प्रश्नावली 5(D)
Question 1
उस समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर ज्ञात करो जिसके पहले 25 पदों का योग 1000 और प्रथम पद 10 है।
Sol :
दिया है : n=25, a=10, $\mathrm{~S}_{25}=1000$
माना सार्वअन्तर d है,
अतः सून:
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$\mathrm{S}_{25}=\frac{25}{2}[2 \times 10+(25-1) d]$
$1000=\frac{25}{2}[20+24 d]$
$20+24 d=\frac{1000 \times 2}{25}$
24d=80-20=60
$d=\frac{60}{24}=\frac{5}{2}=2.5$
अतः इस समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर 2.5 है।
Question 2
उस समान्तर श्रेढ़ी का सर्वअन्तर ज्ञात करो जिसके पहले तीस पदों का योग 1020 और प्रथम पद 5 है।
Sol :
दिया है, n=30, a=5, S=1020
माना सार्वअन्तर d है।
अतः सूत्र
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ से,
$1020=\frac{30}{2}[2 \times 5+(30-1) d]$
1020=15[10+29d]
$10+29 d=\frac{1020}{15}$
10+29d=68
29d=68-10
29d=58
∴$d=\frac{58}{29}=2$
अत: इस समान्तर श्रेढ़ी का सार्वअन्तर 2 है।
Question 3
उस स. श्रे. का प्रथम पद ज्ञात करो जिसमें पदान्तर 3 और $a_{12}=37$ हो।
Sol :
दिया है : पदान्तर,
d=3
$a_{12}=37$
∴a+(12-1)d=37
a+11d=37
$a+11 \times 3=37$
a=37-33=4
अत: स. श्रे. का प्रथम पद 4 है
Question 4
60 से 120 के बीच समी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।
Sol :
61 , 63 , 65 , 67 , .....119
अतः प्राप्त श्रेढ़ी का n वॉ पद =a+(n-1) d
119=61+(n-1)2
119-61=2(n-1)
2(n-1)=58
n=30
अत: उपर्युक्त श्रेढी में 30 पद हें।
∴श्रेढ़ी के 30 पदों का योगफल' $=\frac{n}{2}[a+l]$
$=\frac{30}{2}[61+119]$
$=15 \times 180$
=2700
Question 5
केन्द्र A से प्रारम्भ करते हुए, बारी-बारी से केन्द्रो A और B को लेते हुए, त्रिज्याओं 0.5 सेमी, 1 सेमी, 1.5 सेमी, 2 सेमी ... . . वाले उत्तरोत्तर अर्धवृत्तों को खींचकर एक सर्पिल (Spiral) बनाया गया है, जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। तेरह क्रमागत अर्धवत्तों से बने इस सर्पिल की कुल लम्बाई क्या है?
($\pi=22 / 7$ लीजिए )
Sol :
दी गई स्थिति से,
पहले, दूसरे, तीसरे, चौथे आदि अर्धवृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 0.5, 1 , 1.5 , 2 सेमी आदि हैं।
ज्ञात करना है : 13वें अर्धवृत की त्रिज्या।
उपर्युक्त कथन से प्राप्त श्रेणी इस प्रकार होगी :
0.5 , 1, 1.5 , 2....
यहों प्रथम पद (a)=0.5, सार्वअन्तर (d)=1-0.5=0.5
कुल अर्धवृत्तों अर्थात् पदों की संख्या = 13
∴$a_{13}=0.5+(13-1) \times 0.5$ $\left[a_{n}=a+(n-1) d\right.$ से $]$
$=0.5+12 \times 0.5$
∴$a_{13}=0.5+6=6.5$
∵इन अर्धवत्तों की लम्बाई ज्ञात करनी र्ह अर्थात् अर्धवृत्तों की परिधियाँ क्रमश:
अतः$=\pi r_{1}, \pi r_{2}, \pi r_{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \pi r_{13}$
कुल लम्बाई $=\pi r_{1}+\pi r_{2}+\pi r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots . .+\pi r_{13}$
$=\pi\left(r_{1}+r_{2}+r_{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . r_{13}\right)$
$=\pi(0.5+1+1.5+\ldots \ldots \ldots \ldots .6 .5)$
$=\pi\left[\frac{13}{2}(0.5+6.5)\right]$ $\left[\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}(a+l)\right.$ से $]$
$=\pi\left(\frac{13}{2} \times 7\right)$
$=\frac{22}{7} \times \frac{13}{2} \times 7=143$
अतः सर्पिल की कुल लम्बाई 143 सेमी होगी।
Question 6
(A) श्रेढ़ी - 8,-6,-4,.............के कितने पदों का योग 52 होगा ?
Sol :
(A) दिया है , n पदों का योगफल 52 है।
यहाँ प्रथम पद a=-8
सार्व अन्तर d=-6-(-8)
=-6+8=2
∴श्रेढी के n पदों का योगफल
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$52=\frac{n}{2}[2 \times(-8)+(n-1) 2]$
$52=\frac{n}{2}[-16+2 n-2]$
52=n[-9+n]
$52=-9 n+n^{2}$
$n^{2}-9 n-52=0$
(n-13)(n+4)=0
n=13 , n=-4
परन्तु n पदों की संख्या को व्यक्त करता है।
∴ n का मान धन पूर्णाक होगा। अतः n=13 होगा।
(B) श्रेठ़ी 35,31,27, ... के कितने पदों का योग 170 होगा ?
Sol :
दिया है, n पदों का योगफल 170 है।
यहाँ प्रथम पद = 35
सार्वअन्तर, d=31-35=-4
∴श्रिढ़ी के n पदों का योगफल
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$170=\frac{n}{2}[2 \times 35+(n-1)(-4)]$
$170=\frac{n}{2}[70-4 n+4]$
$170=\frac{n}{2}[74-4 n]$
170=n[37-2n]
$170=37 n-2 n^{2}$
$2 n^{2}-37 n+170=0$
$2 n^{2}-17 n-20 n+170=0$
n(2 n-17)-10(2 n-17)=0
(2n-17)(n-10)=0
अब n=10 और $\frac{17}{2}$ (अमान्य )
∴अतः पदों की संख्या 10 होगी।
Question 7
एक समान्तर श्रेढ़ी के 8 पदों का योग 64 और 19 पदों का योग 361 है, तो उस श्रेढ़ी के n पदों का योगफल ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना श्रेढी का प्रथम पद = a
सार्ध अन्तर =d
तो, $\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
प्रश्नानुसार ,
$64=\frac{8}{2}[2 a+(8-1) d]$
64=4[2a+7d]
16=2a+7d...(1)
तथा $361=\frac{19}{2}[2 a+(19-1) d]$
$361=\frac{19}{2}[2 a+18 d]$
19=a+9d...(2)
समीकरण (1) और (2) को हल करने पर,
a=1 और d=2
∴श्रढ़ी के n पदों का योगफल
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=\frac{n}{2}[2 \times 1+(n-1) 2]$
$=\frac{n}{2}[2+2 n-2]$
$=\frac{n}{2}[2 n]$
$=n^{2}$
Question 8
200 लट्ठों (logs) को ढेरी के रूप में इस प्रकार रखा जाता है : सबसे नीचे वाली पंक्ति में 20 लट्ठो, उससे अगली पंक्ति में 19 लट्ठे, उससे अगली पंक्ति में 18 लट्ठे, इत्यादि (देखिए आकृति में । ये 200 लट्ठे कितनी पंक्तियों में रखे गए हैं तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में कितने लट्ठे है?
Sol :
∵दी गई स्थिति के अनुसार,
प्रथम पंक्ति में लट्ठे =20
द्वितीय पंक्ति में लट्ठे = 19
तृतीय पंक्ति में लट्ठे = 18
चौथी पंक्ति में लट्ठे = 17
इसी प्रकार और भी पंक्तियाँ इसी क्रम में बनेंगी। अतः यह एक श्रेणी का रूप होगा जो निम्न है:
20 , 19 ,18 ,17...
यहाँ प्रथम पद (a)=20 , सार्वअन्तर (d)=19-20=-1
मान लीजिए पंक्तियों की संख्या n है अर्थात
n पदों का योगफल =200
$\mathrm{S}_{n}=200$
$\frac{n}{2}[2 \times 20+(n-1) \times-1]=200$
$\frac{n}{2}(40-n+1)=200$
$\frac{n}{2}(41-n)=200$
n(41-n)=400
$41 n-n^{2}=400$
$n^{2}-41 n+400=0$
$n^{2}-25 n-16 n+400=0$
n(n-25)-16(n-25)=0
(n-25)(n-16)=0
∴n-25=0 or n=25
n-16=0 or n=16
n=25 असम्भव है क्योंकि लट्ठों की संख्या 200 ही है।
अतः n=16 से,
$a_{16}=20+(16-1) \times-1$ $\left[a_{n}=a+(n-1) d\right.$ से]
=20-15=5
अतः कुल पंक्तियों की संख्या 16 तथा सबसे ऊपरी पंक्ति में 5 लट्ठे होंगे
Question 9
किसी स. श्रे, का प्रथम पद 5 , अन्तिम पद 45 और योग 400 है। पदों की संख्या और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया है : प्रथम पद (a)=5,
अंतिम पद (l)=45,
योगफल, $S_{n}=400$
∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$ (सूत्र से)
∴$400=\frac{n}{2}[5+45]$
$400=\frac{n}{2} \times 50$
25n=400
∴$n=\frac{400}{25}=16$
∵अतिम पद $l=a_{n}=a+(n-1) d$
45=5+(16-1)d
45-5=15d
15d=40
∴$d=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}$
अतः पदों की संख्या = 16 तथा सार्वअन्तर $=\frac{8}{3}$
Question 10
उस स. श्रे. के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसमें d=7 है और 22वाँ पद 149 है।
Sol :
दी गई स. श्रे. में, d=7 तथा 22 वाँ पद =149
अर्थात् $a_{22}=a+(n-1) d .$
149=a+(22-1)7
149=a+21×7
149=a+147
a+147=149
∴a=149-147=2
अब 22 पदो का योगफल
$\mathrm{S}_{22}=\frac{22}{2}[2 \times 2+(22-1) \times 7]$ (सूत्र से)
$=11(4+21 \times 7)=11 \times 151=1661$
अत: 22 पदों का योगफल 1661 होगा।
Question 11
उस समान्तर श्रेढ़ी के पदों की संख्या ज्ञात करो जिसके सभी पदों का योगफल 60, सार्वअन्तर 2 तथा अन्तिम पद 18 है।
Sol :
माना पदो की संख्या n है।
दिया है, पदो का योग S=60
सार्वअन्तर d=2
अतः n वाँ पद=a+(n-1)d
18=a+(n-1)2
18=a+2d-2
∴a=20-2d...(1)
$\mathrm{S}=\frac{n}{2}[a+l]$
$60=\frac{n}{2}[a+18]$
$60=\frac{n}{2}[20-2 n+18]$ [a का मान (1) से रखने पर]
$60=\frac{n}{2}[38-2 n]$
60=n(19-n)
$60=19 n-n^{2}$
$n^{2}-19 n+60=0$
$n^{2}-15 n-4 n+60=0$
n(n-15)-4(n-15)=0
(n-15)(n-4)=0
n=4 या 15
अतः श्रेढी के प्रथम 4 पदों का योगफल 60 होगा, परन्तु n=15 से प्रकट होता है कि श्रेढ़ी के 15 पदों का योगफल भी 60 होगा जो तभी सम्भव जब प्रथम 4 पदों के बाद आने बाले अगले 11 पदों का योगफल शून्य हो।
Question 12
सिद्ध करो कि किसी समान्तर श्रेढ़ी के आदि और अन्त से समान दूरी वाले पदों का योगफल अचर होता है।
Sol :
मान लीजिए
समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
सार्व अन्तर = d
अन्तिम पद = l
∴प्रारम्भ से r वाँ पद =a+(r-1) d...(1)
और अन्त से r वाँ पद =l-(r-1) d...(2)
समीकरण (1) और (2) का योगफल = a+l
∴अब प्रारम्भ से (r+1) वाँ पद =a+(r+1-1) d
=a+rd...(3)
अन्त से (r+1) वाँ पद =l-(r+1-1) d
=l-rd...(4)
समीकरण (3) तथा (4) का योगफल = a+r d+l-r d=a+l
इसी प्रकार आदि और अन्त से (r+2) वें पद का मान योगफल a+l होगा।
अत: आदि और अन्त से समान दूरी वाले पदों का योगफल' अचर होता है।
Question 13
समान्तर श्रेणी 24,21,18, . . . के कितने पद लिए जाएँ, ताकि उनका योग 78 हो?
Sol :
माना n पदों का योगफल 78 होगा।
दिया है : प्रथम पद, a=24
सार्वअन्तर, d=21-24=-3
अतः $\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ से,
$78=\frac{n}{2}[2 \times 24+(n-1)(-3)]$
156=n[48-3 n+3]
156=n[51-3n]
$156=5 \ln -3 n^{2}$
$156=3\left(17 n-n^{2}\right)$
$156=3\left(17 n-n^{2}\right)$
$n^{2}-17 n+52=0$
$n^{2}-13 n-4 n+52=0$
n(n-13)-4(n-13)=0
(n-13)(n-4)=0
n=4 या 13
∵n के प्राप्त दोनों की मान संभव हैं।
अतः पदों की संख्या 4 या 13 होगी।
Question 14
यदि किसी स. श्रे. के प्रथंम 7 पदों का योग 49 है और प्रथम 17 पदों का योग 289 है, तो इसके प्रथम n पदों का घोग ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हो, तो
प्रथम 7 पदों का योग = 49 (दिया है)
$\mathrm{S}_{7}=49$
$\frac{7}{2}[2 a+(7-1) d]=49$
$\frac{7}{2} \times 2(a+3 d)=49$
7(a+3d)=49
a+3d=7..(1)
प्रथम 17 पदों का योग =289 (दिया है)
$\mathrm{S}_{17}=289$
$\frac{17}{2}[2 a+(17-1) d]=289$
$\frac{17}{2}[2 a+16 d]=289$
$\frac{17}{2} \times 2[a+8 d]=289$
17(a+8d)=289
a+8d=17...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
-5d=-10
∴d=2
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
$a+3 \times 2=7$
a+6=7
a=7-6=1
n पदों का योग $=\frac{n}{2}[2 \times 1+(n-1) 2]$
$=\frac{n}{2}[2+(n-1) 2]$
$=\frac{n}{2} \times 2[1+n-1]$
$=n \times n=n^{2}$
अत: n पदों का योग $n^{2}$ होगा।
Question 15
(A) एक समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योगफल $3 n^{2}-n$ है। पहला पद तथा सार्वअन्तर निकाले।
Sol :
दिया है:
$\mathrm{S}_{n}=3 n^{2}-n$
$\mathrm{S}_{n-1}=3(n-1)^{2}-(n-1)$
तब श्रेढ़ी का $n$ वाँ पद $=\mathrm{S}_{n}-\mathrm{S}_{n-1}$
$=\left(3 n^{2}-n\right)-\left[3(n-1)^{2}-(n-1)\right]$
$=\left(3 n^{2}-n\right)-\left[3 n^{2}-7 n+4\right]$
=6n-4
पहला पद $\mathrm{T}_{1}=6 \times(1)-4$
=6-4=2
$\mathrm{T}_{2}=6 \times(2)-4$
=12-4=8
∴सार्वअन्तर $=\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}$
=8-2=6
अत: पहला पद 2 तथा सार्वअन्तर 6 है।
(B) एक आलू दौड़ (Potato race) में, प्रारम्भिक स्थान पर एक बाल्टी रखी हुई है, जो पहले आलू से 5 मी. की दूरी पर है, तथा अन्य आलुओ को एक सीधी रेखा में परस्पर 3 मी. की दूरियों पर रखा गया है। इस रेखा पर 10 आलू रखे गये हैं। (देखिए आकृति में)
प्रत्येक प्रतियोगी बाली से चलना प्रारम्भ करती है, निकटतम आलू को उठाती है, उसे लेकर वापस आकर दौड़कर बाल्टी में डालती है, दूसरा आलू उठाने के लिए वापस दौड़ती है, उसे उठाकर वापस बाल्टी में डालती है, और वह ऐसा तब तक करती रहती है, जब तक सभी आलू बाली में न आ जायें। इसमें प्रतियोगी को कुल कितनी दूरी दौड़नी पड़ेगी?
Sol :
प्रश्नानुसार,
पहले आलू की बाल्टी से दूरी=5 मी.
अब दूसरी, तीसरी, चौथी तथा अन्य स्थितियों में प्रत्येक से 3 मी. अधिक दूरी पर है।
अतः श्रेणी स. श्रे. निम्न प्रकार से होगी :
5,(5+3) ,(5+3+3) , (5+3+3+3)......
∵एक बार वह बाल्टी से चलकर आलू को उठाती है तथा वापस आकर उसे बाल्टी में डालती है अतः उसे दोगुनी दूरियाँ चलने के लिए बाध्य होना पड़ता है
=2(5,8,11,14,.......)
यहाँ प्रथम पद (a)=5, सार्वअन्तर (d)=8-5=3 तथा n=10
अब 10 आलुओं को उठाने में कुल चली दूरी का योगफल
$=2\left[\frac{10}{2}\{2 \times 5+(10-1) \times 3\}\right]$
=10(10+9×3)
=10(10+27)=10×37=370
अतः प्रतियोगी को कुल 370 मी. दूरी तय करनी होगी।
Question 16
स. श्रे. 121, 117, 113, .. .का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
Sol :
दी गयी समान्तर श्रेणी : 121,117,113,...............
यहाँ प्रथम पद (a)=121,
सार्वअन्तर (d)=117-121=-4
∵ऋणात्मक मान शून्य से छोटे होते हैं अर्थात्
$\begin{array}{lr} & a_{n}<0 \\ & a+(n-1) d<0 \\ \Rightarrow & 121+(n-1) \times-4 & <0 \\ \Rightarrow & 121-4(n-1) & <0 \\ \Rightarrow & 121-4 n+4 & <0 \\ \Rightarrow & 125-4 n & <0 \\ \Rightarrow & -4 n<-125 \\ \text { or } & n<\frac{125}{4} \\ \therefore & n<31.25\end{array}$
∵n का मान 31.25 से अधिक ही होना चाहिए। अतः 32 वें पद का मान ऋणात्मक होगा।
Question 17
यदि किसी श्रेढ़ी के n पदों का योग $2 n^{2}+7 n$ हो, तो उस श्रेढ़ी के प्रथम पाँच पदों को ज्ञात करो।Sol :
$S_{n-1}=2(n-1)^{2}+7(n-1)$
$=2\left(n^{2}+1-2 n\right)+7(n-1)$
$=2 n^{2}+2-4 n+7 n-7$
$=2 n^{2}+3 n-5$
n वाँ पद $=\mathrm{S}_{n}-\mathrm{S}_{n-1}$
$=\left(2 n^{2}+7 n\right)-\left(2 n^{2}+3 n-5\right)$
$=2 n^{2}+7 n-2 n^{2}-3 n+5$
=4n+5
प्रथम पद $=4 \times 1+5=4+5=9$
दूसरा पद $=4 \times 2+5=8+5=13$
तीसरा पद $=4 \times 3+5=12+5=17$
चौथा पद $=4 \times 4+5=16+5=21$
पाँचवाँ पद $=4 \times 5+5=20+5=25$
Question 18
किसी स. श्रे. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस स. श्रे. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना कि किसी समान्तर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है, तो
श्रेणी का तीसरा पद, $a_{3}=a+(3-1) d=a+2 d$
श्रेणी का सातवाँ पद, $a_{7}=a+(7-1) d=a+6 d$
∵प्रश्नानुसार,
श्रेणी के तीसरे पद तथा सातवें पद का योग =6
∴a+2d+a+6d=6
⇒2a+8d=6
⇒2(a+4d)=6
⇒a+4d=3...(1)
और श्रेणी के तीसरे तथा सातवें पद का गुणनफल =8
∴(a+2d)(a+6d)=8
$\Rightarrow a^{2}+2 a d+6 a d+12 d^{2}=8$
$\Rightarrow a^{2}+8 a d+12 d^{2}=8$...(2)
समीकरण (1) का वर्ग करने पर,
$a^{2}+8 a d+16 d^{2}=9$....(3)
समीकरण (3) में से (2) को घटाने पर,
$\begin{aligned} & 4 a^{2}=1 \\ \Rightarrow & d^{2} =\frac{1}{4} \\ \therefore &d=\pm \frac{1}{2} \end{aligned}$
$d=\pm \frac{1}{2}$ को समीकरण (1) में क्रमशः प्रतिस्थापित करने पर,
(+ चिह्न लेने पर) $a-4 \times \frac{1}{2}=3$
या a+2=3
∴a=3+2=5
अतः a के मान 1 या 5 तथा d के मान $+\frac{1}{2}$ या $\frac{1}{2}$ होंगे।
जब a=1 तथा $d=\frac{1}{2}$ हो, तो
प्रथम 16 पदों का योग $=\frac{16}{2}\left[2 \times 1+(16-1) \times \frac{1}{2}\right]$,
$=8\left(2+15 \times \frac{1}{2}\right)$
$=16+120 \times \frac{1}{2}$
=16+60=76
जब a=5 तथा $d=-\frac{1}{2}$ हो, तो
प्रथम 16 पदों का योग $=\frac{16}{2}\left[2 \times 5+(16-1) \times-\frac{1}{2}\right]$
$=8\left[10-15 \times \frac{1}{2}\right]$
$=80-120 \times \frac{1}{2}$
=80-60=20
अतः 16 पदों का योग 76 या 20 होगा।
Question 19
एक सीढ़ी के क्रमागत डडे परस्पर 25 सेमी की दूरी पर हैं (देखिए आकृति में)। डंडों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती हैं तथा सबसे निचले डडे की लम्बाई 45 सेमी हैं और सबसे उपर वाले डडे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डडे के बीच दूरी $2 \frac{1}{2}$ मी. है, तो डंडों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
Sol :
कुल क्षैतिज दूरी $=2 \frac{1}{2}$ मी. $=\frac{5}{2} \times 100$ सेमी =250 सेमी
∵ दो डंडे क्रमानुसार लगे हैं जिनके बीच की दूरी =25 सेमी
∴सीढ़ी में लगे कुल डंडे $=\frac{250}{25}=10$
∵ प्रथम डंडे की लम्बाई (a)=25 सेमी
तथा अन्तिम डंडे की लम्बाई (l)=45 सेमी
∴10 डंडों के लिए प्रयुक्त कीं गयी लकड़ी की माप
$=\frac{10}{2}[a+l]$
=5(25+45)=5×70=350 सेमी
अतः डंडों को बनाने के लिए 350 सेमी या 3.5 मी. लकड़ी की आवश्यकता होगी।
Question 20
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
Sol :
प्रश्नानुसार, पंक्ति के मकानों पर अंकित की गयी संख्याएँ निम्न प्रकार हैं :
1,2,3,4,5...............49 तक
x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग =x से अंकित मकान से बाद वाले मकानों की संख्या का योग अर्थात् 1 से (x-1) तक की संख्याओं का योग=(x+1) से 49 तक की संख्याओं का योग
∵सार्वअन्तर (d)=1 है
अब 1 से (x-1) तक की संख्याओं का योगफल; (सूत्र से)
$\mathrm{S}_{x-1}=\frac{x-1}{2}[2 a+\{(x-1)-1\} d]$ (∵a=1 , d=1)
$=\frac{x-1}{2}[2 \times 1+(x-2) 1]$
$=\frac{x-1}{2}(2+x-2)$
$=\frac{x(x-1)}{2}=\frac{x^{2}-x}{2}$
और (x+1) से 49 तक की संख्याओं का योग
$=\mathrm{S}_{49}-\mathrm{S}_{x}=\frac{49}{2}[2 \times 1+(49-1) .1]-\frac{x}{2}[2 \times 1+(x-1) .1]$
$=\frac{49}{2}(2+48)-\frac{x}{2}(2+x-1)$
$=\frac{49}{2} \times 50-\frac{x}{2}(x+1)$
$=49 \times 25-\frac{x^{2}+x}{2}$
$=1225-\frac{x^{2}+x}{2}$
उपर्युक्त कथन से,
$\frac{x^{2}-x}{2}=1225- \frac{x^{2}+x}{2}$
$\begin{array}{ll}\Rightarrow & \frac{x^{2}-x}{2}+\frac{x^{2}+x}{2} =1225 \\ \Rightarrow & \frac{x^{2}-x+x^{2}+x}{2} =1225 \\ \Rightarrow & x^{2} =1225 \\ \therefore & x =\sqrt{1225}=35\end{array}$
Question 21
एक फुटबॉंल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियो में से प्रत्येक की लम्बाई 50 मी है और वह ठोस कंक्रीट की बनी हैं। प्रत्येक सीढ़ी में $\frac{1}{4}$ मी की चढ़ाई है और $\frac{1}{2}$ मी का फैलाव (चौड़ाई) है (देखिए आकृति में)। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
Sol :
दिया गया है:
प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई =50 मी और चौड़ाई $=\frac{1}{2}$ मी
∵सीढ़ियों में क्रमागत रूप से चढ़ने के लिए $\frac{1}{4}$ मी की दूरी है और सीढ़ियों की कुल संख्या 15 है। अतः प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई समान्तर श्रेणी के रूप में होगी जो निम्नलिखित है :
$\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \ldots \frac{15}{4}$
∴पहली सीढ़ी में लगी कंक्रीट का आयतन $=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}=\frac{25}{4}$ घन मी
दूसरी सीढ़ी में लगी कंक्रीट का आयतन
$=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{4}=\frac{50}{4} $घन मी
तीसरी सीढ़ी में लगी कंक्रीट का आयतन
$=50 \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{4}=\frac{75}{4} $ घन मी
अतः चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन
$=\frac{25}{4}+\frac{50}{4}+\frac{75}{4}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . .+15$ पदों तक
यहाँ $a=\frac{25}{4}$, सार्वअन्तर $(d)=\frac{50}{4}-\frac{25}{4}=\frac{25}{4}$ और n=15
अब चबूतरे को बनाने में कंक्रीट का कुल आयतन
$=\frac{15}{2}\left[2 \times \frac{25}{4}+(15-1) \times \frac{25}{4}\right]$
$=\frac{15}{2}\left[2 \times \frac{25}{4}+14 \times \frac{25}{4}\right]$
$=15 \times \frac{200}{4}=15 \times 50=750$ घन मी
अतः चबूतरे में लगी कंक्रीट का आयतन 750 घन मी होगा।
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