Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 5 खमांतर श्रेणी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5(E)

 प्रश्नावली 5(E) 

बहुविकल्पीय प्रश्न

दिए हुए चार विकल्प में से सही उत्तर चुनिए:

Question 1

दिए हुए चार विकल्प में से सही उत्तर चुनिए :

प्रश्न 1. किसी स. श्रे. में, यदि $d=-4, n=7$ और $a_{n}=4$ है, तो $a$ का मान है-

(A) 6

(B) 7

(C) 20

(D) $28 .$

हल : 

दिया है : $d=-4, n=7$ और $a_{n}=4$

$\therefore$

$\begin{aligned}a_{n} &=4 \\a+(n-1) d &=4 \\a+(7-1)(-4) &=4 \\a-24 &=4 \\a &=28\end{aligned}$

अतः विकल्प (D) 28 सही है।

प्रश्न 2.

किसी स. श्रे. में, यदि $a=3.5, d=0$ और $n=101$ है, तो $a_{n}$ बराबर है-

(A) 0

(B) $3.5$

(C) $103.5$

(D) $104.5$.

हल : 

दिया है : $a=3.5, d=0$ और $n=101$

$\therefore$

$\begin{aligned}a_{n} &=a+(n-1) d \\&=3.5+(n-1) 0 \\&=3.5\end{aligned}$

अतः विकल्प (B) $3.5$ सही है।

प्रश्न 3. 

संख्याओं $-10,-6,-2,2, \ldots \ldots \ldots \ldots$ की सूची-

(A) $d=-16$ वाली एक स. श्रे. है

(B) $d=4$ वाली एक स. श्रे. है

(C) $d=-4$ वाली एक स. श्रे. है

(D) एक स. श्रे. नहीं है।

हल : 

दी गयी संख्याएँ :- $10,-6,-2,2, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$

$\therefore$

$\begin{aligned}&d_{1}=-6-(-10)=-6+10=4 \\&d_{2}=-2-(-6)=-2+6=4\end{aligned}$

$\because \quad$ सार्वअन्तर, $d=d_{1}=d_{2}=4$

अतः विकल्प (B) $d=4$ वाली एक स. श्रे. है, सही है।

प्रश्न 4. 

स. श्रे. $-5,-\frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ का 11वाँ पद है-

(A) $-20$

(B) 20

(C) $-30$

(D) $30 .$

हल : 

यहाँ $a=-5, d=-\frac{5}{2}-(-5)=-\frac{5}{2}+5=\frac{5}{2}$ और $n=11$

अतः 11 वाँ पद=a+(11-1) d

$\begin{aligned} &=-5+10 \times \frac{5}{2} \\&=-5+25 \\&=20\end{aligned}$

अतः विकल्प (B) 20 सही है।

प्रश्न 5. 

उस स. श्रे., जिसका प्रथम पद $-2$ और सार्वअन्तर $-2$ है, के प्रथम चार पद है-

(A) $-2,0,2,4$

(B) $-2,4,-8,16$

(C) $-2,-4,-6,-8$

(D) $-2,-4,-8,-16$

हल : 

दिया है :

प्रथम पद, $a=-2$

सार्वअन्तर, $d=-2$

दूसरा पद $=a+d=-2+(-2)=-2-2=-4$

तीसरा पद $=a+2 d=-2+2(-2)=-2-4=-6$

चौथा पद $=a+3 d=-2+3(-2)=-2-6=-8$.

इसलिए प्रथम चार पद $-2,-4,-6,-8$ हैं।

अतः विकल्प (C) $-2,-4,-6,-8$ सही है।

प्रश्न 6. 

उस स. श्रे. जिसके प्रथम दो पद $-3$ और 4 हैं, का 21 वाँ पद है-

(A) 17

(B) 137

(C) 143

(D) $-143$.

हल : 

माना प्रथम दो पद क्रमशः $a_{1}$ तथा $a_{2}$ हैं, तब

$a_{1}=-3, a_{2}=4$

$\therefore \quad$ सार्वअन्तर, $d=a_{2}-a_{1}=4+3=7$

अब 21 वाँ पद =a+(21-1) d 

$\begin{aligned}&=-3+20 \times 7=-3+140 \\&=137\end{aligned}$

अतः विकल्प (B) 137 सही है।

उत्तर

प्रश्न 7. 

यदि किसी स. श्रे. का दूसरा पद 13 और 5 वाँ पद 25 है, तो उसका 7 वाँ पद क्या है ?

(A) 30 .

(B) 33

(C) 37

(D) 38 .

हल :

दूसरा पद $=13$

$\begin{array}{r}a+(2-1) d=13 \\a+d=13\end{array}$..........(i)

5वाँ पद $=25$

$a+(5-1) d=25$

$a+4 d=25$...........(ii)

समीकरण (ii) में से (i) को घटाने पर,'

$3 d=12$ अर्थात् $d=4$

समीकरण (i) से,

a+4=13

a=9

7वॉं पद =a+(7-1) d

$\begin{aligned}  &=9+6 \times 4 \\ &=9+24=33 . \end{aligned}$

अतः विकल्प (B) 33 सही है।

प्रश्न 8. 

स. श्रे. $21,42,63,84, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots$ का कौन सा पद 210 है ?

(A) 9वाँ

(B) 1 वाँ

(C) 11 वाँ

(D) 12 वाँ,

हल : 

प्रथम पद, $a=21$

और  सार्वअन्तर, $d=42-21=21$

$\therefore$

$\begin{aligned}a_{n} &=210 \\21+(n-1) 21 &=210 \\21(n-1) &=189 \\n-1 &=9 \\n &=10\end{aligned}$

अतः विकल्प (B) 10 वाँ सही है।

प्रश्न 9. 

यदि किसी स. श्रे. का सार्वअन्तर 5 है, तो $a_{18}-a_{13}$ है :

(A) 5

(B) 20

(C) 25

(D) 30 .

हल : 

दिया है :

सार्वअन्तर, $d=5$

$\therefore$

और

$\begin{aligned}a_{18} &=a+(18-1) d \\&=a+17 \times 5=a+85 \\a_{13} &=a+(13-1) d \\&=a+12 \times 5=a+60 \\a_{18}-a_{13} &=a+85-a-60=25\end{aligned}$

अतः विकल्प (C) 25 सही है।

प्रश्न 10. 

उस स. श्रे. का सार्वअंतर क्या है, जिसमें $a_{18}-a_{14}=32$ है ?

(A) 8

(B) $-8$

(C) $-4$

(D) 4 .

हल : 

$\begin{aligned} \because \quad a_{18}-a_{14} &=32 \\ \therefore \quad[a+(18-1) d]-[a+(14-1) d] &=32 \\ a+17 d-a-13 d &=32 \\ 4 d &=32 \\ d &=8 \end{aligned}$

अतः विकल्प (A) 8 सही है।

प्रश्न 11. 

दो समांतर श्रेढ़ियों का एक ही सार्वअंतर है। इनमें से एक का प्रथम पद $-1$ और दूसरी का प्रथम पद $-8$ है। तब, इनके चौथे पदों के बीच का अंतर है-

(A) $-1$

(B) $-8$

(C) 7

(D) $-9$.

 हल : 

पहली स. श्रे. का प्रथम पद $=-1$

दूसरी स. श्रे. का प्रथम पद $=-8$

पहली स. श्रे. का सार्वअन्तर $=$ दूसरी स. श्रे. का सार्वअन्तर

अब दूसरी स. श्रे. का 4 वाँ पद $-$ पहली स. श्रे. का 4 वाँ पद

$\begin{aligned}&=[-1+(4-1) d]-[-8+(4-1) d] \\&=-1+3 d+8-3 d \\&=7\end{aligned}$

अतः विकल्प (C) 7 सही है।

प्रश्न 12. 

यदि किसी स. श्रे. के 7 वें पद का 7 गुना उसके 11 वें पद के 11 गुने के बराबर हो, तो उसका 18 वाँ पद होगा।

(A) 7

(B) 11

(C) 18

(D) 0 .

हल :

7 स. श्रे. का 7 वाँ पद  = 11  स. श्रे. का 11 वाँ पद

$\begin{aligned}7[a+(7-1) d] &=11[a+(11-1) d] \\7 a+42 d &=11 a+110 d \\7 a-11 a &=110 d-42 d \\-4 a &=68 d\end{aligned}$

a=-17d 

18 वाँ पद = a+(18-1) d 

=-17 d+17 d

=0

अतः विकल्प (D) 0 सही है।

प्रश्न 13. 

स. श्रे. $-11,-8,-5, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, 49$ के अंत से चौथा पद है-

(A) 37

(B) 40

(C) 43

(D) 58 .

हल :

प्रथम पद, $a=-11$

सार्वअन्तर, $d=-8-(-11)=-8+11=3$

अन्तिम पद, $l=49$

अन्त से 4 वाँ पद $=l-(4-1) d$

$=49-3 \times 3=49-9=40$

अतः विकल्प (B) 40 सही है।

प्रश्न 14. 

प्रथम 100 प्राकृत संख्याओं के योग को ज्ञात करने से संबद्ध प्रसिद्ध गणितज्ञ है-

(A) पाइथागोरस

(B) न्यूटन

(C) गॉस

(D) यूक्लिड

हल : 

प्रथम, 100 प्राकृत संख्याओं के योग को ज्ञात करने वाले प्रसिद्ध गणितज्ञ गॉस थे। अतः विकल्प (C) गॉस सही है।

प्रश्न 15. 

यदि किसी स. श्रे. का प्रथम पद $-5$ और सार्वअंतर 2 है, तो उसके प्रथम 6 पदों का योग है-

(A) 0

(B) 5 ,

(C) 6

(D) 15 .

हल : 

दिया है : प्रथम पद, $a=-5$

तथा सार्वअन्तर, $d=2$

$\therefore \quad$ प्रथम 6 पदों का योगफल, $\mathrm{S}_{6}=\frac{6}{2}[2(-5)+(6-1) 2]$

$\begin{aligned}&=3(-10+10) \\&=0\end{aligned}$

अतः विकल्प (A) 0 सही है।

प्रश्न 16. 

स. श्रे. 10, 6, 2,............के प्रथम 16 पदों का योग है-

(A) $-320$

(B) 320

(C) $-352$

(D) $-400$.

हल : 

दिया है : प्रथम पद, a=10

   सार्व अन्तर, d=6-10=-4

$\therefore \quad$ प्रथम 16 पदों का' योगफल $=\frac{16}{2}[2 \times 10+(16-1)(-4)]$

$\begin{aligned}&=8(20-60) \\&=8(-40) \\&=-320 .\end{aligned}$

अतः विकल्पं (A) - 320 सही है  उत्तर

प्रश्न 17.

किसी स. श्रे. में, यदि $a=1, a_{n}=20$ और $\mathrm{S}_{n}=399$ हों, तो $n$ बराबर है-

(A) 19

(B) 21

(C) 38

(D) 42 .

हल : 

$\because$

$\begin{array}{r}a=1 \text { और } a_{n}=20 \\ a+(n-1) d=20 \\1+(n-1) d=20 \\ (n-1) d=19\end{array}$

$\begin{aligned} \mathrm{S}_{n} &=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \\ 399 &=\frac{n}{2}[2 \times 1+19] \\ 798 &=21 n \\ n &=\frac{798}{21}=38 \end{aligned}$

अतः विकल्प (C) 38 सही है।

प्रश्न 18. 

3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग है-

(A) 45

(B) 55

(C) 65

(D) 75 .

हल : 

3 के प्रथम पाँच गुणज $=3,6,9,12,15$ यहाँ $n=5, a=3$ और $l=15$

अब 3 के प्रथम पाँच गुणजों का योग $=\frac{5}{2}(3+15)$

$=\frac{5}{2} \times 18=45$

अतः विकत्प (A) 45 सही है।