Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 5 खमांतर श्रेणी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5(C)

  प्रश्नावली 5(C) 

Question 1

निम्नलिखित श्रेढियों का योगफल ज्ञात कीजिए-

(A) 5+8+11+14+... .22 पदों तक 1

Sol :

a=5 , d=8-5=3 , n=22

माना योगफल S है।

$S=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{22}{2}[2 \times 5+(22-1) \times 3]$

=11[10+63]

$=11 \times 73$

अत : योगफल =803

(B) 2,7,12, .... .10 पदों तक।

Sol :

दी गयी समान्तर श्रेणी है : 2,7,12,..., 10 पदों तक

यहाँ प्रथम पद (a)=2, सार्व अन्तर (d)=7-2=5 तथा n=10

∵n पदों का 'योगफल, $S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴10 पदों का योगफल, $S_{10}=\frac{10}{2}[2 \times 2+(10-1) \times 5]$

$=5[4+9 \times 5]$

=5(4+45)

$=5 \times 49=245$

अत: 10 पदों तक का योगफल 245 होगा।

(C) -8,-6,-4,-2, ...13 पदों तक।

Sol :

प्रथम पद a=-8

सार्वअन्तर d=-6+8=2

∵$S_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴$S_{13}=\frac{13}{2}[2 \times(-8)+(13-1) 2]$

$=\frac{13}{2}[-16+24]$

$=\frac{13}{2} \times 8$

=52

(D) $\sqrt{2}+\sqrt{2}(1-\sqrt{2})+\sqrt{2}(1-2 \sqrt{2})+\ldots \ldots . .21$ पदों तक।

Sol :

प्रथम पद $a=\sqrt{2}$

सार्वअन्तर $d=\sqrt{2}(1-\sqrt{2})-\sqrt{2}$

$=\sqrt{2}-2-\sqrt{2}=-2$

पदों की संख्या =21

∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴$\mathrm{S}_{21}=\frac{21}{2}[2 \sqrt{2}+(21-1)(-2)]$

$=\frac{21}{2}[2 \sqrt{2}+20(-2)]$

$=\frac{21}{2}(2 \sqrt{2}-40)$

$=\frac{21}{2} \times 2(\sqrt{2}-20)$

$=21(\sqrt{2}-20)$

(E) -37,-33,-29, . . .12 पदों तक।

Sol :

दी गयी श्रेणी है : -37,-33,-29, . . .12 पदों तक

यहाँ प्रथम पद (a)=-37

सार्वअन्तर (d)=-33-(-37)=-33+37=4

तथा n=12

∵n पदों तक का योगफल , $\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴12 पदों तक का योगफल,

$S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times-37+(12-1) \times 4]$

$=6[-74+11 \times 4]$

=6[-74+44]

$=6 x-30=-180$

अतः 12 पदों का योगफल - 180 होगा।

(F) 0.6,1.7,2.8, .. .100 पदो तक।

Sol :

दी गयी समान्तर श्रेणी है :

0.6, 1.7, 2.8, ... 100 पदों तक

यहाँ प्रथम पद (a)=0.6, सार्वअन्तर (d)=1.7-0.6=1.1 तथा n=100

∵n पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴100 पदों तक का योगफल,

$\mathrm{S}_{100}=\frac{100}{2}[2 \times 0.6+(100-1) \times 1.1]$

$=50[1.2+99 \times 1.1]$

=50(1.2+108.9)

$=50 \times 110.1=5505$

अतः 100 पदों तक का योगफल 5505 होगा।

Question 2

(i) श्रेणी $\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots \ldots \ldots .11$ पदों तक योगफल' ज्ञात कीजिए।

Sol :

दी गयी समांन्तर श्रेणी है : $\frac{1}{15}, \frac{1}{12}, \frac{1}{10}, \ldots \ldots \ldots, 11_{-}$ पदों तक

यहाँ प्रथम पद $(a)=\frac{1}{15}$

सार्वअन्तर $(d)=\frac{1}{12}-\frac{1}{15}=\frac{5-4}{60}=\frac{1}{60}$

n=11

∵n पदों का योगफल, $\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴11 पदों तक का योगफल,

$\mathrm{S}_{11}=\frac{11}{2}\left[2 \times \frac{1}{15}+(11-1) \times \frac{1}{60}\right]$

$=\frac{11}{2}\left[\frac{2}{15}+10 \times \frac{1}{60}\right]$

$=\frac{11}{2}\left(\frac{2}{15}+\frac{1}{6}\right)$

$=\frac{11}{2}\left(\frac{4+5}{30}\right)$

$=\frac{11}{2} \times \frac{9}{30}=\frac{33}{20}$

अत: 11 पदों तक का योगफल $\frac{33}{20}$ होगा।

(ii) 636 योग प्राप्त करने के लिए स. श्रे. : 9,17,25,.......................के कितने पद लेने चाहिए?

Sol :

दिया है : योगफल, $\mathrm{S}_{n}=636$

दी गई समान्तर श्रेणी : 9,17,25, . . 

प्रथम पद (a)=9 तथा सार्व अन्तर (d)=17-9=8

∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र)

∴$636=\frac{n}{2}[2 \times 9+(n-1) \times 8]$

$636=\frac{n}{2} \times 2[9+4 n-4]$

636=n(4 n+5)

$636=4 n^{2}+5 n$

$4 n^{2}+5 n-636=0$

$4 n^{2}+53 n-48 n-636=0$

n(4 n+53)-12(4 n+53)=0

(4 n+53)(n-12)=0

∴4n+53=0

4n=-53

$n=-\frac{53}{4}$

n-12=0

n=12

∴n का मान ऋरणाल्भक नही हो सकता है

अतः n=12

Question 3

नीचे दिए हुए योगफलें को ज्ञात कीजिए :

(i) 34+32+30.....+10

Sol :

दी गयी श्रेणी है : 34+32+30.....+10

यहाँ प्रथम पद (a)=34, सार्वअन्तर (d)=32-34=-2, $a_{n}=10$ तथा n=?

∵$a_{n}=a+(n-1) d$

∴$10=34+(n-1) \times-2$

10-34=-2(n-1)

-24=-2(n-1)

2(n-1)=24

n-1=12

∴n=12+1=13

अब n पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴13 पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{13}=\frac{13}{2}[2 \times 34+(13-1) \times-2]$

$=\frac{13}{2}[68-2 \times 12]$

$=\frac{13}{2}[68-24]$

$=\frac{13}{2} \times 44$

$=13 \times 22=286$

अतः दी गयी श्रेणी का योगफल 286 होगा।

(ii) -5+(-8)+(-11)+...+(-230)

Sol :

यहाँ प्रथम पद (a)=-5, 

सार्व अन्तर (d)=-8-(-5)=-8+5=-3, 

$a_{n}=-230$ तथा n=?

∵$a_{n}=a+(n-1) d$

∴$-230=-5+(n-1) \times-3$

-230+5=-3(n-1)

-225=3(n-1)

3(n-1)=225

n-1=75

n=75+1=76

∵n पदो का योगफल, 

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$\therefore 76$ पदों का योगफल  ,

$\mathrm{S}_{76}=\frac{76}{2}[2 \times-5+(76-1) \times-3]$

$=38(-10-3 \times 75)$

=38(-10-225)

$=38 \times-235=-8930$

अत : दी गयी श्रेणी का योगफल- 8930 होगा।

(iii) $7+10 \frac{1}{2}+14+\ldots \ldots \ldots \ldots+84$

Sol :

यहाँ प्रथम पद (a)=7, 

सार्वअन्तर $(d)=10 \frac{1}{2}-7=3 \frac{1}{2}=\frac{7}{2}$

$a_{n}=84$ तथा n=?

∵$a_{n}=a+(n-1) d$ (सूत्र से)

∴$84=7+(n-1) \times \frac{7}{2}$

$84-7=\frac{7}{2}(n-1)$

$\frac{7}{2}(n-1)=77$

$n-1=77 \times \frac{2}{7}=22$

∴n=22+1=23

∵n पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∵23 पदों का योगफला

$\mathrm{S}_{23}=\frac{23}{2}\left[2 \times 7+(23-1) \times \frac{7}{2}\right]$

$=\frac{23}{2}\left(14+22 \times \frac{7}{2}\right)$

$=\frac{23}{2}(14+77)$

$=\frac{23}{2} \times 91$

$=\frac{2093}{2}=1046 \frac{1}{2}$

अत: दी गयी श्रेणी का योगफल $1046 \frac{1}{2}$ होगा

Question 4

निम्न स. श्रे. में है :

(i) a=7, $a_{13}=35$ दिया है। d और $\mathrm{S}_{13}$ ज्ञात कीजिए।

Sol :

a=7, $a_{13}=35$

∴$a_{n}=a+(n-1) d$ (सूत्र से)

∴$35=7+(13-1) \times d$ $\left[\because a_{n}=a_{13}\right.$ रखने पर]

35-7=12d

12d=28

∴$d=\frac{28}{12}=\frac{7}{3}$

∵n पदो का योगफल ,

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$\mathrm{S}_{13}=\frac{13}{2}\left[2 \times 7+(13-1) \times \frac{7}{3}\right]$

$=\frac{13}{2}\left[14+12 \times \frac{7}{3}\right]$

$=\frac{13}{2}(14+28)$

$=\frac{13}{2} \times 42$

$=13 \times 21=273$

अतः $d=\frac{7}{3}$ और $\mathrm{S}_{13}=273$

(ii) $a_{3}=15$ और $S_{10}=125$ दिया है। d और $a_{10}$ ज्ञात कीजिए।

Sol :

$a_{3}=15$ और $\mathrm{S}_{10}=125$

∵$a_{n}=a+(n-1) d$ (सूत्र से)

∴$a_{3}=a+(3-1) d$

a+2d=15 $\left(\because a_{3}=15\right)$...(1)

अब ∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से)

∴$\mathrm{S}_{10}=\frac{10}{2}[2 a+(10-1) d]$

5(2 a+9 d)=125 $\left(\because \mathrm{S}_{10}=125\right)$

2a+9d=25...(2)

समीकरण (1) में 2 गुणा करके समीकरण (2) को घटाने पर,

$\begin{array}{c}2 a+4 d=30 \\2 a+9 d=25 \\ \hline -5 d=5 \end{array}$

∴d=-1

d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,

$a+2 \times-1=15$

a-2=15

∴a=15+2=17

$a_{10}=17+(10-1) \times-1$ $\left[\because a_{n}=a+(n-1) d\right.$ से $]$

∴$a_{10}=17-9$

$a_{10}=8$

अत: d=-1 तथा $a_{10}=8$

(iii) a=8,$a_{n}=62$ और $S_{n}=210$ दिया है। n और d ज्ञात कीजिए।

Sol :

$a=8, a_{n}=62$ तथा $\mathrm{S}_{n}=210$

∴$a_{n}=a+(n-1) d$ (सूत्र से)

∴62=8+(n-1)d

62-8=(n-1)d

(n-1)d=54...(1)

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से)

$210=\frac{n}{2}[2 \times 8+54]$ [समीकरण 1 से]

$210 \times 2=n(16+54)$

420=70n

70n=420

∴$n=\frac{420}{70}=6$

n का मान समीकरण (1) में रखने पर,

(6-1)d=54 या 5d=54

∴$d=\frac{54}{5}$

अत : n=6 तथा $d=\frac{54}{5}$.

(iv) a=3, n=8 और S=192 दिया है। d ज्ञात कीजिए।

Sol :

a=3 , n=8 और S=192

∴$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से)

∴$192=\frac{8}{2}[2 \times 3+(8-1) d]$

192=4(6+7 d)

$\frac{192}{4}=6+7 d$

48=6+7d

6+7d=48

7d=48-6

7d=42

∴$d=\frac{42}{7}=6$

अत: d=6

(v) a=5, d=3 और $a_{n}=50$ दिया है। n और $\mathrm{S}_{n}$ ज्ञात कीजिए।

Sol :

a=5, d=3 तथा $a_{n}=50$

∵$a_{n}=a+(n-1) d$

$50=5+(n-1) \times 3$

50-5=3(n-1)

3(n-1)=45

$n-1=\frac{45}{3}$

n-1=15

∴n=15+1=16

∵n पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}\left[2 a+(n-1) d\right]$

∴16 पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{16}=\frac{16}{2}[2 \times 5+(16-1) \times 3]$

$=8(10+15 \times 3)$

=8(10+45)

$=8 \times 55=440$

अतः n=16 तथा $\mathrm{S}_{n}=440$

(vi) d=5 और $\mathrm{S}_{9}=75$ दिया है। a और $a_{9}$ जात कीजिए।

Sol :

d=5 तथा $\mathrm{S}_{9}=75$

∴$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से )

∴$\mathrm{S}_{9}=\frac{9}{2}[2 a+(9-1) \times 5]$

$75=\frac{9}{2}[2 a+40]$ $\left(\because \mathrm{S}_{9}=75\right.$ रखने पर)

$75=\frac{9}{2} \times 2(a+20)$

75=9(a+20)

$\frac{75}{9}=a+20$

$a+20=\frac{25}{3}$

$a=\frac{25}{3}-20$

∴$a=\frac{25-60}{3}=\frac{-35}{3}$

अब $a_{9}=\frac{-35}{3}+(9-1) \times 5$ $\left[\because a_{n}=a+(n-1) d\right.$ से ]

$a_{9}=\frac{-35}{3}+40$

∴$=\frac{-35+120}{3}=\frac{85}{3}$

अत: $a=-\frac{35}{3}$ तथा $a_{9}=\frac{85}{3}$

(vii) a=2, d=8 और $\mathrm{S}=90$ दिया है। n और $a_{n}$ ज्ञात कीजिए।

Sol :

a=2, d=8 और $\mathrm{S}_{n}=90$

∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से)

∴$90=\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1) \times 8]$

180=n(4+8 n-8)

180=n(8 n-4)

180=4 n(2 n-1)

$\frac{180}{4}=2 n^{2}-n$

$2 n^{2}-n=45$

$2 n^{2}-n-45=0$

$2 n^{2}-10 n+9 n-45=0$

2 n(n-5)+9(n-5)=0

(n-5)(2 n+9)=0

जब n-5=0 हो, तब n=5

और जब 2 n+9=0 हो, तब $n=-\frac{9}{2}$ (ऋणात्मक मान संभव नहीं है)

$a_{n}=a+(n-1) d \vec{स}$

=2+(5-1) 8$=2+4 \times 8=2+32=34$

अत: n=5 और $a_{n}=34$

(viii) $a_{n}=4$, d=2 और $\mathrm{S}_{n}=-14$ दिया है। nअर a ज्ञात कीजए।

Sol :

$a_{n}=4, d=2$ और $\mathrm{S}_{n}=-14$

∴$a_{n}=a+(n-1) d$  (सूत्र से)

∴$4=a+(n-1) \times 2$

4=a+2 n-2

4+2=a+2n

a+2n=6...(1)

∴$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$ (सूत्र से)

$-14=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) \times 2]$

$-14=\frac{n}{2} \times 2[a+n-1]$

-14=n(a+n-1)

समीकरण (1) से a=6-2n लेने पर,

-14=n(6-2n+n-1)

-14=n(6-n-1)

-14=n(5-n)

$-14=5 n-n^{2}$

$n^{2}-5 n-14=0$

$n^{2}-7 n+2 n-14=0$

n(n-7)+2(n-7)=0

(n-7)(n+2)=0

∴n-7=0 or n=7

n+2=0 or n=-2

n का मान ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

∴n=7

n का मान समीकरण (1) में रखने पर,

a+2n=6

$a+2 \times 7=6$

a=6-14=-8

अत: n=7 और a=-8

(ix) I=28, S=144 और कुल 9 पद हैं। a ज्ञात कीजिए।

Sol :

दिया है : l=28, S=144 और कुल पद (n)=9

∴$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$ (सूत्र से)

∴$144=\frac{9}{2}[a+28]$

$a+28=144 \times \frac{2}{9}=32$

a=32-28=4

अत:  a=4 

Question 5

(A) 100 और 200 के बीच की सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

101+103+105...199

अत : n वाँ पद =a+(n-1)d

199=101+(n-1)2

199=101+2n-2

199=99+2n

2n=199-99

2n=100

$n=\frac{100}{2}$

∴n=50

अत: उपर्युक्त श्रेढ़ी में कुल 50 पद हैं।

∴श्रेढी के 50 पदों का योगफल

$=\frac{n}{2}[a+l]$

$=\frac{50}{2}[101+199]$

$=25 \times 300$

=7500

(B) 100 और 200 के बीच की सभी सम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए।

Sol :

100 और 200 के बीच की सम संख्याओं से बनी श्रेढी निम्न है :

102+104+106...+198

माना इस श्रेढ़ी में n पद हैं।

अत n वाँ पद =a+(n-1)d

198=102+(n-1)2

198=102+2n-2

198=100+2n

198-100=2n

2n=98

∴$n=\frac{98}{2}=49$

अतः ऊपर दी हुई श्रेढी में 49 पद हैं।

श्रेढ़ी के 49 पदों का योगफल $=\frac{n}{2}[a+l]$

$=\frac{49}{2}[102+198]$

$=\frac{49}{2} \times 300$

$=49 \times 150$

=7350

(C) 1 से 100 तक उन सभी पूर्णांक संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 2 या 5 से विभाज्य हों।

Sol :

2 और 5 का ल. स. प. 10 होगा।

अतः जो संख्या 2 से विभाज्य है वह 10 से भी विभाज्य होगी, इसी प्रकार जो संख्या 5 से विभाज्य है वह 10 से भी विभाज्य होगी, अत : 10 से विभाज्य होने वाली संख्या दोगुनी हो जायेगी; अतः उसको घटाने पर

$\mathrm{S}=\mathrm{S}_{2}+\mathrm{S}_{5}-\mathrm{S}_{10}$

जहाँ,

$\mathrm{S}_{2}=2$ से विभाज्य होने वाली संख्याओं का योग

$\mathrm{S}_{5}=5$ से विभाज्य होने वाली संख्याओं का योग

$\mathrm{S}_{10}=10$ से विभाज्य होने वाली संख्याओं का योग

अब $\mathrm{S}_{2}$=2+4+6+...+100

n वाँ पद =a+(n-1)d

∴100=2+(n-1) 2

100=2+2n-2

2n=100

∴n=50

$\mathrm{S}_{2}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{50}{2}[2 \times 2+(50-1) \cdot 2]$

$=25[4+49 \times 2]$

=25[4+98]

=25[102]

=2550

पुन : $\mathrm{S}_{5}=5+10+15+\ldots \ldots \ldots .+1000$

n ताँ पद =a+(n-1)d

∴100=5+(n-1)5

100=5+5n-5

100=5n

∴$n=\frac{100}{5}=20$

पदों का योग, $\mathrm{S}_{\mathrm{s}}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{20}{2}[2 \times 5+(20-1) \times 5]$

=10[10+95]

=10[105]

=1050

अब  $\mathrm{S}_{10}=10+20+30+\ldots \ldots \ldots \ldots+100$

n वाँ पद =a+(n-1)d

∴100=10+(n-1)10

100=10+10n-10

100=10n

∴$n=\frac{100}{10}=10$

∴$\mathrm{S}_{10}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{10}{2}[2 \times 10+(10-1) 10]$

$=\frac{10}{2}(20+9 \times 10)$

=5(110)=550

अत: $\mathrm{S}=\mathrm{S}_{2}+\mathrm{S}_{5}-\mathrm{S}_{10}$

=2550+1050-550

=3600-550

=3050

(D) 2 और 100 के बीच की सभी विषम संख्याओं का योगफल ज्ञात कीजिए जो 3 से विभाज्य हों।

Sol :

3+6+9+12+15+....99

अब n वाँ पद =a+(n-1)d

∴99=3+(n-1)d

99=3+6n-6

99=6n-3

99+3=6n

6n=102

∴$n=\frac{102}{6}=17$

17 पदो वाली इस श्रेढ़ी इस श्रेढ़ी का योग 

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$=\frac{17}{2}[2 \times 3+(17-1) 6]$

$=\frac{17}{2}[6+96]$

$=\frac{17}{2} \times 102$

$=17 \times 51$

=867

Question 6

(i) 8 के प्रथम 15 गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

Sol :

8 के गुणजों की संख्याएँ जो श्रेणी क्रम में है :

8,16,24,32,40, ....15 पदों तक

यहाँ प्रथम पद (a)=8, सार्वअन्तर (d)=16-8=8 तथा n=15

∴8 के प्रथम 15 गुणजों का योग

$=\frac{15}{2}[2 \times 8+(15-1) \times 8]$

$=\frac{15}{2} \times 2[8+14 \times 4]$

=15(8+56)

$=15 \times 64=960$

(ii) 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

Sol :

0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं की श्रेणी :

1 , 3 , 5, 7....49

यहाँ a=1, सार्वअन्तर (d)=3-1=2 तथा $a_{n}=49$

∵ $a_{n}=49$

अर्थात् a+(n-1)d=49

∴$1+(n-1) \times 2=49$

2(n-1)=49-1

2(n-1)=48

n-1=24

∴n=24+1=25

अब 0 से 50 तक विषम संख्याओं के पदों की संख्या 25 है।

∴25 पदो का योगफल

$\mathrm{S}_{25}=\frac{25}{2}[2 \times 1+(25-1) \times 2]$

$=\frac{25}{2} \times 2[1+24]$

$=25 \times 25=625$

अतः 0 और 50 के बीच की विषम संख्याओं का योग 625 है।

Question 7

किसी समान्तर श्रेढ़ी के कुछ पदों का योगफल 136 है सार्वअन्तर 4 तथा अन्तिम पद 31 है। श्रेढ़ी के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना श्रिढ़ी का प्रथम पद = a

और श्रेढ़ी में पदों की संख्या = n

प्रश्नानुसार, पदों का योगफल $\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$

$136=\frac{n}{2}[a+31]$

272=na+31n...(1)

1=a+(n-1)d

31=a+(n-1)d

31=a+4n-4

∴35=a+4n...(2)

a का समीकरण (1) में रखने पर,

272=n(35-4n)+31n

$272=35 n-4 n^{2}+31 n$

$4 n^{2}-66 n+272=0$

$2 n^{2}-33 n+136=0$

$2 n^{2}-16 n-17 n+136=0$

2n(n-8)-17(n-8)=0

(n-8)(2n-7)=0

∴n=8

तथा $n=\frac{17}{2} \neq$ पूर्ण संख्या नहीं है।।

अतः n=8 होगा।

Question 8

दर्शाइए कि $a_{1}, a_{2}, \ldots \ldots \ldots ., a_{n}$ से एक स. श्रे. बनती है, यदि $a_{n}$ नीचे दिए अनुसार परिभाषित है-

(i) $a_{n}=3+4 n$

(ii) $a_{n}=9-5 n$

साथ ही, प्रत्येक स्थिति में, प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

Sol :

(i) दिया है : $a_{n}=3+4 n$

∵ n=1,2,3,... रखने पर

$a_{1}=3+4 \times 1=3+4=7$

$a_{2}=3+4 \times 2=3+8=11$

$a_{3}=3+4 \times 3=3+12=15$

अतः श्रेणी होगी : 7 , 11 , 15...

∴प्रथम पद (a)=7 , सार्वअन्तर (d)=11-7=4

अब 15 पदों का योग $=\frac{15}{2}[2 \times 7+(15-1) \times 4]$

$=\frac{15}{2} \times 2[7+14 \times 2]$

=15(7+28)

$=15 \times 35=525$

अतः 15 पदों का योग 525 होगा।

(ii) दिया है :

$a_{n}=9-5 n$

∵n=1,2,3.... रखने पर

$a_{1}=9-5 \times 1=9-5=4$

$a_{2}=9-5 \times 2=9-10=-1$

$a_{3}=9-5 \times 3=9-15=-6$

अतः श्रेणी होगी : 4 , -1 , -6.......

जिसकी प्रथम पद (a)=4 ,

सार्वअन्तर (d)=-1-4=-5

अब 15 पदों का योगफल $=\frac{15}{2}[2 \times 4+(15-1) \times-5]$

$=\frac{15}{2}[8-14 \times 5]$

$=\frac{15}{2} \times 2(4-7 \times 5)$

=15(4-35)

$=15 \times-31=-465$

अतः 15 पदों का योग - 465 होगा।

Question 9

ऐसे प्रथम 40 धन पूर्णाकों का योग ज्ञात कीजिए जो 6 से विभाज्य हैं।

Sol :

6 से विभाज्य होने वाली संख्याओं से प्राप्त श्रेणी :

6 , 12 , 18 ,24 ,...40 पदो तक

∴प्रथम पद (a)=6, सार्वअन्तर (d)=12-6=6 तथा n=40 इसलिए, 40 धन पूर्णांकों का योग,

$\mathrm{S}_{60}=\frac{40}{2}[2 \times 6+(40-1) \times 6]$

$=20(12+39 \times 6)$

=20(12+234)

$=20 \times 246=4920$

अतः 40 धन पूर्णाकों का योग 4920 है जो 6 से विभाज्य है।

Question 10

एक समान्तर श्रेढ़ी के 15 पदों का योगफल शून्य है। यदि इसका चौथा पद 12 हो, तो 12 वाँ पद क्या होग ?

Sol :

माना , श्रेह़ी का प्रथम पद =a

सार्व अन्तर =d

प्रश्नानुसार, 

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

∴$\mathrm{S}_{15}=\frac{15}{2}[2 a+(15-1) d]$

$0=\frac{15}{2}[2 a+14 d]$

0=a+7d...(1)

$\mathrm{T}_{n}=a+(n-1) d$

$\mathrm{T}_{4}=a+(4-1) d$

12=a+3d...(2)

समोकरण (1) और (2) को हल करने पर,

a=21 और d=-3

12 वाँ पद =a+(12-1)d

$=21+11 \times(-3)$

=21-33

=-12

Question 11

उस स. श्रे. के प्रथम 51 पदों का योग ज्ञात कीजिए, जिसके दूसरे और तीसरे पद क्रमशः 14 और 18 है।

Sol :

दी गई स. श्रे. में,

दूसरा पद अर्थात् $a_{2}=14$ तथा तीसरा पद अर्थात् $a_{3}=18$

∴सार्दअन्तर $(d)=a_{\mathrm{3}}-a_{2}=18-14=4$

∵$a_{2}=14$

$a+(2-1) \times 4=14$

$a+1 \times 4=14$

a+4=14

∴a=14-4=10

अब 51 पदों का योगफल,

$\mathrm{S}_{51}=\frac{51}{2}[2 \times 10+(51-1) \times 4]$

$=\frac{51}{2} \times 2(10+50 \times 2)$

$=\frac{51}{2} \times 2(10+50 \times 2)$

$=51 \times 110=5610$

अतः 51 पदों का योग 5610 होगा।

Question 12

यदि किसी.समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद $\frac{1}{n}$ और n वाँ पद $\frac{1}{m}$ हो, तो सिद्ध करो कि m n पदों का योगफल $\frac{1}{2}(m n+1)$ होगा।

Sol :

माना लिया कि श्रेढ़ी का प्रथम पद a और सार्वअन्तर d हैं।

m वोँ पद $=a+(m-1) d=\frac{1}{n}$..(1)

n वों पद $=a+(n-1) d=\frac{1}{m}$...(2)

समीकरण (1) में से समीकरण (2) घटाने पर

$(m-n) d=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}=\frac{m-n}{m n}$

∴$d=\frac{1}{m n}$

d का मान सर्मीकरण (1) में रखने पर,

$a+(m-1) \frac{1}{m n}=\frac{1}{n}$

∴$a=\frac{1}{n}-\frac{(m-1)}{m n}$

$=\frac{m-m+1}{m n}=\frac{1}{m n}$

अत: श्रेढ़ी के m n पदों का योगफल

$=\frac{m n}{2}\left[2 \cdot \frac{1}{m n}+(m n-1) \frac{1}{m n}\right]$

$=\frac{1}{2}[2+(m n-1)]$

$=\frac{1}{2}(m n+1)$

Question 13

किसी स. श्रे. के प्रथम आर अन्तिम पद क्रमशः 17 और 350 हैं। यदि सार्वअन्तर 9 है, तो इसमें कितने पद हैं और इनका योग क्या है?

Sol :

दी गई स. श्रे. में

प्रथम पद (a)=17, अन्तिम पद (l)=350 तथा सार्वअन्तर (d)=9

∵अन्तिम पद (l) या $a_{n}=a+(n-1) d$

∴$350=17+(n-1) \times 9$

350-17=9 n-9

9n=342

∴$n=\frac{342}{9}=38$

∵$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[a+l]$ (सूत्र से)

$=\frac{38}{2}[17+350]$

$=19 \times 367=6973$

अतः पदों की संख्या 38 तथा योगफल 6973 होगा।

Question 14

यदि किसी स. श्रे. के प्रथम n पदों का योग $4 n-n^{2}$ है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् $\left.\mathrm{S}_{1}\right)$ क्या है? प्रथम दो पदों का योन क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10 वें तथा n वें पद ज्ञात कीजिए।

Sol :

∵दी गयी श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $=4 n-n^{2}$

जब n=1 हो , तो

योगफल, $\mathrm{S}_{1}=4 \times 1-(1)^{2}$

=4-1=3

जब n=2 हो, तो

योगफकल, $\mathrm{S}_{2}=4 \times 2-(2)^{2}=8-4=4$

इस प्रकार, पहला पद = 3

दूसरा पद $=\mathrm{S}_{2}-\mathrm{S}_{1}=4-3=1$.

जब n=3 हो, तो

योगंफल, $\mathrm{S}_{3}=4 \times 3-(3)^{2}=12-9=3$

∴तीसरा पद $=\mathrm{S}_{3}-\mathrm{S}_{2}=3-4=-1$

इसी प्रकार, n=9 रखने पर,

$\mathrm{S}_{9}=4 \times 9-(9)^{2}$

=36-81=-45

आर n=10 हो, तो

योगफल, $\mathrm{S}_{10}=4 \times 10-(10)^{2}$

=40-100=-60

10 वोँ पद $=\mathrm{S}_{10}-\mathrm{S}_{9}$

=-60+45=-15

∵$\mathrm{S}_{n}=4 n-n^{2}$

$\mathrm{S}_{n-1}=4(n-1)-(n-1)^{2}$

=(n-1)(4-n+1)

$\mathrm{S}_{n-1}=(n-1)(5-n)$

$=5 n-5-n^{2}+n$

$=-n^{2}+6 n-5$

n वाँ पद अथात् $a_{n}=\mathrm{S}_{n}-\mathrm{S}_{n-1}$

$=\left(4 n-n^{2}\right)-\left(-n^{2}+6 n-5\right)$

$=4 n-n^{2}+n^{2}-6 n+5$

=-2n+5

अत $: \mathrm{S}_{1}=3$, प्रथम दो पदों का योग =4, दूसरा पद =1,

तीसरा पद =-1,10 वाँ पद =-15 तथा n वाँ पद =5-2 n

Question 15

निर्माण कार्य से सम्बन्धित किसी ठेके में, एक निश्चित तिथि के बाद कार्य को विलम्ब से पूरा करने के लिए, ज़र्माना लगाने का प्रावधान इस प्रकार है : पहले दिन के लिए ₹ 200 , दूसरे दिन के लिए ₹ 250, तीसरे दिन के लिए ₹ 300 आदि, अर्थात् प्रत्येक उत्तरोत्तर दिन का जुर्माना अपने से ठीक पहले दिन के जुर्माने से ₹ 50 अधिक है। एक ठेकेदार को जुर्माने के रूप में कितनी राशि अदा करनी पड़ेगी, यदि वह इस कार्य में 30 दिन का विलम्ब कर देता है?

Sol :

दिया है:

पहले दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना = ₹ 200

दूसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना = ₹ 250

तीसरे दिन के विलम्ब के लिए जुर्माना = ₹ 300

इसी प्रकार, चौथे, पाँचदे, छेे आदि बिलम्ब के लिए जुर्माना ₹ 50 क्रमशः बढ़ता जाएगा।

अतः प्राप्त श्रेणी होगी :

200 , 250 , 300 , 350 ....30 दिनो तक

इसलिए 30 दिन के विलम्ब के बाद जुर्मने का योगफल

$\mathrm{S}_{\mathrm{t}_{0}}=\frac{30}{2}[2 \times 200+(30-1) \times 50]$

$=15[400+29 \times 50]$

=15(400+1450)

$=15 \times 1850=27750$

अतः ठेकेदार को 30 दिनों का जुर्माना ₹ 27750 देने होंगे।

Question 16

किसी स्कूल के विद्यार्थियों को उनके समग्र शैक्षिक प्रदर्शन के लिए 7 नकद परस्कार देने के लिए ₹ 700 की राशि रखी गयी है। यदि प्रत्येक पुरसकार अपने से ठीक पहले पुररकार से ₹ 20 कम है, तो प्रत्येक पुरस्कार का मान ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए प्रथम पुरस्कार की राशि ₹ x है।

∴दूसरे पुरस्कार की राशि = ₹ (x-20)

तीसरे पुरस्कार की राशि =₹(x-20-20)=₹(x-40)

चौथे पुरस्कार की राशि =₹(x-40-20)=₹(x-60)

पाँचवें पुरस्कार की राशि =₹(x-60-20)=₹(x-80)

छठे पुरस्कार की राशि =₹(x-80-20)=₹(x-100)

तथा 

साँतवे पुरस्कार की राशि =₹(x-100-20)=₹(x-120)

∴सातों पुरस्कार देने की कुल राशि =₹ 700

∴(x)+(x-20)+(x-40)+(x-60)+(x-80)+(x-100)+(x-120)=700

7x-420=700

7x=700-420

∴$x=\frac{1120}{7}=₹ 160$

अतः प्रत्येक पुरस्कार की राशि इस प्रकार से होगी : ₹ 160, ₹ 140, ₹ 120, ₹ 100, ₹ 80, ₹ 60, ₹ 40 

Question 17

एक स्कूल के विद्यार्थियों ने वायु प्रदूषण कमं करने के लिए स्कूल के अन्दर और बाहर पेड़ लगाने के बारे में सोचा। यह निर्णय लिया गया कि प्रत्येक कक्षा का प्रत्येक अनुभाग अपनी कक्षा की संख्या के बराबर पेड़ लगाएगा। उदाहरणार्थ : कक्षा I का एक अनुभाग 1 पेड़ लगाएगा, कक्षा II का एक अनुभाग 2 पेड़ लगाएगा, कक्षा III का एक अनुभाग 3 पेड़ लगाएगा, इत्यादि और ऐसा कक्षा XII तक के लिए चलता रहेगा। प्रत्येक कक्षा के तीन अनुभाग हैं। इंस स्कूल के विद्यार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या कितनी होगी?

Sol :

दिया है : प्रत्येक कक्षा के लिए तीन अनुभाग हैं अर्थात्

कक्षा I के द्वारा लगाए गए कुल पेड $=3 \times 1=3$

कक्षा II के द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = $3 \times 2=6$

कक्षा III के द्वारा लगाए गए कुल पेड़ $=3 \times 3=9$

कक्षा IV के द्वारा लगाए गए कुल पेड़ = $3 \times 4=12$

इसी प्रकार कथ XII तक पेड़ लगाए जायेंगे

तब श्रेणी इस प्रकार से बनेगी : 3,6,9,12, ...

यहाँ प्रथम पद (a)=3, सार्वअन्तर =6-3=3

तथा कुल ककाओं अर्थात् पदों की संख्या = 12

∴12 पदों का योगफल $=\frac{12}{2}[2 \times 3+(12-1) \times 3]$

$=6(6+11 \times 3)$

$=6(6+33)=6 \times 39=234$

अतः स्कूल के विधार्थियों द्वारा लगाए गए कुल पेड़ों की संख्या 234 होगी।