प्रश्नावली 5(A)
Question 1
निम्नलिखित में से प्रत्येक स. श्रे. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए :
(i) 3 , 1 , -1 ,-3.....
(ii) -5 , -1 ,3 ,7
(iii) $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots$
(iv) 0.6 , 1.7 , 2.8 , 3.9 ....
Sol :
(i) दी गयी स. श्रे.
3 , 1 , -1 ,-3.....
प्रथम पद (a)=3
सार्वअन्तर (d) = श्रेणी का दूसरं पद - श्रेणी का पहला पद
=1-3
d=-2
अतः प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर - 2 होगा।
(ii) दी गयी स. श्रे.
-5 , -1 ,3 ,7
प्रथम पद (a)=-5
सार्व अन्तर (d)= श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद
=1-(-5)
d=-1+5=4
अतः प्रथम पद -5 तथा सार्वअन्तर 4 होगा।
(iii) दी गयी स. श्रे.
$\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots$
प्रथम पद $(a)=\frac{1}{3}$
सार्वअन्तर (d)= श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद
$(d)=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$
अतः प्रथम पद $\frac{1}{3}$ तथा सार्वअन्तर $\frac{4}{3}$ होगा।
(iv) दी गयी सं. श्रे.
0.6 , 1.7 , 2.8 , 3.9......
प्रथन पद (a)=0.6
सार्वअन्तर (d) = श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद
=1.7-0.6
(d)=1.1
अत: प्रथम पद 0.6 तथा सार्व अन्तर 1.1 होगा।
Question 2
निम्नलिखित में से कौन-कौन स. श्रे. हैं? यदि कोई स. श्रे. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए-
(i) 2 , 4 , 8 , 16........
Sol :
$a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=8$ तथा $a_{4}=16$
∴$a_{2}-a_{1}=4-2=2$
तथा $a_{3}-a_{2}=8-4=4$
∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
∴दी गयी श्रेणी , समान्तर श्रेणी नही है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा तीन पद ज्ञात नंहीं कर सकते हैं।
(ii) -10,-6,-2,2, ......
Sol :
यहाँ $a_{1}=-10, a_{2}=-6, a_{3}=-2$ तथा $a_{4}=2$
अब $a_{2}-a_{1}$=-6-(-10)=-6+10=4
$a_{3}-a_{2}$=-2-(-6)=-2+6=4
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$=4 (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर (d)=4 होगा।
अतः दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी होगी।
इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)$=2+4=6
छठा पद $\left(a_{6}\right)$=6+4=10
सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)$=10+4=14
अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : 6,10 तथा 14 होंगे।.
(iii) $3,3+\sqrt{2}, 3+2 \sqrt{2}, 3+3 \sqrt{2}, \ldots \ldots . .$
Sol :
यहाँ $a_{1}=3, a_{2}=3+\sqrt{2}, a_{3}=3+2 \sqrt{2}$ तथा $a_{4}=3+3 \sqrt{2}$
$a_{2}-a_{1}=3+\sqrt{2}-3=\sqrt{2}$
$a_{3}-a_{2}=(3+2 \sqrt{2})-(3+\sqrt{2})$
$=3+2 \sqrt{2}-3-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{2}$ (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर $(d)=\sqrt{2}$ होगा।
अतः दी गई श्रेणी एक संमीन्तर श्रेणी होंगी।
इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=3+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+4 \sqrt{2}$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=3+4 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+5 \sqrt{2}$
सातराँ पद $\left(a_{7}\right)=3+5 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+6 \sqrt{2}$
अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $3+4 \sqrt{2}, 3+5 \sqrt{2}$ तथा $3+6 \sqrt{2}$ होंगे।
(iv) $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}$,...........
Sol :
यहौँ $a_{1}=a, a_{2}=a^{2}, a_{3}=a^{3}, a_{4}=a^{4}$
अब $a_{2}-a_{1}=a^{2}-a=a(a-1)$
तथा $a_{3}-a_{2}=a^{3}-a^{2}=a^{2}(a-1)$
∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।
(v) $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots \ldots \ldots$
Sol :
यहाँ $a_{1}=\sqrt{2}, a_{2}=\sqrt{8}, a_{3}=\sqrt{18}, a_{4}=\sqrt{32}$
अब $a_{2}-a_{1}=\sqrt{8}-\sqrt{2}=2 \sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$
और $a_{3}-a_{2}=\sqrt{18}-\sqrt{8}$
$=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=\sqrt{2}$
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{2} \quad$ (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर $(d)=\sqrt{2}$ होगा।
अतः दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी होगी।
इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{2}$
$=4 \sqrt{2}+\sqrt{2}=5 \sqrt{2}=\sqrt{50}$
छटवाँ पद $\left(a_{6}\right)=\sqrt{50}+\sqrt{2}=5 \sqrt{2}+\sqrt{2}$
$=6 \sqrt{2}=\sqrt{72}$
सातवोँ पद $\left(a_{7}\right)=\sqrt{72}+\sqrt{2}=6 \sqrt{2}+\sqrt{2}$
$=7 \sqrt{2}=\sqrt{98}$
अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $\sqrt{50}, \sqrt{72}$ और $\sqrt{98}$ होगें।
(vi) $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots \ldots \ldots$
Sol :
यहौं $a_{1}=1^{2}, a_{2}=3^{2}, a_{3}=5^{2}, a_{4}=7^{2}$
अब $a_{2}-a_{1}=3^{2}-1^{2}=9-1=8$
तथा $a_{3}-a_{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16$
∵ $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।
(vii) $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots \ldots$
Sol :
यहाँ $a_{1}=2, a_{2}=\frac{5}{2}, a_{3}=3$ तथा $a_{4}=\frac{7}{2}$
$a_{2}-a_{1}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$
$a_{3}-a_{2}=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\frac{1}{2}$ (समान है)
अर्थात: सार्वअन्तर $(d)=\frac{1}{2}$ होगा
इस प्रकार पाँचनाँ पद $\left(a_{5}\right)=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$
सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{10}{2}=5$
अत: श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $4, \frac{9}{2}$ तथा 5 होंगे
(viii) -1.2,-3.2,-5.2,-7.2, ......
Sol :
यहाँ $a_{1}=-1.2, a_{2}=-3.2, a_{3}=-5.2$, तथा $a_{4}=-7.2$
$a_{2}-a_{1}=-3.2-(-1.2)$
=-3.2+1.2=-2.0
$a_{3}-a_{2}=-5.2-(-3.2)$
=-5.2+3.2=-2.0
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-2.0 $ (समान है)
अर्थात सार्वअन्तर (d)=-2.0 होगा।
इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=-7.2+(-2.0)=-9.2$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=-9.2+(-2.0)=-11.2$
सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=-11.2+(-2.0)=-13.2$
अत : श्रेणी के तीन और पद क्रमश : -9.2,-11.2 तथा -13.2 होंगे।
(ix) 0.2,0.22,0.222,0.2222, .....
Sol :
यहाँ $a_{1}=0.2, a_{2}=0.22, a_{3}=0.222, a_{4}=0.2222$
अब $a_{2}-a_{1}=0.22-0.2=0.02$
तथा $a_{3}-a_{2}=0.222+0.22=0.002$
∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।
(x) 0,-4,-8,-12, ....
Sol :
यहाँ $a_{1}=0, a_{2}=-4, a_{3}=-8$, तथा $a_{4}=-12$
अब $a_{2}-a_{1}=-4-0=-4$
तथा $a_{3}-a_{2}$=-8-(-4)=-8+4=-4
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-4$ (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर (d)=-4 होगा।
अत: दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी है।
इस प्रकार पॉचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=-12+(-4)=-16$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=-16+(-4)=-20$
सातबाँ पद $\left(a_{7}\right)=-20+(-4)=-24$
अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमशः -16,-20 तथा -24 होंगे।
(xi) $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots$
Sol :
यहाँ $a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=-\frac{1}{2}, a_{3}=-\frac{1}{2}, a_{4}=-\frac{1}{2}$
अब $a_{2}-a_{1}=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$
तथा $a_{3}-a_{2}=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)$
$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=0$ (समान है)
अर्थात सार्वअन्तर (d)=0 होगा।
अतः श्रेणी समान्तर श्रेणी है।
चूँकि सार्वअन्तर 0 है, इसलिए अगले तीनों पद $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ होंगे।
(xii) 1,3,9,27,...........
Sol :
यहाँ $a_1=1,a_2=3,a_3=9$ तथा $a_4=27$
अब $a_2-a_1=3-1=2$
तथा $a_3-a_2=9-6$
∵$a_2-a_1 \neq a_3-a_2$
अतः दी गई श्रेणी नहीं है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।
(xiii) a, 2 a, 3 a, 4 a, ..........
Sol :
यहाँ $a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=9$ तथा $a_{4}=27$
$a_{2}-a_{1}=3-1=2$
$a_{3}-a_{2}=9-3=6$
∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
अतः दी गई श्रेणी संमान्तर श्रेणी नहीं है।
अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।
(xiv) $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots \ldots \ldots$
Sol :
यहाँ $a_{1}=a, a_{2}=2 a, a_{3}=3 a$,
तथा $a_{4}=4 a$
अब $a_{2}-a_{1}=2 a-a=a$
और $a_{3}-a_{2}=3 a-2 a=a$
∵ $a_{3}-a_{2}=3 a-2 a=a$ (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर (d)=a होगा।
अतः दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी है।
इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{s}\right)=4 a+a=5 a$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=5 a+a=6 a$
सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=6 a+a=7 a$
अत : श्रेणी के तीन और पद क्रमश : 5a, 6a तथा 7a होंगे।
(xv) $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 7^3, \ldots \ldots \ldots$
Sol :
यहाँ $a_{1}=1^{2}, a_{2}=5^{2}, a_{3}=7^{2}, a_{4}=73$
$a_{2}-a_{1}=5^{2}-1^{2}=25-1=24$
$a_{3}-a_{2}=7^{2}-5^{2}=49-25=24$
∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=24$ (समान है)
अर्थात् सार्वअन्तर (d)=24 होगा।
इस प्रकार, पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=73+24=97$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=97+24=121$
सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=121+24=145$
इस प्रकार, पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=73+24=97$
छठा पद $\left(a_{6}\right)=97+24=121$
सातवोँ पद $\left(a_{7}\right)=121+24=145$
अत श्रेणी के तीन और पद क्रमंशः 97,121 तथा 145 होंगे।
Question 3
दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं :
(i) a=10, d=10
Sol :
प्रथम पद (a)=10, तथा सार्व अत्तर $(d)=10$ दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=10+10=20$
तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=10+2 \times 10=30$
चीथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=10+3 \times 10=40$
अत: दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :
10,20,30,40
(ii) a=-2, d=0
Sol :
प्रथम पद $(a)=-2$ तथा सार्वअन्तर $(d)=0 .$
दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-2+0=-2$
तीसरा पद $\left(a_{1}\right)=a+2 d=-2+2 \times 0=-2$
चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-2+3 \times 0=-2$
अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :
-2,-2,-2,-2
(iii) a=4, d=-3
Sol :
प्रथम पद $(a)=4$ तथा सार्वअन्तर $(d)=-3$
दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=4+(-3)=4-3=1$
तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d$
$=4+2 \times(-3)=4-6=-2$
चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d$
$=4+3 \times(-3)=4-9=-5$
अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :
4,1,-2,-5
(iv) a=-1.25, d=-0.25
Sol :
प्रथम पद $(a)=-1.25$ तथा सार्व अन्तर $(d)=-0.25$
दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-1.25-0.25=-1.50$
तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=-1.25-2 \times 0.25=-1.75$
चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-1.25-3 \times 0.25=-2.00$
अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :
-1.25 , -1.50,-1.75,-2.00
(v) $a=-1, d=\frac{1}{2}$
Sol :
प्रथम पद (a)=-1 तथा सार्वअन्तर $(d)=\frac{1}{2}$
दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2^{-}}$
तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=-1+2 \times \frac{1}{2}=0$
चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-1+3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :
$-1,-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$
Question 4
श्रेणी 1,1,2,3,5, .... स. श्रे. में नहीं है क्यों?
Sol :
1,1,2,3,5, ....
यहाँ $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2, a_{4}=3$ तथा $a_{5}=5$
अब $ a_{2}-a_{1}=1-1=0$
$a_{2}-a_{1}=1-1=0$
$a_{3}-a_{2}=2-1=1$
∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$
अतः दी गयी श्रेणी स. श्रे. में नहीं है।
Question 5
यदि a+1, 3a, 4a+2 समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो a का मान ज्ञात करो और श्रेढ़ी को पाँच पदों तक
Sol :
(a+1), 3a, (4 a+2) समान्तर श्रेढी में से।
$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}=$ सार्वअन्तर
3a-(a+1)=(4a+2)-3a
2a-1=a+2
2a-a=2+1
∴a=3
a का मान दी हुई श्रेढ़ी में रखने पर,
a+1, 3a, 4a+2=4,9,14
इस श्रेढ़ी में सार्वअन्तर 9-4=5 है
अतः श्रेढ़ी के 5 पद होंगे : 4,9,14,19,24
Question 6
यदि K+2,4K-6 तथा 3K-2 तीन क्रमागत संख्याएँ समान्तर श्रेठ़ी में हैं, तो K का मान बताइए।
Sol :
K+2,4K-6 तथा 3K-2 समान्तर श्रेढी में है।
$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}$
(4 K-6)-(K+2)= सार्व अन्तर =(3 K-2)-(4 K-6)
4 K-6-K-2=3 K-2-4 K+6
3k-8=-K+4
3K+K=4+8
4K=12
$\mathrm{K}=\frac{12}{4}$
K=3
Question 7
a के किस मान के लिए a, a+4, 3a समान्तर श्रेढ़ी है ?
Sol :
a, a+4, 3a समान्तर श्रेढ़ी में है।
$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}$
a+4-a=3a-(a+4)
4=3a-a-4
4=2a-4
2a=4+4
2a=8
$a=\frac{8}{2}$
∴a=4
Question 8
समान्तर श्रेणी $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots \ldots$ के अगले तीन पद लिखिए।
Sol :
दी गई श्रेणी $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots \ldots . .$
प्रथम पद a=5
सार्वअन्तर, $d=\frac{14}{3}-5=-\frac{1}{3}$
इसके अगले तीन पद $4+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{3}, \frac{11}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}$ और $\frac{10}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)=3$
Question 9
समान्तर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए जिनके $a=\frac{1}{2}$ और $d=-\frac{1}{6}$ दिए हैं।
Sol :
दिया है : प्रथम पद $a=\frac{1}{2}$ तथा सार्वअन्तर $d=-\frac{1}{6}$
दूसरा पद $=a+d=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{3} .$
तीसरा पद $=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}$
अत: प्रथम तीन पद $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ और $\frac{1}{6}$ हैं।
Question 10
समान्तर श्रेणी 2,-2,-6,-10, ... का प्रथम पद और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।
Sol :
दी गयी श्रेणी हे :
2 , -2 , -6 , -10.......
प्रथम पद, a=2
सार्व अन्तर = दूसरा पद - पहला पद
=-2-2=-4
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