Dr Manohar re Solution Class 10 Chapter 3 दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of linear equations in two variables) प्रश्नावली 3 (H)

 प्रश्नावली 3 (H) 

Question 1

A और B की मासिक आय का अनुपात 9: 7 है और उनके मासिक व्यय का अनुपात 4: 3 है। यदि उनमें से प्रत्येक 200 रु. मासिक बचाता हो, तो प्रत्येक की मासिक आय ज्ञात कीजिए।

Sol :

A की मासिक आय =9x

B की मासिक आय =7x

A की मासिक आय =4y

B की मासिक आय =3y

प्रश्नानुसार,

A की बचत, 9x-4y=200...(i)

B की बचत, 7x-3y=200...(ii)

समीकरण (i) को 7 से तथा समीकरण (ii) को 9 से गुणा करने पर

63x-28y=1400...(iii)

63x-27y=1800...(iv)

समीकरण (iv) में से समीकरण (iii) को घटाने पर,

y=400

समीकरण (i) से ,9x-4×400=200

x=200

अतः A की मासिक आय = 9x

=9×200=1800

B की मासिक आय = 7x

=7×200

=1400

Question 2

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। इस संख्या का नौ गुना, संख्या के अंकों को पलटने से

Sol :

माना कि दो अंकों की संख्या 10 x+y है, जिसमें इकाई का अंक y तथा दहाई का अंक x है।

प्रश्नानुसार, संख्या के अंकों का योगफल = 9

x+y=9..(i)

अब 9 × दो अंकों की संख्या = 2 × दो अंकों की बदली हई संख्या जिसमें इकाई तथा दहाई के अंक पलट गए है।

9(10x+y)=2(10y+x)

90x+9y=20y+2x

90x-2x=20y-9y

88x=11y

y=8x...(ii)

समीकरण (ii) से y का मान समीकरण (i) में रखने पर,

x+8x=9

9x=9

x=1

अब x का मान समीकरण (ii) में प्रतिस्थापित करने पर,

$y=8 \times 1$ या $y=8$

संख्या = 10 x+y

$=10 \times 1+8=10+8$

संख्या = 18

Question 3

एक पुस्तक विक्रेता ने अपनी पुस्तक 24 रु. में बेचकर उतने ही प्रतिशत लाभ उठाया जितने रुपये में उसने पुस्तक को खरीदा था, तो पुस्तक का क्रय-मूल्य बताइए।

Sol :

माना, पुस्तक का क्रय मूल्य = x

विक्रय मूल्य=24

लाभ=(24-x)

प्रश्नानुसार, लाभ=x%

∵100 पर लाभ=x

∴1 पर लाभ $=\frac{x}{100}$

∴x पर लाभ$=\frac{x}{100} \times x=\frac{x^{2}}{100}$

$\frac{x^{2}}{100}=24-x$

$x^{2}=2400-100 x$

$x^{2}+100 x-2400=0$

$x^{2}+120 x-20 x-2400=0$

x(x+120)-20(x+120)=0

(x+120)(x-20)=0

x+120=0

x=-120

x-20=0

x=20

अतः पुस्तक का क्रय मूल्य=10

Question 4

5 पेसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है, जबकि 7 पेसिल तथा 5 कलमों का कुल मूल्य ₹ 46 है। एक पेसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना 1 पेंसिल का मूल्य = ₹ x तथा 1 कलम का मूल्य ₹ y है।।

5 पेंसिल और 7 कलमों का कुल मूल्य = 50 (दिया है)

5x+7y=50...(i)

द्वितीय शर्तानुसार,

7 पेंसिल और 5 कलमों का कुल मूल्य = 46

7x+5y=46...(ii)

अब समीकरण (i) से,

5x+7y=50

7y=50-5x

$y=\frac{50-5 x}{7}$

माना  x=10, -4 लेने पर

x=10 रखने पर, $y=\frac{50-5 \times 10}{7}=0$

x=-4 रखने पर, $y=\frac{50-5 \times-4}{7}=10$

अत : इससे प्राप्त बिन्दु A(10,0) तथा B(-4,10) हैं।

अब संमीकरण (ii) से,

7 x+5 y=46

5y=46-7x

$y=\frac{46-7 x}{5}$

माना x=8 , -2 लेने पर

x=-2 रखने पर $\therefore \quad y=\frac{46-7 x-2}{5}=\frac{46+14}{5}=\frac{60}{5}=12$

x=8 रखने पर $\therefore \quad y=\frac{46-7 \times 8}{5}=\frac{46-56}{5}=\frac{-10}{5}=-2$

अतः इससे प्राप्त बिन्दु C(-2,12) तथा D(8,-2) हैं, अब हम इनको तालिका रूप में निम्नलिखित प्रकार से लिख सकते है:

x	10	-4
$y=\frac{50-5 x}{7}$	0	10
x	8	-2
$y=\frac{46-7 x}{5}$	-2	12

अब समीकरण (i) तथा (ii) से प्राप्त सभी बिन्दुओं को आलेखित करते हैं:

अतः आलेख में दोनों रेखाएँ p तथा q एक-दूसरे को Q बिन्दु पर प्रतिच्छेदित करती हैं।

अत: प्रतिच्चेदन बिन्दु Q(3,5) ही इसका हल है।

x=3 तथा y=5

अतः 1 पेंसिल का मूल्य=3

तथा 1 कलम का मूल्य=5

Question 5

एक व्यक्ति कुछ मासिक वेतन पर नौकरी शुरू करता है और प्रत्येक वर्ष उसके वेतन में एक नियत वृद्धि होती है। यदि नौकरी के 4 वर्ष बाद उसका वेतन 2,200 रु. हो और 15 वर्ष बाद उसका वेतन 2,750 हो, तो प्रारम्भ में उसका वेतन कितना था और वार्षिक वृद्धि क्या थी, ज्ञात कीजिए?

Sol :

माना, प्रारम्भ मे मासिक वेतन =x 

प्रश्ननानुसार, वार्षिक वृद्धि =y

4 वर्ष बाद उसका वेतन =x+4 y=2200

x+4y=2200...(i)

15 वर्ष बाद उसका वेतन =x+15 y=2750(दिया है)

x+15y=2750...(ii)

समीकरण (i) में से (ii) को घटाने पर,

-11y=-550

y=50

समीकरण (i) मे,

$x+4 \times 50=2200$

x+200=2200

x=2000

अतः मासिक वेतन = 2000 और वार्षिंक वृद्धि =50

Question 6

मेवे के 700 ग्राम के एक पैकेट की लागत 72 रु. है। इसमें कुछ काजू की गिरी और शेष किशमिश हैं। यदि काजू की गिरी का भाव 96 रु. प्रति किलोग्राम और किशमिश का भाव 112 रु. प्रति किलोग्राम हो, तो ज्ञात करो उस पैकेट में दोनों मेवों की तौल अलग-अलग कितनी है?

Sol :

मान लो , किशमिश =x ग्राम

तथा काजू की गिरी =y ग्राम

x+y=700...(i)

काजू की गिरी की कीमत 96 रू. प्रति किलोग्राम है

तब y ग्राम काजू की गिरी की कीमत $=\frac{96 y}{1000}$ र.

तथा x ग्राम किश्भिश की कीमत $=\frac{112 x}{1000}$ र.

प्रश्नानुसार,

$\frac{96 y}{1000}+\frac{112 x}{1000}=72$

96y+112x=72×1000

12y+14x=9×1000=9000....(ii)

समीकरण (i) में 12 से गुणा करके समीकरण (ii) को घटाने पर,

-2x=-600

x=300 ग्राम

समीकरण (i) से , 

y+300=700

y=400 ग्राम

अतः काजू की गिरी = 400 गाम

तथा किशमिश = 300 ग्राम

Question 7

किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया है तथा उसके बाद प्रत्येक अविरिक्त दिन का अलग किराया है। सरिता ने सात दिनों तक एक पुस्तक रखने के लिए ₹ 27 अदा किए जबकि सूसी ने एक पुस्तक पाँच दिनों तक रखने के ₹ 21 अदा किए। नियत किराया तथा प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए किराए पर पुस्तकें देने वाले किसी पुस्तकालय का प्रथम तीन दिनों का एक नियत किराया x तथा उसके बाद प्रत्येक अतिरिक्त दिन का किराया y हो, तब

दी गई प्रथम शर्तानुसार,

3 दिनों का नियत किराया + 4 अतिरिक्त दिनों का किराया = 27

x+4y=27...(i)

द्वितीय शर्तानुसार,

3 दिनों का नियत किराया + 2 अतिरिक्त दिनों का किराया = 21

x+2y=21...(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,

2y=6

y=3

अब y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,

$x+4 \times 3=27$

x+12=27

x=27-12=15

अर्थात् नियत किराया ₹ 15 तथा अतिरिक्त दिन का किराया ₹ 3 है।

Question 8

कुछ धन किसानों के बीच बराबर-बराबर बाँटा जाना है। यदि 2 किसान कम होते, तो प्रतेक को 50 रु. अधिक मिलते। यदि किसानों की संख्या 2 अधिक होती, तो प्रत्येक किसान को 30 रु. कम भिलते।कुल धनराशि और किसानों की संख्या ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना कुल धन x तथा किसानो की कुल संख्या y है, जब

प्रश्नानुसार,$\frac{x}{y-2}-\frac{x}{y}=50$...(i)

$\frac{x}{y}-\frac{x}{y+2}=30$...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

$\frac{x}{y-2}-\frac{x}{y+2}=80$

$x\left[\frac{y+2-y+2}{(y-2)(y+2)}\right]=80$

$\frac{4 x}{y^{2}-4}=80$

$x=20\left(y^{2}-4\right)$...(iii)

समीकरण (i) से,

$x\left[\frac{y-y+2}{y(y-2)}\right]=50$

$x=25\left(y^{2}-2 y\right)$...(iv)

समीकरण (iii) तथा (iv) से,

$25\left(y^{2}-2 y\right)=20\left(y^{2}-4\right)$

$25 y^{2}-50 y=20 y^{2}-80$

$5 y^{2}-50 y+80=0$

$y^{2}-10 y+16=0$

(y-8)(y-2)=0

y-8=0 या y=8

y-2=0 या y=2 आग्राह्य

समीकरण (iii) में y=8 रखने पर

$x=20(64-4)=20 \times 60=1200$

कुल धनराशि= 1200

कुल किसान = 8

Question 9

एक व्यक्ति ने कुल 75000 रू. की पूँजी लगायी। इंसका एक भाग 12 % वार्षिक ब्याज की दर पर और शेष भाग 10 % वार्षिक ब्याज की दर पर लगाया। यदि उसे कुल वार्षिक ब्याज 8300 रु. मिले, तो ज्ञात कीजिए कि प्रत्रेक दर पर उसने कितना धन लगाया?

Sol :

माना 12 % वार्षिक ब्याज की दर से x रु. लगाए।

तब , 1 वर्ष का साधारण ब्याज $=\frac{x \times 12}{100}=\frac{3 x}{25}$ र.

शेष धन = (75000-x) रू.

(75000-x) रूपये 10ज्ञ की दर से लगाए , तब

साधारण ब्याज $=\frac{(75000-x) \times 10}{100^{\circ}}$

$=\frac{75000-x}{10}$

प्रश्नानुसार, $\frac{3 x}{25}+\frac{75000-x}{10}=8300$

$\frac{6 x+375000-5 x}{50}=8300$

x+375000=8300×50

=415000

x=415000-375000

=40000

शेष धन=75000-40000

=35000

अतः 12 % की दर पर 40000 रु. तथा 10 % की दर पर 35000 रु. लगाए।

Question 10

एक व्यापारी ने बैंक से 5000 रुपयों में से कुछ रुपये 12 % वार्षिक ब्याज की दर से और शेष 15 % वार्षिक ब्याज की दर से साधारण ब्याज पर उधार लिये। 2 वर्ष के पश्चात् उसे कुल 6320 रु. बैंक को देने पडे। ज्ञात कीजिए व्यापरी ने प्रत्येक दर पर कितना-कितना रूपया उधार लिया धा?

Sol :

मान लो x रु. 12 % ब्याज पर 2 वर्ष के लिये उधार लिये।

अतः x रु. पर 2 वर्ष का 12 % की दर से

साधारण ब्याज $=\frac{x \times 2 \times 12}{100}=\frac{6 x}{25}$

शेष धन =5000-x

₹(5000-x) पर 15 % की दर से 2 वर्ष का साधारण ब्याज

$=\frac{(5000-x) \times 15 \times 2}{100}$

$=\frac{3(5000-x)}{10}$

प्रश्नानुसार , ब्याज =6320-5000=1320

तब ,  $\frac{6 x}{25}+\frac{(5000-x) \times 3}{10}=1320$

$\frac{12 x+75000-15 x}{50}=1320$

-3x=66000-75000

-3x=-9000

x=3000

∴12 % वार्षिक ब्याज की दर पर धन =3000 रू

15% वार्षिक ब्याज की दर पर धन =5000-3000

=2000

Question 11

मीना ₹ 2,000 निकालने के लिए बैंक गई। उसने खजाँची से ₹ 50 तथा ₹ 100 के नोट देने के लिए कहा। मीना ने कुल 25 नोट प्राप्त किए। ज्ञात कीजिए कि उसने ₹ 50 और ₹ 100 के कितने- कितने नोट प्राप्त किए।

Sol :

माना ₹ 50 और ₹ 100 के नोट क्रमशः x और y हों, तब

कुल नोटों की संख्या =25

x+y=25...(i)

अब प्रश्नानुसार,

₹ 50  तथा ₹ 100 के नोटों का कुल मूल्य =₹ 2,000

50x+100y=2000

50(x+2y)=2000

x+2y=40...(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,

-y=-15

y=15

y का मान समीकरण (i) में प्रतिस्थापित करने पर,

x+15=25

x=25-15=10

अतः 50 के नोटों की संख्या = 10 और 100 के नोटों की संख्या = 15 है।

Question 12

एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹ 1,000 छात्रावास के व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को, जो 26 दिन भोजन करता है, छान्रावास के व्यय के लिएं ₹ 1,180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।

Sol :

माना नियत व्यय ₹ x तथा प्रसिदिन के भोजन का मूल्य ₹ y है।

x+20y=1000...(i)

द्वितीय शर्तानुसार,

नियत व्यय $+26 \times$ प्रतिदिन भोजन पर व्यय =1,180

x+26y=1180...(ii)

समीकरण (i) में से समीकरण (ii) को घटाने पर,

-6y=-180

$y=\frac{180}{6}=30$

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$x+20 \times 30=1,000$

x+600=1000

x=1000-600=400

अतः नियत व्यय ₹ 400 तथा प्रतिदिन भोजन का व्यय ₹ 30 है।

Question 13

यश ने एक टेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते, तो यश 50 अंक अर्जित करता। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?

Sol :

मान लीजिए सही प्रश्नों के उत्तर देने की संख्या x तथा अशुद्ध प्रश्नों के उत्तर देने की संख्या y हो, तब

प्रश्नों की कुल संख्या = x+y

प्रथम शर्तानुसार,

3x-y=40...(i)

द्वितीय शर्तानुसार,

4x-2y=50...(ii)

समीकरण (i) में 2 का गुणा करने पर,

6x-2y=8000...(iii)

समीकरण (ii) में से (iii) को घटाने पर,

-2x=-30

x=15

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

3×15-y=40

45-y=40

-y=40-45

-y=-5

y=5

अत :  टेस्ट में प्रश्नों की कुल संख्या =x+y=15+5=20

Question 14

एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 किमी की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय पर चलना प्रारम्भ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए कार A की चाल x किमी/घण्टा और कार B की चाल y किमी/घण्टा हो, तब

5 घण्टे में कार A द्वारा चली दूरी = चाल × समय =5x

5 घण्टे में कार A द्वारा चली दूरी = चाल × समय =5x

अब दोनों कारों द्वारा तय की गयी दूरियों का अंन्तर = 100 किमी

अर्थात् , 5x-5y=100

x-y=20...(i)

जब कारें विपरीत दिशाओं में दोनों ही स्थानों से चलकर मिलेंगी तब उनको 1 घण्टे का समय लगेगा और दूरी 100 किमी चलना पड़ेगा।

अर्थात् दोनों स्थानों में कार द्वारा 1 घण्टे में चली गयी कुल दूरी

=100 किमी 

x+y=100...(ii)

समीकरण (i) तथा (ii) को जोड़ने पर

2x=120

x=60

x का मान समीकरण (i) में रखने पर,

60-y=20

-y=20-60

-y=-40

y=40

अतः दोनों कारों की चाल क्रमश : 60 किमी/घण्टा तथा 40 किमी/घण्टा होगी।

Question 15

2 महिलाएँ एवं 5 पुरुष एक कसीदे के काम को साथ-साथ 4 दिन में पूरा कर सकते हैं, जबकि 3 महिलाएँ एवं 6 पुरुष इसको 3 दिन में पूरा कर सकते हैं। ज्ञात कीजिए कि इसी कार्य को करने में एक अकेली महिला कितना समय लेगी। पुन: इसी कार्य को करने में एक पुरुष कितना समय लेगा ?

 Sol :

माना 1 महिला को किसी कार्य को करने में लगे दिन = x

तब 1 महिला 1 दिन में कार्य करेगी $=\frac{1}{x}$ भाग

तथा 2 महिलाएँ 1 दिन में कार्य करेंगी $=\frac{2}{x}$ भाग

और माना 1 पुरुष द्वारा उसी कार्य को करने में लगा समय = y दिन

तब 5 पुरूष 1 दिन में कार्य करेंगे $=\frac{5}{y}$ भाग 

(2 महिलाएँ + 5 पुरुष) दोनों मिलकर 1 दिन में करेंगे $=\frac{2}{x}+\frac{5}{y}$

$\therefore \quad \frac{2}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$...(i)

इसी प्रकार द्वितीय शर्तानुसार,

$\frac{3}{x}+\frac{6}{y}=\frac{1}{3}$...(ii)

समीकरण (i) में 3 का गुणा तथा समीकरण (ii) में 2 का गुणा करके घटाने पर,

$\begin{aligned}\frac{6}{x}+\frac{15}{y}&=\frac{3}{4} \\\frac{6}{x}+\frac{12}{y}&=\frac{2}{3} \\(-)(-) &\quad(-) \\ \hline\frac{3}{y}&=\frac{9-8}{12}\end{aligned}$

$\frac{3}{y}=\frac{1}{12}$

y=36

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\frac{2}{x}+\frac{5}{36}=\frac{1}{4}$

$\frac{2}{x}=\frac{1}{4}-\frac{5}{36}$

$\frac{2}{x}=\frac{9-5}{36}$

$\frac{2}{x}=\frac{4}{36}$

4x=72

$x=\frac{72}{4}$

x=18

अतः 1 अकेली महिला उसे 18 दिन में तथा एक पुरुष उसे 36 दिन में करेगा।

Question 16

रुही 300 किमी दूरी पर स्धित अपने घर जाने के लिए कुछ दूरी रेलगाड़ी द्वारा तथा कुछ दूरी बस द्वारा तयं करती है। यदि वह 60 किमी रेलगाड़ी द्वारा तथा शेष बस द्वारा यात्रा करती है तो उसे 4 घण्टे लगते हैं। यदि वह 100 किमी रेलगाड़ी से तथा शेष बस से यात्रा करे, तो उसे 10 मिनट अधिक लगते हैं। रेलगाड़ी एवं बस की क्रमशः चाल ज्ञात कीजिए।

Sol :

मान लीजिए रेलगाड़ी तथा बस की चालें क्रमशः x किमी/घण्टा तथा y किमी/घण्टा हैं।

प्रथम शतार्नुसार,

रेलगाड़ी द्वारा तय करने में लगा समय $=\frac{60}{x}$

और बस द्वारा चली दूरी को तय करने में लगा समय $=\frac{300-60}{y}=\frac{240}{y}$

कुल लगा समय = 4 घण्टे

$\frac{60}{x}+\frac{240}{y}=4$

60 का दोनों पक्षों में भाग करने पर,

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{4}{60}$

$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{1}{15}$...(i)

द्वितीय शर्तानुसार,

रेलगाड़ी द्वारा 100 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{100}{x}$

बस द्वारा (300-100)=200 किमी दूरी तय करने में लगा समय $=\frac{200}{y}$

कुल लगा समय =4 घण्टे +10 मिनट $=\left(4+\frac{10}{60}\right)$ घण्टे

$\frac{100}{x}+\frac{200}{y}=\frac{25}{6}$ घण्टे

दोनों पक्षों में 100 का भाग करने पर,

$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{24}$...(ii)

संमीकरण (i) में से समीकरण' (ii) को घटाने पर,

$\begin{aligned}\frac{1}{x}+\frac{4}{y}&=\frac{1}{15} \\\frac{1}{x}+\frac{2}{y}&=\frac{1}{24} \\(-)(-) &\quad(-) \\ \hline \frac{2}{y}&=\frac{1}{15}-\frac{1}{24}\end{aligned}$

$\frac{2}{y}=\frac{8-5}{120}$

$\frac{2}{y}=\frac{3}{120}$

3y=240

y=80

y का मान समीकरण (i) में रखने पर,

$\frac{1}{x}+\frac{4}{80}=\frac{1}{15}$

$\frac{1}{x}=\frac{1}{15}-\frac{1}{20}$

$\frac{1}{x}=\frac{4-3}{60}$

$\frac{1}{x}=\frac{1}{60}$ या x=60

अतः रेलगाड़ी की चाल 60 किमी/घण्टा तथा बस की चाल 80 किमी/घण्टा है।