प्रश्नावली 5(B)
Question 1
प्रत्येक अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए-
(a) $a_{1}=3, a_{n}=3 a_{n-1}+2$ समी $n \geq 1$ के लिए
Sol :
∵n=1 रखने पर हमे ज्ञात है।
∴$a_{1}=3$
$n=2, a_{2}=3 a_{2-1}+2=3 a_{1}+2=3 \times 3+2=11$,
$n=3, a_{3}=3 a_{3-1}+2=3 a_{2}+2=3 \times 11+2=35$
$n=4, a_{4}=3 a_{4-1}+2=3 a_{3}+2=3 \times 35+2=107$
$n=5, a_{5}=3 a_{5-1}+2=3 a_{4}+2=3 \times 107+2=323$
अत: अनुक्रम के पाँच पद =3,11,35,107,323
इसके संगत श्रेही =3+11+35+107+323+.......
(b) $a_{1}=-1, a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}$, जहा $n \geq 2$
Sol :
∵n=1 रखने पर जात हे :
$a_{1}=-1$
∴n=2 , $a_{2}=\frac{a_{2-1}}{2}=\frac{a_{1}}{2}=\frac{-1}{2}$
n=3 , $a_{3}=\frac{a_{3-1}}{3}=\frac{a_{2}}{3}=-\frac{1}{6}$
n=4 , $a_{4}=\frac{a_{4-1}}{4}=\frac{a_{3}}{4}=-\frac{1}{24}$
n=5 , $a_{5}=\frac{a_{5-1}}{5}=\frac{a_{4}}{5}=-\frac{1}{120}$
अतः अनुक्रम के पाँच पद $=-1,-\frac{1}{2},-\frac{1}{6},-\frac{1}{24},-\frac{1}{120} .$
इसके संगत श्रेढी $=(-1)+\left(-\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{6}\right)+\left(-\frac{1}{24}\right)+\left(-\frac{1}{120}\right)+\ldots \ldots . . \quad$ उत्तर
(c) $a_{1}=a_{2}=2, a_{n}=a_{n-1}-1$, जहाँ $n>2$.
Sol :
$a_{n}=a_{n-1}-1$
n=3 रखने पर, $a_{3}=a_{3-1}-1=a_{2}-1=2-1=1$
n=3 रखने पर, $a_{4}=a_{4-1}-1=a_{3}-1=1-1=0$
n=3 रखने पर, $a_{5}=a_{5-1}-1=a_{4}-1=0-1=-1$
अतः: अनुक्रम के पाँच पद =2,2,1,0,-1
इसके संगत श्रेढी =2+2+1+0+(-1)+.....
Question 2
निम्नलिखित समान्तर श्रेढियों में, रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :
(i) 2 , ▭ , 26
Sol :
पहला पद, (a)=2
तीसरा पद =26
∴a+(3-1)d=26
2+2d=26
2d=26-2
2d=24
d=12
अब, दूसरा पद =a+(2-1) d
$=2+1 \times 12$
=2+12=14
अतः श्रेणी होगी: 2, (14), 26
(ii) ▭ , 13 , ▭ , 3
Sol :
श्रिणी का दूसरा पद = 13
a+(2-1)d=13
a+d=13....(1)
श्रेणी का चीथा पद =3
a+(4-1)d=3
a+3d=3...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने. पर,
-2d=10
∴d=-5
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a-5=13
∴a=13+5=18
अब श्रेणी का तीसरा पद =a+(3-1) d
$=18+2 \times-5$
=18-10=8
अतः श्रेणी होगी : (18), 13,(8), 3
(iii) 5 , ▭ , ▭ , $9^{\frac{1}{2}}$
Sol :
पहला पद, a=5
श्रेणी का चौथा पद, a+(4-1)d$=9 \frac{1}{2}$
$a+3 d=\frac{19}{2}$
$5+3 d=\frac{19}{2}$
$3 d=\frac{19}{2}-5=\frac{19-10}{2}=\frac{9}{2}$
$d=\frac{9}{2 \times 3}=\frac{3}{2}$
अब श्रेणी का दूसरा पद =a+(2-1)d
$=5+1 \times \frac{3}{2}=5+\frac{3}{2}=\frac{13}{2}=6 \frac{1}{2}$
और श्रेणी का तीसरा पद =a+(3-1)d
$=5+2 \times \frac{3}{2}=5+3=8$
अतः श्रेणी होगी : $5,\left(6 \frac{1}{2}\right),(8), 9 \frac{1}{2}$
(iv) -4 , ▭ , ▭ , ▭ , ▭ , 6
Sol :
पहला पद, a=-4
श्रेणी का छठा पद =a+(6-1) d=6
∴a+5d=6
-4+5d=6
5d=6+4
$d=\frac{10}{5}=2$
श्रेणी का दूसरा पद =a+(2-1)d
$=-4+1 \times 2=-4+2=-2$
श्रेणी का तीसरा पद = a+(3-1) d
$=-4+2 \times 2=-4+4=0$
श्रेणी का चौथा पद =a+(4-1) d
$=-4+3 \times 2$
=2
श्रेणी का पाँचवाँ पद =a+(5-1) d
$=-4+4 \times 2=-4+8=4$
अत: श्रेणी होगी :-4, (-2),(0),(2),(4), 6
(v) ▭ , 38 , ▭ , ▭ , ▭ ,-22
Sol :
श्रेणी का दूसरा पद = 38
a+(2-1)d=38
a+d=38...(1)
श्रेणी का छठा पद =-22
a+(6-1) d=-22
a+5d=-22...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
-4d=60
d=-15
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
a-15=38
a=38+15=53
श्रेणी का तीसरा पद = a+(3-1) d
$=53+2 \times-15$
=53-30=23
श्रेणी का चौथा पद =a+(4-1)d
$=53+3 \times-15$
=53-45=8
श्रेणी का पाँचवाँ पद =a+(5-1) d
$=53+4 \times-15$
=53-60=-7
अत: श्रेणी होगी : (53), 38,(23),(8),(-7),-22 .
Question 3
स. श्रे. 3,8,13,18,... का कौन-सा पद 78 है?
Sol :
दी गयी स. श्रे. 3,8,13,18, ...
यहाँ a=3, d=8-3=5, n=? तथा $a_{n}=78$
$a_{n}=a+(n-1) d$ से,
$78=3+(n-1) \times 5$
78-3=5(n-1)
5(n-1)=75
5n=75+5
5n=80
अर्थात् n=16
अत: 16 वाँ पद 78 होगा।
Question 4
(i) यदि किसी समान्तर श्रेढी का n वाँ पद (2n+3) हो, तो उसका 5 वाँ और 25 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
n वाँ पद =2n+3
5 वॉ पद $=2 \times 5+3$
=10+3=13
25 वाँ पद $=2 \times 25+3$
=50+3=53
(ii) जिस श्रढ़ी का n वाँ पद (2 n-1) है, उसका सातवाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
n वोँ पद =2n-1
सातवोँ पद $=2 \times 7-1$
=14-1=13
(iii) 10 और 250 के बीच में 4 के कितने गुणज है?
Sol :
10 और 250 के बीच 4 के गुणनफल निम्नलिखित प्रकार से सम्भव हो सकते हें:
अर्थात् 12,16,20,24, ... . .248
∵यह एक समान्तर श्रेणी का रूप होगा क्योंकि प्रत्येक में 4 का अन्तर है।
∴a=12, सार्वअन्तर (d)=16-12=4
माना गुणजों की कुल संख्या n है।
अर्थात् $a_{n}=248$ (दिया है)
a+(n-1)d=248 (सूत्र से)
$12+(n-1) \times 4=248$
4(n-1)=248-12
4(n-1)=236
$n-1=\frac{236}{4}$
n-1=59
∴n=59+1=60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या 60 है।
(iv) किसी समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद $a_{n}=n \frac{n^{2}+5}{4}$ है। वह श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।
Sol :
दिया है:
n वॉ पद $=n \cdot \frac{n^{2}+5}{4}$
प्रथम पद $=1 . \frac{1+5}{4}$
$=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$
द्वितीय पद $=2 \cdot \frac{2^{2}+5}{4}$
$=\frac{9}{2}$
सार्व अन्तर = दूसरा पद - प्रथम पद
$=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$
अत: श्रेढ़ी $\frac{3}{2}, \frac{9}{2}, \frac{15}{2}, \frac{21}{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots$ होगी।
Question 5
निम्नलिखित अनुक्रमों के सम्मुख दिया हुआ पद ज्ञात कीजिए-
(A) 2,5,8,11, ... का 50 वाँ पद
Sol :
दिया है :
प्रथम पद = 2
दूसरा पद =5
सार्व अन्तर =5-2=3
n वाँ पद =a+(n-1)d
∴$\mathrm{T}_{50}=2+(50-1) 3$
$=2+49 \times 3$
=2+147=149
(B) $\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}$.... का 100 वा पद,
Sol :
दिया है:
प्रथम पद $=\frac{1}{2}$,
दूसरा पद =1
सार्वंअन्तर $(d)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
n वाँ पद =a+(n-1)d
$\mathrm{T}_{100}=\frac{1}{2}+(100-1) \frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}+\frac{99}{2}$
$=\frac{1+99}{2}$
=50
(C) $\sqrt{2}, 3 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}, \ldots \ldots$ का 20 वाँ पद,
Sol :
प्रथम पद $=\sqrt{2}$
दूसरा पद $=3 \sqrt{2}$
सार्व अन्तर $=3 \sqrt{2}-\sqrt{2}=2 \sqrt{2}$
n वाँ पद =a+(n-1)d
$\mathrm{T}_{20}=\sqrt{2}+(20-1) 2 \sqrt{2}$
$=\sqrt{2}+19 \times 2 \sqrt{2}$
$=\sqrt{2}+38 \sqrt{2} .$
$=39 \sqrt{2}$
(D) 4,7,10,13, .... का n वाँ पद तथा 25 वाँ पद
Sol :
प्रथम पद =4
दूसरा पद =7
सार्व अन्तर =7-4=3
∴ समीन्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद =4+(n-1)3
=4+3n-3=3n+1
25 वाँ पद =4+(25-1)3
$=4+24 \times 3$
=4+72=76
(E) 10,7,4, .... का 30 वा पद
Sol :
दी गई स. श्रे. : 10,7,4, .. . का 30 वाँ पद
∵n वाँ पद, $a_{n}=a+(n-1) d$
$=10-3 \times 29$
=10-87=-77
(F) $-3,-\frac{1}{2}, 2, \ldots \ldots$ का 11 वाँ पद
Sol :
दी गई स. श्रे.: $-3,-\frac{1}{2}, 2, \ldots \ldots .$ का 11 वाँ पद,
सार्वअन्तर $d=-\frac{1}{2}+3=\frac{5}{2}$
तथा a=-3 और n=11
∵n वाँ पद, $a_{n}=a+(n-1) d$
11 वौँ पद, $a_{11}=-3+(11-1) \times \frac{5}{2}$
=-3+25=22
Question 6
स. श्रे. 3,8,13,.. .253 में अंतिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
दी गयी समान्तर श्रेणी है :
3,8,13, ..., 253
प्रथम पद (a)=3, सार्वअन्तर (d)=8-3=5
अर्थात् पदों में 5 का अन्तर है।
अतः दी गयी श्रेणी को 5 के अन्तराल से अवरोही क्रम में लिखने पर प्राप्त नई समांन्तर श्रेणी होगी
=253,253-5,253-5-5,253-5-5-5, .....3
=253 ,248 , 243 , 238 , .....
यहाँ प्रथम पद (a)=253, सार्वअन्तर (d)=248-253=-5
इस श्रेणी का 20 वाँ पद =a+(20-1)d
$=253+19 \times-5$
=253-95=158
अतः दी गयी समान्तर श्रेणी के अन्तिम पद से 20 वाँ पद 158 होगा।
Question 7
निम्नलिखित अनुक्रमों में से प्रत्रेक में कितने पद है?
(A) 7,13,19, ...., 205
Sol :
प्रथस पद a=7
सार्वअन्तर d=13-7=6
n वोँ पद =205
n वाँ पद =a+(n-1)d
$205=7+(n-1) \times 6$
205=7+6n-6
205=1+6n
6n=205-1=204
∴n=34
अतः इस श्रेणी में 34 पद हैं।
(B) 4,8,12,16,20, ..., 120
Sol :
प्रथभ पद a=4
सार्वअन्तर d=8-4=4
n वाँ पद = 120
n वाँ पद =a+(n-1)d
120=4+(n-1)4
120=4+4n-4
120=4n
$n=\frac{120}{4}=30$
अतः इस श्रेढी में 30 पद होंगे।
(C) 0.50,0.53,0.56, ... .1 .1
Sol :
प्रथम पद a=0.50
सार्वअन्तर d=0.53-0.50=0.03
n वॉ पद =1.1
n वाँ पद =a+(n-1)d
$1.1=0.50+(n-1) \times 0.03$
1.1=0.50+0.03n-0.03
0.03n=1.1-0.47
0.03n=0.63
$n=\frac{0.63}{0.03}$
∴n=2.1
(D) $18,15 \frac{1}{2}, 13, \ldots \ldots \ldots \ldots,-47$
Sol :
प्रथम पद, a=18
सार्वंनन्तर, $d=15 \frac{1}{2}-18=-\frac{5}{2}$
n वाँ पद =-47
a+(n-1)d=-47
$18+(n-1)\left(-\frac{5}{2}\right)=-47$
$(n-1)\left(-\frac{5}{2}\right)=-47-18=-65$
$n-1=65 \times \frac{2}{5}=26$
n=27
अतः इस श्रेणी में 27 पद होंगे ।
Question 8
एक स. श्रे. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अतिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
दी गयी संमान्तर श्रेणी में पदों की संख्या = 50
अर्थात् 50 वाँ पद = 106 (दिया है)
a+(50-1)d=106 $\left[\because a_{n}=a+(n-1) d\right.$ सून्न से]
a+49d=106...(1)
अब श्रेणी का तीसरा पद = 12 (दिया है)
a+(3-1)d=12 (सूत्र से)
a+2d=12....(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
47d=94
∴$d=\frac{94}{47}=2$
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
$a+49 \times 2=106$
a+98=106
a=106-98=8
अब श्रेणी का 29 वाँ पद =a+(29-1)d
$=8+28 \times 2$
=8+56=64
अत: श्रेणी का 29 वाँ पद 64 होगा।
Question 9
(A). क्या स. श्रे., 11,8,5,2, ... का एक पद -150 है? क्यों ?
Sol :
दी गयी समान्तर श्रेणी : 11 ,8 ,5 , 2, ......
यहाँ a=11, सार्वअन्तर (d)=8-11=-3
माना $a_{n}=-150, n=?$
$a_{n}=a+(n-1) d$ से,
$-150=11+(n-1) \times-3$
-150-11=-3(n-1)
-161=-3(n-1)
3(n-1)=161
$n-1=\frac{161}{3}$
$n=\frac{161}{3}+1$
∴$n=\frac{164}{3}$
∵n का मान एक पूर्ण संख्या में ज्ञात नहीं है अर्थात् दी गयी श्रेणी का कोई भी पद -150 नहीं होगा।
(B) श्रेणी 76,72,68,64, ... का कौन-सा पद शून्य है?
माना n वोँ पद शून्य है।
प्रथम पद a=76
सार्व अन्तर =72-76=-4
∴n वॉ पद =a+(n-1)d
0=76+(n-1)(-4)
0=76-4n+4
4n=8
∴$n=\frac{80}{4}=20$
अतः 20 वें पद का मान शून्य होगा
(C) श्रेणी 4,9,14,19,... का कौन-सा पद 104 है ?
Sol :
प्रथम पद a=4
सार्वअन्तर d=9-4=5
अतः n वॉ पद =104
∴ n वॉ पद =a+(n-1)d
104=4+(n-1) 5
104=4+5 n-5
104=-1+5 n
5 n=104+1
5 n=105
$n=\frac{105}{5}=21$
∴n=21
अत: 21 वें पद का मान 104 होगा।
Question 10
उस स. श्रे. का 31 वाँ पद ज्ञात कीलिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।।
Sol :
मान लीजिए समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d हो, तो
श्रेणी का 11 वॉं पद = 38 ( दिया है )
a+(11-1) d=38
a+10 d=38...(1)
श्रेणी का 16 वाँ पद =73
a+(16-1) d=73
a+15 d=73...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
-5d=-35
∴d=7
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
$a+10 \times 7=38$
a+70=38
∴a=38-70=-32
श्रेणी का 31 वाँ पद =a+(31-1)d (दिया है)
a+(16-1) d=73
a+15 d=73...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
-5 d=-35
∴d=7
d का मान समीकरण (1) में प्रतिश्थापित करने पर,
$a+10 \times 7=38$
a+70=38
∴a=38-70=-32
श्रेणी का 31 वाँ पद =a+(31-1) d
$=-32+30 \times 7$
=-32+210=178
अतः श्रेणी का 31 वाँ पद 178 होगा।
Question 11
किसी स. श्रे. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵श्रेणी का 17 वॉ पद =a+(17-1) d
=a+16d
तथा श्रेणी का 10 वाँ पद =a+(10-1) d
=a+9d
∵17 वें पद तथा 10 वें पद में अन्तर = 7
∴या श्रेणी का 17 वाँ पद - श्रेणी का 10 वोँ पद = 7
(a+16 d)-(a+9 d)=7
a+16 d-a-9 d=7
7 d=7
∴d=1
अतः समान्तर श्रेणी का सार्व अन्तर 1 होगा।
Question 12
यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद $\frac{1}{n}$ और $n$ वाँ पद $\frac{1}{m}$ हो, तो सिब्ध करो कि (m n) वाँ पद 1 होगा तथा प्रथम पद $\frac{1}{m}$ होगा।
Sol :
प्रथम पद = a
सार्वअन्तर = d
∴m वाँ पद $=\frac{1}{n}$
$a+(m-1) d=\frac{1}{n}$...(1)
n वोँ पद $=\frac{1}{m}$
$a+(n-1) d=\frac{1}{m}$...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
$(m-n) d=\frac{1}{n}-\frac{1}{m}$
$(m-n) d=\frac{m-n}{m n}$
$d=\frac{1}{m n}$
समीकरण (1) से $a=\frac{1}{n}-(m-1) d$
$=\frac{1}{n}-(m-1) \frac{1}{m n}$
$=\frac{m-m+1}{m n}$
$=\frac{1}{m n}$
अतः mn वॉ पद =a+(m n-1) d
$=\frac{1}{m n}+(m n-1) \frac{1}{m n}$
$=\frac{1}{m n}+1-\frac{1}{m n}$
=1
अतः mn वोँ पद 1 है और प्रथम पद $\frac{1}{m n}$ है
Question 13
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद a और अन्तिम पद l हो, तो सिब्ध कीजिए कि आरम्भ से r वें पद और अन्त से r वें पद का योग a+l होगा।
Sol :
मान लीजिए,
समान्तर श्रेढ़ी का प्रथम पद = a
समान्तर श्रेडी का सार्वअन्तर = d
समान्तर श्रेड़ी का अन्तिम पद = l
∴प्रारम्भ से r वाँ पद =a+(r-1)d...(1)
अन्त से r वोँ पद =l-(r-1)d...(2)
समीकरण (1) और (2) का 'योगफल =a+l
= प्रथम पद + अन्तिम पद
Question 14
यदि किसी स. श्रे. के तीसरे और नौवें पद क्रमश: 4 और -8 हैं, तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
Sol :
माना समान्तर श्रेणी का पहला पद a तथा सार्वअन्तर d है।
श्रेणी का तीसरा पद = 4 (दिया है)
a+(3-1) d=4
a+2 d=4...(1)
श्रेणी का नौवां पद =-8
a+(9-1) d=-8
a+8 d=-8...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर,
-6d=12
∴$d=-\frac{12}{6}=-2$
d का मान समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर,
$a+2 \times-2=4$
a-4=4
∴a=4+4=8
अब मान लीजिए कि : $a_{n}=0$
a+(n-1)d=0 [a तथा d के मान रखने पर ]
$8+(n-1) \times-2=0$
8-2(n-1)=0
8-2 n+2=0
-2 n=-10
∴n=5
अतः श्रेणी का 5 वाँ पद शून्य होगा।
Question 15
किसी समान्तर श्रेढ़ी का m वाँ पद n तथा n वाँ पद m है, तो सिद्ध कीजिए कि p वाँ पद m+n-p होगा तथा सिद्ध कीजिए कि (m+n) वाँ पद शून्य होगा।
Sol :
m वाँ पद =n=a+(m-1)d...(1)
n वाँ पद =m=a+(n-1)d...(2)
समीकरण (1) में से (2) को घटाने पर
(n-m)=md-nd
-(m-n)=(m-n)d
∴d=-1
तब समीकरण (1) से,
n=a+(m-1)d
$n=a+(m-1) \times(-1)$
n=a-m+1
∴a=m+n-1
p वाँ पद =a+(p-1)d
$=m+n-1+(p-1) \times(-1)$ (a और d के मान रखने पर)
=m+n-1-p+1
=m+n-p
अतः p वाँ पद =m+n-p होगा।
अब m+n वाँ पद =a+(m+n)-1d
=m+n-1+(m+n-1)(-1)
=m+n-1-m-n+1=0
Question 16
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?
Sol :
तीन अंकों वाली संख्याएँ 101,102,103, .. . .999
अब हमको वे ही संख्याएँ लेनी है जो वास्तव में 7 से विभाज्य हों, अर्थात्
105,(105+7),(105+7+7),(105+7+7+7), ...994
यहाँ a=105, सार्वअन्तर (d)=112-105=7
n वॉ पद अर्थात् $a_{n}=994$
a+(n-1) d=994
$105+(n-1) \times 7=994$
7(n-1)=994-105=889
$n-1=\frac{889}{7}$
n-1=127
∴n=127+1=128
अतः 7 से विभाज्य होने वाली संख्याएँ 128 होंगी।
Question 17
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेणियों 63,65,67, . . और 3,10,17,... के n बें पद बराबर होंगे?
Sol :
पहली दी गयी समान्तर श्रेणी हें : 63,65,67, .........
प्रथम पद (a)=63, सार्वअन्तर =65-63=2
यहाँ पहली दी गयी श्रेणी का n वाँ पद = a+(n-1)d
$=63+(n-1) \times 2$
=63+2n-2
=61+2n
दूसरी दी गयी समान्तर श्रेणी है : 3,10,17,...
प्रथम पद (a)=3, सार्वअन्तर =10-3=7
दूसरी दी गयी श्रेणी का n वाँ पद =a+(n-1)d
$=3+(n-1) \times 7$
=3+7n-7
=7n-4
∵दोनों श्रेणियों के n वें पद बराबर दिए गए हें।
∴7n-4=61+2n
7n-2 n=61+4
5n=65
∴n=13
अतः n=13 के लिए दोनों श्रणियों के मान बराबर होंगे।
Question 18
वह स. श्रे. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
Sol :
माना किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
∵श्रेणी का तीसरा पद = 16 (दिया है)
∴a+(3-1)d=16
a+2d=16...(1)
श्रेणी का 7 वोँ =a+(7-1) d
=a+6d
श्रेणी का 5 वाँ पद =a+(5-1) d
=a+4d
∵श्रेणी का 7 वाँ पद - श्रेणी का 5 वाँ पद = 12 (दिया है)
(a+6d)-(a+4d)=12
a+6d-a-4d=12
2d=12
∴d=6
d का मान संमीकरण (1) में प्रतिस्शापित करने पर,
$a+2 \times 6=16$
a+12=16
∴a=16-12=4
∴श्रेणी का प्रथम पद = 4
श्रेणी का द्वितीय पद =a+d=4+6=10
श्रेणी का तृतीय पद =a+2 d=$4+2 \times 6=16$
श्रेणी का चतुर्थ पद =a+3 d$=4+3 \times 6=22$
अतः समान्तर श्रेणी होगी :
4 , 10 , 16 ,32......
Question 19
स. श्रे. : 3,15,27,39, ... का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
Sol :
दी गयी श्रेणी : 3,15,27,39, .....
प्रथम पद (a)=3, सार्वअन्तर (d)=15-3=12
अब श्रेणी का 54 वाँ पद =a+(54-1)d
$=a+53 \times 12$
=3+636=639
∵54 वॉं पद +132=639+132 (दिया है)
=771
माना n वॉ पद अर्थात् $a_{n}=771$
a+(n-1) d=771
a+(n-1) d=771
12 n-12=771-3
12(n-1)=768
n-1=64
∴n=64+1=65
अतः श्रेणी का 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक होगा।
Question 20
दो समान्तर श्रेणियों का सार्वअन्तर समान है। यदि इनके $100 व{ }^{\circ}$ पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000वें पदों का अन्तर क्या होगा?
Sol :
माना पहली समान्तर श्रेणी का प्रथम पद $a_{1}$ तथा दूसरी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a है
∵ सार्वअन्तर समान दिया है दोनों श्रेणी का
अर्थात् $d_{1}=d_{2}=d$ ( माना )
अब पहली समान्तर श्रेणी का 100वाँ पद = $a+(100-1) d=a_{1}+99 d$
और दूसरी समान्तर श्रेणी का 100 वाँ पद $=a+(100-1) d=a_{2}+99 d$
∵दोनों समान्तर श्रेणी का अन्तर = 100
$\left(a_{1}+99 d\right)-\left(a_{2}+99 d\right)=100$
$a_{1}+99 d-a_{2}-99 d=100$
$a_{1}-a_{2}=100$...(1)
अब पहली समान्तर श्रेणी का 1000वाँ पद =a+(1000-1)d
$=a_{1}+999 d$
और दूसरी समीन्तर श्रेणी का 1000 वाँ पद $=a_{2}+999 d$
∵दोनों श्रेणियों के 1000वें पदों का अन्तर $=\left(a_{1}+999 d\right)-\left(a_{2}+999 d\right)$
$=a_{1}+999 d-a_{2}-999 d$
$=a_{1}-a_{2}$
=100 [संमीकरण (1) से ]
अर्थात् 1000वें पदों का अन्तर 100 होगा।
Question 21
किसी स. श्रे. के चौथे और 8वें पदों का योग 24 है तथा छे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस स. श्रे. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
Sol :
माना किसी समान्तर श्रेणी का प्रथम पद a तथा सार्वअन्तर d है।
श्रेणी का चौथा पद =a+(4-1)d
=a+3d
श्रेणी का 8वाँ पद =a+(8-1)d
=a+7d
∵श्रेणी के चौथे तथा 8वें पदों का योग =24
∴(a+3d)+(a+7d)=24
2a+10d=24
a+5d=12....(1)
श्रेणी का छठा पद =a+(6-1)d
=a+5d
श्रेणी का 10वाँ पद = a+(10-1)d
=a+9d
∴श्रेणी के छठे तथा 10वें पदों का योग =44
(a+5d)+(a+9d)=44
a+25=12
a=12-25=-13
∴a=12-25=-13
∴श्रेणी का प्रथम पद = - 13
श्रेणी का द्वितीय पद = a+d=-13+5=-8
श्रेणी का तृतीय पद $=a+2 d=-13+2 \times 5=-3$
अत: समान्तर श्रेणी के प्रथम तीन पद क्रमश :-13,-8 तथा - 3 होंगे।
Question 22
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5,000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्म किया और प्रतेक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7,000 हो गया?
Sol :
1995 में सुब्बाराव का मासिक वेतन = ₹ 5000
1996 में सुब्बाराव का मासिक वेतन = ₹ 5,000+200
=5200
1997 के सुब्बाराव का मासिक वेतन =5,200+200
=5400
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष सुब्बाराव का मासिक वेतन,
5000 , 5200 , 5400 , .....
यह एक समान्तर श्रेणी बनाते हें।
∴प्रथम पद (a)=5000
सार्वअन्तर (d)=5200-5000=200
माना n वर्षों में उसका वेतन ₹ 7,000 हो जाएगा।
अर्थात् $a_{n}=7000$
a+(n-1) d=7000
$5000+(n-1) \times 200=7000$
200(n-1)=7000-5000
$n-1=\frac{2000}{200}=10$
∴n=10+1=11
अतः सुब्बाराव का 11वें वर्ष में वेतन ₹ 7,000 मासिक होगा।
Question 23
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ाती गयी। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
Sol :
रामकली ने प्रथम सप्ताह में बचत की = ₹ 5
दूसरे सप्ताह में बचत की =5+1.75=₹ 6.75
तीसरे सप्ताह में बचत की =6.75+1.75=₹ 8.50
इस प्रकार प्रत्येक सप्ताह में बचत =5,6.75,8.5, ...
यहाँ यह एक समान्तर श्रेणी का रूप है।
अर्थात् a=5, सार्वअन्तर (d)=6.75-5=1.75
माना n वें सप्ताह में उसकी बचत =20.75
$a_{n}=20.75$
$a+(n-1) \times d=20.75$
$5+(n-1) \times 1.75=20.75$
1.75(n-1)=20.75-5
$n-1=\frac{15.75}{1.75}=9$
∴n=9+1=10
अतः रामकली की 10वें सप्ताह में बचत ₹ 20.75 होगी।
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