Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 5 खमांतर श्रेणी (Arithmetic Progressions) प्रश्नावली 5(A)

  प्रश्नावली 5(A) 

Question 1

निम्नलिखित में से प्रत्येक स. श्रे. के लिए प्रथम पद तथा सार्वअन्तर लिखिए :

(i) 3 , 1 , -1 ,-3.....

(ii) -5 , -1 ,3 ,7

(iii) $\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots$

(iv) 0.6 , 1.7 , 2.8 , 3.9 ....

Sol :

(i) दी गयी स. श्रे.

 3 , 1 , -1 ,-3.....

प्रथम पद (a)=3

सार्वअन्तर (d) = श्रेणी का दूसरं पद - श्रेणी का पहला पद

=1-3

d=-2

अतः प्रथम पद 3 तथा सार्वअन्तर - 2 होगा।

(ii) दी गयी स. श्रे.

-5 , -1 ,3 ,7

प्रथम पद (a)=-5

सार्व अन्तर (d)= श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद

=1-(-5)

d=-1+5=4

अतः प्रथम पद -5 तथा सार्वअन्तर 4 होगा।

(iii) दी गयी स. श्रे.

$\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{9}{3}, \frac{13}{3}, \ldots \ldots \ldots \ldots$

प्रथम पद $(a)=\frac{1}{3}$

सार्वअन्तर (d)= श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद

$(d)=\frac{5}{3}-\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$

अतः प्रथम पद $\frac{1}{3}$ तथा सार्वअन्तर $\frac{4}{3}$ होगा।

(iv) दी गयी सं. श्रे.

0.6 , 1.7 , 2.8 , 3.9......

प्रथन पद (a)=0.6

सार्वअन्तर (d) = श्रेणी का दूसरा पद - श्रेणी का पहला पद

=1.7-0.6

(d)=1.1

अत: प्रथम पद 0.6 तथा सार्व अन्तर 1.1 होगा।

Question 2

निम्नलिखित में से कौन-कौन स. श्रे. हैं? यदि कोई स. श्रे. है, तो इसका सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन और पद लिखिए-

(i) 2  , 4 , 8 , 16........

Sol :

$a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=8$ तथा $a_{4}=16$

∴$a_{2}-a_{1}=4-2=2$

तथा $a_{3}-a_{2}=8-4=4$

∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

∴दी गयी श्रेणी , समान्तर श्रेणी नही है।

 अतः इनका सार्वअन्तर तथा तीन पद ज्ञात नंहीं कर सकते हैं।

(ii) -10,-6,-2,2, ......

Sol :

यहाँ $a_{1}=-10, a_{2}=-6, a_{3}=-2$ तथा $a_{4}=2$

अब $a_{2}-a_{1}$=-6-(-10)=-6+10=4

$a_{3}-a_{2}$=-2-(-6)=-2+6=4

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}$=4 (समान है)

अर्थात् सार्वअन्तर (d)=4 होगा।

अतः दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी होगी।

इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)$=2+4=6

छठा पद $\left(a_{6}\right)$=6+4=10

सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)$=10+4=14

अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : 6,10 तथा 14 होंगे।.

(iii) $3,3+\sqrt{2}, 3+2 \sqrt{2}, 3+3 \sqrt{2}, \ldots \ldots . .$

Sol :

यहाँ $a_{1}=3, a_{2}=3+\sqrt{2}, a_{3}=3+2 \sqrt{2}$ तथा $a_{4}=3+3 \sqrt{2}$

$a_{2}-a_{1}=3+\sqrt{2}-3=\sqrt{2}$

$a_{3}-a_{2}=(3+2 \sqrt{2})-(3+\sqrt{2})$

$=3+2 \sqrt{2}-3-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{2}$ (समान है)

अर्थात्  सार्वअन्तर $(d)=\sqrt{2}$ होगा।

अतः दी गई श्रेणी एक संमीन्तर श्रेणी होंगी।

इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=3+3 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+4 \sqrt{2}$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=3+4 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+5 \sqrt{2}$

सातराँ पद $\left(a_{7}\right)=3+5 \sqrt{2}+\sqrt{2}=3+6 \sqrt{2}$

अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $3+4 \sqrt{2}, 3+5 \sqrt{2}$ तथा $3+6 \sqrt{2}$ होंगे।

(iv) $a, a^{2}, a^{3}, a^{4}$,...........

Sol :

यहौँ $a_{1}=a, a_{2}=a^{2}, a_{3}=a^{3}, a_{4}=a^{4}$

अब $a_{2}-a_{1}=a^{2}-a=a(a-1)$

तथा $a_{3}-a_{2}=a^{3}-a^{2}=a^{2}(a-1)$

∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।

अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

(v) $\sqrt{2}, \sqrt{8}, \sqrt{18}, \sqrt{32}, \ldots \ldots \ldots$

Sol :

यहाँ $a_{1}=\sqrt{2}, a_{2}=\sqrt{8}, a_{3}=\sqrt{18}, a_{4}=\sqrt{32}$

अब  $a_{2}-a_{1}=\sqrt{8}-\sqrt{2}=2 \sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}$

और  $a_{3}-a_{2}=\sqrt{18}-\sqrt{8}$

$=3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}=\sqrt{2}$

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\sqrt{2} \quad$ (समान है)

अर्थात् सार्वअन्तर $(d)=\sqrt{2}$ होगा।

अतः दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी होगी।

इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{2}$

$=4 \sqrt{2}+\sqrt{2}=5 \sqrt{2}=\sqrt{50}$

छटवाँ पद $\left(a_{6}\right)=\sqrt{50}+\sqrt{2}=5 \sqrt{2}+\sqrt{2}$

$=6 \sqrt{2}=\sqrt{72}$

सातवोँ पद $\left(a_{7}\right)=\sqrt{72}+\sqrt{2}=6 \sqrt{2}+\sqrt{2}$

$=7 \sqrt{2}=\sqrt{98}$

अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $\sqrt{50}, \sqrt{72}$ और $\sqrt{98}$ होगें।

(vi) $1^{2}, 3^{2}, 5^{2}, 7^{2}, \ldots \ldots \ldots$

Sol :

यहौं $a_{1}=1^{2}, a_{2}=3^{2}, a_{3}=5^{2}, a_{4}=7^{2}$

अब $a_{2}-a_{1}=3^{2}-1^{2}=9-1=8$

तथा  $a_{3}-a_{2}=5^{2}-3^{2}=25-9=16$

∵ $a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।

अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

(vii) $2, \frac{5}{2}, 3, \frac{7}{2}, \ldots \ldots$

Sol :

यहाँ $a_{1}=2, a_{2}=\frac{5}{2}, a_{3}=3$ तथा $a_{4}=\frac{7}{2}$

$a_{2}-a_{1}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$

$a_{3}-a_{2}=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\frac{1}{2}$ (समान है)

अर्थात:  सार्वअन्तर $(d)=\frac{1}{2}$ होगा

इस प्रकार पाँचनाँ पद $\left(a_{5}\right)=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=4+\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$

सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{10}{2}=5$

अत: श्रेणी के तीन और पद क्रमश : $4, \frac{9}{2}$ तथा 5 होंगे

(viii) -1.2,-3.2,-5.2,-7.2,  ......

Sol :

यहाँ $a_{1}=-1.2, a_{2}=-3.2, a_{3}=-5.2$, तथा $a_{4}=-7.2$

$a_{2}-a_{1}=-3.2-(-1.2)$

=-3.2+1.2=-2.0

$a_{3}-a_{2}=-5.2-(-3.2)$

=-5.2+3.2=-2.0

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-2.0$ (समान है)

अर्थात सार्वअन्तर (d)=-2.0 होगा।

इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=-7.2+(-2.0)=-9.2$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=-9.2+(-2.0)=-11.2$

सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=-11.2+(-2.0)=-13.2$

अत : श्रेणी के तीन और पद क्रमश : -9.2,-11.2 तथा -13.2 होंगे।

(ix) 0.2,0.22,0.222,0.2222, .....

Sol :

यहाँ $a_{1}=0.2, a_{2}=0.22, a_{3}=0.222, a_{4}=0.2222$

अब $a_{2}-a_{1}=0.22-0.2=0.02$

तथा $a_{3}-a_{2}=0.222+0.22=0.002$

∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

∴दी गई श्रेणी समान्तर श्रेणी नहीं है।

अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

(x) 0,-4,-8,-12, ....

Sol :

यहाँ $a_{1}=0, a_{2}=-4, a_{3}=-8$, तथा $a_{4}=-12$

अब $a_{2}-a_{1}=-4-0=-4$

तथा $a_{3}-a_{2}$=-8-(-4)=-8+4=-4

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=-4$ (समान है)

अर्थात्  सार्वअन्तर (d)=-4 होगा।

अत: दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी है।

इस प्रकार पॉचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=-12+(-4)=-16$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=-16+(-4)=-20$

सातबाँ पद $\left(a_{7}\right)=-20+(-4)=-24$

अतः श्रेणी के तीन और पद क्रमशः -16,-20 तथा -24 होंगे।

(xi) $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \ldots \ldots \ldots \ldots$

Sol :

यहाँ $a_{1}=-\frac{1}{2}, a_{2}=-\frac{1}{2}, a_{3}=-\frac{1}{2}, a_{4}=-\frac{1}{2}$

अब $a_{2}-a_{1}=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

तथा $a_{3}-a_{2}=-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=0$ (समान है)

अर्थात सार्वअन्तर (d)=0 होगा।

अतः श्रेणी समान्तर श्रेणी है।

चूँकि सार्वअन्तर 0 है, इसलिए अगले तीनों पद $-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$ होंगे।

(xii) 1,3,9,27,...........

Sol :

यहाँ $a_1=1,a_2=3,a_3=9$ तथा $a_4=27$

अब $a_2-a_1=3-1=2$

तथा $a_3-a_2=9-6$

∵$a_2-a_1 \neq a_3-a_2$

अतः दी गई श्रेणी नहीं है।

अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

(xiii) a, 2 a, 3 a, 4 a, ..........

Sol :

यहाँ $a_{1}=1, a_{2}=3, a_{3}=9$ तथा $a_{4}=27$

$a_{2}-a_{1}=3-1=2$

$a_{3}-a_{2}=9-3=6$

∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

अतः दी गई श्रेणी संमान्तर श्रेणी नहीं है।

अतः इनका सार्वअन्तर तथा अगले तीन पद ज्ञात नहीं कर सकते हैं।

(xiv) $\sqrt{3}, \sqrt{6}, \sqrt{9}, \sqrt{12}, \ldots \ldots \ldots$

Sol :

यहाँ $a_{1}=a, a_{2}=2 a, a_{3}=3 a$,

तथा $a_{4}=4 a$

अब $a_{2}-a_{1}=2 a-a=a$

और $a_{3}-a_{2}=3 a-2 a=a$

∵ $a_{3}-a_{2}=3 a-2 a=a$ (समान है)

अर्थात् सार्वअन्तर  (d)=a होगा।

अतः दी गई श्रेणी एक समान्तर श्रेणी है।

इस प्रकार पाँचवाँ पद $\left(a_{s}\right)=4 a+a=5 a$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=5 a+a=6 a$

सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=6 a+a=7 a$

अत : श्रेणी के तीन और पद क्रमश : 5a, 6a तथा 7a होंगे।

(xv) $1^{2}, 5^{2}, 7^{2}, 7^3, \ldots \ldots \ldots$

Sol :

यहाँ $a_{1}=1^{2}, a_{2}=5^{2}, a_{3}=7^{2}, a_{4}=73$

$a_{2}-a_{1}=5^{2}-1^{2}=25-1=24$

$a_{3}-a_{2}=7^{2}-5^{2}=49-25=24$

∵$a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=24$ (समान है)

अर्थात्  सार्वअन्तर (d)=24 होगा।

इस प्रकार, पाँचवाँ पद $\left(a_{5}\right)=73+24=97$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=97+24=121$

सातवाँ पद $\left(a_{7}\right)=121+24=145$

इस प्रकार, पाँचवाँ  पद $\left(a_{5}\right)=73+24=97$

छठा पद $\left(a_{6}\right)=97+24=121$

सातवोँ पद $\left(a_{7}\right)=121+24=145$

अत श्रेणी के तीन और पद क्रमंशः 97,121 तथा 145 होंगे।

Question 3

दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद a और सार्वअन्तर d निम्नलिखित हैं :

(i) a=10, d=10

Sol :

प्रथम पद (a)=10, तथा सार्व अत्तर $(d)=10$ दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=10+10=20$

तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=10+2 \times 10=30$

चीथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=10+3 \times 10=40$

अत: दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :

10,20,30,40 

(ii) a=-2, d=0

Sol :

प्रथम पद $(a)=-2$ तथा सार्वअन्तर $(d)=0 .$

दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-2+0=-2$

तीसरा पद $\left(a_{1}\right)=a+2 d=-2+2 \times 0=-2$

चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-2+3 \times 0=-2$

अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :

-2,-2,-2,-2

(iii) a=4, d=-3

Sol :

प्रथम पद $(a)=4$ तथा सार्वअन्तर $(d)=-3$

दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=4+(-3)=4-3=1$

तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d$

$=4+2 \times(-3)=4-6=-2$

चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d$

$=4+3 \times(-3)=4-9=-5$

अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :

4,1,-2,-5

(iv) a=-1.25, d=-0.25

Sol :

प्रथम पद $(a)=-1.25$ तथा सार्व अन्तर $(d)=-0.25$

दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-1.25-0.25=-1.50$

तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=-1.25-2 \times 0.25=-1.75$

चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-1.25-3 \times 0.25=-2.00$

अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :

-1.25 , -1.50,-1.75,-2.00

(v) $a=-1, d=\frac{1}{2}$

Sol :

प्रथम पद (a)=-1 तथा सार्वअन्तर $(d)=\frac{1}{2}$

दूसरा पद $\left(a_{2}\right)=a+d=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2^{-}}$

तीसरा पद $\left(a_{3}\right)=a+2 d=-1+2 \times \frac{1}{2}=0$

चौथा पद $\left(a_{4}\right)=a+3 d=-1+3 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

अतः दी हुई स. श्रे. के प्रथम चार पद हैं :

$-1,-\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}$

Question 4

श्रेणी 1,1,2,3,5, .... स. श्रे. में नहीं है क्यों?

Sol :

1,1,2,3,5, ....

यहाँ $a_{1}=1, a_{2}=1, a_{3}=2, a_{4}=3$ तथा $a_{5}=5$

अब $a_{2}-a_{1}=1-1=0$

$a_{2}-a_{1}=1-1=0$

$a_{3}-a_{2}=2-1=1$

∵$a_{2}-a_{1} \neq a_{3}-a_{2}$

अतः दी गयी श्रेणी स. श्रे. में नहीं है।

Question 5

यदि a+1, 3a,  4a+2 समान्तर श्रेढ़ी में हैं, तो a का मान ज्ञात करो और श्रेढ़ी को पाँच पदों तक

Sol :

(a+1), 3a, (4 a+2) समान्तर श्रेढी में से।

$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}=$ सार्वअन्तर

3a-(a+1)=(4a+2)-3a

2a-1=a+2

2a-a=2+1

∴a=3

a का मान दी हुई श्रेढ़ी में रखने पर,

a+1, 3a, 4a+2=4,9,14

इस श्रेढ़ी में सार्वअन्तर 9-4=5 है

अतः श्रेढ़ी के 5 पद होंगे : 4,9,14,19,24

Question 6

यदि K+2,4K-6 तथा 3K-2 तीन क्रमागत संख्याएँ समान्तर श्रेठ़ी में हैं, तो K का मान बताइए।

Sol :

K+2,4K-6 तथा 3K-2 समान्तर श्रेढी में है।

$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}$

(4 K-6)-(K+2)= सार्व अन्तर =(3 K-2)-(4 K-6)

4 K-6-K-2=3 K-2-4 K+6

3k-8=-K+4

3K+K=4+8

4K=12

$\mathrm{K}=\frac{12}{4}$

K=3

Question 7

a के किस मान के लिए a, a+4, 3a समान्तर श्रेढ़ी है ?

Sol :

a, a+4, 3a समान्तर श्रेढ़ी में है।

$\mathrm{T}_{2}-\mathrm{T}_{1}=\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{2}$

a+4-a=3a-(a+4)

4=3a-a-4

4=2a-4

2a=4+4

2a=8

$a=\frac{8}{2}$

∴a=4

Question 8

समान्तर श्रेणी $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots \ldots$ के अगले तीन पद लिखिए।

Sol :

दी गई श्रेणी $5, \frac{14}{3}, \frac{13}{3}, 4, \ldots \ldots . .$

प्रथम पद a=5

सार्वअन्तर, $d=\frac{14}{3}-5=-\frac{1}{3}$

इसके अगले तीन पद $4+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{3}, \frac{11}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{10}{3}$ और $\frac{10}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)=3$

Question 9

समान्तर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए जिनके $a=\frac{1}{2}$ और $d=-\frac{1}{6}$ दिए हैं।

Sol :

दिया है : प्रथम पद $a=\frac{1}{2}$ तथा सार्वअन्तर $d=-\frac{1}{6}$

दूसरा पद $=a+d=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{3} .$

तीसरा पद $=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}$

अत: प्रथम तीन पद $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ और $\frac{1}{6}$ हैं।

Question 10

समान्तर श्रेणी 2,-2,-6,-10, ... का प्रथम पद और सार्वअन्तर ज्ञात कीजिए।

Sol :

दी गयी श्रेणी हे :

2 , -2 , -6 , -10.......

प्रथम पद, a=2

सार्व अन्तर = दूसरा पद - पहला पद

=-2-2=-4