Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations in two variables) प्रश्नावली 3 (I)

  प्रश्नावली 3 (I) 

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रत्येक प्रश्न के चार उत्तर दिये हैं। सही उत्तर छाँटकर लिखिए।

Question 1 

समीकरण 8 x+5 y=11 को संतुष्ट करने वाले बिन्दु के निर्देशांक हैं :

(i) (2,1)

(ii) (-2,1)

(iii) (2,-1)

(iv) (3,-2)

Sol :

(iii) (2,-1)

8 x+5 y=11 के संतुष्ट करने वाले बिन्दु के निर्देशांक (2,-1) हैं 

Question 2

समीकरण 6 x-5 y=11 और 2 x+y=17 से y का विलोपन करने पर x में प्राप्त समीकरण है :

(i) 4 x=-6

(ii) 8 x=28

(iii) -4 x=-74

(iv) 16 x=96

Sol :

(iv) 16x=96

6 x-5 y=11...(i)

2 x+y=17...(ii)

समीकरण (ii) को 5 से गुणा करने पर,

10x+5y=85...(iii)

समीकरण (i) तथा (iii) को जोड़े पर,

16x=96

Question 3

समीकरण x+3 y=7 का हल है :

(i) x=2, y=1

(ii) x=3, y=1

(iii) x=1, y=2

(iv) x=1, y=3

Sol :

(iii) x=1 , y=2

x+3y=7

x=1 , y=2 रखने पर

बायाँ पक्ष $=1+3 \times 2=1+6$

=7=दाँया पक्ष

Question 4

रेखाओं x=0 और 2 x+3 y=12 का प्रतिच्छेद बिन्दु है :

(i) (4,0)

(ii) (0,4)

(iii) (0,-4)

(iv) (-4,0)

Sol :

(ii) (0,4)

रेखाएँ

x=0

तथा 2x+3y=12...(ii)

समीकरण (i) से x=0 समीकरण (ii) में रखने पर,

2×0+3y=12

3y=12

y=4

अतः प्रतिच्छेद बिन्दु(0,4) है।

Question 5

दो संख्याओं का योग 8 और अन्तर 2 है, तो संख्याएँ हैं :

(i) 6,2

(ii) 5,3

(iii) 7,1

(iv) 4,4

Sol :

(ii) 5,3

माना दो संख्याएँ x तथा y हैं, तब

प्रश्नानुसार,

x+y=8...(i)

x-y=2...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

2x=10

x=5

समीकरण (i) में x=5 रखने पर,

5+y=8 या y=3

Question 6

समीकरणो 3 x+y=9 तथा 2 x+3 y=6 का हल होगा :

(i) (3,0)

(ii) (0,3)

(iii) (3,1)

(iv) (1,2)

Sol :

(i) (3,0)

3x+y=9...(i)

2x+3y=6...(ii)

समीकरण (i) में 3 से गुणा करके (ii) को घटाने पर,

7x=21 या x=3

समीकरण (i) में x=3 रखने पर,

9+y=9

y=0

अत: विकल्प (i) (3,0) सही है।

Question 7

भिन्न $\frac{2}{3}$ बनाने के लिए भिन्न $\frac{2}{7}$ के अंश और हर में जोड़ने वाली संख्या होगी :

(i) 8

(ii) 5

(iii) 3

(iv) 1

Sol :

(i) 8

माना अंश तथा हर में x संख्या जोड़ी जाती है, तब प्रश्नानुसार

 $\frac{2+x}{7+x}=\frac{2}{3}$

6+3x=14+2x

3x-2x=14-6

x=8

Question 8

समीकरण $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4, \frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$ का हल है :

(i) $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}$

(ii) x=2, y=2

(iii) x=4, y=-4

(iv) x=4, y=0

Sol :

(i) $x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4$...(i)

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$\frac{2}{x}=4$

$x=\frac{1}{2}$

संमींकरण (i) में $x=\frac{1}{2}$ खतने पर,

$2+\frac{1}{y}=4$ या $\frac{1}{y}=2$

$y=\frac{1}{2}$

Question 9

पिता की आयु अपने पुत्र की आयु की तीन गुनी है। 5 वर्ष बाद पिता की आयु का दुगुना पुत्र की आयु के पाँच गुने के बराबर हो जायेगा। पिता और पुत्र की वर्तमान आयु हैं :

(i) 30 वर्ष; 10 वर्ष

(ii) 36 वर्ष, 12 वर्ष

(iii) 42वर्ष, 14 वर्ष

(iv) 45 वर्ष, 15 वर्ष।

Sol :

(iv) 45 वर्ष, 15 वर्ष।

माना पिता की वर्तमानं आयु $=x$ वर्ष

तथा पुत्र की वर्तमान आयु = y वर्ष

तब प्रश्ननुसार, x=3y...(i)

5 वर्ष बाद पिता की आयु =(x+5) वर्ष

तथा पुत्र की आयु =(y+5) वर्ष

पुन्न की आयु =(y+5) वर्ष

तब प्रश्नानुसार, x=3y...(i)

5 वर्ष बाद पिता की आयु =(x+5) वर्ष

पुन्र की आयु =(y+5) वर्ष

तब प्रश्नानुसार, 2(x+5)=5(y+5)

2x-5y=15...(ii)

समीकरण (i) व (ii) से, $\quad 2 \times 3 y-5 y=15$

y=15 वर्ष

समीकरण (i) से

$x=3 \times 15=45$ वर्ष।

Question 10

समीकरण x+y=6 और x-y=2 का हल है :

(i) (4,2)

(ii) (2,4)

(iii) (6,2)

(iv) (8,-2)

Sol :

(i) (4,2)

x+y=6..(i)

x-y=2...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

2x=8

x=4

समीकरण (i) से,

4+y=6

y=6-4=2

x=4 , y=2

Question 11

5 पैनों और 3 अथ्यास-पुस्तिकाओं का मूल्य 31 रु. है। यदि 7 पैनों और 2 अम्यास-पुस्तिकाओं का मूल्य 39 रु. हो, तो एक पैन और एक अम्यास-पुस्तिक। का मूल्य होगा:

(i) पैन का मूल्य 2 रु, अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 7 रू.

(ii) पैन का मूल्य 4 रू., अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 4 रू.

(iii) पैन का मूल्य 5 रु. अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 2 रू.

(iv) पैन का मूल्य 5 रु., अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 9 रू

Sol :

(iii) पैन का मूल्य 5 रु. अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य 2 रू.

माना एक पैन का मूल्य =x रू तथा एक अभ्यास-पुस्तिका का मूल्य = y रु

5 x+3 y=31...(i)

7 x+2 y=39..(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को हल करने पर,

x=5 , y=2

लघु उत्तरीय प्रश्न

Question 12

एक $\triangle \mathrm{ABC}$ में, $\angle \mathrm{C}=3 \angle \mathrm{B}=2(\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B})$ है। त्रिभुज के तीनों कोण ज्ञात कीजिए।

Sol :

$\because$ त्रिभुज के तीनों कोणों का योगफल,

$\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{B}=180^{\circ}-\angle \mathrm{C}$..(i)

$\angle {C}=2(\angle A+\angle B)$

$\angle C=2\left(180^{\circ}-\angle C\right)$  [समीकरण (i) से

$\angle C=360-2 \angle C$

$2 \angle C+\angle C=360^{\circ}$ या $3 \angle C=360^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{C}=120^{\circ}$

$\angle C=3 \angle B$

$3 \angle \mathrm{B}=120^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{B}=40^{\circ}$

$\angle \mathrm{A}=180^{\circ}-(\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{C})$ से,

$\therefore \quad \angle \mathrm{A}=180^{\circ}-\left(40^{\circ}+120^{\circ}\right)$

$\angle \mathrm{A}=20^{\circ}$

अत: त्रिभुज के तीनों कोण क्रमश $: 20^{\circ}, 40^{\circ}$ तथा $120^{\circ}$ होंगे।

Question 13

x+y=4 और x-y-1=0 को प्रतिस्थापन विधि से हल कीजिए।

Sol :

x+y=4...(i)

x-y-1=0...(ii)

समीकरण (i) से, 

y=4-x

समीकरण (ii) में इस y के मान को रखने पर,

x-(4-x)-1=0

x-4+x-1=0

2x-5=0

$x=\frac{5}{2}$

∵y=4-x

$y=4-\frac{5}{2}=\frac{8-5}{2}=\frac{3}{2}$

अतः $x=\frac{5}{2}, y=\frac{3}{2}$

Question 14

दो मित्रों अनी और बीजू की आयु में 3 वर्ष का अन्तर है। अनी के पिता धरम की आयु अनी की आयु की दुगुनी और बीजू की आयु अपनी बहिन कैथी की आयु की दुगुनी है। कैथी और धरम की आंयु का अन्तर 30 वर्ष है। अनी और बीजू की आयु ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना कि अनी तथा बीजू की आयु क्रमश x वर्ष तथा y वर्ष है।

प्रश्नानुसार, अनी तथा बीजू की आयु में अन्तर = 3 वर्ष

x-y=3...(i)

अनी के पिता धरम की आयु $=2 \times$ अनी की आयु =2 x

$\because \quad 2 \times$ कैथी की आयु = बीजू की आयु $=y$

$\therefore$ कैथी की आयु $=\frac{y}{2}$

कैथी और धरम की आयु में अन्तर =30 वर्ष

$2 x-\frac{y}{2}=30$

4x-y=60...(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,

-3x=-57

x=19

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

19-y=3

-y=3-19=-16

y=16

अतः अनी तथा बीजू की आयु क्रमश : 19 वर्ष तथा 16 वर्ष है।

Question 15

हल कीजिए:

x-y=2 , 2x-3y=1

Sol :

x-y=2...(i)

2x-3y=1...(ii)

समीकरण (i) को 2 से गुणा करने पर,

2x-2y=4...(iii)

समीकरण (iii) में से' समीकरण (ii) को घटाने पर,

y=3

समीकरण (i) में y=3 रखने पर,

x-3=2

x=5

x=5 , y=3

Question 16

प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल कीजिए :

px+qy=0, lx+my=n

Sol :

px+qy=0

qy=-px

$y=-\frac{p}{q} x$...(i)

lx+my=n...(ii)

समीकरण (i) से y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,

$l x-m \times \frac{p}{q} x=n$

$x\left[\frac{l q-m p}{q}\right]=n$

$x=\frac{n q}{l q-m p}=\frac{q n}{q l-p m}$

समीकरण (i) से ,

$y=-\frac{p}{q} \times \frac{n q}{l q-m p}$

$=-\frac{p n}{l q-m p}=\frac{p n}{p m-q l}$

अतः $x=\frac{q n}{q l-p m}, y=\frac{p n}{p m-q l}$

Question 17

एक रेलगाड़ी कुछ दूरी समान चाल से तय करती है। यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घप्टा अधिक तेज चलती होती, तो उसे नियत समय से 2 घण्टे कम लगते और यदि रेलगाड़ी 10 किमी/घण्टा धीमी चलती होती, तो उसे नियत समय से 3 घण्टे अधिक लगते। रेलगाड़ी द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।

Sol :

$=\frac{\text { दूरी }}{\text { चाल }}=\frac{y}{x}$ घण्टे

प्रश्नानुसार,

$\frac{y}{x+10}=\frac{y}{x}-2$

$\frac{y}{x+10}=\frac{y-2 x}{x}$

xy=(y-2x)(x+10)

$x y=x y-2 x^{2}+10 y-20 x$

$-2 x^{2}+10 y-20 x=0$...(i)

दूसरी शर्तानुसार,

अत : $\quad \frac{y}{x-10}=\frac{y}{x}+3$

$\frac{y}{x-10}=\frac{y+3 x}{x}$

(x-10)(y+3x)=xy

$x y-10 y+3 x^{2}-30 x=x y$

$3 x^{2}-10 y-30 x=0$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

$x^{2}-50 x=0$

x(x-50)=0

x=0 , 50

x=50 किमी/घंण्टा

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$-2(50)^{2}+10 y-20 \times 50=0$

-5000-1000+10y=0

-6000+10y=0

10y=6000

y=600 किमी

अतः रेलगाड़ी द्वारा तय की गयी दूरी 600 किमी होगी।

Question 18

समीकरणों 5 x-y=5 और 3 x-y=3 के ग्राफ खीचिए। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। इस प्रकार बने त्रिमुज के क्षेन्रफल का परिकलन कीजिए।

Sol :

दिया गया रखिक समीकरण: 5x-y=5

y=5x-5

माना x=0,1,2 लेने पर,

जब x=0 हो, तब  ∴y=5×0-5=-5

जब x=1 हो, तब  ∴y=5×1-5=0

जब x=2 हो, तब  ∴y=5×2-5=5

और दूसरा रैखिक समीकरण : 3 x-y=3 से,

y=3x-3...(ii)

माना x=0,1,2 लेने पर,

जब x=0 हो, तब  ∴y=3×0-3=-3

जब x=1 हो, तब  ∴y=3×1-3=0

जब x=2 हो, तब  ∴y=3×2-3=3

उपरोक्त दोनों संमीकरणों से हमें निम्न सारणी प्राप्त होती है :

x	0	1	2
y=5x-5	-5	0	5
y=3x-3	-3	0	3

अब हम इन दोनों समीकरणों से प्राप्त बिन्दुओं को ग्राफ द्वारा आलेखित करेंगे:

अतः y- अक्ष पर बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशंक क्रमशः A(1,0), B(0,-3) तथा C(0,-5) हैं। और इस त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है।

Question 19

ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। इस चक्रीय चतुर्भुज के कोण ज्ञात कीजिए।

Sol :

चूँकि चक्रीय चतुर्भुज में आमने-सामने के कोणों का योगफल $180^{\circ}$ होता है।

इसलिए

$A+C=180^{\circ}$

$4 y+20+(-4 x)=180^{\circ}$

$4 y-4 x=180^{\circ}-20^{\circ}$

$4(y-x)=160^{\circ}$

$y-x=40^{\circ}$...(i)

$\mathrm{B}+\mathrm{D}=180^{\circ}$

$3 y-5-7 x+5=180^{\circ}$

3 y-7 x=180...(ii)

समीकरण (i) से, 

y=x+40

y का मान समीकरण (ii) में रखने पर,

3(x+40)-7 x=180

3 x+120-7 x=180

-4x=180-120=60

x=-15

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

y+15=40

y=40-15=25

$\angle A=4 y+20=4 \times 25+20=120^{\circ}$

$\angle B=3 y-5=3 \times 25-5=70^{\circ}$

$\angle C=-4 x=-4 \times-15=60^{\circ}$

$\angle \mathrm{D}=-7 x+5$

$=-7 \times-15+5=110^{\circ}$

अत: $\angle \mathrm{A}=120^{\circ}, \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=60^{\circ}$ तथा $\angle \mathrm{D}=110^{\circ}$

Question 20

एक कक्षा के विद्यार्थियों को पंक्तियों में खड़ा होना है। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते, तो 1 पंक्ति कम होती। यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते, तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनतीं। कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना कुल पंक्तियों की संख्या x तथा प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या y हो तब x पंक्तियों में विद्यार्थियों की कुल संख्या = x y होगी।

दिया है कि यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी अधिक होते तो 1 पंक्ति कम बनने पर विद्यार्थियों की संख्या

=(x-1)(y+3)

=xy-y+3x-3

अतः उपरोक्त कथनों से,

x y-y+3 x-3=x y  या -y+3 x-3=0

3x-y=3...(i)

और यदि पंक्ति में 3 विद्यार्थी कम होते तो 2 पंक्तियाँ अधिक बनने पर

विद्यार्थियों की संख्या =(x+2)(y-3)

=xy+2y-3x-6

अर्थात् ज्ञात कथन से,

xy+2y-3x-6=xy

-3x+2y=6

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर,

y=9

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,

3x-9 या 3x=3+9=12

x=4

अतः कक्षा में विद्यार्थियों की संख्या = $x y=4 \times 9=36$