM ज्ञात कीजिए।

Sol :

हल ः  ∵$18=2 \times 3 \times 3$

$117=3 \times 3 \times 13$

∴HCF(18 , 117)=9

दिया हैः 

18m-117=HCF(18 , 117)

18m-117=9

18m=9+117=126

$m=\frac{126}{18}=7$

अब $\operatorname{LCM}(18,117)=\frac{18 \times 117}{\mathrm{HCF}(18,117)}$

$=\frac{18 \times 117}{9}$

=234

अतः m=7 और LCM(18 , 117)=234

Question 9

जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या $6^{n}$ अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

Sol :

हम जानते हैं कि 6 के अभाज्य गूणनखण्ड $=2 \times 3$ होते हें अत: $6^{n}=(2 \times 3)^{n}$

इससे स्पष्ट होता है कि $6^{n}$ के अभाज्य गुणनखण्डन में 5 नहीं आता है। अतः $6^{n}$ का 5 एक अभाज्य गुणनखण्ड है, यह सम्भव नही है , क्योकि इसके गुणनखण्ड मे केवल दो ही संख्याओं (2 तथा 3) के घात होंगे। अतः कोई भी संख्या n 𝝐 N ऐसी नहीं है जो कि $6^{n}$ में 0 अंक पर समाप्त हो।

Question 10

व्याख्या कीजिए कि $7 \times 11 \times 13+13$ और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5$ भाज्य संख्याएँ क्यों है।

Sol :

$7 \times 11 \times 13+13=13(7 \times 11+1)$

=13(77+1)

=13(78)

=1014 , जो एक भाज्य संख्या है।

और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+5=5(7 \times 6 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+1)$,

=5

=5(1009)

=5045 , जो एक भाज्य संख्या है।

Question 11

किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदानं का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए कि वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारम्म करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय बाद वे दोनों पुनः प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

Sol :

सोनिया को एक चक्कर लगाने मे लगा समय=18 मिनट

और रवि को एक चक्कर लगाने में लगा समय = 12 मिनट

∵सोनिया और रवि एक ही समय चलना प्रारम्भ करते हैं तथा एक ही दिशा में चलते हैं। इसलिए हम दोनों समयों का LCM निकालते' हैं।

18 के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 3 \times 3$

12 के अभाज्य गुणनखण्ड $=2 \times 2 \times 3$

अत:  L.C.M. $(18,12)=2 \times 2 \times 3 \times 3=36$

अतः 36 मिनट बाद सोनिया और रवि प्रारम्भिक स्थान पर मिलेंगे।

Question 12

नीचे दी गई आकृति में x तथा y के मान ज्ञात कीजिए :

Sol :

∵$x=3 \times 195=585$

$y=13 \times 5=65$

3y=195

$y=\frac{195}{3}=65$

अतः x=585 , y=65

Question 13

व्याख्या कीजिए कि $(7 \times 13 \times 11)+11$ और $(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)+3$ भाज्य संख्याएँ क्यों है?

Sol :

$7 \times 13 \times 11+11=11(7 \times 13+1)$

=11(91+1)

=11(92)

=1012 , जो कि एक भाज्य संख्या है।

और $7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1+3=3(7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 2 \times 1+1)$

=3(1680+1)

=3(1681)

=5043,  जो कि एक भाज्य संख्या है।

Question 14

नीचे दी गई आकृति में x, y तथा z के मान ज्ञात कीजिए :

Sol :

∵ $x=2 \times 3381=6762$

3y=3381

∴ $y=\frac{3381}{3}=1127$

और 7z=161

∴ $z=\frac{161}{7}=23$

अतः x=6762 , y=1127 , और z=23